函数

取整函数公式=int(a1)，函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。和整数部分紧密相关的是其小数部分，记为{x}，定义为{x}=x-[x]。由[x]+1>x≥[x]不难得知1>{x}≥0，反过来，若x=[x],自然有{x}=0。对于给定的，要求出{x}，先求出[x]就可以。（需要注意的是，对于负数，[x]并非指x小数点左边的部分，{x}也并非指x小数点右边的部分，例如对于负数-3.7，[-3.7]=-4，而不是-3，此时{x}=-3.7-(-4)=0.3，而不是-0.7）。

取整数公式一：INT取整对于正数，截掉小数取整=INT(12.6) 结果为 12对于负数，截掉小数再 -1 取整。=INT(-12.6) 结果为 -13取整数公式二：TRUNC取整对于正数和负数，均为截掉小数取整=TRUNC(12.6) 结果为 12=TRUNC(-12.6) 结果为 -12取整数公式三：四舍五入式取整当ROUND函数的第2个参数为0时，可以完成四舍五入式取整=ROUND(12.4) 结果为 12=ROUND(12.6) 结果为 13取整数公式四：整数位取整当ROUND函数第2个参数为负数时，可以完成对整数位的四舍五入取整。=ROUND(1534.56,-1) 结果为 1530=ROUND(1534.56,-2) 结果为 1500=ROUND(1534.56,-3) 结果为 2000取整数公式五：向上舍入式取整只要数值大于1，都可以向上进一位。这个功能ROUNDUP函数可以实现=ROUNDUP(12.1,0) 结查为 13=ROUNDUP(12.6,0) 结果为 13=ROUNDUP(12.1,-1) 结果为 20取整数公式六：倍数舍入式向上取整Ceiling 函数可以实现向上倍数舍入取整，即向上指定数值倍数舍入=CEILING(3,5) 结果为 5 （5的1倍）

1、函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。 2、取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用。

常用(int)x对x取整，而int(x)是c++中的用法，或者直接赋给int型变量，但如果是负数会产生误差

①ROUND函数：四舍五入：ROUND(目标单元格，0)入：ROUNDUP(目标单元格，0) 得出来的结果是向上的整数，即：3.35=4舍：ROUNDDOWN(目标单元格，0)得出来的结果是向下的整数，即：3.65=3*公式中后面那个零表示取整，如果是1，表示小数点后1位，依次类推。②TRUNC：TRUNC(目标单元格，0)例：3.6=3 3.1=3*公式中后面那个零表示取整，如果是1，表示小数点后1位，依次类推。③INT：INT(目标单元格)(数字向下舍入到最接近的整数。这里的“向下”就是得到的结果比这个函数的参数要小，并且是整数。 )INT(目标单元格)如：INT(8.9)=8；INT(-8.9)=-9。因为8比8.9要小‚-9比-8.9要小。注：函数 TRUNC 和函数 INT 类似，都返回整数。函数 TRUNC 直接去除数字的小数部分，而函数 INT 则是依照给定数的小数部分的值，将其向下舍入到最接近的整数。函数 INT 和函数 TRUNC 在处理负数时有所不同：如：trunc:-1.7=-1；-1.1=-1int:-1.7=-2；-1.1=-2参考资料纳税服务网.纳税服务网[引用时间2017-12-24]

