函数

这个不是非常显然的吗，直接证明就行了记A={x:f(x)>g(x)},B_n={x:f(x)>=g(x)+1/n}对任何n都有B_n包含于A，所以其并集也包含于A反过来任取x属于A，当n>=1/[f(x)-g(x)]>0时f(x)>=g(x)+1/n，即x属于B_n，也就属于所有B_n的并

E可测，满足卡拉泰奥多里条件：对任意集合T，m*(T)=m*(E∩T)+m*(T-E)令T=E∪A得：m*(E∪A)=m(E)+m*(A-E)令T=A得：m*(A)=m*(E∩A)+m*(A-E)由上面两式得m*(E∪A)-m(E)=m*(A)-m*(E∩A)=m*(A-E)因此m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)

Caratheodory条件是集合Lesbesgue可测的等价命题，在对于一般的集族定义测度时直接将Caratheodory条件作为集合可测的定义在实数集的全体子集P上定义外测度m*（R的子集E的外测度m*(E)由覆盖E的区间族的长度和的下确界定义）称R的子集E为Lesbesgue可测的，若任取e>0，存在开集G，闭集F，使得F包含于E包含于G，且m*(GF)<e也就是说可测集是可以被开集和闭集无限逼近的集合称E满足Caratheodory条件，若对任意R的子集A有m*(A)=m*(A交E)+m*(AE)满足Caratheodory条件的集合可以没有损失的分割R的任意子集一般地，对于定义了外侧度m*的集族U，称U中的集合E为可测的，若E满足Caratheodory条件

如果你问大学课程中的《复变函数与积分变换》和《实变函数与泛函分析》哪个难，我觉得都难？首先来聊聊《复变函数与积分变换》：复变函数论主要用于研究复域中的解析函数，因此通常称为解析函数论。积分变换最基本的一点是，它们可以用来解数学方程。其实这可以作为两门学科，但是也可以作为一门学科。因为复数的概念起源于求方程的根。在求二次和三次代数方程的根时，有负数的平方。长期以来，人们无法理解这样的数字。但随着数学的发展，这种数的重要性越来越明显。积分变换是数学理论或应用中非常有用的工具。最重要的积分变换是傅里叶变换和拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他的积分变换，其中梅林变换和汉克尔变换被广泛应用，可以通过傅里叶变换或拉普拉斯变换进行变换。所以他们之间还是有联系的。再者说说《实变函数与泛函分析》：说到这门学科，肯定离不开集合论部分，已知给出了更多的拓扑定义，然后讨论了一些关于顺序和选择公理的事情，这门学科在附录中列出了顺序和选择公理，以便进行简单解释，但这一部分对学习实变量函数几乎没有影响。在测量理论方面，需要从外部测量和内部测量两方面给出了测量方法，按照勒伯格最初建立测量理论的顺序，操作更为复杂。所以，实变函数与泛函分析的关系比较复杂，就是先实变函数，然后再泛函分析。其中包含了范数空间，度量空间：它涉及紧性，可以用来证明代数的基本定理。这些简单的概念已经可以得到强有力的结果：科罗夫金的理论和斯通·韦尔斯特拉的理论。一系列定理实际上回答了一个问题，即逼近问题，即给出一种用多项式（三角多项式）逼近连续函数的方法。如何判断这种方法是否可靠。接下来，我给出一个在20世纪50年代证明的结果，这个结果非常漂亮，不涉及困难的数学概念。总之，我觉得都非常难学，以前觉得高数难，概率论难，自从学了这两门学科，我觉得没有比他们难，因此建议：非数学专业别学。

1. Weierstrass 定理：设 f 是 C 的一个含有 0 的区域上的全纯函数，则存在自然数 n 使得 f(z) = z^n g(z), 其中 g 全纯并且 g(0)≠0实变函数一般是提不出 z^n 这种东西的2. 刚性定理（或者叫最大模原理）：设 f(z) 在 C 的一个区域上全纯，在其闭包上连续，如果 f 在边界上恒为 0，则 f 只能处处为 0实函数没有这么硬，比如磨光核就是在边界上为 0 的非负光滑函数，并且积分=13. 紧复流形到 C 的全纯映射只能是常值映射这个在实变函数里是绝对不可能有的定理，再次说明了复变函数的刚性，也就是非常硬，稍微加点条件就是常数。4. 如果 f 在 C 的一个区域上全纯，并且在 z_0 的附近不是常值函数，那么 f 在 z_0 附近一定是开映射，并且不是一个分歧覆盖就是局部解析同胚。这也是实变函数不可想象的结论，即便对一般的线性空间，也要满足一些比 “不是常数” 苛刻得多的条件才有开映射定理。5. 对复变函数 f, 如果 f " 存在，f "" 就存在，这样一直下去，就推出 f 全纯但是很明显有一阶可导但二阶不可导的实变函数6. Liouvielle 定理. C 上的有界全纯函数一定是常数这个对实变函数也是不可想象的，比如 arctan x 就是 R 上的有界光滑函数，但不是常数7. 全纯函数一定是调和函数，故满足平均值原理。但是实变的光滑函数有很多都不是调和函数，比如平面上的函数 z = x^3 + y^3

R可以看成可数个开区间（n-1,n）（n属于Z）和整数集Z的并集,根据题目给的条件任何的测度为1的开集G有∫G F（x）dx=0,所有则f(x)=0,a.e于G,可知在每个（n-1,n）f(x)=0,a.e.由此可以知道在每个（n-1,n）上f不为零的集合（设为En）其测度一定为零,使得所有f不为零的点应该是所有En和Z的并集的子集,而En和Z（Z为可数集合,可数集合的测度都是零）都是零测度集,可数个零测度集的并集还是零测度集,零测度集的任一一个子集还是零测度集.所有使得不为零的集合一定是一个零测度集.

f(x)为可测函数n(c)为 0 1 2 3……是分别对应x 无 x1 x2 x3……对应f上的点 无 y1 y2 y3）……设有n个解存在一个极小值【y（n）-ε】的绝对值<δ<1/n^2 则元素所在互不相交的区域的测度为<2/n可测，当n去浸于无穷大是测度的和为零， 对任何有限实数a，E[n（c）>=a]都可测 大概就是咋个样子 勿喷对了点个赞

