函数

严格来说狄利克雷函数是有图像的,但由于有理数具有稠密性,没有所谓的真空地带,但是却有小空隙（也就是无理数的位置）,所以不能简单的用线表示.但是如果非要画,可以借助一些文字说明, 画两条直线y=1 然后注明：挖去所有横坐标为无理数的点 y=0,注明：挖去所有横坐标为有理数的点.

狄利克雷函数处处不连续。任意两个实数之间有无穷多的有理数和无理数，所以函数任何一点的左右极限不存在，所以函数处处不连续。

y=D(x)={1 ,x为有理数； {-1,x为无理数.

周期函数的定义是：若存在T>0使得f(x+T)=f(x), 则f(x)为周期函数，不要求有最小周期。按照定义验证对任意有理数T>0, 如果x是有理数则x+T也是有理数，所以f(x+T)=1=f(x).如果x是无理数，则x+T也是有理数，所以f(x+T)=0=f(x).所以狄利可雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期。

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件(Dirichlet Conditions)（1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一周期内，信号是绝对可积的一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。

狄利克雷函数有单调性 啊

函数的周期不必要求是2π,可以任意. 教材先是针对周期为2π的函数的傅里叶级数展开进行讨论,此时的狄利克雷收敛定理中的函数自然是周期为2π.此后讨论了一般情形,函数的周期为2L,一般都省略了新的狄利克雷收敛定理的叙述,因为没有多大必要,只要把周期2π换成2L,连续点、间断点的讨论是一样的.

狄利克雷函数任一点的单侧极限也是不存在的，证明和双侧极限不存在的证明一样。

x=空集 因为f(X)的值不是1就是0 f(1) 或者f(0)都是1 所以是空集

1、 自变量是x,应变量是y 2、 定义域是R 值域是{1,0} 3、 x=-1,y=1 x=根号2,y=0 x=6.4,y=1 x=3.1415,y=1

只听说过狄利克雷条件, 特征方程, 特征值, 特征向量...

1）D(x) 在 x = 0 不连续；2）xD(x) 在 x = 0 连续，但不可导；3）(x^2)D(x) 在 x = 0 连续且可导；4）D(x) 在如何区间内均不可积。

因为D(x)在dx上不明确，既可以是有理数由可以是无理数，因此，D(x)dx不确定，即狄利克雷函数在0到1闭区间上有界但不可积。

①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；接下来判断三个命题的真假②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确； ③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=-33，x2=0，x3=33，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（33，0），B（0，1），C（-33，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：C．

狄利克雷函数是：D（x）=0（x是无理数）；（x是有理数）这个函数定义域是全体实数，这个函数在定义域内处处不连续，所以也就处处不可导。是这个函数在x=0这点也不可导，当然也就没有导数值。

这个函数在任一点左右极限都不相等，即该点不存在极限，故这个函数不连续

是的，因为狄利克雷函数点点不连续，所以处处不可导。其函数图像理论上客观存在，但无法画出确切图形。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

基本性质1、定义域为整个实数域R2、值域为{0,1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。

不是初等函数，它不能由基本初等函数经过有限步加减乘除复合运算得到。

狄利克雷函数（外文名：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，它是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数应该是二维吧。

狄利克雷函数的公式定义：实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)=0（x是无理数）或1（x是有理数）。狄利克雷函数是一个定义容在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。

根据定义啊。　　简单函数的定义是：定义域是可测集，值域是有限个非负数组成的函数。

狄利克雷函数（0，1）中全是间断点，不可数。左导等于右导的为第一类间断点，不属于第一类间断点的均为第二类间断点，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，所以为第二类间断点。

狄利克雷函数是 A.周期函数，无最小正周期 B.周期函数，有最小正周期 C.不是周期函数 正确答案：B

狄利克雷函数仅在x=0连续，可用连续定义证明的

狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。。狄里克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.B.J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。函数可积的充分条件：1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。扩展资料：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。参考资料来源：百度百科——处处不连续函数参考资料来源：百度百科——可积函数

