函数

将平方展开，再用倍角公式，得到f(x)=根号2sin(2wx+4分之派）+2，题目难道没告诉w等于多少吗，周期就等于2派除以x前的系数，这种题目就是降次，全部化为一次方，转化为sin和cos，在转化为一个函数形式，不知道能不能帮到你

函数周期6个常用形式是f(x+a)=f(x)，a>0，周期T=a，f(x+a)=-f(x)，a>0，T=2a，f(x+a)=1/f(x)，a>0，T=2a，f(x+a)=-1/f(x)，a>0，T=2a，f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|，f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，f(x)关于x=a对称。举例f(x-2)=f(x+2)，那么f(x)=f(x+4)，即函数周期是4。周期函数的性质共分以下几个类型：若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

没有具体的通用公式，具体问题具体分析常见的题型有三种：一，y=Asin(ωx+φ)，最小正周期T=2π/|ω|二，h(x)=f(x)±g(x)或h(x)=f(x)*g(x) (f(x)和g(x)均是周期函数)三，周期函数和奇函数/偶函数结合在一起

饿哦

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：1 .周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期. 3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期， 则kT（其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有则称数列{an}是以K为周期的周期数列。函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

内容如下：（1）f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。（2）sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。（3）cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。（4）tanx和 cotx 的函数周期公式T=π，tanx和 cotx 分别是正切和余切。（5）secx 和cscx 的函数周期公式T=2π，secx 和cscx 是正割和余割。相关内容解释：出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达，对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)。

y=sinx，y=cosx的周期为2π，y=sin（wx+θ），y=cos（wx+θ）的周期为2π/∣w∣；y=tanx，y=cotx的周期为π，y=tan（wx+θ），y=cot（wx+θ）的周期为π/∣w∣；其它的三角函数一般先化简，化为基本函数的复合函数，再求其周期.如y=sin²x，先化为y=（1-cos2x）/2，则周期为2π/2，即周期为π.情况比较多.

存在任意 a,b ∈R, 且a,b不同时为0 使得 f(x + a) = f(x+b) 对于定义域内的任意x恒成立 那么f(x)就是周期函数

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：1 .周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期. 3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期， 则kT（其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有则称数列{an}是以K为周期的周期数列。函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

先简单来说，如果函数是周而复始，一轮完了接着还是一摸一样的轮回着，就是周期函数。对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则说他是周期为T的函数。

利用周期函数的定义求周期：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数。求周期时，利用配凑换元法，把式子变形为f（x+T）=f（x）的形式，即可求出周期函数的周期。例：f（x+1）=f（3+x）先做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= f(y+2) ，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=f(y+4) ，两个式子结合，得到f(y)=f(y+4) ，即可得到函数的周期是4。扩展资料设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。参考资料百度百科-周期函数

没有具体的通用公式，具体问题具体分析常见的题型有三种：一，y=Asin(ωx+φ)，最小正周期T=2π/|ω|二，h(x)=f(x)±g(x)或h(x)=f(x)*g(x) (f(x)和g(x)均是周期函数)三，周期函数和奇函数/偶函数结合在一起

存在T使对任意x f(x+T)=f(x)成立

呈周期变化的函数,其周期的求法是根据周期函数的定义,设法找到一个常数c使f(x+c)=f(x)如：奇函数f(x)满足f(2+x)=-f(2-x)求函数的周期：因为f(2+x)=-f(2-x)=-[-f(x-2)]=f(x-2)f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)所以函数f(x)是以4为周期的周期函数

求周期，可以把一个函数式子化成f(x)=f(x+a)的这样形式，那么它的周期就是a （当然a＞0），例如 下面为一系列的2a为周期的函数f（x+a）=-f(x) 所以有f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x) 就化解到 f（x)=f(x+2a)的形式了，关键是运用整体思想，去代换。函数的周期性定义：若存在常数T，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。扩展资料：函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.2、定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)概念的具体化：当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。T=2kπ(k∈Z且k≠0)所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)展示正、余弦函数的图象。周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x强调定义中的“非零”和“常数”。例:三角函数sin(x+T)=sinxcos(x+T)=cosx中的T取2π3、最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。参考资料：百度百科-函数周期性

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：1 .周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期. 3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期， 则kT（其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有则称数列{an}是以K为周期的周期数列。函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

这是高数17页对不对

y=sin（1/2x）的周期T=2π/(1/2)=4π你画的x∈[0,2π]为半个周期下面我给的是x∈[0,4π]1个周期 列表： x     0     π       2π       3π        4π   x/2   0    π/2      π       3π/2       2π    y      0      1        0         -1           0 描点成图

一、周期定义一般地，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都有f(x+T)=f(x)。那么，函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。【注】一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。二、中学数学常用到的周期函数的公式1、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。2、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。3、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）三、高中数学常见的周期函数的周期1、（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；（2）y=|sinx|，最小正周期T= π。2、（1）y=cosx，最小正周期T=2π；（2）y=|cosx|，最小正周期T= π。3、（1）y=tanx，最小正周期T=π；（2）y=cotx，最小正周期T=π。4、y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）5、y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。6、y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。7、常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。【注】常函数没有最小正周期。

令t=x-1;则f(t）=f(t+4）周期为4。求周期函数的周期，可以直接利用定义来求，也可以利用基本周期函数的周期间接来求。基本周期函数的周期是：y=sinx  、y=cosx的周期是2π，y=tanx的周期是π。比如： y=sin3x,    y=sin3x=sin(3x+2π)=sin[3(x+2π/3)∴  y=sin3x的周期是 2π/3。再比如说：y=sin²x     y=sin²x =1/2(1-cos2x)     cos2x的周期是π，  ∴ y=sin²x 的周期是 π。扩展资料：周期函数的性质 共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料：周期函数_百度百科

根据所含化学成分不同，熔点不同，高速钢的熔点通常在1350℃~1520℃之间。高速钢是一种具有高硬度、高耐磨性和高耐热性的工具钢，又称高速工具钢或锋钢，俗称白钢。高速钢是美国的F.W.泰勒和M.怀特于1898年创制的。高速钢的工艺性能好，强度和韧性配合好，因此主要用来制造复杂的薄刃和耐冲击的金属切削刀具，也可制造高温轴承和冷挤压模具等。除用熔炼方法生产的高速钢外，20世纪60年代以后又出现了粉末冶金高速钢，它的优点是避免了熔炼法生产所造成的碳化物偏析而引起机械性能降低和热处理变形。

