函数

表示随机现象（在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）.例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等,都是随机变量的实例.　　一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω .随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数,即基本空间Ω中每一个点,也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应.例如,随机投掷一枚硬币 ,可能的结果有正面朝上 ,反面朝上两种 ,若定义X为投掷一枚硬币时正面朝上的次数 ,则X为一随机变量,当正面朝上时,X取值1；当反面朝上时,X取值0.又如,掷一颗骰子 ,它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ,若定义X为掷一颗骰子时出现的点数,则X为一随机变量,出现1,2,3,4,5,6点时X分别取值1,2,3,4,5,6.　　有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述.例如 ,子弹着点的位置需要两个坐标才能确定,它是一个二维随机变量.类似地,需要n个随机变量来描述的随机现象中,这n个随机变量组成n维随机向量 .描述随机向量的取值规律,用联合分布函数.随机向量中每个随机变量的分布函数,称为边缘分布函数.若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积,则称这些单个随机变量之间是相互独立的.独立性是概率论所独有的一个重要概念.　　在不同的条件下由于偶然因素影响,其可能取各种不同的值,具有不确定性和随机性,但这些取值落在某个范围的概率是一定的,此种变量称为随机变量.随机变量可以是离散型的,也可以是连续型的.如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量,被测定量的取值可能在某一范围内随机变化,具体取什么值在测定之前是无法确定的,但测定的结果是确定的,多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性.随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于,后者的测定结果仍具有不确定性,即模糊性.

状态变量：能够完全描述动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。它应能确定系统未来的演化行为。控制变量：在物理学的概念是指那些除了实验因素(自变量)以外的所有影响实验结果的变量，这些变量不控制变量是本实验所要研究的变量，所以又称无关变量、无关因子、非实验因素或非实验因子。能量函数：是特定系统的总能量,以系统的状态为函数

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

那个就不是函数是映射啦，函数是数集到数集的映射，也就是说函数是特殊的映射，你说的这个是映射但不是函数，不过你要是把姓名和学号之类的都量化了也可以是函数。

y=x+5

因变量（dependent variable）函数中的专业名词，函数关系式中，某些特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量。如：Y=kx+b。此式表示为：Y随X的变化而变化。Y是因变量，X是自变量。而k是常数，即系数。因此函数中说的系数一般指自变量的系数。次数：单项式中，中所有字母的指数和叫做它的次数,如abc的次数是3. 多项式中，指数最高的数叫做这个多项式的次数. 像3-x^2+y^7，次数是7

自变量就是自身变化的量，因变量就是因为自变量变化所以也跟着变化的量。就比如说买书，设书的数目为自变量，那么要付的总金额就是随着书的数目变化的因变量O(∩_∩)O还有问题吗~求采纳~

对，可以这么理解!

并不是因为指数函数是一一映射才有反函数，而是，只要是一一映射就存在反函数。因为反函数也是函数，必须符合函数的定义。对于集合A任一个元素，在集合B中都有唯一一个元素和它对应。如果原函数是二对一的，比如在R上的二次函数，它就不存在反函数，因为二对一，反过来是一对二，就不是函数了。但是，对于二次函数，只要限制X的取值区间，就可以有反函数的。比如取对称轴的一侧就行。你问的指数函数，一定存在反函数。再比如，一次函数，反比例函数等等都有反函数。 很不错哦，你可以试下i‖s

你是初中生吧,在初中,函数是这样定义的：设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.这个定义是从运动变化的观点出发,是从全局出发,在整体上把握两个量之间关系. 到高中后,会再学一种新定义的. 你现在可以理解这样,就把因变量y叫函数. 比如,路程s=时间tX速度v. 当速度为定值时,s就是t的函数,t 叫自变量. 在学函数的时候,别把具体的字母当回事,因为一个关系式,可以用不同字母表示的.比如上式,可以用y=xv来写的.函数很重要,一定要多记多学,特别是函数的图像.

函数f(x)，也是因变量，相对于自变量x而言。

y=2x+3 自变量就是x，因变量就是y，变量是两者的统称 x是自己随意变，y是根据x的变化而被动进行变化函数值就是y在x取某一数值是所对应的值常量就是2,3..这些已知不会改变的数字或字母

设函数y=f（x）其中x是自变量，不同的x得到不同的y值， y就称为因变量（y也可以称为x的函数）。比如一次函数：y=ax+b，x---自变量，y--因变量。

简单的说,自变量就是多项式里的未知数,因变量就是因为自变量而改变的量 比如：y=3x+7 多项式为：3x+7 所以x为自变量 x一变,y也跟着她变 所以y为因变量