就是定义在这个集合内的点上的函数值为1，其他为0。实变函数里面，一个可测集的特征函数是可测函数，其线性组合是简单函数，在可测函数里面稠密。

自变量是实数的，就是实变函数；是函数的，就是泛函数。

实变函数中，最基本的测度概念，测就是测量的意思，与长度面积体积相关，可合同的点集，应该是可以一一对应的点集，比如整数集和有理数集，就是可合同的点集，他们的程度都是零，无理数集与实数集，也是可合同的点集，所举的两个例子，可能你还没学到，

设F(s) = ∫{0,+∞} f(t)e^(-st) dt.由f(t)非负, e^(-st)关于s单调递减 (t ≥ 0), 可知F(s)单调递减.又F(s) > 0, 可知lim{s → +∞} F(s)存在.于是lim{s → +∞} F(s) = lim{n → ∞} F(n).只需考虑数列F(n)的极限.考虑函数列fn(x) = f(x)e^(-nx), 易见0 ≤ fn(x) ≤ f(x)对任意x ≥ 0成立.又f(x)在[0,+∞)可积, 即函数列fn(x)存在可积的控制函数.易见当n → ∞时, 函数列fn(x)在(0,+∞)上逐点收敛到0, 即极限函数几乎处处为0.由Lebesgue控制收敛定理, lim{n → ∞} F(n) = lim{n → ∞} ∫{0,+∞} f(t)e^(-nt) dt= lim{n → ∞} ∫{0,+∞} fn(t) dt= ∫{0,+∞} lim{n → ∞} fn(t) dt= 0.综上lim{s → +∞} F(s) = 0.注: 其实不预先证明lim{s → +∞} F(s)存在也是可以的.只需对任意趋于∞的数列a[n], 用Lebesgue控制收敛定理证明F(a[n])都收敛到0.

实变函数app。实分析在其他学科的中的应用是相当广泛的!仅举一例:实分析中的测度论问题和方法是数理经济学的重要组成部分,比如可以用测度论来描述竞争模型。再详细谈以下：测度的核心就是单个的点不起决定作用，起决定作用的是集合这个整体。因而在一个各个对象“平权”的经济体中，就会产生竞争，这时不会有哪个对象起主导作用。在这种情形下，引入测试模型就顺理成章了。另外，实变函数论对分形几何学的发展具有重要影响，而分形几何学在实际中的重要性则是不言而喻的。

设R为实数集，Z为无理数集，Q为有理数集。 由于有理数集为可数(无限)集，不妨设Q={q1，q2，q3，…} 虽然无理数集为不可数(无限)集，但其中必含有一个为可数(无限)集（其中元素可以有π,e,√2, √3,…），记为Z0。不妨设Z0={z1，z2，z3，…} 定义Z到R的映射f如下： f：x |-->x(当x不属于Z0时) f：z2n |-->zn(n=1,2,3,…) f：z2n-1 |-->qn(n=1,2,3,…) 直观来看，当x不属于Z0时，f(x)=x 当x属于Z0时, {z1，z2，z3，z4，z5，z6，…}对应为{q1，z1，q2，z2，q2，z3，…} 很容易证明，f就是无理数集到实数集的双射。

分类: 教育/科学 >> 科学技术 问题描述: 什么是泛函、复变函数、实变函数？ 这三种函数有什么特征啊？能不能各举个例子？万分感谢了！ 解析: 简单的说，自变量是实数的，就是实变函数；是复数的，就是复变函数；是函数的，就是泛函。 例子实变：y=x+1,x属于R 复变：w=2*z，z属于C 泛函：L(y)=y"+y, y=y(x) [y"代表y的导数]

本书在n维欧氏空间中建立Lebesgue测度和积分的理论，突出体现实变函数的基本思想。全书包括：集合、点集、Lebesgue测度、可测函数、Lebesgue积分、微分与不定积分、Lp空间共七章。每一小节讲述概念、定理与例题后，均附有精心挑选的配套基本习题，每一章后均附有整整一节的例题选讲，介绍实变函数解题的各种典型方法与重要技巧，每一章后还列出大量的习题供读者去研究与探索。本书可作为高等院校数学专业的教材，也可供相关专业人员参考。

7.必要性：由fn（x）=>f(x),对于∀σ>0,g（x）=f（x）a.e.于E：∃E0⊂E，在E0上g（x）=f（x），且设E‘=（E-E0），mE"=0，于是对于∀σ，故fn（x）=>g(x)8.逆命题成立，|f(x)|=f+(x)+f-(x),f(x)=f+(x)-f-(x)f+和f-分别为f(x)的正部和负部|f(x)|可积，则∫[f+(x)+f-(x)]dx<+∞，故∫f+(x)dx<+∞且∫f-(x)dx<+∞由于正部负部积分均有限，根据可积定义知f（x）可积9.使f（x）无限的x构成的集合为：设En=由于f（x）可积，有|f(x)|可积，故有对于∀n：因此对∀n：所以运用定理得：所以f（x）有限a.e.于E

数学分析是基础课，讲极限，积分，微分，都是一些比较基础的理论证明，积分主要讲黎曼积分，涉及实数，复数等实分析讲的是实数域(包括更高维度)上的测度论与积分，此处的测度积分主要是勒贝格测度与积分，是一种更广泛的积分