　　在EXCEL表格中对数字的处理中，经常根据需要按指定的位数进行取整。接下来我举例简单的例子告诉大家Excel函数各种函数公式的使用方法。 　　Excel函数取整函数公式的使用方法 　　四舍五入取整 =ROUND(A1,0) 　　截去小数取整=ROUNDDOWN(A1,0) =FLOOR(A1,1) =TRUNC(A1) 　　截去小数取整为最接近的偶数 =EVEN(A1) 　　截去小数向上取整数 =CEILING(A1,1) 　　截去小数向下取整 =INT(A1) 　　===================== 　　EXCEL软件本身内置了大量的此类函数，下面就让我们一起来学习这7种Excel取整函数方法吧! 　　1、向上四舍五入数字函数ROUND 　　2、向下舍数字函数ROUNDDOWN 　　3、按指定数的倍数向下舍入函数FLOOR 　　4、四舍五入为最接近的偶数函数EVEN 　　5、向上舍入为指定数据倍数函数CEILING 　　6、截尾取整函数 　　7、向下四舍五入到最接近的整数函数INT 　　========================================== 　　1、向上四舍五入数字函数ROUND 　　⑴功能 　　按指定的位数对数值进行四舍五入。 　　⑵格式 　　ROUND(数值或数值单元格，指定的位数) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　12.351 　　325.525 　　…… 　　B1中输入公式 　　①保留2位小数——从千分位向百分位四舍五入。 　　=ROUND(A1,2)=12.35 　　向下复制公式到B2 　　=ROUND(A2,2)=325.53 　　②四舍五入取整数——从十分位向个位四舍五入保留整数。 　　B1中输入公式 　　=ROUND(A1,0)=12 　　向下复制公式到B2 　　=ROUND(A2,0)=326 　　③四舍五入到十位——从个位向十位四舍五入保留到十位数字。 　　B1中输入公式 　　=ROUND(A1,-1)=10 　　向下复制公式到B2 　　=ROUND(A2,-1)=330 　　说明： 　　函数ROUND的第1个参数可以是具体的数值也可以是数值单元格引用。 　　函数ROUND的第2个参数——指定保留的位数，保留小数位用正整数表示，即1，2，3，4……(对应十分位、百分位、千分位、万分位……);保留整数位用非正整数表示，即0，-1，-2，-3，……(对应个位、十位、百位……)。 　　2、向下舍数字函数ROUNDDOWN 　　⑴功能 　　按指定的位数对数值进行舍入。 　　⑵格式 　　ROUNDDOWN(数值或数值单元格，指定的位数) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　12.351 　　325.525 　　…… 　　B1中输入公式 　　①保留2位小数——舍去千分位及以后的小数位保留到百分位。 　　=ROUNDDOWN (A1,2)=12.35 　　向下复制公式到B2 　　=ROUNDDOWN (A2,2)=325.52 　　②舍去小数位保留整数——舍去十分位及以后的小数位保留整数部分。 　　B1中输入公式 　　=ROUNDDOWN (A1,0)=12 　　向下复制公式到B2 　　=ROUNDDOWN (A2,0)=325 　　③整数保留到十位——整数部分舍去个位上大于0的数字(用0代替)，保留十位及以前的高位数字。 　　B1中输入公式 　　=ROUNDDOWN (A1,-1)=10 　　向下复制公式到B2 　　=ROUNDDOWN (A2,-1)=320 　　说明： 　　函数ROUNDDOWN的第1个参数可以是具体的数值也可以是数值单元格引用。 　　函数ROUNDDOWN的第2个参数——指定保留的位数，保留小数位用正整数表示，即1，2，3，4……(对应十分位、百分位、千分位、万分位……);保留整数位用非正整数表示，即0，-1，-2，-3，……(对应个位、十位、百位……)。 　　函数ROUND与函数ROUNDDOWN的对比： 　　ROUND函数按指定位数把右侧数位上的数字进行四舍五入， 　　ROUNDDOWN函数按指定位数把右侧数位上的数字舍弃为0。 　　3、按指定数的倍数向下舍入函数FLOOR 　　⑴功能 　　把数值沿绝对值减小的方向进行舍入为指定数值的倍数。 　　⑵格式 　　FLOOR(数值或数值单元格，指定的数) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　1245.251 　　…… 　　= FLOOR(A1,5)=1245 　　= FLOOR(A1,4)=1244 　　= FLOOR(A1,3)=1245 　　= FLOOR(A1,2)=1244 　　= FLOOR(A1,1)=1245 　　第2个参数不能是0，换句话说，没有一个确定的数是0最接近的倍数。 　　= FLOOR(A1,0.1)=1245.2 　　(= FLOOR(A1,0.2)=1245.2 　　= FLOOR(A1,0.3)=1245 　　= FLOOR(A1,0.4)=1245.2 　　= FLOOR(A1,0.7)=1244.6 　　……) 　　= FLOOR(A1,0.01)=1245.25 　　= FLOOR(A1,0.001)=1245.251 　　说明： 　　第1个参数可以是正数或负数。 　　第2个参数的符号与第1个参数的符号完全相同。 　　第2个参数不能是0。 　　函数返回值是第2个参数的整数倍，即返回值能被第2个参数整除。 　　4、四舍五入为最接近的偶数函数EVEN 　　⑴功能 　　返回沿绝对值增大方向取整后最接近的偶数。 　　⑵格式 　　EVEN(数值或数值单元格) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　1245.251 　　1245.521 　　-1245.251 　　…… 　　B2中输入公式 　　=EVEN(A1)=1246 　　向下复制到B2 　　=EVEN(A2)=1246 　　再向下复制到B3 　　=EVEN(A3)=-1246 　　说明： 　　函数EVEN总是没绝对值增大的方向取与原数据最接近的整数偶数值。 　　5、向上舍入为指定数据倍数函数CEILING 　　⑴功能 　　把数值向上舍入(沿绝对值增大的方向)为最接近的指定数据的倍数。 　　⑵格式 　　CEILING(数值或数值单元格,指定的数据) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　1245.251 　　1245.521 　　-1245.251 　　-1245.521 　　3.6 　　…… 　　B1中输入公式 　　=CEILING(A1,4)=1248 　　B2中输入公式 　　=CEILING(A2,0.4)=1245.6 　　B3中输入公式 　　=CEILING(A3,-5)=-1250 　　B4中输入公式 　　=CEILING(A4,-0.7)=-1246 　　B5中输入公式 　　=CEILING(A5, 0.3)=3.6 　　说明： 　　函数CEILING与FLOOR函数是同类舍入函数，相关注意事项见FLOOR函数。 　　函数FLOOR是沿绝对值减小方向向下舍入，CEILING函数是沿绝对值增大方向向上舍入。 　　6、截尾取整函数 　　⑴功能 　　截去指定数位后的有效数字返回数据。 　　⑵格式 　　TRUNC(数值或数值单元格,指定数位) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　1245.251 　　①截去小数取整数 　　B1单元格中输入公式 　　=TRUNC(A1,0)或者=TRUNC(A1)，返回值为1245。 　　②保留1位小数 　　B1单元格中输入公式 　　=TRUNC(A1,1)=1245.2 　　③保留百位数字 　　B1单元格中输入公式 　　=TRUNC(A1,-2)=1200 　　说明： 　　函数TRUNC对指定的保留数位，右侧数位不进行四舍五入，直接用0替代。 　　7、向下四舍五入到最接近的整数函数INT 　　⑴功能 　　将数字向下舍入到最接近的整数。 　　⑵格式 　　INT(数值或数值单元格) 　　⑶示例 　　A列 B列 　　11.52 　　5.12 　　-7.1 　　-5.8 　　…… 　　在B1中输入公式 　　=INT(A1)=11 　　向下复制了B2单元格 　　=INT(A2)=5 　　向下复制公式到A3单元格 　　=INT(A3)=-8 　　向下复制公式到单元格B4 　　=INT(A4)=-6 　　说明：

就是将某个数的小数部分舍去,只取整数部分.