函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

当然了。f(x+t)=-f(x)=f(x-t)

形如f(x)=f(x+a)之类的应该就是周期函数有一些函数周期是固定的 例如三角函数，都是2π tanx为π但如果出现sin(2x)等复合函数第一可以用2π/2得知周期为π。三角函数周期只与x前系数有关另外我认为难理解的是抽象函数的周期例如f(x+a)=-f(x)求函数周期可以将x+a看成整体f((x+a)+a)=-f(x+a)又因为f(x+a)=-f(x)f(x+2a)=f(x)负负得正，这里简单的跳跃下总之求函数周期最后格式是一定要落到f(x)=f(x+a)好吧。。。。高一学生纯手打希望能够理解

一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。2、一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(x)是非周期函数)。

定义通俗定义　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质； 　　（1）对 有（X±T） ； 　　（2）对 有f（X+T）=f（X） 　　则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。 　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 [编辑本段]周期函数性质　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。 　　（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 　　（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集） 　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。 　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 [编辑本段]周期函数的判定　　 定理1　　 　　 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1] 　　证： 　　∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， 　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T"（ 0＜T"＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ， 　　有K f(X+T")+C=K f(X) +C K[f(X+T")- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T")- f(X)=0，∴f(X+T")= f(X)， 　　∴T"是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。 　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。 　　证： 　　先证 是f(ax+b)的周期 　　∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。 　　再证 是f（ax+b）的最小正周期 　　假设存在T"（0＜T"＜ ）是f（ax+b）的周期， 　　则f（a（x+T"）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT"）=f（ax+b）， 　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， 　　∴aT"是f(X)的周期，但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。 　　证： 　　设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) 　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数。 　　例1 　　设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。 　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。 　　例2 　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 　　例3 　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。 　　证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾， 　　∴cos 不是周期函数。 　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。 定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 　　证： 　　设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。 　　 定理4推论　　 　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。 　　例4 　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。 　　例5 　　讨论f(X)= 的周期性 　　解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。 　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 　　又 都是有理数 　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 　　同理可证： 　　（1）f(X)=cos ; 　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5　　设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。 　　证 　　先证充分性： 　　若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q 　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。 　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0， 　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 　　令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2) 　　或 C∈Z（3） 　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 　　由(4) 　　由sin （5） 　　由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。 　　由（3）、（5得 ）（6） 　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。 [编辑本段]非周期函数的判定　　[1]（1）若f(X)的定义域有界 　　例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。 　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。 　　例：f(X)=cos 是非周期函数。 　　（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。 　　例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。 　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)= 是非周期函数。 　　证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数 　　证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2 　　T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 　　与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

令t=x-1;则f(t）=f(t+4）周期为4。求周期函数的周期，可以直接利用定义来求，也可以利用基本周期函数的周期间接来求。基本周期函数的周期是：y=sinx  、y=cosx的周期是2π，y=tanx的周期是π。比如： y=sin3x,    y=sin3x=sin(3x+2π)=sin[3(x+2π/3)∴  y=sin3x的周期是 2π/3。再比如说：y=sin²x     y=sin²x =1/2(1-cos2x)     cos2x的周期是π，  ∴ y=sin²x 的周期是 π。扩展资料：周期函数的性质 共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料：周期函数_百度百科

f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切secx 和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。扩展资料：y=Asin(wx+b) 周期公式T=2π/wy=Acos(wx+b) 周期公式T=2π/wy=Atan(wx+b) 周期公式T=π/w重要推论：如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b， 0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

定义通俗定义　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质； 　　（1）对 有（X±T） ； 　　（2）对 有f（X+T）=f（X） 　　则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。 　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 [编辑本段]周期函数性质　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。 　　（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 　　（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集） 　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。 　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 [编辑本段]周期函数的判定　　 定理1　　 　　 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1] 　　证： 　　∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， 　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T"（ 0＜T"＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ， 　　有K f(X+T")+C=K f(X) +C K[f(X+T")- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T")- f(X)=0，∴f(X+T")= f(X)， 　　∴T"是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。 　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。 　　证： 　　先证 是f(ax+b)的周期 　　∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。 　　再证 是f（ax+b）的最小正周期 　　假设存在T"（0＜T"＜ ）是f（ax+b）的周期， 　　则f（a（x+T"）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT"）=f（ax+b）， 　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， 　　∴aT"是f(X)的周期，但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。 　　证： 　　设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) 　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数。 　　例1 　　设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。 　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。 　　例2 　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 　　例3 　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。 　　证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾， 　　∴cos 不是周期函数。 　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。 定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 　　证： 　　设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。 　　 定理4推论　　 　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。 　　例4 　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。 　　例5 　　讨论f(X)= 的周期性 　　解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。 　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 　　又 都是有理数 　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 　　同理可证： 　　（1）f(X)=cos ; 　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5　　设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。 　　证 　　先证充分性： 　　若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q 　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。 　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0， 　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 　　令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2) 　　或 C∈Z（3） 　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 　　由(4) 　　由sin （5） 　　由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。 　　由（3）、（5得 ）（6） 　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。 [编辑本段]非周期函数的判定　　[1]（1）若f(X)的定义域有界 　　例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。 　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。 　　例：f(X)=cos 是非周期函数。 　　（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。 　　例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。 　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)= 是非周期函数。 　　证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数 　　证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2 　　T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 　　与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

物理上的周期一般有两个计算公式： 1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）； 2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期 。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。扩展资料周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

函数周期是指：对于函数y=f(x)如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期。如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。函数的对称关系1、轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(bx)的图象关于直线x=ba/2对称。特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(ax)的图象关于直x=0对称。2、中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=cf(bx)的图象关于点（ba/2，c/2)对称。特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=f(bx)图象关于点（b-a/2,0)对称。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。周期函数的性质 共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料：百度百科-周期函数

周期t公式是：1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）。2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

一、周期定义一般地，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都有f(x+T)=f(x)。那么，函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。【注】一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。二、中学数学常用到的周期函数的公式1、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。2、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。3、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）三、高中数学常见的周期函数的周期1、（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；（2）y=|sinx|，最小正周期T= π。2、（1）y=cosx，最小正周期T=2π；（2）y=|cosx|，最小正周期T= π。3、（1）y=tanx，最小正周期T=π；（2）y=cotx，最小正周期T=π。4、y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）5、y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。6、y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。7、常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。【注】常函数没有最小正周期。

