函数

增函数乘增函数，还是增函数

增乘增为增,减乘减为增,减乘增为减,减加减为减,增加增为增,增加减不一定,奇加奇为奇,偶加偶为偶,奇加偶不一定,奇复合奇为偶,偶复合偶为偶,奇复合偶为奇.增减无复合方面的性质,奇偶无乘除的性质.如果想方便记忆就举两个很熟悉的例子,比如f(x):y=x是增,g(x):y=-x是减,然后f(x)乘g(x)为x的平方,是条抛物线,就增减不一定啦.

这个很容易记，可以把增函数看作正，减函数看作负，它们合成的时候看是正是负，比如增函数乘以增函数相当于两个正数相乘，所得为正，即增函数，类似的说法是同增异减

下面的完全胡说 x是增函数？x都不是增函数还x乘x为x平方 教材上给的东西肯定对着呢

增函数乘减函数得出的函数是无规律的。比如y=x是增函数，y=1/x是减函数，但是相乘之后是一个常函数y=1无单调性，而y=x^3是增函数，y=1/x是减函数，相乘之后是y=x^2，先减后增的。增减函数没有乘除法则，只有加减可以判断增减函数。函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。减函数乘增函数是什么：1.减函数乘增函数是减函数。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。2.函数的增减性对加法有效，对其他的算法无效，如增乘增我们举下面的例子1，y=x是增函数，y=x^3还是增函数，两个一乘后是；y=x^4,在(0,+∞)上是增函数。2.y=x是增函数，y=1/x是减函数，两个一乘后是: y=1不增不减；3.增函数乘以减函数也是如此，只要上面的乘法函数改一下就行了；y=x是增函数，y=-x^3是减函数，相乘后是，y=x^4在(0,+∞)上是增函数，y=x是增函数，y=(1/x)是减函数，两个相乘后是：y=1,不增不减。

没有任何规律性

无论是增减性还是奇偶性,相乘除都是不能确定的,哪怕是增乘增或减乘减； 唯有：增函数+增函数或增函数-减函数=增函数； 减函数+减函数或减函数-增函数=减函数,16,请结合图形,2,需要根据两函数的正负性判断，基本思路是一样的： 例单调递增函数，对于x1 那么y1*z1与y2*z2的大小关系与y1、y2、z1、z2的正负性有关,1,一般地，相乘无法确定单调性。 但是，在同一个区间上，如果知道两个函数的符号，则可以判定。 如f(x)>0且单增，g(x)>0且单增 则fg单增,0,

函数的增减性对加法有效，对其他的算法无效，如增乘增等于什么呢？我们来下面的例子1，y=x是增函数，y=x^3还是增函数，两个一乘后是；y=x^4,在(0,+∞)上是增函数，2.y=x是增函数，y=1/x是减函数，两个一乘后是: y=1不增不减；3.增函数乘以减函数也是如此，只要上面的乘法函数改一下就行了；y=x是增函数，y=-x^3是减函数，相乘后是y=x^4在(0,+∞)上是增函数，y=x是增函数，y=(1/x)是减函数，两个相乘后是：y=1,不增不减，所以你的猜测是错误的；没有定理保证，

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1所以f"(y)=-1,f(y)=-y+C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C令x=y=0：2=C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2不知道算错没有-_-|||

首先，你题目打错了。u-v就不是调和函数。应该是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。

你写的ux和uy应该是u对x,y的偏导吧，即u"x和u"y。令U=u"x，V=-u"y，则U"x=u""xx，V‘y=-u""yy，U"y=u""xy，V‘x=-u""yx。调和函数的定义是具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元函数。根据u满足拉普拉斯方程u""xx+u""yy=0，知U"x=V‘y，再根据u二阶偏导连续，知两个混合偏导数相等u""xy=u""yx，即U"y=-V‘x，因此f(z)满足柯西黎曼方程，它在D内解析。

这个结论不对，实部和虚部除了都是调和函数，还应该满足c-r方程，即“实部是虚部的共轭调和函数”

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1 au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1 由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y) 所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1 所以f"(y)=-1,。