实变函数以实数作为自变量的函数就做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论.它是微积分学的进一步发展,它的基础是点集论.什么是点集论呢?点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论.也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的.比如,点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等.实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题.实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等.这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍.实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则.由于积分归根到底是数的运算,所以在进行积分的时候,必须给各种点集以一个数量的概念,这个概念叫做测度.什么实测度呢?简单地说,一条线段的长度就是它的测度.测度的概念对于实变函数论十分重要.集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的.为了推广积分概念,1893年,约当在他所写的《分析教程》中,提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分.1898年,法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进,并把它叫做测度.波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文,提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念.勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中,证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集,这就完全解决了黎曼可积性的问题.勒贝格积分可以推广到无界函数的情形,这个时候所得积分是绝对收敛的,后来由推广到积分可以不是绝对收敛的.从这些就可以看出,勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了.也可以看出,实变函数论所研究的是更为广泛的函数类.自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数,人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来,连续函数也必定可以用多项式来逼近.这样,在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论.什么是逼近理论呢?举例来说,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限,就说 A类函数能以 B类函数来逼近.如果已经掌握了 B类函数的某些性质,那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质.逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况.和逼近理论密切相关的有正交级数理论,三角级数就是一种正交级数.和逼近理论相关的还有一种理论,就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论,这种理论叫做函数构造论.总之,实变函数论和古典数学分析不同,它是一种比较高深精细的理论,是数学的一个重要分支,它的应用广泛,它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.实变函数论不仅应用广泛,是某些数学分支的基本工具,而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用,对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.泛函分析的产生十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段.这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论.这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件.本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽.随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究.到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念.由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方.比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似.这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了.泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方.因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西.非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响.这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性.这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间.这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系.现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系.这里我们先介绍一下算子的概念.算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子.研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析.在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了.泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了.比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念.它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间.泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具.n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统.比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子.一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统.现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统.正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容.因袭,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学.古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中.泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论.他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了.半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展.它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一.泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用.近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用.它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用.1年前4发大财了 幼苗共回答了20个问题 举报实变函数:测度空间,积分.泛函分析:抽象空间.

工具，就像老虎钳，起子，以后用得着

首先关于函数列处处收敛：对于一列函数列  {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列了。类如函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当给定x=2时，fn(x)=2^n(2的n次方)，，这就是一个数列了，当这个数列{2^n}收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2收敛；当这个数列{2^n}不收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2发散的。对于函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当x=1时收敛；当x=2时发散。2. 弄清上面了，函数列几乎处处收敛就很容易了。函数列几乎处处收敛是指：使得函数列不收敛的所有点组成的集合的测度（Lebesgue测度）为0。通俗的说就是不收敛的点不多，测度为0，可以忽略。除去不收敛点，剩下的点都是使得函数列收敛，所以说函数列“几乎处处”收敛（因为测度为0）。3. 函数列的一致收敛：首先看一下处处收敛的定义：对于一列函数列  {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列，当这个数列收敛于f（x），即对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N与ε和给定的x有关)，使得当n>N时，有                                                         |fn(x)-f(x)|<ε.再次强调：定义中的这个N，是与ε和给定的x有关。对不同的x，给定ε，就会有不同的N。一致收敛的定义是：对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N只与ε有关)，使得当n>N时，对一切的x（当然是fn(x)定义域上的x）有                                                         |fn(x)-f(x)|<ε.定义中的这个N，只是与ε有关。对不同的x，给定ε，都能找到相同的N。可以看到，处处收敛研究的是函数列在一点处的收敛性，因为给定误差ε，要找的N与ε和给定的x有关而一致收敛研究的是函数列在定义域上的整体收敛性，因为给定误差ε，不管是什么样的x，函数列fn(x)都会随着n的增大而靠近f（x），可以这样想象，fn(x)代表的很多曲线，随着n的增大，趋近于曲线f(x).上面的例子：函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)在区间[0,1]上处处收敛，在[0,1)上收敛到f(x)=0，在x=1处收敛到1.但不是一致收敛的，问题出在x=1处附近的点。因为x=1处附近的点，当n增大时总是要靠近1的，所以fn(x)无法整体趋向于f(x)=0这个函数。但是把x=1处附近的点去掉，只考虑区间[0,δ）（δ是小于1的任意正数），则函数列 fn(x)=x^n在区间[0,δ）一致收敛于f(x)=0。4、依测度收敛测度收敛与前面的几种收敛方式不一样，也叫概收敛，一般地可以这样定义：定义： 设E是可测集，f(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，…都是E上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意ε>0，都有lim E{x||fn(x)-f(x)|>ε}=0则称f_n(x)在E上依测度收敛到f(x)，记作 。指的是使得fn(x) 和 f(x)不相等的点x做成的集合，随着n 的增大而其测度趋向于零。总的来说，在区域有限和函数有限的情况下，收敛强度从弱到强依次是：依测度收敛，几乎处处收敛，处处收敛，一致收敛打了好多字

http://baike.baidu.com/view/44515.htm去这看看，很详细。

实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着很多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都不可导。这个发现使许多数学家大为吃惊。由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，人们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。

实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。

首先实变函数为泛函分析奠定了理论基础.泛函分析你应该比较了解,对近代的常微分方程,偏微分方程,差分方程,解的性质有很重要的意义 实变函数本身主要用于高等概率论,以及随机过程中很多定理的证明.对于普通的积分勒贝格还是不常用,但是对不少特殊函数（概率分布）用勒贝格积分算还是很有用的.

实变函数闭集充要条件包含所有聚点的集合是闭集。由于收敛点列｛xn｝收敛域x0，那么x0是闭集F的聚点，当然属于F。这个是点集拓扑的内容，用到泛函这而已。连续映射的定义是，开集的原像是开集，取个补稍微推一下即可。单点集是闭集，证明如下:设集合S={a}，它没有聚点，所以导集为空集，从而导集包含于S，按定义，它是闭集。有限个闭集的并集还是闭集，从而命题得证。性质A是闭集当且仅当它的补集是开集。设A是闭集，用Ac表示其在度量空间内的补集，根据开集的定义，只需要证明Ac中的点都是内点即可。任取一点x∈Ac，若假设x不是Ac的内点，则根据内点的定义，在x的任意一个邻域内，都至少有一点不属于Ac，即在x的任意一个邻域内，都至少有一点属于A。并且很明显，这一点不可能是x自身（因为x∈Ac）。

fn(x)=1/n(当x=a/n（0<=a<=n,a为整数）)fn（x）=0（除开上面情况）所以fn不收敛于0的测度是0，考虑[1/n,2/n]，有结论2

实变函数是人学的。实变函数论是以实变函数作为研究对象的数学分支，是数学分析的深入与推广，研究函数的表示与逼近问题以及它们的局部与整体性质。在经典分析中主要研究具有一定阶光滑性的函数。但在 19 世纪下半叶，一些问题被明确提出，期望能解答并涉及更宽泛的函数类。问题在这些问题中必须提到的有集合的测度，曲线长度与曲面面积，原函数与积分，积分与微分的关系，级数的逐项积分与微分，由极限过程得到的函数的性质等。这些问题的解决对数学发展至关重要，但又非经典分析所能。直至 19 世纪末 20 世纪初，在集合论的基础上，这些问题才得以解决，同时也完成了现代实变函数论基础的建立。