　　Excel中经常需要使用到取整数值的技巧，取整数值具体该如何进行操作呢?接下来是我为大家带来的excel取整数值的方法，不懂函数的朋友请多多学习哦。 　　excel表格函数取整数值的方法 　　1：首先我们来进行一些最简单的运算。打开excel软件，然后选择一个单元格(以A1为例)，在这一列中输入20个数据(都是小数)。 　　2：然后就是使用Excel自带的函数来进行取整运算。Excel中自带的取整函数有如下几种：四舍五入取整 =ROUND(A1,0)，截去小数取整=ROUNDDOWN(A1,0) =FLOOR(A1,1) =TRUNC(A1)，截去小数取整为最接近的偶数 =EVEN(A1)，截去小数向上取整数 =CEILING(A1,1)，截去小数向下取整 =INT(A1)。下面我将就其中"ROUND"函数来进行举例说明。 　　3：点击Excel中插入函数标志，也就是图中红色部分，弹出一窗口。在弹窗的“搜索函数”这一栏中输入“ROUND”点击搜索，自动跳转到ROUND函数。点击”确定“按钮。 　　4：在新弹出的窗口中，函数ROUND的第1个参数可以是具体的数值也可以是数值单元格引用。函数ROUND的第2个参数——指定保留的位数，保留小数位用正整数表示，即1，2，3，4……(对应十分位、百分位、千分位、万分位……);保留整数位用非正整数表示，即0，-1，-2，-3，……(对应个位、十位、百位……)。例如我输入“0”则约等于“52141”。 　　5：最后向下拖动光标即可得到以下值。

在excel中可以取整的函数有：1、int函数：将数字向下舍入到最接近的整数。2、round函数，函数将数字四舍五入到指定的位数。第二参数，如果省略，则取整数，并进行四舍五入。3、TRUNC函数：将数字的小数部分截去，返回整数。INT 和 TRUNC 仅当作用于负数时才有所不同：TRUNC(-4.3) 返回 -4，而 INT(-4.3) 返回 -5，因为 -5 是更小的数字。

数学是推动人类文明前进的重要学科之一，在人类发明众多工具时候，都离不开数学的贡献。数学有很多个知识点，其中有一个叫做取整函数。那么取整函数是什么意思呢？ 1、 函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。 2、 取整函数与微积分有着紧密联系，其在科学和工程上有广泛应用。 以上就是给各位带来的关于取整函数是什么意思的全部内容了。