不对，应该反过来说

偏u/偏x=2x 偏u/偏y=-2y 偏^2u/偏x^2=2 偏^2u/偏x偏y=0 偏^2u/偏y偏x=0 偏^2u/偏y^2=-2 偏^2u/偏x^2+偏^2u/偏y^2=2-2=0,满足拉普拉斯方程,u是调和函数. 设z=x+yi, 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,v称作u的共轭调和函数. 偏v/偏y=偏u/偏x=2x 偏v/偏x=-偏u/偏y=2y 偏^2v/偏y偏x=偏^2u/偏x^2=2 偏^2v/偏x偏y=-偏^2u/偏y^2=2=偏^2v/偏y偏x 偏^2v/偏x^2=-偏^2u/偏y偏x=0 偏^2v/偏y^2=偏^2u/偏x偏y=0 取v=2xy,满足要求. f(z)=(x^2-y^2)+i2xy=(x+yi)^2=z^2

根据调和函数定义,0 = d^2u/dx^2+d^2u/dy^2 = 2 + 2k 所以k=-1

v"y=2x，因此u"x=v"y=2x，积分得u=x^2+g(y)，又由于u"y=-v"x，所以g"(y)=-2y，g(y)=-y^2+c，故u=x^2-y^2+c，f(z)=x^2-y^2+c+2ixy，所以f(i)=-1+c=-1，故c=0，因此u=x^2-y^2，f(z)=x^2-y^2+2ixy

根据调和函数定义,0 = d^2u/dx^2+d^2u/dy^2 = 2 + 2k 所以k=-1

设P = X ^ 2-Y ^ 2 + X,Q = - （2XY + Y）.EQ / EX-EP / EY =-2Y-（-2Y）= 0罗塔= 0 EP / EX + EQ,/ EY = 2X +1 +（2X-1）= 0 DIVA = 0,所以一架飞机谐场.接入点（X0,Y0）=（0,0）,力函数u =∫0dx +∫（范围从0到y）（X ^ 2-Y ^ 2 + X）DY = YX ^ 2 + Y ^ 3 / 3 + XY + C.势函数V = - ∫（范围从0到x）（X ^ 2 + X）DX +∫（范围0到y）（2XY + Y）DY-X ^ 3/3-x ^ 2/2 + XY ^ 2 + Y ^ 2/2 + C.

任意两个调和函数都可以组成一个解析函数不对。根据查询相关公开信息显示，解析函数的实部和虚部并不是独立的，之间有密切的关系。并非任意两个调和函数就能构成一个解析函数。

v"y=2x，因此u"x=v"y=2x，积分得u=x^2+g(y)，又由于u"y=-v"x，所以g"(y)=-2y，g(y)=-y^2+c，故u=x^2-y^2+c，f(z)=x^2-y^2+c+2ixy，所以f(i)=-1+c=-1，故c=0，因此u=x^2-y^2，f(z)=x^2-y^2+2ixy

设函数f（z）= u + iv的解析函数的柯西 - 黎曼方程知道吗? V /? = - ? U /? Y =-X +2 Y; ? V /? Y =? U /? X = 2X + Y. V = X ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C,C是一个常数. F（z）= u + iv的 = x ^ 2 + XY-Y ^ 2 +（-x...

因为f(z)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)即f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)又f(0)=i,即是f(0,0)=i于是f(0,0)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)=iC=I所以C=1于是f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)设z=x+yiz³=x³+3x²yi+3x(yi)²+(yi)³=x³+3x²yi-3xy²-y³i由f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)=x³+3x²yi-3xy²-y³i+i即f(z)=z³+i