这里有证明http://wenku.baidu.com/view/778be0c75fbfc77da269b160.html

首先[0,1]的基数为C，其次[0,1]上的有理数是可数的。所以[0,1]/Q[0,1]的基数=[0,1]的基数，所以就是C了

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。 整体来说，实变比复变难一点，实变及其抽象，理论性太强，复变比较好理解点，但是还是不好学

以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究一类函数用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。

最重要的就是数学分析，尤其是黎曼积分以及分析学的思路。1、 实变函数就是黎曼积分的拓展，介绍一种新的积分——勒贝格积分，将可积函数类的范围扩大了。 2、值得注意的是勒贝格积分当中，牛顿莱布尼兹公式不一定成立（仅有一个小于等于号），除非是绝对连续或者有界变差等某些情形。 3、在引入勒贝格积分的过程中，测度论是不可少的，有很多引进测度的方法。4、要掌握这些基本上逻辑没有问题就行了，并不需要什么准备知识，通常的实变书都应该有一些集合论的知识。5、 高等代数、解析几何、微分方程、复变都完全用不到的，基本就是数学分析。

用笛卡尔乘积表示就是R×R，即整个二维坐标平面为全平面；　 复数Z=a+bi和实数对(a,b)一样可以和坐标平面上的一点建立一一对应关系,这样与全体复数建立了一一对应关系的坐标平面叫做复数平面，又称高斯平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。将系统中独立变量是复频率s的范围，称为s域，也称复频域。扩展资料：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。参考资料来源：百度百科-复变函数

拉格朗日乘数法一般用于条件极值问题…… 课本上说：它可以推广到自变量多于两个及等式约束条件多于一个的情况 其实四元完全是可能的也就是列出4个关于自变量的方程,和3个关于拉格朗日乘数的方程,理论上是绝对可以求出的,只是过程繁琐些罢了（当然在实际问题中很少见4元的,因为一般三维的空间里要有抽象变量才会出现4元……）

复数域上的函数全体构成代数闭域, 所以这个域上的方阵都相似于Jordan标准型, 求解方法和一般线性代数里面的方法一样

满射：一个函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像),或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应.形式化的定义如下：　　函数为满射,当且仅当对任意b,存在a满足f(a) = b.　　将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类,我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射. 单射：设f是由集合A到集合B的映射,如果x,y∈A,且x≠y时有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射.　　　在数学里,单射函数为一函数,其将不同的引数连接至不同的值上.更精确地说,函数f被称为是单射的,当对每一值域内的y,存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y.　　另一种说法为,f为单射,当若f(a) = f(b),则a = b(或若a≠b,则f(a)≠f(b)),其中a、b属于定义域. 逆射：从Y到x有一一对应.

加个“连续”。

错，1因为单射是一个X对应一个Y，但是可能X1/X2的函数值都是Y2也就是一个Y对应两个X3互换XY后就变成一个X对应两个Y，可能不存在反函数

是的,记y=f(x).单射意思是说,给你一个y的值,你只能找到一个x使得f(x)算出来是y.然后你画一下图就应该能够理解,f(x)只能是一个单调函数,因为如果不是的话,给出一个y值就可以找到两个x的值使得f(x)等于y.所以,f(x)是连续函数+f(x)是单射 可以推出f(x)是单调函数（甚至f(x)都可以不是连续的）.这和定义在实数域/有理数域/无理数域什么的是没有关系的.我觉得要么那个“有理数范围”的条件是老师拗出来唬人的,要么其实你没有把你要问的问题问全

单射和单调区别可大了，完全不是一个概念。单调是对于函数的值域趋势来说的。而单射是对应于函数定义域和值域的映射来说的。

对，偶函数一定不是单射函数。因为两个x对着一个y。单射函数，就是纯单调递增或是递减的。比如一次函数。双射，所有偶函数就行。比如y=x^2还有多个x对着一个y的，比如三角函数。比如y=sinx函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下： 函数为满射，当且仅当对任意b，存在a满足f(a) = b。其实，就是没有y闲着，都有自变量和它对应。y=x^2就不是满射，而y=x^3就是满射。

是的,记y=f(x).单射意思是说,给你一个y的值,你只能找到一个x使得f(x)算出来是y.然后你画一下图就应该能够理解,f(x)只能是一个单调函数,因为如果不是的话,给出一个y值就可以找到两个x的值使得f(x)等于y.所以,f(x)是连续函数+f(x)是单射 可以推出f(x)是单调函数（甚至f(x)都可以不是连续的）.这和定义在实数域/有理数域/无理数域什么的是没有关系的.我觉得要么那个“有理数范围”的条件是老师拗出来唬人的,要么其实你没有把你要问的问题问全

一堆断点也是单调 只要把定义域设置成断点就行了

记y=f(x)。单射意思是说，给你一个y的值，你只能找到一个x使得f(x)算出来是y。然后你画一下图就应该能够理解，f(x)只能是一个单调函数，因为如果不是的话，给出一个y值就可以找到两个x的值使得f(x)等于y。所以，f(x)是连续函数+f(x)是单射可以推出f(x)是单调函数（甚至f(x)都可以不是连续的）。这和定义在实数域/有理数域/无理数域什么的是没有关系的。我觉得要么那个“有理数范围”的条件是老师拗出来唬人的，要么其实你没有把你要问的问题问全。

双射即是一一映射,也就是一一对应,如f(x)=x即是实数集到实数集的一一映射,也就是双射.A到B的满射指A的象集等于B,举个例子R到{0,1}的映射f(x)=0不是满射,而R到{0}的映射是满射单射,如{1,2,3}到{4,5,7,6}的映射1→4;2→5;3→6就是单射,而1→4,;2→4;3→7这一映射不是{1,2,3}{4,5,6,7}的单射.当然,以上两例都不是{1,2,3}到{4,5,7,6}的满射