1. 取整 2. 取整函数 取整 “取整”是什么意思？ “取整”的意思：只留下整数，正数取整是把小数点去掉。负数取整，是取不大于这个负数的最大整数。 释义： 取整 拼音：[qǔ zhěng ] 造句： 1、这两个选择函数都获取整个列表，返回列表的主要片断。 2、制作详细的网站地图。这样更利于引擎蜘蛛轻松爬取整站内容。 3、这种新型电视有可能让用户更容易地从网络获取整部电影资源以及享受大屏幕的观赏效果。这引起了苹果公司与BskyB一类的付费电视公司之间的激烈竞争。 4、方法采取整群抽样的方法，对陕西澄城县农村乳母进行膳食调查、身体营养状况和乳汁营养素测定. 5、凡是是舍去小数点后面的数取整数而完成的，把舍间的小数放入一个鬼魂账号。 【取整函数】 EXCEL中对数字的处理中，经常根据需要按指定的位数进行取整.数字取整可以用下述函数完成：四舍五入取整 =ROUND(A1,0)截去小数取整=ROUNDDOWN(A1,0) =FLOOR(A1,1) =TRUNC(A1)截去小数取整为最接近的偶数 =EVEN(A1)截去小数向上取整数 =CEILING(A1,1)截去小数向下取整 =INT(A1)C语言有以下几种取整方法：1、直接赋值给整数变量.如：int i = 2.5； 或 i = (int) 2.5；这种方法采用的是舍去小数部分2、C/C++中的整数除法运算符“/”本身就有取整功能（int / int），但是整数除法对负数的取整结果和使用的C编译器有关.3、使用floor函数.floor(x)返回的是小于或等于x的最大整数.如：floor(2.5) = 2floor(-2.5) = -34、使用ceil函数.ceil(x)返回的是大于x的最小整数.如：ceil(2.5) = 3ceil(-2.5) = -2floor（)是向负无穷大舍入，floor(-2.5) = -3;ceil（)是向正无穷大舍入，ceil(-2.5) = -2.MATLAB中的取整函数很多，为方便以后使用把其用法列出来：floorB = floor(A) 返回小于或等于A的整数值，对于复数来说，分别对A的实部和虚部进行运算.a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7.0,2.4+3.6i]a =Columns 1 through 6 -1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000i floor(a)ans =Columns 1 through 6-2.0000 -1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 2.0000 + 3.0000iceilB = ceil(A) 返回大于或等于A的整数值，对于复数来说，分别对A的实部和虚部进行运算.a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7,2.4+3.6i]a = Columns 1 through 6-1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000iceil(a)ans =Columns 1 through 6 -1.0000 0 4.0000 6.0000 7.0000 3.0000 + 4.0000iround:Y = round(X) 返回距离X最近的整数值.a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7.0,2.4+3.6i]a =Columns 1 through 4 -1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000iround(a)ans =Columns 1 through 4 -2.0000 0 3.0000 6.0000 7.0000 2.0000 + 4.0000ifix:B = fix(A) 返回A的整数部分，小数部分为0a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7.0,2.4+3.6i]a =Columns 1 through 4 -1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000ifix(a)ans =Columns 1 through 4 -1.0000 0 3.0000 5.0000 7.0000 2.0000 + 3.0000i。 【C语言有哪些取整函数？】 C语言有以下几种取整方法：1、直接赋值给整数变量.如：int i = 2.5； 或 i = (int) 2.5； 这种方法采用的是舍去小数部分 2、C/C++中的整数除法运算符“/”本身就有取整功能（int / int），但是整数除法对负数的取整结果和使用的C编译器有关.3、使用floor函数.floor(x)返回的是小于或等于x的最大整数.如：floor(2.5) = 2 floor(-2.5) = -3 4、使用ceil函数.ceil(x)返回的是大于x的最小整数.如：ceil(2.5) = 3 ceil(-2.5) = -2 floor（)是向负无穷大舍入，floor(-2.5) = -3;ceil（)是向正无穷大舍入，ceil(-2.5) = -2.。 取整函数 【C语言有哪些取整函数？】 C语言有以下几种取整方法：1、直接赋值给整数变量.如：int i = 2.5； 或 i = (int) 2.5； 这种方法采用的是舍去小数部分 2、C/C++中的整数除法运算符“/”本身就有取整功能（int / int），但是整数除法对负数的取整结果和使用的C编译器有关.3、使用floor函数.floor(x)返回的是小于或等于x的最大整数.如：floor(2.5) = 2 floor(-2.5) = -3 4、使用ceil函数.ceil(x)返回的是大于x的最小整数.如：ceil(2.5) = 3 ceil(-2.5) = -2 floor（)是向负无穷大舍入，floor(-2.5) = -3;ceil（)是向正无穷大舍入，ceil(-2.5) = -2.。 【取整函数】 EXCEL中对数字的处理中，经常根据需要按指定的位数进行取整.数字取整可以用下述函数完成：四舍五入取整 =ROUND(A1,0)截去小数取整=ROUNDDOWN(A1,0) =FLOOR(A1,1) =TRUNC(A1)截去小数取整为最接近的偶数 =EVEN(A1)截去小数向上取整数 =CEILING(A1,1)截去小数向下取整 =INT(A1)C语言有以下几种取整方法：1、直接赋值给整数变量.如：int i = 2.5； 或 i = (int) 2.5；这种方法采用的是舍去小数部分2、C/C++中的整数除法运算符“/”本身就有取整功能（int / int），但是整数除法对负数的取整结果和使用的C编译器有关.3、使用floor函数.floor(x)返回的是小于或等于x的最大整数.如：floor(2.5) = 2floor(-2.5) = -34、使用ceil函数.ceil(x)返回的是大于x的最小整数.如：ceil(2.5) = 3ceil(-2.5) = -2floor（)是向负无穷大舍入，floor(-2.5) = -3;ceil（)是向正无穷大舍入，ceil(-2.5) = -2.MATLAB中的取整函数很多，为方便以后使用把其用法列出来：floorB = floor(A) 返回小于或等于A的整数值，对于复数来说，分别对A的实部和虚部进行运算.a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7.0,2.4+3.6i]a =Columns 1 through 6 -1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000i floor(a)ans =Columns 1 through 6-2.0000 -1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 2.0000 + 3.0000iceilB = ceil(A) 返回大于或等于A的整数值，对于复数来说，分别对A的实部和虚部进行运算.a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7,2.4+3.6i]a = Columns 1 through 6-1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000iceil(a)ans =Columns 1 through 6 -1.0000 0 4.0000 6.0000 7.0000 3.0000 + 4.0000iround:Y = round(X) 返回距离X最近的整数值.a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7.0,2.4+3.6i]a =Columns 1 through 4 -1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000iround(a)ans =Columns 1 through 4 -2.0000 0 3.0000 6.0000 7.0000 2.0000 + 4.0000ifix:B = fix(A) 返回A的整数部分，小数部分为0a = [-1.9,-0.2,3.4,5.6,7.0,2.4+3.6i]a =Columns 1 through 4 -1.9000 -0.2000 3.4000 5.6000 7.0000 2.4000 + 3.6000ifix(a)ans =Columns 1 through 4 -1.0000 0 3.0000 5.0000 7.0000 2.0000 + 3.0000i。 excel中取整函数是如何实现的？ 除了INT(X)函数可以取整（直接去除小数部分）外，其他还有几个函数有类似功能： ROUND(X,0)进行四舍五入取整； ROUNDDOWN(X,0)向下舍入取整（相当于INT（)函数的功能）； FOOLR(X)向下舍入取整（相当于INT（)函数的功能）； EVEN(X)向上舍入取整； CEILING(X,1)向上舍入取整。 几个函数计算结果比较： INT(3.2)=3 INT(3.9)=3 ROUND(3.2,0)=3 ROUND(3.9,0)=4 ROUNDDOWN(3.2,0)=3 ROUNDDOWN(3.9,0)=3 FOOLR(3.2)=3 FOOLR(3.9)=3 EVEN(3.2)=4 EVEN(3.9)=4 CEILING(3.1,1)=4 CEILING(3.9,1)=4