当然了，函数值就是随着也是因为自变量而变化的，所以叫做因变量。

就拿你的例子来说一，int a; //类的成员变量，当类实例化后占用内存空间float b; //同上static int c; //处于静态数据内存区，程序运行后同一分配，与类的实例化与否无关二，函数的地址存在于代码区，不占用对象内存。但是对于含有虚函数的类来说，实例化后的对象中必定会有一个指向虚函数表的指针，占用一个指针的空间。三，MyClass *myClass; //在栈上分配一个指针，但你不知道它指向哪里，因为没有给它赋值。如果是MyClass *myClass = new MyClass; 这样，在堆内存上创建了一个MyClass类型的对象，完成了内存的分配，就可以通过这个指针访问int a,float b,以及fun1()之类的成员变量了。四，占用空间大小的话class和struct应该是相同的，不过这里有个字节对齐的概念typedef struct{int a;char b;int c;}MyStruct;和typedef struct{int a;int c;char b;}MyStruct;实例化后所占的内存空间是不一样的，有兴趣可以去了解一下。

那要看你的控件变量是什么什么类型，按照你说的情况，你的控件变量本身就是一个成员对象，那就可以用对应的类成员。

自变量是“原因”，而因变量就是“结果”。例如，市场上一般卖10元一斤的猪肉，因为这几天下暴雨而涨价2元。设定我买进猪肉的钱是Y，猪肉一般的价格为10，现在涨价X元。这就可以把函数式写成：Y=10+X。表示因为涨价的多少（X），而影响到我买进猪肉时的钱要多少（Y）。在这里，X是自变量，Y是因变量。对于函数中的自变量和因变量有时是相互的，即变化的量的自变量，由变化的量而引起的另一个量的变化那么这一个量叫因变量。因此在实际问题中就应注意谁的变化引起了谁的变化问题。在时间、路程、速度中路程一定，速度的大小的由时间的变化而引起的故一般称时间为自变量而速度为因变量，在一般的数学函数式中自变量和因变量的可以相互转化的这也就是函数与反函数。

估计您的意思是：求三元n次方程的最值/二元函数的最值。求多元函数极限值的求法。详情请看参考资料资料的内容：u2022理解多元函数极值和条件极值的概念u2022会求二元函数的极值u2022了解求条件极值的拉格朗日乘数法u2022会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题

自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量和类别变量之分。 函数关系式中，某特定的数会随另一个会变动的数的变动而变动，就称为因变量。Y=f(X)。此式表示为：Y随X的变化而变化。Y是因变量，X是自变量。函数定义是在某变化过程中有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的值y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量有且只有唯一值与其相对应。函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

不一定，只要是因变量因自变量而变就行了

设函数y=f（x）其中x是自变量，不同的x得到不同的y值，y就称为因变量（y也可以称为x的函数）。比如一次函数：y=ax+b，x---自变量，y--因变量。

是的，就是这样的。

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

　　像和原象　　元素x∈X在f 的像 就是f（x）。　　子集A?X 在f 的像是以其元素的像组成Y的子集，即　　f(A) := {f(x) : x ∈ A}。　　注意f 的值域就是定义域X 的像f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f 的像是f({2, 3}) = {c, d}而f 的值域是{c, d}。　　根据此定义，f 可引申成为由X 的幂集（由X 的子集组成的集）到Y 的幂集之函数，亦记作f。　　子集B ? Y在f 的原像（或逆像）是如下定义X的子集：　　f ?1(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。　　在我们的例子里，{a, b}的原像是f ?1({a, b}) = {1}。　　根据此定义，f ?1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。　　以下是f 及f ?1的一些特性：　　f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).　　f(A1 ∩ A2) ? f(A1) ∩ f(A2). f ?1(B1 ∪ B2) = f ?1(B1) ∪ f ?1(B2). f ?1(B1 ∩ B2) = f ?1(B1) ∩ f ?1(B2). f(f ?1(B)) ? B. f ?1(f(A)) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。　　由映射定义　　设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。　　则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）　　如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。

是多值函数！

函数的概念：在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。表示：函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。函数的由来中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组

f（x）是表示一个关于x的式子，不是函数函数要写成y=f（x）不过一般用f（x）来替代（不严格的话就可以）

复数的幅角 举个例子： z = r*(cosθ + i sinθ) r是z的模,即：r = |z|; θ是z的辐角,记作：θ = arg(z);

常量就是一个固定的数, 变量是可以改变数值的量. 自变量,因变量是函数是对应的概念,当自变量变化时,因变量有唯一的值与其对应,就形成了函数.

具体是什么意思，是指说给定一个自变量的值，因变量的值不唯一确定？还是说x→y1,y2这种前者按照函数的定义确实不是函数，叫做“多值函数”请注意，“多值函数”不是函数，【就好比说熊猫不是猫一样。】后者其实y1,y2是二维的因变量，它还是一个值，但是这个值不再是数，而是二维向量。这种情况下只要x→y1,y2给定一个x只有唯一的一对y1,y2跟它对应，也是函数。只是函数的值域包含于二维向量空间而已。函数的本质就是映射，映射的本质就是“单值”的“关系”。