同学，觉得满意顺手 一下答案哦~~~单射就是只能一对一，不能多对一，满射就是不论一对一，还是多对一，在映射f:X→Y中，Y中任一元素y都是X中某元素的像，也就是Y中所有元素在X中都能找到原像，至于找到的只有一个原像,那就是双射，但有的可以找到一个以上的那就不是双射，即双射就是既是单射又是满射。总之只能一对一或多对一，但不能一对多，并且在映射f:X→Y中X的每个元素都参与，Y中可能都参与，那就满了，就是满射，反之就不是满射。总之说的是一回事，没什么本质区别，只有联系。

单射非函数。

(2)单射，但不是满射。不是双射。【解释】不同的x对应不同的y，所以，是单射。y≤0时，没有原像，所以，不是满射。从而，不会是双射。(4)双射，因为既是单射，又是满射。

你就这么理解，a=b所以相对而言都是唯一的，也就是定义上的一对一，不要想得太多只会越饶越复杂

反射如下：首先函数不都是单射，如f(x)=x²，f(-1)=f(1)=1。但是反函数都是单射。函数和它的反函数（如果存在的话）都是单射。因为单射的函数存在反函数。函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。简介：函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

y=f(x)是单射的通俗地说就是函数值没有重复x与y是一一对应的只有这样的函数才是可逆（有反函数）的只要知道了x就可以得到y知道了y也可以得到x来去畅通无阻例如：y=x^3知道x=3就知道y=27知道y=8就知道x=2.如果不是单值函数就有来无回了比如：y=x^2知道x=2就会知道y=4可是知道了y=9就无法判定x=3还是x=-3了.函数就是一种变换我们通常都希望变换是可逆的可以任意后悔能上能下能屈能伸过河拆桥的事别做破釜沉舟就死定了

如果是连续函数，就是单调的。不连续，就不一定了。比如x=1,2,3,4，y=1，-2,3，-4，

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。【一个x只能对应一个y，但多个x可以对应一个y】partial function，对于X中的值，可以有x1在Y中找不到相应的映射。total function，X中所有的值，xi在Y中都能找到相应的映射。injective，单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如，指数函数exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是单射的。自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x也是单射的。onto，满射。指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。这里解释下，陪域。映射定义为集合A到B的对应关系，并且满足对于每一个A中的元素（原象）都存在惟一的B中的元素（象）与之对应。那么我们把A称为这个映射的定义域，把B称为陪域。 把B中的一个特殊的子集：所有A中元素在B中的象的集合叫做值域。 所以，形象地说值域就是象集合，陪域是包含值域的任意集合。陪域>值域bijective，双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。）Day215:映射——单射-双射-满射

是的，记y=f(x)。单射意思是说，给你一个y的值，你只能找到一个x使得f(x)算出来是y。然后你画一下图就应该能够理解，f(x)只能是一个单调函数，因为如果不是的话，给出一个y值就可以找到两个x的值使得f(x)等于y。所以，f(x)是连续函数+f(x)是单射可以推出f(x)是单调函数（甚至f(x)都可以不是连续的）。这和定义在实数域/有理数域/无理数域什么的是没有关系的。我觉得要么那个“有理数范围”的条件是老师拗出来唬人的，要么其实你没有把你要问的问题问全

映射f：D→Y对于x1,x2∈D，x1≠x2推出f(x1)≠f(x2)，则是单射；对于对于Y中任意一个元素都有原像与之对应，即是满射。注意：[1]谈单设，满射是针对一般映射而言的，函数是一个特殊的映射；[2]一旦规定了是函数，他肯定是一个满射，因为函数的要素：定义域，法则，值域。其中值域是像的集合，既然是像的集合，那么其中每一个元素都原像了。[3]典型的单设：单调函数，不是单射的函数：偶函数

http://libdlm.lib.ntu.edu.tw/cpedia/Content.asp?ID=43498

拉格朗日量拉格朗日函数一般指拉格朗日量在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为； 其中，为拉格朗日量，为动能，为势能。 在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。 拉格朗日量是因数学家和天文学家约瑟夫·拉格朗日而命名。拉格朗日表述重要性拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法，他用来推导拉格朗日方程的平稳作用量原理，现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。优点拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，对于系统的种种约束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术领域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。如果用同样的表述可以分析不同学术领域的物理系统，这些系统必定有结构上的类推。在一个学术领域的新发现，意味着很可能在另一个学术领域会有类似的现象