证明u与v的乘积是调和函数：u-v就不是调和函数。是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

搜一下：调和函数是二阶导数相加的零还是对x和y的二阶导数相等啊？解析函数呢？

球谐函数在图形学光照计算等领域有着重要应用，因为目前在实际工作中接触较少，所以对其的理解仅仅停留在表面，本着越是基础的东西，其重要性越高的想法，特此开篇文章对其背后的数学理论进行拆解，拆解过程参考了大量其他同学的工作，相应链接在文末的参考文献中有列出，引用过程中如有表述不清晰的内容，可以通过原文辅助阅读。 调和函数指的是一种特殊的二阶连续可导函数（简称C2，在某个定义域存在二阶导数，且二阶导数连续），数学符号用 表达，其中 是 （表示n维实数域）的一个开子集（相当于一维数据空间中的开区间），其特殊在于需要满足拉普拉斯方程（下面有介绍），用（笛卡尔坐标系下）数学表达式来描述的话，就是对于任意 ，需要满足如下的二阶偏微分方程：这里来回顾一下微分方程的相关知识，单个变量下，也就是一元变量情况下，函数与函数各阶导数组成的微分方程叫做常微分方程：多元函数而言，函数以及函数对各个自变量的各阶偏导数组成的微分方程叫做偏微分方程：这个公式也经常以如下的形式出现（ 称为拉普拉斯算子， 称为向量微分算子，也就是nabla算子）：其中 叫做拉普拉斯算子，光看定义太抽象，我们来举个例子吧，下面两个函数都是二元的调和函数：拉普拉斯方程也被称为调和方程、位势方程，这是一种偏微分方程，因为其可以用势函数的形式来描述电磁场、引力场、流场（统称为保守场或者有势场）的性质而被广泛应用。 笛卡尔坐标系下的表述形式前面已经写过了，下面给出球面坐标系下的拉普拉斯方程表述形式： 这个方程也常用如下的简化形式来代替： 或者 其中div指的是向量场（指的是空间中的每一点都有一个对应的带长度的向量）的散度（divergence），grad表示的是标量场的梯度（gradient）。 散度是向量分析中常用的向量算子，用于实现向量场到标量场的转换映射，也就是说，经过散度算子处理后，得到的是一个标量场（每一点有一个不带方向的数值）。以静电场为例，空间中的电场强度是一个向量场，电场线正出负归，在正电荷附近，对应的散度为正值，且电荷带电量越大，散度越大，负电荷附近则反之，其散度为负值，且电荷带电量越大，散度绝对值越大。更为通用的概括是，散度可以看成是向量场在某一点的通量密度，当散度大于0的时候，就表示该点有流量留出，此时这一点可以被称为源点，当散度小于0的时候，表示此点有流量流入，此时此点被称为汇点，散度为0，表示该点无流入也无流出，如果整个向量场的散度都是0，那么这个向量场可以称为无源场。 对于某个向量场 而言，其散度可以通过如下公式求得：梯度是对多元函数的导数的一种描述，单元函数（只有一个自变量）的导数是标量值函数，而多元（多个自变量）函数的导数则是一个向量值函数，这里多元函数的导数，我们也称为多元函数的梯度，多元函数f在点P处的梯度指的是以f在P处的偏微分作为分量的向量，如一个三维空间函数 ，其梯度函数可以用如下的形式来表述：单元函数的导数对应的是函数在某一点切线的斜率，对应到梯度上，如果多元函数在某点P的梯度不为0的话，那么计算出来的梯度方向指的是这个函数在P点处增长最快的方向（超平面的切线），而梯度的长度则是函数在此点处的增长率（超平面的斜率）。 举个例子，如果某个房间内的温度用一个函数来表示，那么这个函数在三维空间中的梯度就对应于房间中某点处温度上升最快的方向，而其长度则对应于温度增长率。 可以看到，一个多元函数的标量场，经过梯度转化后，得到的是一个向量场。 从调和函数的定义我们可以看到，所谓的调和函数，实际上就是拉普拉斯方程的解，而我们日常所说的球谐函数（Spherical Harmonics Function）实际上就是拉普拉斯方程在球坐标系空间下的解。 拉普拉斯方程是一个偏微分方程，而解偏微分方程常用的策略是分离变量法，即将偏微分方程分解成几个常微分方程进行求解，下面我们通过将半径跟角度进行分离来进行求解。 设 ，将之代入前面的拉普拉斯方程，可以得到：上面公式乘上 之后可以得到：对于上面公式中后面的等式，我们继续使用分离变量法，令（这里是假设Y具有可以分离的形式，当然这个假设不是必然成立的，只是为了简化计算而给出的，只有一些特殊的函数才具有这种假设的可分离的形式） ，代入前面公式可以得到：简化后，令左右两边均等于 ，可以得到：一个先验知识是m是一个复数常量（怎么得到的？），且由于 是一个周期函数，其周期可以整除 ，因此m就会是一个整数，而 则是复数指数 的线性组合，Y的常规解出现在极点，也就是 的时候，而在上面的第二个方程中求解 时的常规状态出现在Sturm-Liouville problem的边界点上，在这个边界点中会将 ，其中l是非负整数，且 ，此外，将上面公式中的 用t来替代，就能够得到勒让德公式（Legendre equation），而勒让德公式的解就是伴随勒让德多项式 的倍数。 对于满足前面假设的Y，对于给定的 ，我们总共有 个独立解，这些角度上的解可以表示为三角函数的乘积，这里可以用复数指数与伴随勒让德多项式来表示： 其中这个解需要满足： 上述公式中的 就被称为一个m阶（order）l度（degree）的球谐函数， 就是一个伴随勒让德多项式，N是一个归一化的常量， 则代表着球上的经纬度 所有的球谐函数组成了一组正交基，所谓的正交基指的是，两两基函数相乘的积分只有当两个基函数是同一个基函数的情况下结果为1，否则为0。 上图给出了不同的SH基函数的几何形状展示，这个图是通过以方向为自变量，到球心的距离作为因变量绘制的。 而其他函数都可以通过使用不同系数来对SH基函数进行线性组合来实现近似模拟，这个过程有点像是周期函数的傅里叶展开。 未完待续…… [1] Rendering-球谐光照推导及应用 [2] 调和函数 [3] 拉普拉斯方程 [4] 散度 [5] 梯度 [6] Spherical harmonics [7]. Laplace"s equation