1、INT函数。这个函数比较简单，就是对小数点位进行取整。公式为“=INT（A3）”，如数值是正数，则去除小数只取整数部分。如数值是负数，则去除小数取整数部分后再-1。 2、ROUNDUP函数。这个函数是进位法取整，即取整位置后有数值则进一，正好为整数则不变。公式为“=ROUNDUP（A3，0）”，括号内第一个参数是需要取整的数值。第二个参数是取整的位置，“0”即为小数点位，正数则为小数点后位数，负数则为小数点前位数。 3、ROUNDDOWN函数。这个函数是退位法取整，即只取取整位置前面的数值，后面的数值舍弃。公式为“=ROUNDDOWN（A3，0）”，括号内第一个参数是需要取整的数值。第二个参数是取整的位置，“0”即为小数点位，正数则为小数点后位数，负数则为小数点前位数。 4、ROUND函数。这个函数是四舍五入取整。公式为“=ROUND（A3，0）”，括号内第一个参数是需要取整的数值。第二个参数是取整的位置，“0”即为小数点位，正数则为小数点后位数，负数则为小数点前位数。 5、TRUNC函数。为个函数是只取整数，其效果与ROUNDDOWN函数是相同的。公式为“=TRUNC（A3，0）”，括号内第一个参数是需要取整的数值。第二个参数是取整的位置，“0”即为小数点位，正数则为小数点后位数，负数则为小数点前位数。

　1、Int函数可以直接将一个小数采用截取的方法只保留整数部分。具体使用方法，只需要在单元格中输入公式“=Int(A1)”即可对A1单元格进行取整运算。  　2、floor函数用于将一个小数按给定基数向下进行舍入计算，同样利用该函数可实现取整运算。在使用时需要注意的是须将基数设置为“1”。　　如图在具体的使用方法：  　3、Ceiling函数同样可用于取整运算，该函数可将数值按指定基数向上取整。取整之后，需要进行一些处理，当小数部分不为0时，需要进行减1处理。　　具体使用方法如图所示：

1、首先打开一个工作表，如下图所示：2、输入一个小数作为源数据，如下图所示：3、输入函数公式“=roundup（A40，1）”，如下图所示：4、A40是第一个参数，作用是引用单元格A40的数据，第二个参数是保留的小数位数，输入0即是取整，如下图所示：5、然后按一下回车键就可以了，如下图所示：

一般情况下，用下述表达。“不超过x的最大整数。”供参考，请笑纳。

floor(x)：向下取整ceil（x）：向上取整round（x）：取最接近的整数fix（x）：向0取整扩展资料上取整，不管四舍五入的规则，只要后面有小数前面的整数就加1。下取整 ，不管四舍五入的规则，只要后面有小数忽略小数给定。比如：4.9，调用用向下取整函数，得到的是4。调用用向上取整函数，得到的是5。向下取整的运算称为Floor，用数学符号⌊⌋表示，与之相对的，向上取整的运算称为Ceiling，用数学符号⌈⌉表示。C语言定义的取整运算既不是Floor也不是Ceiling，无论操作数是正是负总是把小数部分截断（Truncate），所以当操作数为正的时候相当于Floor，当操作符为负的时候相当于Ceiling。

演示机型：组装台式机，适用系统：Windows10家庭中文版，软件版本：Excel2019；我们在用Excel表格办公的时候，经常需要对表格里面的数字进行取整数。下面我们就一起来学习Excel如何取整函数吧。首先，我们打开需要处理的Excel文件，为了方便观看，我们先将Excel的窗口最大化；取整数部分在Excel界面中，以E2的取整数部分为例，在F2空白单元格内输入【=INT（E2）】，再点击空白单元格或者【回车】键，即可得到E2单元格的整数部分；取四舍五入为整数在Excel界面中，以E3的数值取四舍五入为整数为例，在单元格内输入【=ROUND（E3，0）】，再点击空白单元格或者【回车】键，即得到E3单元格四舍五入为整数后的结果。合理运用公式，在Excel我们就能快速的对函数进行取整。

准备工具/材料：装有windows 10的电脑一台，Microsoft Office 家庭和学生版 2016 excel软件。EXCEL中向上取整函数办法如下：1、首先选择要插入公式的单元格。2、输入公式“=roundup”，完成函数公式的插入。3、ROUNDUP该函数需要输入两个参数，第一个是选择要使用的整数，第二个是保留几个小数位。4、第一个参数选择单元格A2，这意味着舍入A2的值。5、输入逗号后，第二个参数直接输入0，这意味着保留0个小数位。6、按回车键后，您可以得到A2单元格的舍入结果。7、双击填充柄，完成下面单元格的自动填充。

不舍不入截取整数，可用“=TRUNC(拟取舍数或其所在单元格，保留小数位数)”。如，=TRUNC(12.895)返12,=TRUNC(12.895,1)返12.8,=TRUNC(12.895,-1)返10等。只向上入并取整数，可用“=ROUNDUP(拟取舍数或其所在单元格，保留小数位数)”.如，=ROUNDUP(12.04,0)返13，=ROUNDUP(12.04,1)返12.1，=ROUNDUP(1462.04,-2)返1500等