拉格朗日,J.L.(Lagrange,Joseph Louis) 1736年1月25日生于意大利都灵;1813年4月11日卒于法国巴黎.数学,力学,天文学. 拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia).拉格明日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚(Giuseppe Lodovico,Lagrangia).父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚(Francesco Lodovico, Lagrangia);母名泰雷萨·格罗索(Teresa Grosso).他曾用过的姓有德·拉·格朗日(De la Grange),拉·格朗日(La Grange)等.去世后,法兰研究院给他写的颂词中,正式用现在姓名. 父系为法国后裔.曾祖是法国骑兵上校,到意大利后与罗马家族的人结婚定居;祖父任都灵的公共事务和防务局会计,又同当地人结婚.父亲也在都灵同一单位工作,共有11个子女,但大多数夭折,拉格朗日最大. 据拉格朗日本人回忆,如幼年家境富裕,可能不会作数学研究.父亲有一条家规:必须有一子继任他的职业,拉格朗日也不反对.但到青年时代,在数学家F.A.雷维里(Revelli)指导下学几何学后,萌发了他的数学天才.17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析. 18岁时(1754),他曾用意大利语写出第一篇论文,是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商.寄给数学家G.法尼亚诺(Fagnano),并用拉丁语写出寄给在柏林的L.欧拉(Euler).可是当年8月他看到了公布的G.莱布尼兹(Leibniz)同J.伯努利(Bernoulli)的通信,正是这个内容,即后来的莱布尼兹公式.此不幸开端并未使拉格朗日灰心,9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线,并于年底开始研究变分极值问题. 拉格朗日在1755年8月12日写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中,给出了用纯分析方法求变分极值的提要;欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值.他本人也认为这是第一篇有意义的论文,对变分法创立有贡献.此成果使他在都灵出名.9月28日,年仅19岁的拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学校教授.从此走向数学研究的道路,逐步成为当时第一流的科学家,在数学,力学和天文学中都做出了历史性的重大贡献.其学术生涯自然地可分为三个时期. 都灵时期(1766年以前).拉格朗日任数学教授后,积极进行研究.1756年给欧拉的信中,开始把变分法用于力学,还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题.欧拉把信送交上级P.莫培督(Maupertuis)和科学院院长.莫培督看到拉格朗日是他的最小作用原理的支持者,建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授,条件比都灵优越,但拉格朗日谢绝.同年8月,他被任命为普鲁土科学院通讯院士,9月2日选为副院士. 1757年,以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家,成立了一个科学协会,即都灵皇家科学院的前身.并从1759年开始,用拉丁语和法语出版学术刊物《都灵科学论丛》(Miscellanea Taurine- nsia,法语名Mélanges de Turin).前三卷刊登了拉格朗日几乎全部在都灵时期的论文.其中有关变分法,分析力学,声音传播,常微分方程解法,月球天平动,木卫运动等方面的成果都是当时最出色的,为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础.此外他在岁差章动,大行星运动方面也有重要贡献. 1763年11月,都灵王朝代表去伦敦赴任时,带拉格朗日到巴黎.受到巴黎科学院的热烈欢迎,并初次会见J.R.达朗贝尔(d"Alembert).在巴黎停留六周后病倒,不能去伦敦.康复后遵照达朗贝尔意见,回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D.伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F.伏尔泰(Voltaire),他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发. 回到都灵后,拉格朗日的声望更高.朝野都认为他在都灵不能发挥才能.1765年秋,达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世,热情赞扬拉格朗日,并建议在柏林给拉格朗日一个职位.国王同意后通知拉格朗日.但他回信表示不愿与欧拉争职位.1766年3月,达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林,并请他担任留下的职位.拉格朗日决定接受.待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后,拉格朗日正式接受普鲁士邀请,于8月21日离开都灵. 柏林时期(1766—1787).去柏林途经巴黎时,拉格朗日与达朗贝尔合作两周,于10月27日到达柏林.11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任.他很快就与院内主要骨干友好相处,如J.伯努利(Johann BernoulliⅢ)等. 1767年9月,拉格朗日同维多利亚·孔蒂(Vittoria Conti)结婚.他给达朗贝尔的信中说:"我的妻子是我的一个表妹,曾与我家人一起生活很长时期,是一个很好的家庭妇女."但她体弱多病,未生小孩,久病后于1783年去世. 在普鲁士科学院,拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文,内容一般在《科学院文献》(Mémoires des l"Academie royale des scien-ces)以及《柏林科学院新文献》(Nouveaux memoires de l"Academie des Berlin)上发表.他还接受达朗贝尔的建议,经常参加巴黎科学院竞赛课题研究,并获得1772,1774,1776,1780年度的奖金. 拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果,为一生研究中的鼎盛时期,多数论文在上述两刊物中发表,少量仍寄回都灵.其中有关月球运动(三体问题),行星运动,轨道计算,两个不动中心问题,流体力学,数论,方程论,微分方程,函数论等方面的成果,成为这些领域的开创性或奠基性研究.此外,还在概率论,循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献.他还翻译了欧拉和A.棣莫弗(De Moivre)的著作. 1782年给P.拉普拉斯(Laplace)的信中说:"我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique),但无法出版."拉普拉斯安排在巴黎出版,出书时已是1788年,拉格朗日已到巴黎了.此书成为分析力学的奠基著作. 1783年,老家建立"都灵科学院",任命拉格朗日为名誉院长.原出版刊物改为《都灵科学院综合论丛》(Mélanges des l"Acade-mie des sciences des Turin).拉格朗日也常寄论文回去发表.到1786年8月,因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世,决定离开柏林.他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法国. 巴黎时期(1787—1813).拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作.由于他从1772年起就是该院副院土,这次来工作受到了更热情的欢迎,可惜达朗贝尔已在1783年去世. 到巴黎的前几年,他主要学习更广泛的知识,如形而上学,历史,宗教,医药和植物学等.1789年爆发资产阶级革命,他只是有兴趣地旁观.1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法,科学院建立相应的"度量衡委员会",拉格朗日为委员之一.8月8日,国民议会决定对科学院专政,三个月后又决定把A.L.拉瓦锡(Lavoisier),拉普拉斯,C.A.库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院.但拉格朗日被保留,并任度量衡委员会主席. 1792年,丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Renée-Francoise- Adelaide)结婚,虽未生儿女,但家庭幸福. 1793年9月政府决定逮捕所有在敌国出生的人,经拉瓦锡竭力向当局说明后,把拉格朗日作为例外.1795年成立国家经度局,统一管理全国航海,天文研究和度量衡委员会,拉格朗日是委员之一.同年成立的两个法国最高学府:师范学校和综合工科学校中,拉格朗日等为首批教授.在取消对科学院的专政后,1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院,选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会主席.此后他才重新进行研究工作,但主要是整理过去的工作,并结合教材编写完成一批重要著作. 《分析力学论述》于1788年出版后,拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况.他在1810年前发表的一些论文, 如在《法兰西学院文献》(Memoires de l" Institute)中刊登的"关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论"(Memoirs sur la théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique,1809年3月宣读)等,都是为修改出第二版作准备.第二版更名为《分析力学》(Mé-canique analytique),分两卷,上卷于1811年出版,下卷直到1816年才印出,拉格朗日已去世三年. 他在师范学校的教材《师范学校数学基础教程》(Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l"cole Normale)于1796年出版,后来收进《拉格朗日文集》(Oeuvres de Lagrange,下面简称《文集》),第七卷的内容他在1812年作过大量充实. 1798年出版的《论任意阶数值方程的解法》(Traité de la ré-solution des éqnations numériques de tous les degrés),总结了早年在方程式论方面的成果,并加以系统化,充实后于1808年再版. 关于函数论方面他出版了两本历史性著作.一是《解析函数论,含有微分学的主要定理,不用无穷小,或用在消失的量,或极限与流数等概念,而扫结为代数分析艺术》(Theorie des fonctionsanalytiques,contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d"infiniment petits, d"éranouissa-nts, de limites et de fluxions, et réduits à l"analyse algébrique de quantités finies),1797年出版,1813年再版;另一本《函数计算教程》(Lecons sur le calcul des fonctions), 1801年出版,由师范学校讲义改编. 1799年雾月政变后,拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会荣誉军团成员,封为伯爵;还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章.此时拉格朗日已重病在身,终于在4月11日晨逝世.在葬礼上,由议长拉普拉斯代表上议院,院长拉赛佩德(Lacépède)代表法兰西研究院致悼词.意大利各大学都举行了纪念活动,但柏林未进行任何活动,因当时普鲁士加入反法联盟. 主要贡献评述 拉格朗日在数学,力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献,但他主要是数学家,研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力.全部著作,论文,学术报告记录,学术通讯超过500篇. 拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期.当对数学,物理学和天文学是自然科学主体.数学的主流是由微积分发展起来的数学分析,以欧洲大陆为中心;物理学的主流是力学;天文学的主流是天体力学.数学分析的发展使力学和天体力学深化,而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力.当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献.下面就拉格朗日的主要贡献分别评述. 数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派.英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法,进展缓慢;欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法),进展很快,当时叫分析学(analysis).拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者,在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献. 1.变分法.这是拉格朗日最早研究的领域,以欧拉的思路和结果为依据,但从纯分析方法出发,得到更完善的结果.他的第一篇论文"极大和极小的方法研究"(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)[2]是他研究变分法的序幕; 1760年发表的"关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法"(Essai d"unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)[3]是用分析方法建立变分法的代表作.发表前写信给欧拉时,称此文中的方法为"变分方法"(themethod of variation).欧拉肯定了,并在他自己的论文中正式将此方法命名为"变分法"(the calculus of variation).变分法这个分支才真正建立起来. 拉格朗日方法是对积分 进行极值化,函数y=y(x)待定.他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法,而是引进通过端点(x1,y1),(x2,y2)的新曲线 y(x)+δy(x), δy(x)叫曲线y(x)的变分.J相应的增量△J按δy,δy′展开的一,二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J.他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程 他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况,使这个分支继续发展.1770年以后,拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况,现在已发展成为变分法的标准内容. 2.微分方程.早在都灵时期,拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果.他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程,并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程,就是原方程的齐次方程.他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况,证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成;而且在知道方程的m个特解后,可以把方程降低m价. 在柏林时期,他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献,在1774年完成的"关于微分方程特解的研究"(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)[22]中系统地研究了奇解和通解的关系,明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法;还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线.当然,他的奇解理论还不完善,现代奇解理论的形式是由G.达布(Darboux)等人完成的. 常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行.拉格朗日在1772年完成的"论三体问题"(Essai sur le problémedes trois corps)[8]中,找出了三体运动的常微分方程组的五个特解:三个是三体共线情况;两个是三体保持等边三角形;在天体力学中称为拉格朗日平动解.他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法,对多体问题方程组的近似解有重大作用,促进了摄动理论的建立. 拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者,他在1772年完成的."关于一阶偏微分方程的积分"(Sur l"integration des équationau differences partielles du premier order)[21]和1785年完成的"一阶线性偏微分方程的一般积分方法"(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)[23]中,系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法. 他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解,奇解,通积分等,并给出它们之间的关系.还对形如 的非线性方程,化为解线性方程 后来又进一步证明了解线性方程 Pp+Qq=R(P,Q,R为x,y,z的函数)(5) 与解 等价,而解(6)式又与解常微分方程组 等价.(5)式至今仍称为拉格朗日方程.有趣的是,由上面已可看出,一阶非线性偏微分方程,可以化为解常微分方程组.但拉格朗日自己却不明确,他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时,还说不能用这种方法,可能他忘记了自已在1772年的结果.现代也有时称此方法为拉格朗日方法,又称为柯西(Cauchy)的特征方法.因拉格朗日只讨论两个自变量情况,在推广到n个自变量时遇到困难,而后来由柯西在1819年克服. 3.方程论.18世纪的代数学从属于分析,方程论是其中的活跃领域.拉格朗日在柏林的前十年,大量时间花在代数方程和超越方程的解法上. 他在代数方程解法中有历史性贡献.在长篇论文"关于方程的代数解法的思考" (Réflexions sur le resolution algébrique desequations,《全集》Ⅲ, pp 205—421)中,把前人解三,四次代数方程的各种解法,总结为一套标准方法,而且还分析出一般三,四次方程能用代数方法解出的原因.三次方程有一个二次辅助方程,其解为三次方程根的函数,在根的置换下只有两个值;四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值,因而辅助方程为三次方程.拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数).他继续寻找5次方程的预解函数,希望这个函数是低于5次的方程的解,但没有成功.尽管如此,拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念,而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群,子群的阶是原置换群阶的因子.因而拉格朗日是群论的先驱.他的思想为后来的N.H.阿贝尔(Abel)和 E.伽罗瓦(Galois)采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题. 拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法.设p为方程