无奇偶性

狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0,当x为无理数.} 对任何正有理数T,X+T与X同为有理数或无理数, 故,D（X+T）=D（X） 所以,狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数.（这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期.因为没有最小的正有理数.）

该函数在有理数点不连续，无理数点连续。证明思路：因为实数域上有理数是可列的（有理数可表示为｛N/M},N,M均为全体整数），古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的。（2）当x不等于0时。若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0。从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。学数学的小窍门1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的。 狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数 　　实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是 　　这是一个处处不连续的可测函数。 　　狄利克雷函数的性质 　　1. 定义在整个数轴上。 　　2. 无法画出图像。 　　3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 　　4. 处处无极限、不连续、不可导。 　　5. 在任何区间上不黎曼可积。 　　6. 是偶函数。 　　7.它在[0,1]上勒贝格可积 　　狄利克雷狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。　在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。　在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。　在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。其实这就是一个数学游戏，关键是这个函数的性质：处处无极限，不可导，不连续，不黎曼可积

它是这样一个函数：当x为有理数时函数值为1，当x为无理数时，函数值为0

实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是这是一个处处不连续的可测函数.狄利克雷函数的性质1.定义在整个数轴上.2.无法画出图像.3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.4.处处无极限、不连续、不可导.5.在任何区间上不黎曼可积.6.是偶函数.7.它在[0,1]上勒贝格可积在很多时候,只是为了来说明某些问题的.这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

这个函数很奇特，图像不好画，不能画，他是用分段函数解析式表达出来的。 狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0，当x为无理数。} 对任何正有理数T，X+T与X同为有理数或无理数，

不用证明，狄利克雷函数(英语:dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄里克雷(1805~1859) Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆;1822~1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克莱撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄里克雷级数。1838~1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克雷问题。

是的，因为狄利克雷函数点点不连续，所以处处不可导。其函数图像理论上客观存在，但无法画出确切图形。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

函数表示为： D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n} 也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

在[0,1]上勒贝格可积 在很多时候,只是为了来说明某些问题的. 这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

函数表示为： D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n} 也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质1、定义域为整个实数域R。2、值域为{0,1}。3、函数为偶函数。4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

狄利克雷函数处处不连续，当然处处不可导。

狄利克雷函数不可积。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数基本性质是：定义域为整个实数域R；值域为{0,1}；函数为偶函数；无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在；以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

当然是这样啦。Dirichlet函数：当x为有理数时，d(x)=1；当x为无理数时，d(x)=0。所以无论x是有理数还是无理数，d(x)都是有理数，因为d(x)只能是1或者0。所以对任意x，d(d(x))=1。

狄利克雷函数的周期性：狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。狄利克雷函数狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

D（x）=1（x为自然数） 0（x不为自然数）

左导等于右导的为第一类间断点，不属于第一类间断点的均为第二类间断点，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，所以为第二类间断点

不一定。狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

就是一种图形无法画的函数

对于①，∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正确； 对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； 对于④，取x1=-33，x2=0，x3=33，可得A（-33，0）、B（0，1）、C（33，0）三点恰好构成等边三角形，故④正确．综上所述，真命题是②③④，故选：D．

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）假设f(x)=0，x为无理数f(x)=1，x为有理数由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言，取T为任意有理数，就都满足了，无论x是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。扩展资料对于函数f(x)，如果存在一个不为0的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称为这个函数的周期。如果函数f(x的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：1、若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。2、若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。3、若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。5、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。6、周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数参考资料来源：百度百科-周期函数

当1属于Q 0不属于Q时 X集合为Q当1不属于Q 0属于Q时 X集合为非Q其他情况为空集

狄利克雷函数不可积，因为每个点都不连续，不连续的点的个数大于有理数的个数。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的，所以狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件括三方面：（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点。（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。（3）在一周期内，信号是绝对可积的。傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