1、周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期

f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切secx 和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。扩展资料：y=Asin(wx+b) 周期公式T=2π/wy=Acos(wx+b) 周期公式T=2π/wy=Atan(wx+b) 周期公式T=π/w重要推论：如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B（b， 0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。 公式及推导 f（x+a）=-f（x） 那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x） 所以f（x）是以2a为周期的周期函数。 f（x+a）=1/f（x） 那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x） 所以f（x）是以2a为周期的周期函数。 f（x+a）=-1/f（x） 那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x） 所以f（x）是以2a为周期的周期函数。 所以得到这三个结论。 函数的周期性 设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x) 则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。二、周期函数的运算性质: ①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。 ②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。 ③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。 周期公式 sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。 tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。 secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。

函数周期性公式及推导如下：1、函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f（x+a）=-f（x）且f（x）=-f（x-a），所以f（x+a）=f（x-a），即f（x+2a）=f（x），所以周期是2a。2、f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f【（x+a）+a】=-f（x+a）=-【-f（x）】=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。3、f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f【（x+a）+a】=1/f（x+a）=1/【1/f（x）】=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。4、f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f【（x+a）+a】=-1/f（x+a）=1/【-1/f（x）】=f （x）所以f(x)是以2a为周期的周期函数，所以得到这三个结论。sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。

周期函数定理，总结一共分一下几个类型。定理1若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。[2] 证：∵T*是f(X）的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T"（0<T"<T*）是K f(X)+C的周期，则对T"（0<T"<T*）是K f(X)+C的周期，有K f(X+T"）+C=K f(X) +C K[f(X+T"）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T"）- f(X)=0，∴f(X+T"）= f(X），∴T"是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。同理可证1/ f(X）是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2若f(x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。证：【先证f(ax+b)的周期】∵T*是f(X）的周期，∴f(x±T*)=f(x)，有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T*+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f（ax+b）的周期。再证是f（ax+b）的最小正周期假设存在T"/a（0<T"<T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T"/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T"）=f（x）∴T"是f(x）的周期，但 T"<T*这与T*是f(x）的最小正周期矛盾。∴不存在T"/a（0<T"<T*；）是f（ax+b）的周期，即f(ax+b)的最小正周期为T*/ a定理3设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。证：设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。例1设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。例2f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。例3f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数。由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。定理4设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。证：设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。推论　设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。例1f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。例2讨论f(X)= 的周期性解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。又 都是有理数∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。同理可证：⑴f(X)=cos ;⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。定理5设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。证先证充分性：若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。令x= 得2cos（a1x+），则 （K∈Z）。⑵或 C∈Z⑶又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0由⑷由sin ⑸由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。由⑶、（5得）⑹∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。判定方法编辑⑴若f(X）的定义域有界，[2] 例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。例：f(X)=cosx 是非周期函数。⑶一般用反证法证明。（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使true ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。例：证f(X)= 是非周期函数。证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T)= f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X）与f(x+T)= f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（>0），使之true ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2T2=Lπ（L∈Z+），∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

通俗定义　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；　　则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。其实这种东西建议去百科上直接找,有别的不太懂的知道上问.顺便给你链接...望采纳...http://baike.baidu.com/view/447508.htm

这样

1。f(x)是周期函数 那么f(x)的平方 和f(x+2)是一定是周期函数，只不过f(x)的平方的周期未必和f(x)一样，例如f(x)= cosx 周期是2π，但平方后周期是π，f(x+2）周期和f(x)一样，平移不改变周期。 2、f(x)=x cosx 非周期函数

函数周期性的概念．教学过程设计师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：（老师把图画在黑板左上方．）师：通过观察，同学们有什么发现？生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是〔-1，1〕．图象有规律地不断重复出现．师：规律是什么？生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题）师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书）定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f（x+T）=f（x）．师：找得准！那么为什么要这样规定呢？师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域．师：对．否则f（x+T）就没有意义．师：函数周期性的定义有什么用途？生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．师：下面我们看例题．（老师板书）例1 证明y=sinx是周期函数．生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．例2师：要想判断T是不是函数y=f（x）的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？对于定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在着）某一个x，使f（x+T）=f（x）成立．要想证明T不是周期，只要找到一个x0，使得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正确的．师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．例3 已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求证f（x+2T）=f（x）．师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？生：若不等于零的常数T是f（x）的一个周期，证明2T仍是f（x）的周期．因为T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f〔（x+T）+T〕=f（x+T），即f（x+2T）=f（x）．因此2T是f（x）的周期．师：这个命题推广可得到什么结论？生：如果T是f（x）的周期，那么2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中，我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．（老师在函数的周期性定义下板书）如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．例4 证明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例是2π．要想证明这个命题，只要证明什么？生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？生：反证法．假设存在T∈（0，2π）使得y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．师：你能具体的给予证明吗？生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin（x+T）=sinx．即 cosT=1．这与T∈（0，2π）时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）都是周期函数，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例5 求y=3cosx的周期．师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期生：因为y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？生：可以从数和形两个角度来证明．解（一） 因为对一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．解（二） 因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x（x∈R）增加到x+2π且必须增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常数）的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．例6 求y=sin2x的周期．（请不同解法的三位同学在黑板上板演）生甲：解 因为y=sin（2x＋2π）=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解 因为y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．生丁：解 设2x＝u，因为y＝sinu的周期是2π，所以y＝sin（u＋2π）=sinu，即 sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，所以y=sin2x的周期是π．师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正确的．区别在于解法（三）经过换元，把要研究的新问题y＝sin2x的周期转化为已有的旧知识y＝sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y＝sinx的图象得到y＝sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标当自变量每增加2π且必须增加2π时，函数值重复出现，现在就是当sin2x的周期是π．师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．例7y＝2sin（u＋2π）=2sinu，师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．例8 求y=Asin（ωx+ ）的周期．（其中A，ω， 为常数，且A≠0，ω＞0，x∈R）解 设u＝ωx＋ ．因为y＝sinu的周期是2π，所以sin（u＋2π）=sinu，师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数（老师板书）师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．师：（总结）通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．（一）研究函数周期的意义是什么？周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为氏度的区间内．就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．（二）对于函数周期的定义应注意：1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T（T≠0），如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我们就断言y=f（x）不是周期函数．对于某个确定的常救T≠0．如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我们能断言T不是函数y=f（x）的周期，但不能说明y＝f（x）不是周期函数．2．定义中的“每一个值”是关键词．此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f（x＋T）=f（x）对函数定义域（-∞，+∞）中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=-T时，等式不成立．因此函数f（x）不是周期函数．（三）周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．如：f（x）=c（常数），任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f（x）=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．作业：课本P178第6题，P132第4题．课堂教学设计说明此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．有帮助记得好评，新问题请重新发帖提问，这里不再回答谢谢