从第3个方程得到2z(λ+1)=0, 即z=0或者λ=-1然后分两类讨论z=0，第4个方程变成xy+x-y+4=0前两个方程消去λ可以得到x(x-1)=y(y+1)，整理成(x+y)(x-y-1)=0再分两种情况1.1) x=-y，代入xy+x-y+4=0得到一元二次方程，解出x=1±5^{1/2}，相应的y=-x, z=01.2) x=y+1，同样解一个一元二次方程，此时没有实数解λ=-1，此时前两个方程是线性方程，很容易解出x=-1, y=1, 代入第4个方程得到z=±1，图里z解错了把这些情况综合一下就得到(-1,1,±1)是离远点最近的点，没错，就这样

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值。下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：假设f(X)是效用函数，g（X）=b是成本约束，为了简便X=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：对L求x和λ的一阶偏导，得到：1. dL/dx=f"(x)+λg"(x)=02. dL/dλ=b-g(x)=0第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。等式1变形得3. λ=f"(x)/g"(x)λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g"(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f"(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。这时因为X是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。现在变成二元的，X=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:dL/dx=0dL/dy=0dL/dλ=0三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。当X上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。至于b的元数...你遇到更高元的限制条件再问吧...

看不懂

数学中两个函数的名称：克罗内克δ函数 （Kronecker delta），狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。Kronecker delta，即克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号）δij是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

表达式是根式的函数,叫根式函数.说得更明白一点,表达式里根号下含有自变量x的函数. 如y=√(1-x^2), 又如y=√x+1. 再如y=x^2/3是幂函数, 但是,y=x^2/3=(3)√(x^2)(读作三次根号下x平方) 也可看成根式函数.