以任意有理数为周期（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）

根据是收敛定理,也称狄里克雷收敛定理;定理结论是:在f(x)的连续点x处,级数收敛到f(x); 在f(x)的间断点x处,级数收敛到(f(x+0)+f(x-0))/2。1827年在波兰布雷斯劳大学任讲师。1829年任柏林大学讲师，1839年升为教授。1855年，高斯逝世后，他作为高斯的继任者被哥廷根大学聘任为教授，直至逝世。1831年，他被选为普鲁士科学院院士，1855年被选为英国皇家学会会员。狄利克雷是德国数学家，1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于哥廷根。狄利克雷出生于一个具有法兰西血统的家庭。自幼喜欢数学，在12岁前就将零用钱积攒起来买数学书阅读。16岁中学毕业后，父母希望他学习法律，但狄利克雷却决心攻读数学。他先在迪伦学习，后到哥廷根受业于高斯。1822年到1827年间旅居巴黎当家庭教师。在此期间，他参加了以傅里叶为首的青年数学家小组的活动，深受傅里叶学术思想的影响。

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。函数可积的充分条件：1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。扩展资料：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。参考资料来源：百度百科——处处不连续函数参考资料来源：百度百科——可积函数

连续如下：不是处处连续。狄利克雷函数的跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。简介：函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

甭听楼上乱讲，狄利克雷函数是处处不连续的

你得先知道它是个什么函数，狄利克雷函数函数是x取无理数时，为0，x取有理数时，为1；有理数和无理数在数轴上的点是基本没法区分开的，请采纳，谢谢

狄利克雷函数D（x）是周期函数，但没有最小正周期。当x趋向于x。时，D（x）并不能趋向于一个确定的值，因此极限不存在，当然不连续，更不可导。

以任意有理数为周期。通过查看狄利克雷函数的定义，狄利克雷函数是在实数范围上、值域不连续的函数。该函数图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数，处处不连续，处处极限不存在。狄利克雷函数因为以任意有理数为周期是周期函数，有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数。狄利克雷函数在整个实数轴上都没有连续点，因此在数学分析、函数论等领域中具有一些特殊的性质和应用。

在勒贝格积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上可积.积分值为0, 因为按勒贝格测度,狄利克雷函数在区间（0,1）上几乎处处为0. 在黎曼积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上不可积. 区间（0,1）上函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)间断点集合的勒贝格测度为0.

狄利克雷函数表达式如下图所示：狄利克雷函数表达式中k，j为整数，也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质：1、定义域为整个实数域R；2、值域为{0，1}；3、函数为偶函数；4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在；5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

实数域上的狄里克莱（Dirichlet）函数表示为：D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1；当x是无理数时，f(x)=0。显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。

狄利克雷函数对于指导我国社会福利改革、提高全民幸福指数、深化劳动制度创新方面，具有重要意义。这个函数的特点为：(1)没有解析式：使函数概念从解析式中解放了出来。即没有特定的解决问题的套路(2)没有图形：使函数概念从几何直观中解放了出来。即没有证据能证明所述为事实(3)没有实际背景：使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。即任何反驳都没有客观应用场景(4) 周期性：任意的非零有理数都是它的周期；但是任何的无理数都不是。即在任意周期内，一件事既可以发生，也可以不发生。狄利克雷函数在我国已经有了非常多的实际应用，其中，以西贝莜面村的“715工作制”最负盛名，但这一福报曾被很多人误解为是对劳动者的残酷剥削。假设：以F(x)=0,表示工作时间；以F(x)=1,表示休息时间，由狄利克雷函数定义可知，其定义域和值域均为实数，同时我们可以取任意有理数为其区间，且函数在这区间内不连续，且为周期函数。这里我们取24小时为其区间。

实数上的狄利克雷（dirichlet）函数定义是这是一个处处不连续的可测函数.狄利克雷函数的性质1.定义在整个数轴上.2.无法画出图像.3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.4.处处无极限、不连续、不可导.5.在任何区间上不黎曼可积.6.是偶函数.7.它在[0,1]上勒贝格可积在很多时候,只是为了来说明某些问题的.这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄里克莱函数运用的反例：因为震荡的太厉害所以不可积并不是每个函数都有最小周期的设 S_n(x)={(1, x*n!∈Z), (0, 当x为其他值)} 且x∈[0,1]，利用逐项求积分法讨论这个函数的可积性。当x是无理数时，Sn(x)的极限函数是S(x)=D(x)，因此根据逐项求积分法可得Sn(x)在[0,1]上是不可积的。有理数时显然。其他（一致连续，可导性，连续性）东西就自行脑补下然后自己做做吧，比如连续性是不可能的。主要就这几个。。

狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1；当x是无理数时，f(x)=0。显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。

狄利克雷函数表达式在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。在常微分方程情况下，如在区间[0,1]，狄利克雷边界条件有如下形式：y(0)=α1y(1)=α2其中α1和α2是给定的数值。一个区域上的偏微分方程，如Δy+y=0(Δ表示拉普拉斯算子，狄利克雷边界条件有如下的形式这里，ν表示边界处(向外的)法向；f是给定的已知函数。在热力学中，第一类边界条件的表述为：将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。半无限大物体在导热方向上，当其边界温度一定为第一类。数学描述为：T(x,0)=T1;T(0,t)=Ts。

狄利克雷函数是一种特殊的函数，其图像处处不连续，故不可导。可导函数应当满足其图像足够光滑且连续，而狄利克雷函数不能满足这一条件。

取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。 狄利克雷函数和周期函数的定义 狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 狄利克雷函数 额 基本性质 1、定义域为整个实数域R。 2、值域为{0,1}。 3、函数为偶函数。 4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。 5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

世界上，没有永远的战争，也没有永远的和平。战争与和平交替存在。没有永远的光明，也没有永远的黑夜，光明与黑暗相伴而生。有密码墙，就是破裂密码墙的计算方法。尽管没有永远足够安全的密码，但我们会一直进步。在中国有一位这样女教授，她破解了世界上著名的通用哈希函数，就好比一个人赤手空拳，在一天之内造出一架飞机飞上天！让我们来一起了解王小云教授吧。1966年，王小云出生在山东省的诸城。父亲曾是山东一所师范学校数学与化学班毕业的学生，而王小云显然遗传到了父亲数学好的基因，同时，在父亲的带动下，王小云就表现出对数理化深厚的兴趣。后来，在王小云高考的时候，由于数学成绩特别好，她就报考了山东大学的数学系。而山东大学的数学系也是卧虎藏龙之地，有潘承洞等数学高高手在此坐镇。潘承洞曾和潘承彪合著了《哥德巴赫猜想》是关于这一数学理论猜想的又一力作，受到广泛关注。由此可见，王小云的求学生涯一定收获累累。1987年，王小云成功考到山大的研究生，跟随潘承洞学习。一年多以后，潘承洞发现王小云更擅长密码学方向的研究，建议她转攻密码学。王小云听从了老师的建议，开始了她艰苦研究的密码学历程。又过几年，王小云考上基础数学专业的博士，并在本校担任老师。王小云开始自己一个人埋头研究密码，一研究就是十年！而且当时国家并没有给予相关的经费支持，这样简劣的条件下，王小云没有放弃，沉浸在知识的象牙塔里。于是王小云从当时最安全，也是全世界最通用的哈希函数开始研究起。当时的她也没有很大的想法说非要干出个什么来。结果后来破解了被许多专家声称不可破解的哈希函数。那么我们来了解一下哈希函数是如何运行的。MD5和SHA-1这两个函数是一种加密的哈希函数，而且两者的返回值永远是固定的。同时，他们也是由于具有以下特性而被广泛运用于加密中：不可逆的特性、有"蝴蝶效应"的特性，就是在原始数据中有些微的改变都会对结果产生巨大的差异、而且这两个函数具有"标注唯一"的功能。我们可以举个例子来证明哈希函数是如何具体使用的。比如我们在一个网站中输入自己的账号和密码。当这个账号和密码以正常的形式被储存在数据库里遇到的风险会很多。比如管理员有可能偷偷泄露掉你的账号和密码，致使你的数据外传，这个风险不言而喻，是极高的。而如果用这两个函数来对帐号和密码进行加密使用后，再储存在数据库里，比如输入了1234，经过加密后被储存的则是一串固定的没有常规意义的密码，而想要破解这串没有常规意义的密码是非常有难度的，因此，哈希函数具有很高的安全度。2004年，美国召开了国际密码大会，王小云在这个大会上做了自己的报告。她声称自己找到了破解国际上通用的哈希函数MD5和SHA-1的方法。随后，王小云团队展示了就MD5的破解办法——碰撞攻击理论。这个理论就是讲，在使用MD5的时候，会出现2的128次方个值，这个值不是无穷无尽的。因此用所有的值和MD5所产生的值进行相似对比。有一句话是这样说的，让一个星星不停地敲打键盘，总有打出一部红楼梦的一天因此，王小云提出的碰撞攻击理论在理论程度上是可行的。而且她的理论会加快这种碰撞速度，这样出现两个相同值的可能性就会提高。因此，哈希函数MD5的安全性就有了漏洞，不再是以前人们所认为的不可攻破。2005年，王小云团队又提出了破解SHA-1的理论方法。不断打破密码界神话的人物王小云教授受到国内外的广泛关注。美国相关的协会向业界内的全部学者征集更安全的密码算法，攻破了当时世界上最通用的密码算法后，王小云投入了新的哈希函数密码的设计。这年七月份，王小云被清华大学聘请为讲座教授，她联合国内的其他专家们开始设计更高级的密码算法。最终研究出新一代的函数算法SM3。王小云和她的团队则帮助推动MD5等函数的逐步淘汰和新一代密码算法的应用。如今，SM3被大规模的应用到我国许多软件中去。密码的设计永远在进步，破解密码的办法也永远会有人想到，只有不断的进步，安全性才能得到保障。王小云在国家的密码算法安全性上做出的突破性贡献是无法忽视的。而且她能用十年来默默研究，在密码的领域不断深耕。如今，国家会在项目推动上给予大力资金扶持，因此他们这些教授有更好的条件去纯粹的做相关的研究。因此我们需要做更多来让国家，让人民更有安全感，尽力去保障国家和人民的安全与利益。王小云曾说，密码的水平在世界范围内这么高的原因就是不断有人想出新办法。因为我们就必须全面的分析密码的漏洞，这样就能更清楚，更深入的了解该如何防范，怎么防范。2019年，王小云荣获未来科技大奖。夺得过这个奖项的人无一不为世界做出了重要贡献。结语王小云从小有着比较良好的家庭影响，她继承了父亲对数理化的喜爱，在后来的日子里也默默坚持，沉下心来去在自己热爱的领域里勤学苦读。脱离掉学术氛围，王小云也有着普通的爱好，她喜欢养一些鲜花，或者做简单的家务都能让她放松，另外，集邮也是王小云的兴趣爱好之一。

黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)　从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。

函数f(x)的周期是t，则f(x+t)=f(x)对定义域内的任何x都成立设g(x)=f(wx)则g(x+t/w)f[w(x+t/w)]=f(wx+t)=f(wx)=g(x)这说明了函数g(x)以t/w为周期即函数f(wx)以t/w为周期。

1、三角函数的，公式法：T=2π/ω，Asin(ωx+φ），Acos(ωx+φ）;T=π/ω，Atan(ωx+φ），Acot(ωx+φ）。2、一般的，定义法：f(x+c)=f(x),C≠0是周期，其最小正数是最小正周期T。3、对称的，具有对称性函数的周期：（1）如果函数f(x)在R上的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b)，那么，f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期.（2）如果函数f(x)在R上的图象有两个对称中心(a，0)和 (b，0) (a≠b)，那么f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期.（3）如果函数f(x)在R上的图象有一个对称轴x=a和一个对称中心(b，c)(a≠b).那么f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期.4.抽象的，充分条件法。设m是非零常数，若对于函数f(x)定义域R中的任意x，恒有下列条件之一成立，则f(x)是周期函数，2m是它的一个周期.①f(x +m)=-f(x)，②f(x+m)=1/f(x)，④f(x+m)=f(x-m)，③f(x+m)= -1/f(x).5.函数运算。函数f(x)与g(x)都是周期为T的周期函数，则它们的和，差、积、商（分母不为0）也是周期函数，这时T是一个周期。