在我们的日常工作中，经常从表格中取数值的整数或者小数部分，一个个输入，数据少还可以，数据多的话手累还容易出错，今天小编就和大家分享几个取整、取小数的函数，让你的工作效率分分钟提高。一、取整数方法：方法一：INT函数，如下图，在C4单元格输入公式：=INT(B4)，然后选中C4单元，双击右下角填充柄向下填充公式，这样整列取整数完成；方法二：ROUND函数，为四舍五入函数，参数二输入0为去掉小数位，得出的整数是四舍五入后的数值，具体操作：在C4单元格输入公式：=ROUND(B4,0)，然后选中C4单元，双击右下角填充柄向下填充公式，演示如下图：方法三：FLOOR函数，为向下舍入为最接近指定基数的倍数，舍入计算的倍数输入1，即可得出整数部分，具体操作：在C4单元格输入公式：= FLOOR(B4,1)，然后选中C4单元，双击右下角填充柄向下填充公式，演示如下图：二、取小数的方法方法一：MOD函数，为返回两数相除的余数，除数输入1，即可取出小数部分，具体操作：在D4单元格输入公式：= MOD(B4,1)，然后选中D4单元，双击右下角填充柄向下填充公式，演示如下图：方法二：利用取整函数INT，具体操作：在D4单元格输入公式：= B4-INT(B4)，然后选中D4单元，双击右下角填充柄向下填充公式，演示如下图：希望以上内容对你的工作有实质性的帮助

取函数运算结果中的所有整数，比如x大于1.5小于4，则结果为2 3。不用做四舍五入，若结果不包含整数则函数无解。

int()

在区间内就求顶点就好了。注意开口向上还是向下，对称轴在(m,n)的中间是靠左，还是靠右，找最值。还有端点m,n的函数值。注意这些就可以了

简单举个例子把： y=1/(x-1) 值域就是y能取到的范围： 该题是：y不等于0 值域是： {y|y不等于0』 定义域是x能取到的范围： 该题分母不等于0所以有： x-1不等于0 X不等于1 定义域是： {x|x不等于1} -------------- [1,2]严格闭区间,1.2都可以取到 （1,2）严格开区间,1.2都不能取 【1,2）,（1,2】半开半闭区间,前一个1可取,后一个2可取 －－－－－－－－－－－－－－ 函数三要素： 值域,定义域,对应法则 －－－－－－－－－－－－－ 有没有加分?

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）,分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负. （3）,对数中的真数部分大于0. （4）,指数、对数的底数大于0,且不等于1 （5）.y=tanx中x≠kπ+π/2, y=cotx中x≠kπ等等. 值域是函数y=f(x)中y的取值范围. 常用的求值域的方法： （1）化归法；（2）图象法（数形结合）, （3）函数单调性法, （4）配方法,（5）换元法,（6）反函数法（逆求法）,（7）判别式法,（8）复合函数法,（9）三角代换法,（10）基本不等式法等

正弦函数，余弦函数的值域都是 【-1，1】

函数的值域算法：值域的求解方法有配方法，单调性法，观察法，导数法，分离常数法，反解法，图像法，不等式法，函数有界性法，换元法，数形结合法，判别式法。分式函数值域(最值)的求解是高中数学的一类重要问题，这类问题涉及换元，化归与转化，分类讨论，函数与方程，数形结合等基本数学思想方法。值域梗概：值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念。许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

函数值域的求法有以下：1、配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。2、常数分离：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。3、逆求法：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。4、换元法：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。5、单调性：可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。6、基本不等式：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。7、数形结合：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。8、求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。常见函数值域1、y=kx+（k≠0）的值域为R。2、y=k/x的值域为（-∞，0)∪（0,+∞）。3、y=√x的值域为x≥0。4、y=ax^2+bx+c当a>0时，值域为［4ac-b^2/4a,+∞）。5、当a<0时，值域为（－∞，4ac-b^2/4a]。6、y=a^x的值域为（0,+∞）。7、y=lgx的值域为R。

三角函数的定义域如下：1、sin(x),cos(x)的定义域为R，值域为〔-1,1〕。2、tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R。3、cot(x)的定义域为x不等于kπ，值域为R。4、y=a·sin(x)+b·cos(x)+c的值域为[c-√(a2+b2)，c+√(a2+b2）]。三角函数如下：正弦sin=对边比斜边。余弦cos=邻边比斜边。正切tan=对边比邻边。1、正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。2、余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。3、在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