伽罗瓦有研究椭圆函数。埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811年10月25日—1832年5月31日），法国数学家。群论的创立者。利用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，并由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群（Galois Group）。伽罗瓦生前在数学上研究成果的重要意义并没有被人们所认识，他曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。后转向政治，支持共和党，曾两次被捕。1832年死于一次决斗。埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811年10月25日－1832年5月31日，法语发音evaʀist galwa），法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。在一次几近自杀的决斗中英年早逝，引起种种揣测。伽罗瓦的父母都是知识分子，12岁以前，伽罗瓦的教育全部由他的母亲负责，他的父亲在伽罗瓦4岁时被选为Bourg La Reine的市长。12岁，伽罗瓦进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要到16岁才开始跟随范涅尔（H.J. Vernier )老师学习数学，他对数学的热情剧然引爆，对于其他科目再也提不起任何兴趣。校方描述此时的伽罗瓦是“奇特、怪异、有原创力又封闭”。1827年，16岁的伽罗瓦自信满满地投考他理想中的（学术的与政治的）大学：综合工科学校，却因为颟顸无能的主考官而名落孙山。1829年，伽罗瓦将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，由奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy） 负责审阅，柯西却将文章连同摘要都弄丢了（19世纪的两个短命数学天才阿贝尔与伽罗瓦都不约而同地“栽”在柯西手中）。

R(X,Y)=E(X*Y);Rx(t1,t2)=E(X(t1)*X(t2))

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数当f为实函数时，有：R_f(- au) = R_f( au),当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：R_f(- au) = R_f^*( au),其中星号表示共轭。连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f( au)| leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：R( au) = int_{-infty}^infty S(f) e^{j 2 pi f au} , dfS(f) = int_{-infty}^infty R( au) e^{- j 2 pi f au} , d au.实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：R( au) = int_{-infty}^infty S(f) cos(2 pi f au) , dfS(f) = int_{-infty}^infty R( au) cos(2 pi f au) , d au.

函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素应变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。 函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。可以请按满意建，谢谢

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数当f为实函数时，有：R_f(- au) = R_f( au),当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：R_f(- au) = R_f^*( au),其中星号表示共轭。连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f( au)| leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：R( au) = int_{-infty}^infty S(f) e^{j 2 pi f au} , dfS(f) = int_{-infty}^infty R( au) e^{- j 2 pi f au} , d au.实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：R( au) = int_{-infty}^infty S(f) cos(2 pi f au) , dfS(f) = int_{-infty}^infty R( au) cos(2 pi f au) , d au.

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 　　对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数 　　当f为实函数时，有： 　　R_f(- au) = R_f( au), 　　当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： 　　R_f(- au) = R_f^*( au), 　　其中星号表示共轭。 　　连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f( au)| leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。 　　周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 　　两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。 　　由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。 　　连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。 　　维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对： 　　R( au) = int_{-infty}^infty S(f) e^{j 2 pi f au} , df 　　S(f) = int_{-infty}^infty R( au) e^{- j 2 pi f au} , d au. 　　实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式： 　　R( au) = int_{-infty}^infty S(f) cos(2 pi f au) , df 　　S(f) = int_{-infty}^infty R( au) cos(2 pi f au) , d au.

对数函数运算法则公式是如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　 　高考数学必考知识点：对数定义 　　如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 　　注：1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 　　2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 　　3.零没有对数。 　　4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 　 　高考数学必考知识点：对数公式 　　 高考数学必考知识点：对数函数定义 　　一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。 　　其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 　 　高考数学必考知识点：对数函数性质 　　定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 　　值域：实数集R，显然对数函数无界。 　　定点：函数图像恒过定点(1，0)。 　　单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 　　奇偶性：非奇非偶函数 　　周期性：不是周期函数 　　对称性：无 　　最值：无 　　零点：x=1 　　注意：负数和0没有对数。 　　两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下： 　　也就是说：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)　　 　　当a>1,b>1时，y=logab>0; 　　当0<a 1时，y=logab<0; </a 　　当a>1,0<b<1时，y=logab<0。 p=""> </b<1时，y=logab<0。>

答案如下图：扩展资料：注意事项：1、对数的底数要为不等于1的正数；因为对数的真数只能是正数。2、差的对数不等于对数的差（上图的公式6），1的对数是0。3、运用对数换底公式时，可化不同底的对数为同底的对数，如先把底统一成适合的某数为底，若统一成的底为10，则为常用对数参考资料来源：百度百科-对数公式

高考数学必考知识点：对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注：1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 高考数学必考知识点：对数公式 高考数学必考知识点：对数函数定义 一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。 其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 高考数学必考知识点：对数函数性质 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下： 也就是说：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0) 当a>1,b>1时，y=logab>0; 当0<a<1,b>1时，y=logab<0; 当a>1,0<b<1时，y=logab<0。

ex是文件扩展名的意思，比如你的文件名是abc.@txt,你可以在后面加一个ex,这样就变成了abcex.@txt,这就是ex的作用.ex的后面可以跟很多文件，只要后面的文件扩展名不同，ex就会自动转换成原来的文件扩展名.比如，你的文件名为abc.@txt,在你的电脑中有一个abcex.@txt,那么ex就会自动转换成abcex.@txt,这样就可以打开这个文件了.@ex是一种扩展名,它是用来标识文件类型的一种符号.

y=-2/3x+2x<0

证明：取任意0<m<n<1,由题意得，f(m)<f(n);因为f(x)为定义域(-l,l)内的奇函数，所以f(x)=-f(-x)；则f(-m)=-f(m),f(-n)=-f(n)；所以f(-m)>f(-n);又因为0>-m>-n>-1;又因为m,n有任意性，所以f(x)在(-l,0)内也单调增加

利润=收益-成本→成本=收益-利润 利润函数为L（x）=（p-a）x-b,收益函数为R（x）=px,则 成本函数C(x)为：C(x)=R(x)-L(x)=px-[（p-a）x-b]=ax+b

由图，把（3，-3）和（0，1）带入y=kx+b-3=3k+b1=b∴解得，k=-4/3，b=1 ∴y=-4/3x+1∴y=0时，x＝3/4即三角形底是3/4高是直线与y轴交点的纵坐标的绝对值，即高为1∴S=1/2×1×3/4=3/8