呈周期变化的函数,其周期的求法是根据周期函数的定义,设法找到一个常数c使f(x+c)=f(x)如：奇函数f(x)满足f(2+x)=-f(2-x)求函数的周期：因为f(2+x)=-f(2-x)=-[-f(x-2)]=f(x-2)f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)所以函数f(x)是以4为周期的周期函数

1.因为f(x)的图象关于直线x=b与x=a都对称所以f(x)=f(2a-x)f(x)=f(2b-x)f(2a-x)=f(2b-x)令2a-x=t则x=2a-t原式变为f(t)=f(2b-2a+t)=f(t+(2b-2a))由于t的任意性f(x)是周期函数且T=2b-2a.2.因为f(x)=f(x-a)+f(x+a)所以f(x+a)＝f(x)－f(x-a)则f(x+6a)＝f(x+5a+a)=f(x+5a)-f(x+4a)=f(x+4a)-f(x+3a)-f(x+3a)+f(x+2a)=...=f(x)

物理上的周期一般有两个计算公式： 1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）； 2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期 。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。扩展资料周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：1 .周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期. 3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期， 则kT（其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有则称数列{an}是以K为周期的周期数列。函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

呈周期变化的函数,其周期的求法是根据周期函数的定义,设法找到一个常数c使f(x+c)=f(x)如：奇函数f(x)满足f(2+x)= - f(2-x)求函数的周期：因为f(2+x)= - f(2-x)= - [-f(x-2)]=f(x-2)f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)所以函数f(x)是 以4为周期的周期函数

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。周期函数的性质 共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料：百度百科-周期函数

假设y=f(x)=sinx²是周期函数，周期为T，则有f(x+T)=sin(x+T)²=f(x)=sinx²,对于x∈R的任意值均成立令x=0sinT²=sin0=0∴T²=kπ k≠0T=√kπf(x+√kπ)=sin(x²+2√kπ·x+kπ)=±sin(x²+2√kπ·x)，不恒等于sin(x²)，与假设矛盾。∴y=sinx²是周期函数。扩展资料周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料来源：百度百科-周期函数

三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。 周期函数的判定方法 1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。 例：f(X)=cosx 是非周期函数。 2、一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。 例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。 证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。 例：证f(X)= 是非周期函数。 证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。 例：证f(X)=sinx2是非周期函数 证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2 T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

呈周期变化的函数,其周期的求法是根据周期函数的定义,设法找到一个常数c使f(x+c)=f(x)如：奇函数f(x)满足f(2+x)=-f(2-x)求函数的周期：因为f(2+x)=-f(2-x)=-[-f(x-2)]=f(x-2)f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)所以函数f(x)是以4为周期的周期函数

（1）f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。（2）sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π（3）cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。（4）tanx和 cotx 的函数周期公式T=π，tanx和 cotx 分别是正切和余切。（5）secx 和cscx 的函数周期公式T=2π，secx 和cscx 是正割和余割。扩展资料：出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达，对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)参考资料来源：百度百科-函数周期性

函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

求周期,可以把一个函数式子化成f(x)=f(x+a)的这样形式,那么它的周期就是a（当然a＞0）。例如下面为一系列的2a为周期的函数。f（x+a）=-f(x)所以有f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x)就化解到f（x)=f(x+2a)的形式了。关键是运用整体思想,去代换。

　　导数是周期函数，原函数不一定是周期函数。　　比如导函数为sinx+2，是周期函数。但因为sinx+2>0，因此原函数-cosx+2x一直是增函数,当然就不是周期函数。　　导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f"(x0)或df/dx(x0)。　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，

函数周期是周期函数特有的概念,表示函数值随自变量重复出现的频次.如果T是周期函数的一个周期,那么kT（k为非零整数）也是函数周期,可见函数周期有无数个.不过在无数个周期值中一定存在一个最小正数,这个最小正数就叫最小正周期.一般地,如果函数i满足f(x+T)=f(x)（T≠0),就称该函数为周期函数且一个周期为T（要注意,不一定是最小正周期）.但有时表达周期函数时没有这么明朗,那就需要我们作出判断,以确定函数周期,比如：如果函数f(x)的图象同时关于两直线x=a和x=b（a≠b）对称,则函数f(x)为周期函数,且其一个周期为2b-2a如果函数f(x)的图象同时关于直线x=a和点（b,c）（a≠b）对称,则函数f(x)为周期函数,且其一个周期为4b-4a如果定义在R上的函数f(x)满足f(x)= - f(x+T/2)（T≠0）,那么函数f(x)是周期函数,且一个周期为T一个周期函数f(x)在进行一定的图形变换后,所构成的新函数F(x)仍然具有周期性

求周期，可以把一个函数式子化成f(x)=f(x+a)的这样形式，那么它的周期就是a （当然a＞0），例如 下面为一系列的2a为周期的函数f（x+a）=-f(x) 所以有f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x) 就化解到 f（x)=f(x+2a)的形式了，关键是运用整体思想，去代换。函数的周期性定义：若存在常数T，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。扩展资料：函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.2、定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)概念的具体化：当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。T=2kπ(k∈Z且k≠0)所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)展示正、余弦函数的图象。周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x强调定义中的“非零”和“常数”。例:三角函数sin(x+T)=sinxcos(x+T)=cosx中的T取2π3、最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。参考资料：百度百科-函数周期性

函数周期性公式大总结：f（x+a）＝－f（x）。那么f（x+2a）＝f=-f（x+a）＝－［－f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）＝1/f（x）。那么f（x+2a）＝f=1/f（x+a）＝1/[1/f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）＝－1/f（x）。那么f（x+2a）＝f=-1/f（x+a）＝1/[-1/f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。函数的由来：中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量，这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思，我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等，但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