本来就是吧……

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。经典定义：在某变化过程中设有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于每一个给定的x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么y就是x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。 　　另外，若对于每一个给定的y值，也都有唯一的x值与之对应，那么x也是y的函数。 现代定义 ：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。 记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。用映射的定义：一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。 　　对应、映射、函数三者的重要关系： 　　函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：{函数}包含于{映射}包含于{对应}函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。 　与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f(x)（f由用户自己定义）。　函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 　　函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 映射定义:　设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 　　定义域、对应域和值域　　输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 　　性质函数的有界性:　设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。 　　函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。 函数的单调性:　设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 函数的奇偶性:　设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立： 　　f(x) = f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。 　　奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。 　　设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立： 　　f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。 　　偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。 　　偶函数不可能是个双射映射。 函数的周期性 狄利克雷函数　　设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则改函数不具周期性。 　　并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。 函数的连续性　　在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 　　设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足： 　　f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。 　　不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。 　　仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立： 　　对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。 函数的凹凸性　　设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。 实函数或虚函数　　实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。 　　虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。 反函数　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。。 　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。。 　　⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 　　函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 　　定义域A C 　　值域 C A 　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。。 　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3。 　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a 　　反函数的应用： 　　直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：1．先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域 　　（我们知道函数的三要素是定义域，值域，对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2．反解x，也就是用y来表示x 　3．改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x 　　4．写出反函数及其定义域 　　就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数，记为x=f -1（y）。则f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1（x），例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。 　　基本初等函数及其图象幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。①幂函数：y=x^μ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(a为整数)，当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。 　　②指数函数：y=a^x（a>0 ，a≠1），定义域为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>1 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，0③对数函数：y=logax（a>0），称a为底 ，定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞） 。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。 　　以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即<a>自然对数，记作lnx。 　　④三角函数：见表2。 　　正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。 　　⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。 　　⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。 按照未知数次数分类　　常函数 　　x取定义域内任意数时，都有 y=C (C是常数)，则函数y=C称为常函数， 　　其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分。 一次函数　　I、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b（k，b为常数，k≠0）则称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，即y=kx时，y是x的正比例函数。 　　II、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即y/x=k III、一次函数的图象及性质： 　　1． 作法与图形：通过如下3个步骤 　　（1）列表（一般找4-6个点）； 　　（2）描点； 　　（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的曲线连接） 　　2．性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 　　3． k，b与函数图象所在象限。当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限与原点。当k<0时，直线只通过二、四象限与原点。 　　IV、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。 　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 　　（4）最后得到一次函数的表达式。 　　V、在y=kx+b中，两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点 　　VI、一次函数在生活中的应用 　　1．当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 　　2．当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函数形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图象为双曲线。如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。 二次函数　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a≠0)（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。 　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数。 　　二次函数的三种表达式 　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 　　顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k） 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交点式：y=a(x-x1)(x-x 2) [仅限于与x轴有交点A（x1 ，0）和B（x2，0）的抛物线]其中x1，x2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a 　　二次函数的图象 　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象， 二次函数可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。 　　二次函数标准画法步骤　　 （在平面直角坐标系上） 　　（1）列表 （2）描点 （3）连线 　　抛物线的性质　　 1．抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a（顶点式　x=h）。 　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 　　2．抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 　　3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。 　　|a|越大，则抛物线的开口越小。 　　4．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左 　　当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。 　　5．常数项c决定抛物线与y轴交点。 　　抛物线与y轴交于（0，c），c是纵截距。 　　6．抛物线与x轴交点个数 　　Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 　　Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 　　二次函数与一元二次方程 　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 　　即ax^2+bx+c=0 　　此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　解析式 　　y=ax^2 ；y=a(x-h)^2 ； y=a(x-h)^2+k ； y=ax^2+bx+c 　　对应顶点坐标 　　(0，0) ； (h，0) ； (h，k) ； (-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 　　对应对称轴 　　x=0 ； x=h ； x=h ； x=-b/2a 　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象 　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而减小，函数是减函数；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大，函数是增函数．若a<0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大，函数是增函数；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而减小，函数是减函数． 　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点） 　　当△=0．图象与x轴只有一个交点 　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 　　6．用待定系数法求二次函数的解析式 　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： 　　y=ax^2+bx+c(a≠0)． 　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． 　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)． 　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现． 超越函数　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 　　它有六种基本函数： 　　函数名：正弦 余弦正切 余切正割余割　　符号 sin cos tan cot sec csc 　　正弦函数sin（A）=a/h 　　余弦函数cos（A）=b/h 　　正切函数tan（A）=a/b 　　余切函数cot（A）=b/a 　　正割函数sec(A)=h/b 　　余割函数csc　(A)=h/a　 　　在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。

no

不对，还要满足一一，一个只能对应一个

是的，是这个意思。

可以啊。因变量定义：在 函数关系式中，某特定的数会随一个（或几个）变动的数的变动而变动，就称为因变量。如：Y=f(X)。此式表示为：Y随X的变化而变化。Y是因变量，X是自变量。比如：一次函数：①正比例函数：y=kx，其中x为自变量，y为因变量，k为系数。②普通一次函数：y=kx+b，其中x为自变量，y为因变量，k为系数，b为常数项 （常数项即为恒定不变的数值）2.反比例函数：y=k/x，与正比例函数中各字母的含义相同。3.二次函数：y=ax^2;+bx+c，其中x为自变量，y为因变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