并不是，需要有共轭性，即这两个调和函数需要满足Cauchy-Riemann方程显然的反例有x，-y均是调和函数，z=x+iy，则x-iy不是解析函数。

从复变函数导数的定义可知:若f(z)在a可导,则对任意常数c,c·f(z)也在a可导.因此第一问显然.再注意到i·f(z)=-v+i·u,因此u是-v的共轭调和函数,从而-u是v的共轭调和函数.

u是调和函数，如果u不为常数，那么u^2就一定不是调和函数，u可以是复函数，也可以是实函数这个可以很简单的推到（略）

在式f(z)=y/(x^2+y^2)+i[x/(x^2+y^2)]+φ(x)中令x=z,y=0即得f(z)

定义：如图所示：定理：如图所示：对定理的证明过程，如图所示：共轭调和函数：定义：如图所示：定义的相关知识，如图册所示：定理：如图所示：定理公式推导过程，如图所示：例1：如图册所示：

从复变函数导数的定义可知:若f(z)在a可导,则对任意常数c,c·f(z)也在a可导.因此第一问显然.再注意到i·f(z) = -v+i·u,因此u是-v的共轭调和函数,从而-u是v的共轭调和函数.

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1所以f"(y)=-1,f(y)=-y+C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C令x=y=0：2=C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2不知道算错没有-_-|||

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程

是。f是U上的一调和函数，那么 f 的所有偏导数也是U上的调和函数。u的梯度的模是调和函数。在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

vyy=-2y（x^2+y^2）^2-（x^2-y^2）*2*（x^2+y^2）*2y/（x^2+y^2）^4

拉普拉斯调和函数是由拉普拉斯方程定义的，拉普拉斯方程又叫调和方程

1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n-------n是1 2 3 4－－－－－－－

u对x的2次偏导数=2，u对y的2次偏导数=-2，所以这两项相加=0，即u满足拉普拉斯方程，u是调和函数。f(i)=-1+i，f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数；y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数，所以f是z上的解析函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。扩展资料：调和函数的性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

1、首先拿出一支笔与一张纸，将纸平铺在桌面上。2、其次在网上查找求调和场的调和函数的u视频教程。3、最后按照视频教程一步一步求出来即可。

按拉普拉斯方程验证就好了

不是。x的三次方计算出来的不是调和函数而是幂函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个(从而区域是n维的)时，则称它为n维调和函数。

v"y=2x,因此u"x=v"y=2x,积分得u=x^2+g(y),又由于u"y=-v"x,所以g"(y)=-2y,g(y)=-y^2+c,故u=x^2-y^2+c,f(z)=x^2-y^2+c+2ixy,所以f(i)=-1+c=-1,故c=0,因此u=x^2-y^2,f(z)=x^2-y^2+2ixy