函数周期性公式大总结：f（x+a）＝－f（x）。那么f（x+2a）＝f=-f（x+a）＝－［－f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）＝1/f（x）。那么f（x+2a）＝f=1/f（x+a）＝1/[1/f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）＝－1/f（x）。那么f（x+2a）＝f=-1/f（x+a）＝1/[-1/f（x）］＝f（x）。所以f（x）是以2a为周期的周期函数。周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。

如果对于函数y=f(x),存在常数T,满足f(x)=f(x+T),则T就是函数的一个周期.

http://baike.baidu.com/view/447508.htm?fr=ala0_1_1百度百科有通俗定义　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；　　（1）对有（X±T）；　　（2）对有f（X+T）=f（X）　　则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 建议自己去看看希望我的回答能给予你帮助，O(∩_∩)O谢谢

设函数y=f（x）的定义域为D，如果对任意X属于D存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x），则称函数y=f（x）是周期函数。

物理上的周期一般有两个计算公式： 1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）； 2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期 。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。扩展资料周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

意思：y为关于x的函数。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。扩展资料：周期函数有以下性质：1、若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。2、若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。3、若T1与T2都是f（x）的周期，则也是f（x）的周期。4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。5、T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q。6、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。7、周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。参考资料来源：百度百科-函数

周期函数判断方法：（1）判断f（x）的定义域是否有界。例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。例：证f（x）= ax+b是非周期函数。证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。

sin x,cos x,tan x,cot x 等所有的三角函数,三角函数是罪典型的周期函数实际上,你完全可以根据周期函数的定义,自己构造周期函数,比如y=1(当x是奇数),y=2(当x是偶数),注意函数的定义域只在整数上还有一些例子sinsin x等|sin x| 等!注意：周期函数的定义域一定是无限集合,定义在有限集合上的函数都不是周期函数

导数是周期函数，原函数不一定是周期函数。如导函数为sinx+3，是周期函数。其原函数-cosx+3x就不是周期函数。设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f"（x0）或df（x0）/dx。扩展资料：周期函数的判定1、若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。2、若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。3、设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。4、设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。参考资料来源：百度百科-周期函数参考资料来源：百度百科-导数

周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。拓展资料函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。所以得到这三个结论。2函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。

打酱油

函数在1点数的高阶导数有2种求法， 直接法与间接法。首先要把几个常用求导公式记清楚；然后在解题时先看好定义域；对函数求导，对结果通分接下来，一般情况下，令导数=0，求出极值点；在极值点的两边的区间，分别判断导数的符号，是正还是负。是正的话，原来的函数则为增，负的话就为减，然后根据增减性就能大致画出原函数的图像，根据图像就可以求出你想要的东西，比如最大值或最小值等。如果特殊情况，导数本身符号可以直接确定，也就是导数等于0无解时，说明在整个这一段上，原函数都是单调的。如果导数恒大于0，就增；反之，就减。高阶导数公式是二阶和二阶以上的导数。高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。高阶导数莱布尼兹公式是(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v"+n(n-1)/2!u(n-2)v"+n(n-1)...(n-k+1)u(n-k)v(k)+...+ uv(n)。高阶导数一般来说,就是一次一次地求导,要几次导数给几次；此类题有一定的难度。

下面程序是根据原理写的，已经调试成功。#include#includeintmain(){inti,flag[101];for(i=2;i<=100;i++)flag[i]=isprime(i);//找出质数，标志为1for(i=2;i<=100;i++)if(flag[i]==1)printf("%d ",i);//打印所有质数}//判断质数的函数（返回1表示质数，0非质数）：intisprime(intnum){inti;for(i=2;i<=num/2;i++)if((num%i)==0)return0;return1;}

左侧图上实际已经给出证明了啊2.5.1是在复数域把tanz展开，得到一个这个式子这里没讲，你的教科书前面是不是有关于sinz/cosz的展开证明？然后把z=ix带入是不是就得到了？

连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。给定一有理数，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完全商，规定αN>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。 渐近分数和完全商 　在连分数【α0，α1,…,αn,…】中取而写,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【αn,αn+1,…】为连分数【α0，α1,…,αn,…】的第n个完全商。 渐近分数有如下简单关系： ① ② ③(pn,qn)=1和qn≥n (n≥2) ④ 由此可得存在；⑤设α =【α0,α1,…,αn,…】,n≥1，01。 循环连分数 　设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期，记为 。例如 等。运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然。 当D>0且不是平方数,则，其中函数【x】表示不超过x的最大整数。此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则的周期k满足。 应用举例 　连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个适合。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数。式中是最佳的,即设，则必有一无理数α，使不能有无穷多个解，如就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,之连分数展开式中αń可表为，此处Pn及Qn皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Qn=1,则x=pn-1,y=qn-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。 均指简单连分数。