楼主你好 是的

可以的这个是对的

因变量是自变量的

是的

因变量 函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量。如：Y=f(X)。此式表示为：Y随X的变化而变化。Y是因变量，X是自变量。 更简单、易懂的解释： 如何明白因变量和自变量是什么，其实也简单。说白了，自变量是“原因”，而因变量就是“结果”。例如，市场上一般卖10元一斤的猪肉，因为这几天下暴雨而涨价2元。设定我买进猪肉的钱是Y，猪肉一般的价格为10，现在涨价X元。这就可以把函数式写成：Y=10+X。表示因为涨价的多少（X），而影响到我买进猪肉时的钱要多少（Y）。在这里，X是自变量，Y是因变量。 对于函数中的自变量和因变量有时是相互的，即变化的量的自变量，由变化的量而引起的另一个量的变化那么这一个量叫因变量。因此在实际问题中就应注意谁的变化引起了谁的变化问题。在时间、路程、速度中路程一定，速度的大小的由时间的变化而引起的故一般称时间为自变量而速度为因变量，在一般的数学函数式中自变量和因变量的可以相互转化的这也就是函数与反函数。

是指说给定一个自变量的值,因变量的值不唯一确定? 还是说 x → y1,y2 这种 前者按照函数的定义确实不是函数,叫做“多值函数”请注意,“多值函数” 不是函数,【就好比说 熊猫 不是猫 一样.】 后者 其实 y1,y2 是二维的因变量,它还是一个值,但是这个值不再是数,而是二维向量. 这种情况下只要 x → y1,y2 给定一个x 只有唯一的一对y1,y2跟它对应,也是函数.只是函数的值域包含于二维向量空间而已. 函数的本质就是映射,映射的本质就是“单值”的“关系”.

函数的概念：在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。表示：函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。函数的由来中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组

自变量是x因变量是y

设函数y=f（x）其中x是自变量，不同的x得到不同的y值， y就称为因变量（y也可以称为x的函数）。比如一次函数：y=ax+b，x---自变量，y--因变量。

错误的说法,函数是一种关系,Y只是因变量,真正的函数是f.“函数是f(x)”这种叫法也不对,但是已经约定俗成 了

多编几个程序就会理解了

字符串函数。Char函数为字符串函数，对应的41689-41698等10个数的作用为可以分别返回1-10十个带圈的特殊数字符号。char用于C或C++中定义字符型变量，只占一个字节，取值范围为－128 ~ +127（－2^7~2^7-1）。C语言中如int、long、short等不指定signed或unsigned时都默认为signed，但char在标准中不指定为signed或unsigned。char详细解释：1、char有一个特殊的语言就是char *，它在C/C++中有专门的语义，既不同于signed char *，也不同于unsigned char *，而是用于定义指针变量，如：char *p，这个变量p是个指针变量；就是说，p这个变量里能存储一个char类型的变量的首地址。2、在MYSQL中，字段类型char是指：使用指定长度的固定长度表示的字符串，如char(8)，则数据库会使用固定的1个字节（八位）来存储数据，不足8位的字符串在其后补空字符。3、在excel中char函数用于返回对应发于数字代码的字符，如＝char(number)，其中，参数number为转换的字符代码，介于0~255之间，char占一个字节，也就是8个二进制位，但它表示的是有符号的类型，所以表示的范围是－128~127，uchar表示无符号的类型，所以表示的范围是0~255。

没有意义。调节变量是两个控制变量的函数，缺少一个变量不可成，所以这个调节变量没有意义，并且Y与X的关系受到第三个变量M的影响，调节变量可以是定性的。

s轨道是球对称的。氢原子s轨道是球对称的，解氢原子薛定谔方程的时候通过分离变量法，可以把波函数化作与r有关的径向方程以及与角度有关的角向方程。由于氢原子s轨道的角向分布是球对称的，因此与角度相关的角向分布关联的函数一定是一个常实数。对于波函数而言，乘以一个常实数不影响波函数的分布情况，因此氢原子s轨道的实际波函数一定是一个系数乘以径向方程的解。因此，轨道波函数与角度无关。

说结论：左加右减。其实y=cos[ω(t-x/u)+φ]可以看成t为自变量，y为t的函数，x为一个可变的常数(正的常数，表示离震动点的距离)。这样就可以根据x前系数的正负，判断y的图像整体往左还是右平移。

正交、归一

我学过一点这方面东西 密度泛涵关键是应用电子密度这个概念,可以大大简化对多体问题的计算,但它并不能彻底解决这个问题,因为还有一些参量不能算出.