高中数学复合函数求值域求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： ）例2．求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。例3．求函数的值域。解析：令，，则，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以，值域为例4. 求函数的值域。解：将函数变形为上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。（12）复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例1、求函数 的值域（复合函数法）设  ，则例2：求函数的值域。             （13）非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析：(1)，故所求函数的值域为 。(2)，原函数可化为 ，即 ，  当时，， ，，解得又 ，所以 ，故所求函数的值域为 。（不等式性质法）例2：求下列函数的值域：（1）y=；      （2）y=；  （3）y=（4）y=10-；  （2）y=；  （3）y=（14）导数法若函数在内可导,可以利用导数求得在内的极值,然后再计算在,点的极限值.从而求得的值域.例1：求函数在内的值域.分析:显然在可导，且.由得的极值点为...  所以, 函数的值域为.（15）“平方开方法”求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合函数特征设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即（，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得.2.运算步骤若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.3.应用四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.例1  求函数（，）的值域.解：首先，当时，；其次，是函数与的和；最后，可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.例2  求函数（，，）的值域.解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.例3  求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例4  求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例5  求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为：平方法）函数定义域为：（16）一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例1. 求函数的值域。解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为（17）其他方法其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。例1. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例2. 求函数的值域。解：令，则∴当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。例3.求函数  的值域解：（图象法）如图，值域为例4.求函数 的值域解（复合函数法）：令，则由指数函数的单调性知，原函数的值域为例5.求函数的值域解（三角代换法）：          设小结：（1）若题目中含有，则可设（2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设。其中例6、求函数 的值域解法一：（逆求法）解法二：（复合函数法）设 ，则解法三：（判别式法）原函数可化为 1）   时不成立2）   时，综合1）、2）值域解法四：（三角代换法）设，则原函数的值域为小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、与函数值域有关的综合题例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解  设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得  S=5000+44 (8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值  此时高  x==88 cm,　宽  λx=×88=55 cm  [来源:学科网][来源:Zxxk.Com]如果λ∈［］，可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得  [来源:学,科,网Z,X,X,K]又≥,故8－>0,∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增  从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值 答  画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小  如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小 例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围 解 (1)  当a=时，f(x)=x++2[来源:学科网]∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)= (2)解法一  在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞[来源:学科网ZXXK]∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，[来源:学,科,网]∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3  解法二  f(x)=x++2,x∈［1,+∞当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3  [来源:Z#xx#k.Com]例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+) (1)证明  当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值 (3)求证  对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1 (1)证明  先将f(x)变形  f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M (2)解  设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小  而u=(x－2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 (3)证明  当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立 ∴log3(m+)≥log33=1  

什么问题也没有....

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

如果详细回答，那么应该从函数定义出发。如图所示:供参考，请笑纳。

我们可以通过分析正弦函数、余弦函数的主要性质来得出我们所求的值域!(1)定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,分别记作y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R,其中R当然可以换成(-∞,+∞)．(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1．这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1．其中正弦函数当且仅当时取得最大值1,当且仅当时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时取得最小值-1．(3)周期性由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函数和余弦函数的周期．事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①,所以2π是正弦函数的最小正周期．根据上述定义,我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π．

求函数的值域的方法有：一、配方法 将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。 二、常数分离 这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进 行常数分离，求得值域。三、逆求法 对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值 域了。四、换元法 对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从 而求解。五、单调性 可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。 六、基本不等式 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值 域。 七、数形结合 可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法 求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就 可得到值域了。函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义 中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。f：A→B 中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

多做题多去想自己就有自己的思路了 别人的只能借鉴 最好是自己想 很多东西是自己体会的 别人教不来的

不常用的还有反函数法等等求导能判断原函数增减性 具体情况具体分析

求值域方法：1、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。值域：数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f（x）=x，那么f(x)的取值范围就是函数f（x）的值域。常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为R；y=k/x 的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）；y=√x的值域为x≥0；y=ax^2+bx+c 当au003e0时，值域为 [4ac-b^2/4a，+∞) ；当au003c0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]；y=a^x 的值域为（0，+∞）；y=lgx的值域为R。

函数值域的求法： 1、配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值。2、逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围。3、换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想。4、三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域。 5、基本不等式法：利用平均值不等式公式来求值域。6、单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 7、数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。希望对你有帮助，请采纳

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 的值域。解：∵ ∴ 显然函数的值域是： 例2. 求函数 的值域。解：∵ 故函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 的值域。解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时， ，当 时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当 时， 解得： （2）当y=1时， ，而 故函数的值域为 例5. 求函数 的值域。解：两边平方整理得： （1）∵ ∴ 解得： 但此时的函数的定义域由 ，得 由 ，仅保证关于x的方程： 在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵ 代入方程（1）解得： 即当 时，原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数 值域。解：由原函数式可得： 则其反函数为： ，其定义域为： 故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数 的值域。解：由原函数式可得： ∵ ∴ 解得： 故所求函数的值域为 例8. 求函数 的值域。解：由原函数式可得： ，可化为：即 ∵ ∴ 即 解得： 故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数 的值域。解：令 则 在[2，10]上都是增函数所以 在[2，10]上是增函数当x=2时， 当x=10时， 故所求函数的值域为： 例10. 求函数 的值域。解：原函数可化为： 令 ，显然 在 上为无上界的增函数所以 ， 在 上也为无上界的增函数所以当x=1时， 有最小值 ，原函数有最大值 显然 ，故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数 的值域。解：令 ， 则 ∵ 又 ，由二次函数的性质可知当 时， 当 时， 故函数的值域为 例12. 求函数 的值域。解：因 即 故可令 ∴ ∵ 故所求函数的值域为 例13. 求函数 的值域。解：原函数可变形为： 可令 ，则有 当 时， 当 时， 而此时 有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数 ， 的值域。解： 令 ，则 由 且 可得： ∴当 时， ，当 时， 故所求函数的值域为 。 例15. 求函数 的值域。解：由 ，可得 故可令 ∵ 当 时， 当 时， 故所求函数的值域为： 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数 的值域。解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）， 间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例17. 求函数 的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点 到两定点 的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ，故所求函数的值域为 例18. 求函数 的值域。解：将函数变形为： 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点 到点 的距离之差。即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2）， ，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2）， ，在x轴的同侧。 9. 不等式法利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数 的值域。解：原函数变形为：当且仅当 即当 时 ，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数 的值域。解： 当且仅当 ，即当 时，等号成立。由 可得： 故原函数的值域为： 10. 一一映射法原理：因为 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数 的值域。解：∵定义域为 由 得 故 或 解得 故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数 的值域。解：令 ，则 （1）当 时， ，当且仅当t=1，即 时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数 的值域。解： 令 ，则 ∴当 时， 当 时， 此时 都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