dec（s）是s:=s-1;函数标识符 自变量类型 意义 结果类型 abs 整型、实型 绝对值 同自变量 arctan 整型、实型 反正切 实型 cos 整型、实型 余弦 实型 exp 整型、实型 指数 实型 frac 整型、实型 小数部分 实型 int 整型、实型 整数部分 实型 ln 整型、实型 自然对数 实型 pi 无自变量 圆周率 实型 sin 整型、实型 正弦 实型 sqr 整型、实型 平方 同自变量 sqrt 整型、实型 平方根 实型 例： abs(-4)=4 abs(-7.49)=7.49 -- arctan(0)=0.0 sin(pi)=0.0 cos(pi)=-1.0 frac(-3.71)=-0.71 int(-3.71)=-3.0 -- sqr(4)=16 sqrt(4)=2 -- 2.标量函数 函数标识符 自变量类型 意义 结果类型 odd 整型 判断奇数 布尔型 pred 离散类型 求前趋 同自变量 succ 离散类型 求后继 同自变量 例： odd(1000)=false odd(3)true pred(2000)=1999 succ(2000)=2001 pred("x")="w" succ("x")="y" 3.转换函数 函数标识符 自变量类型 意义 结果类型 chr byte型 自量对应的字符 字符型 ord 离散类型 自量对应的序号 longint round 实型 四舍五入 longint trunc 实型 截断取整 longint 4.杂类函数 函数标识符 自变量类型 意义 结果类型 random 无自变量 [0,1)之间的随机实数 real random word [0,自变量)之间的随机整数 wird randomize 无自变量 用一随机值初始化内部随机数产生器 longint upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型 Pascal语言函数集(含Delphi控件属性) abort 函数 引起放弃的意外处理 abs 函数 绝对值函数 addexitproc 函数 将一过程添加到运行时库的结束过程表中 addr 函数 返回指定对象的地址 adjustlinebreaks函数 将给定字符串的行分隔符调整为cr/lf序列 align 属性 使控件位于窗口某部分 alignment 属性 控件标签的文字位置 allocmem 函数 在堆栈上分配给定大小的块 allowgrayed 属性 允许一个灰度选择 ansicomparestr 函数 比较字符串（区分大小写） ansicomparetext 函数 比较字符串（不区分大小写） ansilowercase 函数 将字符转换为小写 ansiuppercase 函数 将字符转换为大写 append 函数 以附加方式打开已有的文件 arctan 函数 余切函数 assignfile 函数 给文件变量赋一外部文件名 assigned 函数 测试函数或过程变量是否为空 autosize 属性 自动控制标签的大小 backgrounddi2001.jpg 属性 背景色 beginthread 函数 以适当的方式建立用于内存管理的线程 bevelinner 属性 控件方框的内框方式 bevelouter 属性 控件方框的外框方式 bevelwidth 属性 控件方框的外框宽度 blockread 函数 读一个或多个记录到变量中 blockwrite 函数 从变量中写一个或多个记录 borderstyle 属性 边界类型 borderwidth 属性 边界宽度 break 命令 终止for、while、repeat循环语句 brush 属性 画刷 caption 属性 标签文字的内容 changefileext 函数 改变文件的后缀 chdir 函数 改变当前目录 checked 属性 确定复选框选中状态 chr 函数 返回指定序数的字符 closefile 命令 关闭打开的文件 color 属性 标签的颜色 columns 属性 显示的列数 comparestr 函数 比较字符串（区分大小写） concat 函数 合并字符串 continue 命令 继续for、while、repeat的下一个循环 copy 函数 返回一字符串的子串 cos 函数 余弦函数 ctl3d 属性 是否具有3d效果 cursor 属性 鼠标指针移入后的形状 date 函数 返回当前的日期 datetimetofiledate函数 将delphi的日期格式转换为dos的日期格式 datetimetostr 函数 将日期时间格式转换为字符串 datetimetostring 函数 将日期时间格式转换为字符串 datetostr 函数 将日期格式转换为字符串 dayofweek 函数 返回星期的数值 dec 函数 递减变量值 decodedate 函数 将日期格式分解为年月日 decodetime 函数 将时间格式分解为时、分、秒、毫秒 delete 函数 从字符串中删除子串 deletefile 命令 删除文件 diskfree 函数 返回剩余磁盘空间的大小 disksize 函数 返回指定磁盘的容量 dispose 函数 释放动态变量所占的空间 disposestr 函数 释放字符串在堆栈中的内存空间 ditherbackgrounddi2001.jpg? 使背景色的色彩加重或减少50% dragcursor 属性 当鼠标按下时光标的形状 dragmode 属性 按动的作用方式 dropdowncount 属性 容许的显示数据项的数目 editmask 属性 编辑模式 enabled 属性 是否使标签呈现打开状态 encodedate 函数 将年月日合成为日期格式 encodetime 函数 将时、分、秒、毫秒合成为时间格式 endmargin 属性 末尾边缘 eof 函数 对有类型或无类型文件测试是否到文件尾 eoln 函数 返回文本文件的行结束状态 erase 命令 删除外部文件 exceptaddr 函数 返回引起当前意外的地址 exclude 函数 从集合中删除一些元素 exceptobject 函数 返回当前意外的索引 exit 命令 立即从当前的语句块中退出 exp 函数 指数函数 expandfilename 函数 返回包含绝对路径的字符串 extendedselect 属性 是否允许存在选择模式，true时，multiselect才有意义 extractfiledir 函数 返回驱动器和路径 extractfileext 函数 返回文件的后缀 extractfilename 函数 返回文件名 extractfilepath 函数 返回指定文件的路径 fileage 函数 返回文件已存在的时间 fileclose 命令 关闭指定的文件 filecreate 命令 用指定的文件名建立新文件 filedatetodatetime 函数 将dos的日期格式转换为delphi的日期格式 fileexists 函数 检查文件是否存在 filegatattr 函数 返回文件的属性 filegetdate 函数 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将整型数转换为十六进制数 inttostr 将整型数转换为字符串 ioresult 返回最新的i/o操作完成状态 isvalidident 测试字符串是否为有效的标识符 items 属性 默认显示的节点 kind 属性 摆放样式 largechange 属性 最大改变值 layout 属性 图象布局 length 函数 返回字符串的动态长度 lines 属性 缺省显示内容 ln 函数 自然对数函数 lo 函数 返回参数的低地址位 loadstr 函数 从应用程序的可执行文件中装载字符资源 lowercase 函数 将给定的字符串变为小写 low 函数 返回参数的下限值 max 属性 最大值 maxlength 属性 最大长度 min 属性 最小值 mkdir 命令 建立一子目录 move 函数 从源到目标复制字节 multiselect 属性 允许同时选择几个数据项 name 属性 控件的名字 new 函数 建立新的动态变量并设置一指针变量指向它 newstr 函数 在堆栈上分配新的字符串 now 函数 返回当前的日期和时间 odd 测试参数是否为奇数 onactivate 事件 焦点移到窗体上时触发 onclick 事件 单击窗体空白区域触发 ondblclick 事件 双击窗体空白区域触发 onclosequery 事件 使用者试图关闭窗体触发 