在同样的条件下，它们的物理行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一个，不会引起物理状态的变化。在经典力学中，可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。而在量子力学中，由于波粒二象性，随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。由全同性原理可以推知，全同粒子组成体系的哈密顿算符具有交换对称性。全同性原理即，全同粒子体系的任何可观测量对于两粒子交换是对称的。实际上，全同性原理会对全同粒子体系波函数的形式给予很强的限定，使得波函数的形式必须满足交换对称性的要求。

右边的算符里势能项不显含t,所以那个算符只与r有关,作用到y(r)f(t)上时只对y(r)起作用,f(t)可以提出来.接下来的步骤是分离变量,不是消去y(r)： 原来的方程可以写成 y(r)·iu0127u2202f(t)/u2202t=f(t)·[-u0127^2/(2m)·▽^2+U(r)]y(r) 两边同除y(r)f(t),把与r和t有关的部分分别移到方程两边 1/f(t)·iu0127u2202f(t)/u2202t=1/y(r)·[-u0127^2/(2m)·▽^2+U(r)]y(r) 这样,方程左边是t的函数,右边是r的函数.令两边都等于E,那么 1/f(t)·iu0127u2202f(t)/u2202t=E 就把与t有关的部分分离出来,解这个方程,能得到f(t) 但这一步不是消掉了y(r),只是把它分离到另一个方程里 1/y(r)·[-u0127^2/(2m)·▽^2+U(r)]y(r)=E 解它,得到y(r)

你好首先你要知道概率密度分布函数p=|波函数ψ(x)|^2，概率密度也就是电子运动的状态有波函数Ψ来描述，∣Ψ∣^2表示电子在核外空间某处单位体积内出现的概率。望采纳

与角度有关。根据查询相关公开信息显示，氢原子s轨道是球对称的，解氢原子薛定谔方程的时候通过分离变量法，可以把波函数化作与r有关的径向方程以及与角度有关的角向方程。函数的定义分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

原子轨道就是波函数，正负符号是波函数的振幅，振幅同为正或同为负的波函数叠加后振幅变大，这样形成的分子轨道能量会降低，反之能量升高。而波函数的平方就是电子出现的概率，叠加后波函数变了，概率也就发生了变化。几个原子轨道可组合成几个分子轨道，其中有一半分子轨道分别由波函数正负符号相同的两个原子轨道叠加而成，两核间电子的概率密度增大，其能量较原来的原子轨道能量低，有利于成键，称为成键分子轨道（bonding molecular orbital），如σ、π轨道（轴对称轨道）；另一半分子轨道分别由波函数正负符号不同的两个原子轨道叠加而成，两核间电子的概率密度很小，其能量较原来的原子轨道能量高,不利于成键,称为反键分子轨道（antibonding molecular orbital），如 σ*、π* 轨道（镜面对称轨道，反键轨道的符号上常加“*”以与成键轨道区别）。 若组合得到的分子轨道的能量跟组合前的原子轨道能量没有明显差别，所得的分子轨道叫做非键分子轨道。

量子力学中的波函数具有非常广泛的意思，一般来讲它本身没有实际的意义，它的平方代表着几率密度。经典的场当然具有非常形象的意义了，这就不用过度论述了。

轨道波函数是物理学中的一种重要的概念，它是物理系统的状态的完全描述，可以用来描述电子在原子核中的行为。它由本征方程定义，可以用来解决基本粒子的波动方程，从而描述电子在原子核中的运动。它可以用来预测电子的能量和波函数，从而确定电子的空间分布和运动特性。

因为任意的波都有相位 相位是量子力学的关键 如果要用实函数 其实也可以 只不过描述起来很麻烦人们对相位的描述 用exp(ia)表示会更简单

不考虑电子的自旋, 氢原子n=3的简并波函数有n^2 = 9种; 电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称。

当然有了波函数的函数值是位移，其单位为米（SI）

首先，电子运行的函数应满足“薛定谔方程”，这是前提。微观量子化的讨论都得建立在这个方程之上；然后，将薛定谔方程中三个变量（x,y,z）转化为极坐标（r,θ,φ），将波函数ψ的角度分布作图，所得图像即为原子轨道角度分布图，而电子云的几率密度可以用│ψ│的平方表示，用刚求得的角度分布ψ，作│ψ│的平方的图，也就是通常说的电子云形状。这就是原理。具体推导的过程不是在这里打几百个文字可以列清的，要指出的是，这个形状不是观察得到的（目前科技还达不到），是根据量子力学计算出来的。

量子力学中的波函数和统计力学中的统计虽然都是波函数，但是有很大的区别：量子力学中的波函数是指一个粒子的运动规律的，而统计力学中的统计是大量粒子的所表现出来的统计规律，即大量粒子在一起，他们大多数的粒子在干什么。量子力学的波函数是由薛定谔方程所解出来的，而统计力学的统计是数学中的概率的知识。一种是物理概念的描述，另一种是数学的知识再物理中的应用。

前者的波函数事实上是概率波，不是实际的振动

p轨道角度波函数与波函数有关。根据查询相关资料信息显示：波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数，所谓的密度分布函数是对复波函数平方后的函数，量子力学里把它叫做几率密度分布函数，p轨道角度波函数与波函数有关。