共轭调和函数是解析函数的虚部，v（x，y）

-u,设v的共轭调和函数为μ,他们应该满足柯西黎曼方程（这时v替代原来u,μ替代原来v）：∂v/∂x=∂μ/∂y∂v/∂y=-∂μ/∂x再由原来的柯西黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x联立得：∂μ/∂y=-∂u/∂y∂μ/∂x=-∂u/∂x易知μ=-u

如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数。函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的由来：中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0,g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

调和函数: 调和方程:

不是，虚部是实部的共轭调和

不是。根据查询相关公开信息显示，x2加y2加z2，不满足拉普拉斯方程，不是调和函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数，对函数本身附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。

为0。根据数学知识，函数二阶混合偏导恒为0，所以为0，函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，是一个非常重要的知识。

三维调和函数的平均值公式：f（x1，x2）=ln（x12+x22）。对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外），对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程。可以证明U上的分布T满足ΔT=0，则T是解析且调和的函数。为使在U上局部可积的函数f是调和的，必须且只须对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球含于U中的正实数α，f(a)等于f在球B上的平均值。或等于f在以a为中心、α为半径的球面上的平均值。由此容易推出： 定义在连通开集U上、使 |f|在U的一点达到其极大值的调和函数是常值函数(极大值原理)。

这题我做错了，给mscheng19把

你好！这题我做错了，给mscheng19把仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

倘若其中  是调和函数，  ，利用Green第二公式：这里的  是我们任取的一个好的函数，于是我们看到这样一种可能性：式子的右端仅与  上函数的性质有关，我们有可能取得  或是怎样的一个函数，使得式子的左端非常接近于区域内某点的值  ，也就是说：上面的式子提示了调和函数在区域内部某点的值完全被边界上的取值决定的可能性！

解析函数和共轭调和函数是互为充要的，而u,v是调和函数不一定解析，但是解析又u,v一定是调和函数。满足C-R方程的就称v是u的共轭调和函数 ，但是调和函数呢，只要满足拉普拉斯算子就可以了。公式：C-R方程： du/dx=dv/dy ,du/dy=-dv/dx 则v是u的共轭调和函数 （d为偏导）拉普拉斯算子： u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0 （v也一样） 满足就为调和函数

H(x)式子右侧没有x啊， 应该是 H(n)吧

是的，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv（其中i是虚数单位）确实是解析函数。这是因为调和函数满足拉普拉斯方程，即它们的二阶偏导数之和为零：Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0，Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0。在复分析中，解析函数是满足柯西-黎曼方程的函数。对于一个解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其实部u和虚部v需要满足以下柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x考虑到u和v都是调和函数，我们可以应用拉普拉斯方程。从Δu = 0和Δv = 0，我们可以得出：∂²u/∂x² = -∂²u/∂y²∂²v/∂x² = -∂²v/∂y²然后，我们可以用这些等式来验证柯西-黎曼方程是否成立。对u关于y求导，对v关于x求导：∂²u/∂x∂y = -∂²v/∂x²∂²v/∂y∂x = -∂²u/∂y²由于混合偏导数是可交换的（即∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x），所以柯西-黎曼方程成立。因此，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv是解析函数。

Python 有求和的函数。如下两个函数。其中sum是Python的内置函数，fsum是math模块下的求和函数>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])0.9999999999999999>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])1.0如果你要保证算法精度，建议你使用math中的fsum。该算法，会不断跟踪运算过程的每一步，以此避免运算的精度损失，相比较sum而言有更高的精度。而sum函数只是求和，也就是简单的加法运算，不关心精度。如果输入的列表是字符串列表，sum也能被正确执行。

【按照一般定义】 u+iv 解析，称v是u的共轭调和函数，那么： u=2x-2xy，(偏u)/(偏x)=2-2y，(偏u)/(偏y)=-2x， 根据柯西黎曼方程，有 (偏v)/(偏y)=(偏u)/(偏x)=2-2y，(偏v)/(偏x)=-(偏u)/(偏y)=2x， 得到 v=2y+x^2-y^2。 【现在也称】u与v互为共轭调和函数，那么解答就不唯一， 调和函数 v=-2y-x^2+y^2 与 u=2x-2xy 也是互为共轭调和函数。 。