onclose 事件 窗体关闭后才触发 oncreate 事件 窗体第一次创建时触发 ondeactivate 事件 用户切换到另一应用程序触发 ondragdrop 事件 鼠标拖放操作结束时触发 ondragover 事件 有其他控件从他上面移过触发 onmousedown 事件 按下鼠标键时触发 onmouseup 事件 释放鼠标键时触发 onmousemove 事件 移动鼠标时触发 onhide 事件 隐藏窗体时触发 onkeydown 事件 按下键盘某键时触发 onkeypress 事件 按下键盘上的单个字符键时触发 onkeyup 事件 释放键盘上的某键时触发 onpaint 事件 窗体上有新部分暴露出来触发 onresize 事件 重新调整窗体大小触发 onshow 事件 在窗体实际显示之前瞬间触发 ord 返回序数类的序数 outlinestyle 属性 类型 outofmemoryerror 引起 outofmemory 意外 pageindex 属性 页索引 pages 属性 页 paramcount 函数 返回在命令行上传递给程序的参数数量 paramstr 函数 返回指定的命令行参数 pen 属性 画刷设置 pi 函数 返回圆周率pi picture 属性 显示图象 pictureclosed 属性 设置closed位图 pictureleaf 属性 设置leaf位图 pictureminus 属性 设置minus位图 pictureopen 属性 设置open位图 pictureplus 属性 设置plus位图 pos 函数 在字符串中搜索子串 pred 函数 返回先前的参数 random 函数 返回一随机函数 randomize 函数 用一随机数初始化内置的随机数生成器 read 函数 对有格式的文件，读一文件组件到变量中；对文本文件，读一个或多个值到一个或多个变量中 readln 函数 执行read过程，然后跳到文件下一行 readonly 属性 只读属性 reallocmem 函数 分配一动态变量 rename 函数 重命名外部文件 renamefile 函数 对文件重命名 reset 函数 打开已有的文件 rewrite 函数 建立并打开一新的文件 rmdir 函数 删除空的子目录 round 函数 将实数值舍入为整型值 runerror 函数 停止程序的执行 scrollbars 属性 滚动条状态 seek 函数 将文件的当前指针移动到指定的组件上 seekeof 函数 返回文件的文件结束状态 seekeoln 函数 返回文件的行结束状态 selectedcolor 属性 选中颜色 setmemorymanager 函数 设置内存管理器的入口点 settextbuf 函数 给文本文件指定i/o缓冲区 shape 属性 显示的形状 showexception 函数 显示意外消息与地址 sin 函数 正弦函数 sizeof 函数 返回参数所占的字节数 smallchange 属性 最小改变值 sorted 属性 是否允许排序 sqr 函数 平方函数 sqrt 函数 平方根函数 startmargin 属性 开始边缘 state 属性 控件当前状态 str 函数 将数值转换为字符串 stralloc 函数 给以null结束的字符串分配最大长度-1的缓冲区 strbufsize 函数 返回存储在由stralloc分配的字符缓冲区的最大字符数 strcat 函数 将一字符串附加到另一字符串尾并返回合并的字符串 strcomp 函数 比较两个字符串 strcopy 函数 将一个字符串复制到另一个字符串中 strdispose 函数 释放堆栈上的字符串 strecopy 函数 将一字符串复制到另一个字符串并返回结果字符串尾部的指针 strend 函数 返回指向字符串尾部的指针 stretch 属性 自动适应控件的大小 strfmt 函数 格式化一系列的参数 stricomp 函数 比较两个字符串（不区分大小写） stringtowidechar 函数 将ansi字符串转换为unicode字符串 strlcat 函数 将一字符串中的字符附加到另一字符串尾并返回合并的字符串 strlcomp 函数 以最大长度比较两个字符串 strlcopy 函数 将一个字符串中的字符复制到另一个字符串中 strlen 函数 返回字符串中的字符数 strlfmt 函数 格式化一系列的参数，其结果中包含有指向目标缓冲区的指针 strlicomp 函数 以最大长度比较两个字符串（不区分大小写） strlower 函数 将字符串中的字符转换为小写 strmove 函数 将一个字符串中的字符复制到另一个字符串中 strnew 函数 在堆栈上分配一个字符串 strpas 函数 将以null结束的字符串转换为pascal类的字符串 strpcopy 函数 将pascal类的字符串复制为以null结束的字符串 strplcopy 函数 从pascal类的最大长度字符串复制为以null结束的字符串 strpos 函数 返回一个字符串在另一个字符串中首次出现指针 strrscan 函数 返回字符串中最后出现字符的指针 strscan 函数 返回字符串中出现首字符的指针 strtodate 函数 将字符串转换为日期格式 strtodatetime 函数 将字符串转换为日期/时间格式 strtofloat 函数 将给定的字符串转换为浮点数 strtoint 函数 将字符串转换为整型 strtointdef 函数 将字符串转换为整型或默认值 strtotime 函数 将字符串转换为时间格式 strupper 函数 将字符串中的字符转换为大写 style 属性 类型选择 suce 函数 返回后继的参数 swap 函数 交换参数的高低地址位 tabs 属性 标记每一项的内容 tabindex 属性 标记索引 text 属性 显示的文本 texttofloat 函数 将字符串（以null结束的格式）转换为浮点数 time 函数 返回当前的时间 timetostr 函数 将时间格式转换为字符串 trim 函数 从给定的字符串中删除前导和尾部的空格及控制字符 trimleft 函数 从给定的字符串中删除首部的空格及控制字符 trimright 函数 从给定的字符串中删除尾部的空格及控制字符 trunc 函数 将实型值截取为整型值 truncate 函数 截去当前文件位置后的内容 unselectedcolor 属性 未选中颜色 upcase 将字符转换为大写 uppercase 将给定的字符串变为大写 val 函数 将字符串转换为整型值 vararraycreate 函数 以给定的界限和维数建立变体数组 vararraydimcount 函数 返回给定变体的维数 vararrayhighbound 函数 返回给定变体数组维数的上界 vararraylock 函数 锁定给定的变体数组 vararraylowbound 函数 返回给定变体数组维数的下界 vararrayof 函数 返回指定变体的数组元素 vararrayredim 函数 通过改变上限来调整变体的大小 vararrayunlock 函数 解锁指定的变体数组 varastype 函数 将变体转换为指定的类型 varcase 函数 将变体转换为指定的类型并保存它 varclear 函数 清除指定的变体 varcopy 函数 将指定的变体复制为指定的变体 varformdatetime 函数 返回包含日期时间的变体 varisarray 函数 测试变体是否为数组 varisempty 函数 测试变体是否为unassigned varisnull 函数 测试变体是否为null vartodatetime 函数 将给定的变体转换为日期时间 vartype 函数 将变体转换为指定的类型并保存它 visible 属性 控件的可见性 wantreturns 属性 为true时，按回车键产生一个回车符；为false时，按下ctrl+enter才产生回车符 write 命令 对有格式的文件，写一变量到文件组件中；对文本文件，写一个或多个值到文件中 writeln 命令 执行write过程，然后输出一行结束标志 widecharlentostring 函数 将ansi字符串转换为unicode字符串 widecharlentostrwar 函数 将unicode字符串转换为ansi字符串变量 widechartostring 函数 将unicode字符串转换为ansi字符串 widechartostrvar 函数 将unicode字符串转换为ansi字符串变量