有一种物理学理论，几乎没有人能够真正理解它，但它却给我们的世界带来了难以描述的变化，它就是量子力学。 从诞生以来，量子力学就一直在将困惑带给人们，时至今日也没有人能够弄懂为什么当试图测量量子效应时，量子效应就会消失，为什么观测会影响到实验的结果。还有那只被薛定谔关在箱子里的猫，明明是处于一种即死又活的叠加态，但是我们却永远无法测量到这种状态，因为只要我们试图打开箱子去测量这只猫，那么它马上就会塌缩为一种确定的状态，要么死，要么活。 如此看来，量子力学诞生以后，人类所面临的困惑更多了，于是反对量子力学或者抱怨量子力学的人从来就没有消失过，但我们又不得不承认，如果没有量子力学，那么也就没有我们今天的一切。 很多人可能并不知道，如果没有量子力学，那么现在我们根本不可能划着手机来阅读这篇文章，因为没有量子力学，也就没有触摸屏，甚至不会有计算机。 而人工智能技术与我们一刻也离不了的WIFI就更不可能诞生了，更不可思议的是，LED也不可能出现，人类的医学水平将在现有的基础上倒退一个世纪。一方面，量子力学给人类带来了数之不尽的困惑，另一方面，量子力学又给人类带来用之不竭的瑰宝。作为普通人的我们，可以不去关心单个粒子的位置为何无法测量这种烧脑的问题，但物理学家们就不能对此无动于衷了。世界上的一切物质都是由基本粒子所构成的，而量子力学用波函数来描述基本粒子，也就是说波函数描述着世间的一切，无论宏观还是微观，一切都可以表述为量子行为。 还是那个问题，既然量子力学带给我们这么多，为什么它又存在着如此之多的困惑呢？ 其实量子力学没有错，它也并没有带给我们什么困惑，一切的困惑都是源于我们的理解，是我们没有理解量子力学，又或者说我们没有找到理解量子力学的正确方法。我们无法确定单个粒子所处的位置，我们只能用波函数来描述它，在任何时候，一个粒子所处的位置都是完全随机的。 而这与宏观世界的一个问题很像，那就是掷骰子，掷骰子自任何情况之下都是一个随机的事件，没有人也没有任何方法可以准确预测筛子所投出的点数，那么，量子力学是否与掷骰子是一回事呢？一些相信隐变量存在的科学家的确认为两者是一回事，他们认为量子力学的随机性和掷骰子的随机性都不是本质上的概念。 掷骰子之所以是一个随机事件，并不是因为它真的随机，而是因为其中存在着太多的隐变量，我们无法预测掷骰子的结果，是因为我们无法得知全部的信息。 比如掷骰子的结果和我们手部动作的微小变化存在着联系，与空气流动速度存在着联系，与桌面每一个落点的粗糙程度存在着联系，而我们无法知道全部的信息，所以掷骰子就变成了一个完全随机的事件。量子力学也是如此，我们无法测量单个粒子所处的位置，很可能是因为其中存在着大量的我们不知道或者无法知道的隐变量，而如果我们可以知道这些隐变量，那么量子力学也就不再是一个随机的问题。不过这似乎没有意义，因为掷骰子所蕴含的隐变量就已经是我们无法收集和理解的范畴，就更u200b不要说量子力学了。 大约在半个世纪以前，曾出现过一个可以帮助我们理解量子力学的理论，它就是超决定论。 超决定论的核心思想是：宇宙中的一切都与其他一切有关。举例来讲，你和我可能与千里之外某颗树上的一只虫子存在着某种未知的联系，这种联系使我们与其之间会产生相互影响。我们可以将宇宙比喻为一所房子，在房子空着的时候，我们可以在房子里放置任何一样东西，但当第一个东西被放入房子中后，之后再放入任何东西就不再是随意的，因为它会与房子里已经存在的东西产生联系和影响。 u200b超决定论可以让量子力学变得很好理解，很多困惑我们的问题都会迎刃而解，比如测量会影响到实验结果的问题，因为宇宙中的一切都不是独立的，所以粒子和测量设备之间并不是相互独立的，它们之间存在着某种相互作用。当然，因为缺少研究和证据，超决定论并不被大多数物理学家所接受。