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。实际上，拉普拉斯方程的解就是调和函数。调和函数无限次可导，其线性组合仍为调和函数。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值。调和函数在物理学上的意义：二阶偏导的和等于零，对应于加速度的和为零，即可以描述系统不受力的状态，即系统处于稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态，却能用调和函数描述系统稳态下的状态，调和函数就显得非常有意义了。拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

看在某区域中是否满足拉普拉斯方程。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和唯一性定理。性质在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u=u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r<R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。

是的。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

三种方法 (不定积分法、偏积分法、曲线积分法)

不是，调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。调和函数满足以下的极大值定理：如果K是U的一个紧子集，那么f在K上诱导的函数只能在边界上达到其最大值和最小值。如果U是连通的，那么这个定理意味着f不能达到最大值和最小值，除非它是常数函数。对于次调和函数也有同样的定理。

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。

解题如下：调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。扩展资料：调和函数的性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数.f(i)=-1+i,f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数;y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数

1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n-------n是1234－－－－－－－

u＝X2十y2是调和函数。Xy代表两个变数，一个越大，另一个越小。

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0, g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

u"x=1,u""xx=0,u"y=-2,u""yy=0,因此u""xx+u""yy=0,即u满足拉普拉斯方程,因此u是调和函数,同理v"x=1+y,v""xx=0,v"y=x+1,v""yy=0,即v""xx+v""yy=0,v也是调和函数.但是根据柯西黎曼方程,u"x=v"y,u"y=-v"x,有1=x+1,2=1+y,即x=0,y=1,因此f(z)=u+iv只在z=i处可导,在任意点都不解析.

错误，反之是正确的。若函数解析，其实部与虚部一定是调和函数。若实部与虚部都是调和函数，则复变函数不一定解析。反例：如u=x+y，v=x+y，因为都是一次式，当然是调和函数（验证调和函数需要求二阶偏导），但函数z=(x+y)+i(x+y)显然不解析，du/dy ≠ -dv/dx

解析函数的虚部，就是其实部的共轭调和函数

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。

若f(x,y)为D内的解析函数则,它的实部和虚部都为调和函数 设f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) ∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x 所以∂^2u/∂x^2=∂v/∂x∂y ∂^2u/∂y^2=-∂v/∂x∂y 所以u(x,y)为调和函数,同理可证v(x,y)为调和函数

令v=x/y，则u"x=f"/y，u""xx=f""/y^2，u"y=-xf"/y^2，u""yy=(2xf""/y^3)+(x^2)f""/y^4，由于调和函数满足拉普拉斯方程u""xx+u""yy=0，整理后得(x^2/y^2+1)f""+(2x/y)f"=0，即(v^2+1)f""+2vf"=0，这是可降次的微分方程，令p=f"，则(v^2+1)(dp/dv)+2vp=0，分离变量后积分得lnC1p=ln(1/v^2+1)，即C1p=1/(v^2+1)。因此C1(df/dv)=1/(v^2+1)，再次分离变量积分有C1f=arctanv+C2，两边除C1并记1/C1=m，C2/C1=n，则f=marctanv+n，即型如u=f(x/y)调和函数的一般形式为u=m*arctan(x/y)+n。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。在数理方程中拉普拉斯方程为：▽u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中 ▽ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　其中 ▽ 称为拉普拉斯算子. 　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。 　　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 　　则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 ▽（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。狄利克雷问题拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。编辑本段二维拉普拉斯方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 　　函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数 + h(x,y)对y的二阶偏导数 = 0解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且 　　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z） = u(x,y) + iv(x ,y) 　　u 对x的偏导数 = v 对y 的偏导数 ， u 对y 的偏导数 = - （v 对 x 的偏导数） 　　上述方程继续 求导就得到 　　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。 　　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式： 　　则等式 　　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式： 　　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件： 　　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数 　　那么相应的解析函数为 　　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。 　　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。 　　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即 　　将每一项系数适当地分离出实部和虚部 　　那么 　　这便是f 的傅里叶级数。三维情况下拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　上面的方程常常简写作： 　　或

u=arctany/x是调和函数。根据查询相关信息显示：调和函数在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x，y，z)，如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x，y，z)为区域D上的调和函数，而u=arctany/x就是在这个区域范围。