函数 含义 自变量类型 函数值类型ABS(x) ∣x∣ 整型或实型 与x相同SQR(x) x2 整型或实型 与x相同SQRT(x) x的平方根 整型或实型 实型SIN(x) sinx 整型或实型 实型COS(x) cosx 整型或实型 实型ARCTAN(x) Tan-1x整型或实型 实型 实型EXP(x) ex 整型或实型 实型LN(x) lnx 整型或实型 实型TRUNC(x) x的整数部分 实型 整型ROUND(x) 最接近x的整数 实型 整型ORD(x) x的序号 顺序类型 整型CHR(x) 序号为x的字符 整型 字符型PRED(x) x的前趋值 顺序类型 与x相同SUCC(x) x的后继值 顺序类型 与x相同ODD(x) x为奇数时为TRUEx为偶数时为FALSE 整型 布尔型EOLN(x) 读正文文件到行末尾时为TRUE；读正文文件未到行末尾时为FLASE 文件型 布尔型EOF(x) 读文件到末尾时为TRUE读文件未到末尾时为FALSE 文件型 布尔型

为了解决复杂问题，我们常常将一个较大的程序分为若干个相对独立的程序模块，每个程序模块用来实现一个特定的功能。这样的程序块，称为子程序。整个程序是通过一个主程序作为线索并调用若干个子程序来解决问题。下图为主程序调用子程序的关系图，我们应注意到当完成某子程序调用后，总是返回到调用点的下一个语句继续执行。在PASCAL中，子程序有两种形式：函数和过程。 自定义的函数必须放在它的主程序的说明部分。调用自定义函数就象调用标准函数一样。函数最终返回一个值，故函数可看成一个数据，并放入表达式中。 过程：说明部分又可以包括常量说明、变量说明、类型说明、还可以包括其它函数和过程说明。过程也可以没有说明。说明部分定义的变量称为局部变量，在过程结束并返回调用它的上一级程序后，这些局部变量将被全部释放，对主程序不产生任何影响。 一、数学函数： Inc(i) 使I:=I+1; Inc(I,b) 使I:=I+b; Abs(x) 求x的绝对值 例：abs(-3)=3 Chr(x) 求编号x对应的字符。例：Chr(65)="A" chr(97)="a" chr(48)="0" Ord(x) 求字符x对应的编号。例:ord(‘A")=65 ord(‘a")=97 另外：ord(false)=0 ord(true)=1 Sqr(x) 求x的平方。 例：sqr(4)=16 Sqrt(x)求x的开方. 例：sqrt(16)=4 round(x) 求x的四舍五入 例：round(4.5)=5 trunc(x) 求x的整数部分 例：trunc(5.6)=5 结果是integer型 int(x) 求x的整数部分 例int(5.6)=5.0 结果是real型 frac (x)求x的小数部分 例 frac(5.6)=0.6 pred(x) 求x的前导 pred(‘b")="a" pred(5)=4 pred(true)=false succ(x) 求x的后继 succ(‘b")="c" succ(5)=6 succ(false)=true odd(x) 判断x是否为奇数。如果是值为true，反之值为false. Odd(2)=false odd(5)=true power(a,n) 求a的n次方 power(2,3)=8 random 取0~1之间的随机数（不能取到1） randomize 随机数的种子函数,在每次设置随机数时都要把这个函数放在最前面. Fillchar(a,size(a),0) 数组初始化，即把数组a的值全部置为0 SHR: x SHR n 把x换成二进制后向右移n位，相当于 把x 除以 2n SHL: x SHL n把x换成二进制后向左移n位，相当于 把x 乘以 2n 二、字符串函数 1. 连接运算 concat(s1,s2,s3…sn) 相当于s1+s2+s3+…+sn. 例：concat(‘11","aa")="11aa"; 2. 求子串。 Copy(s,I,L) 从字符串s中截取第I个字符开始后的长度为l的子串。 例:copy(‘abdag",2,3)="bda" 3. 删除子串。过程 Delete(s,I,l) 从字符串s中删除第I个字符开始后的长度为l的子串。 例：s:="abcde";delete(s,2,3);结果s:="ae" 4. 插入子串。 过程Insert(s1,s2,I) 把s1插入到s2的第I个位置 例：s:=abc;insert(‘12",s,2);结果s:="a12bc" 5. 求字符串长度 length(s) 例：length(‘12abc")=5 6. 搜索子串的位置 pos(s1,s2) 如果s1是s2的子串 ，则返回s1的第一个字符在s2中的位置，若不是子串，则返回0. 例：pos(‘ab","12abcd")=3 7. 字符的大写转换。Upcase(ch) 求字符ch的大写体。 例：upcase(‘a")="A" 8. 数值转换为数串。 过程 Str(x,s) 把数值x化为数串s. 例：str(12345,s); 结果s="12345" 9. 数串转换为数值。 过程val(s,x,I) 把数串s转化为数值x,如果成功则i=0,不成功则I为无效字符的序数 例：val(‘1234",x,I);结果 x:=1234

不是几句话能说明白的，只给出参考意见。理论上有理函数一定能积出来。因为因式分解也是理论上在实数域上能分解成一次或二次因式（这是代数学基本地理），可是实际上任意给定一个多项式能否具体的分解还没有给出可行的方法。而有理函数的积分依赖于多项式的因式分解，所以任意给出一个有理函数不一定能积分出来。详细的理论可以参考同济第三版以前的高等数学，有详细的讲解。新版没有这部分内容。

=2x/[(x+y)(x-y)]+y/[x(x+y)]=2x²/[x(x+y)(x-y)]+y(x-y)/[x(x+y)(x-y)]=(2x²+xy-y²)/[x(x+y)(x-y)]=(2x-y)(x+y)/[x(x+y)(x-y)]=(2x+y)/[x(x-y)]=(2x+y)/(x²-xy)