实变函数：以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支。

量子力学充其量是粒子理论。物质的微小成分，如夸克，光子，电子等。它还描述了我们日常经历的许多现象，例如光偏振和永磁体。超冷超流体和超导体等一些奇异现象也需要量子描述。 即使您忽略了微小的粒子，您也无法摆脱物理世界中的量子力学。现实的所有量子描述之间的一个共同因素是波函数。 波动函数是对势能的描述，而不是必然的描述。它描述了粒子可能在哪里以及以什么概率出现。 （实际上，波函数是状态向量，必须将其与波函数的另一个副本组合才能获得概率。因此，在数学上，波函数的平方才是概率。波函数本身更有用，但是，因为它是对粒子的完整描述，包括您可能想要测量的所有相关信息。） 波函数通常"看起来像"波，但它们描述粒子。这是波/粒子对偶的一部分。 许多物理学家认为波函数是数学上的便利，就像任何概率分布一样。它唯一的工作是对在特定位置或处于特定状态下发现粒子的可能性进行建模。至于粒子本身，谁知道现实是什么？ 对于波希米亚力学的拥护者来说，波函数是真实的东西，但它引导着另一件事，即粒子，它也是真实的。因此，波函数就像是一个幽灵般的力，告诉粒子要去哪里。 那些相信量子力学的"多世界"解释的人将波函数视为对无数个世界的描述，每个世界都包含自己的粒子副本。 还有一些人将波动函数表示为仅具有一个实际现实的潜在现实，或者大多数现实现实对我们隐藏了。 最后两个可能需要一些解释。在第一种情况下，波动函数描述了所有可能存在的现实。通过某种神秘的过程，这些现实之一被选为我们衡量的"真实"现实。波动函数在我们对其进行测量之前不会释放任何其他潜能，但它们从来都不是真实的。 在第二种情况下，波动函数带有所有可能的现实，它们都是真实的，但由于某种原因，只有一个神秘的选择被我们看到了。 其他人则说这完全是胡说八道，而波函数只是一个概率描述，根本没有任何现实。一致的 历史 就是一个例子。一致的 历史 记录意味着您需要选择一个框架，以便随着时间的推移从所有可能性中随机选择真实的事物。您的框架使所有内容保持一致。 另一个是Lindblad方程，它表示薛定谔方程（我们使用了100年的方程）是不完整的。Lindblad方程几乎可以解决问题，但要使宇宙从根本上讲是随机的。它们是薛定谔的一种可能的概括，但还有其他一些。 我只是从表面上了解了各种不同的解释及其令人眼花撩乱的变化。从字面上看，物理学遇到了形而上学，并试图回答这个问题：什么是真实的？ 如果这一切令人困惑，那是因为。我们不知道波函数实际上是什么。当今最有效的科学方法是说，波函数是对粒子状态的数学描述。它为我们提供了进行实验和做出预测所需的所有信息。而且，就这些预测而言，我们永远做不到比波函数更好的事情。限制不在于我们的检测能力。这是粒子如何工作的基础。 就像任何概率分布一样，它告诉我们期望值，但是与经典的概率分布不同，我们对基础物理学并不了解。例如，对于像布朗运动这样的经典现象，悬浮在气体或流体中的粒子的随机运动，我们了解到随机性来自于我们看不到的粒子（分子）碰撞成我们可以看见的更大粒子（例如，一粒花粉）。我们的概率分布旨在描述这种随机性，而不知道所有这些小颗粒的精确动力学。不过，即使我们无法预测这些粒子，我们也知道它们各自的行为。 在量子物理学中，似乎随机性是建立在宇宙结构中的。尽管处于真空中并且没有暴露于其他粒子，但粒子仍遵循随机路径。当没有粒子时，它就像在与其他粒子相互作用。确实，它的行为就像它正在与自身的副本交互一样，如波状概率分布所证明。 同样，这种随机性似乎会随着时间的推移或跨越数个光年而回溯，出现了纠缠的神秘现象，其中两个可单独测量的粒子共享一个波函数。 我的直觉是颗粒确实像悬浮在液体中的花粉颗粒。只是，它们没有撞到周围的随机，看不见的粒子，而是撞到了另一个维度上的随机，看不见的粒子和场。 我的理论是，波函数在5维的不同点描述了同一粒子的许多 历史 。因此，粒子确实受到了我们看不见的随机影响的"洗礼"。他们确实的确改变了自己的 历史 以相互回应，跨越了光年。实际上，这表明量子力学的工作原理与经典的布朗力学完全相同，但是它们没有在时间上移动，而是在第5维上移动。它们不是圆形的小颗粒，而是随着时间的流逝而成串的。 随着宇宙扩展到第5维， 历史 在波函数中包含的各种可能性中发展。因此，对我来说，波动函数描述了一组 历史 记录（就像理查德·费曼对 历史 数学的求和一样），但是，尽管费曼的描述不是一种解释，而是一种数学工具，但我的理论以波动函数的形式描述了波动函数。额外的空间维度。我们仅测量一个现实，因为一次仅存在一个现实，但是许多现实可以同时存在。 因此，我对波函数的方法是，它是对统计现实的描述，就像布朗运动的概率分布一样，但它不是"真实的东西"。各个粒子的 历史 是真实的，它们都存在于第5维的不同点。 这在很大程度上取决于对宇宙的描述，该宇宙将大爆炸建模为冲击波扩展到第5维。这种冲击波可以将量子理论描述为经典的5D力学。粒子不是点，而是摆动和振动的长股，撞击到第五维中所有不可见的影响，就像花粉粒子撞击到气体或水分子中一样。 我想我知道波函数是什么，但仍然必须完成工作以证明它。在那之前，还没有人真正知道。 Overduin，James Martin和Paul S. Wesson。" Kaluza-klein引力。"物理报告283.5–6（1997）：303–378。 (本文由闻数起舞翻译自Tim Andersen, Ph.D.的文章《The quantum wavefunction could be less mysterious than we think》，转载请注明出处，原文链接：https://medium.com/the-infinite-universe/the-quantum-wavefunction-could-be-less-mysterious-that-we-think-d5854402541c)

这个，自己看吧http://djzhx.glite.edu.cn/caihua/putonghuaxue/kecheng/5/5-2/5-2-3.htm

一个物理量存在实部和虚部说明它除了有数值的大小外，还有相位的先后。波函数是波，自然有要用相位去描述，比如波函数的解里同时有cosX，sinX，用复数来的话就直接用e^(iX)表示。虚部一般是用来简化方程的，数学辅助量，真要有意义，只能说它代表相位的变化，实部就代表了波函数的空间分布

是完备集，Ψ=∑a(k)ψ(k)，这一系列的ψ(k)就是完备集注明 (k)是角标

一个物理量存在实部和虚部说明它除了有数值的大小外，还有相位的先后。波函数是波，自然有要用相位去描述，比如波函数的解里同时有cosX，sinX，用复数来的话就直接用e^(iX)表示。虚部一般是用来简化方程的，数学辅助量，真要有意义，只能说它代表相位的变化，实部就代表了波函数的空间分布

径向波函数R(r)是波函数的径向部分，表示波函数在径向r上的分布情况。径向波函数R(r)：由n和l决定，它描述波函数随电子离核远近(r)的变化情况。原子径向分布函数：许多原子组成的系统中任取一原子为球心，求半径为r到r+dr的球壳内的平均原子数，再将每原子的结果进行平均。用函数4prr(r)dr表示（r(r)表示半径为r的球面上的平均原子密度），则RDF=4prr(r)称为原子径向分布函数。即任一原子周围，其他原子在沿径向的统计平均分布。 描述非晶固体的原子分布的另两个函数为双体相关函数(双体几率函数)g(r)和约化径向分布函数G(r)约化径向分布函数：r0为平均原子密度。实际上，要从理论上确定非晶态固体的径向分布函数，关键是获得函数r(r)。这可以通过原子状态同X射线间的干涉函数来确定。扩展资料：原子轨道径向波函数R(r)在不考虑自旋等内坐标时，求解一粒子在中心力场中的运动，由于力场的球形对称性，采用球坐标（r，θ，φ）是方便的。此时，粒子的定态薛定谔方程可以通过分离变量法分成只同r有关的径向部分和只同角度变量有关的角度部分。对于径向部分的求解，可以发现径向运动是量子化的。反映径向运动量子化的量子数称为径向量子数。参考资料来源：百度百科-径向量子数参考资料来源：百度百科-电子亚层

哎 不知道啊 有个不确定性原理 就是你能描述微观粒子的位置 就不能说出他的速度 你能说出他的速度 就描述不出他的位置 现在人们觉得最小的粒子是夸克 但是最新物理理论是 组成夸克的是一种弦 这就是著名的弦理论 波函数我不懂 帮不了你哇

不显含y的二阶微分方程y""=f(x,y")，其中的x很明显只能作为自变量，那么y",y""之间有关系y""=d(y")/dx，所以令y"=p后，方程就是一阶微分方程dp/dx=f(x,p)。

不记得电子云是波函数的平方,好像应该是│ψ│^2.电子云是电子在原子核外空间各处出现的几率密度分布的形象描述,几率密度分布也就是波函数和其共轭的乘积,乘积是一个实数,也就是波函数和其共轭模相乘,所以说是模的平方.另外,根据薛定谔方程,如果ψ1和ψ2是方程的解,那么它们的线性叠加C1ψ1+C2ψ2也是方程的解.所以我们会比较关心的是如何找出那些相互独立的基本波函数ψ1、ψ2、...、ψi、...、ψj,也就是满足i不等于j时,(ψi的共轭) * ψj = ψi * (ψj的共轭) = 0 ,这样,我们就可以用ψ =∑Ciψi来表示所有的波函数,这些基本波函数,我们称为波函数的本征波函数.这些本征值和电子云有什么关系?其实我们常说的电子壳层1s,2s,2d...就是这些本征值波函数代表的电子云.

不一样。波函数的原子轨道图形与波尔原子假设所指的原子轨道截然不同。前者指电子在原子核外运动的某个空间范围和其所形成的的特殊图形，而后者是指原子核外电子运动的某个确定的圆形轨道。所以严格来讲，两者还是不同的含义。为此，波函数与原子轨道常做同义语混用。波函数的特点：在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用Ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即Ψ=Ψ（x，y，z，t）。将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定Ψ*Ψ就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点（x,y,z）附近单位体积内发现粒子的概率。