值域是指函数值的取值范围。

求函数的值域首先必须明确两点：一点是值域的概念，即对于定义域A上的函数y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x),x∈A};另一点是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据。求值域的方法：观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域！配方法：对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解的问题上的要求，采用配方的方法来解决，对于含有三次三项式的函数，也常用配方的方法求值域。代换法：对一些无理函数，或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数伯值域求出。

数集也可以是值域可以这样理解数集就是由符合一定条件的数集合起来的函数有定义域有值域定义域就是你定义这个函数在哪个范围内有效值域就是在定义域的范围内函数取得的值所以值域也是由符合条件的数集合起来的至于值域的求法知道了函数表达式知道了定义域的取值范围就能求出值域了

令4x-x2-3=ty=x+√t易知当x=2时，t有最大值t有最大值为1√t随t的增大而增大√t≤1则当x=2时方程有最大值，最大值为3y≤3

根号下给x配方，得-（x-1)^2+6。这个根号下的东西要大于等于0，最大值又是6，那值域就是0~6的闭区间。那y的值域就是根号下的0~6的闭区间

　　1、函数的值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。 　　2、在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

　一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。五.最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。六.图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。　七.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。八.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。　九.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。　十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。　十一.利用多项式的除法例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。十二.不等式法例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

函数的定义域表示方法有不等式、区间、集合等三种方法。例如：y=√(1-x)的定义域可表示为：1）x≤1；2）x∈(-∞,1]；3）{x|x≤1}。定义域（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。扩展资料：函数值域值域定义函数中，因变量的取值范围叫做函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法（1）化归法；（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法，（4）配方法；（5）换元法；（6）反函数法（逆求法）；（7）判别式法；（8）复合函数法；（9）三角代换法；（10）基本不等式法等。

如何求函数的值域 一 相关概念1、值域：函数 ，我们把函数值的集合 称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。3、值域与最值的联系与区别：联系：若函数同时具有最大值b和最小值a，则值域为[a, b]；区别：凡函数都有值域,但不一定有最值.4、与最值有关的“恒成立”的意义： f(x)≥a恒成立Û f(x)min≥a，f(x)≤b恒成立Û f(x)max≤b.二 确定函数值域的原则1、当函数 用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；x 0 1 2 3y=f(x) 1 2 3 4则值域为{1，2，3，4}2、 的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；3、 用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三 基本函数的值域1、一次函数 的值域为R；2、二次函数 3、反比例函数 的值域为 ；4、数函数 的值域为 ；5、对数函数 的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是 四 求函数值域的方法1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1. 的值域；解： 画出图像（图略）从图可知 所以值域为 .例2. 求 的值域；解：设 3、换元法：① ② ③ 例3. 求函数 的值域解：设 , , .4、判别式法：形如 ；例4 求函数 的值域；解： 要上面的方程有实数根， 求出 ,所以函数的值域为 5、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如 的函数用反函数法求值域；例 求函数y= 值域。6、分离常数法：形如 的函数也可用此法求值域；例5求函数 的值域；解：方法一：（反函数法）求出函数 的反函数为 ，其定义域为 ，所以原函数的值域为 方法二：（分离常数法） 7、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y= ， ，的值域 8、数形结合法。例6求函数 （方法一可用到图象法）方法二：（单调性）如果所给函数有明显的几何意义可借助几何法求函数的值域. 所以此函数的值域为 9、 基本不等式(均值不等式)法：对于满足“一正、二定、三相等”的式子，可用此法.10、 函数单调性法：因为单调函数在定义域端点取最值，所以应用很广，有些用均值不等式等号取不到的，如f(x)＝ax＋ 可用单调性求解.11． 导数法：若y＝f (x)的导函数为y"＝f"(x)，令f"(x)＝0，求出极值，再与端点值比较，求出最值和值域. 导数法：若y＝f (x)的导函数为y"＝f"(x)，令f"(x)＝0，求出极值，再与端点值比较，求出最值和值域.1.2. 分段处理法：分段函数求值域先分段求出各段上的值域，再取其并集。注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。

函数y=f(x)的取值范围就是值域,根据函数的类型或定义域不同,求值域的方法也不同.例如y=sinx的值域就是[-1,1] 亲，我的回答你满意吗？如果我的回答对你有用的话，请采纳一下哦！ 采纳之后你也将获得5财富值奖励！

这不是数学函数的吧，绕道

因y=xmoda,则y=ka+x,（k为整数），x=y-ka，所以逆函数为y=x-ka,y=(-k)a+x,y=sa+x(s=-k),故逆函数可以写成y=xmoda（从同余关系的角度出发，y=xmoda就是X,模a同余，即x,y属于一个同余类，因此逆函数就是自身）

这是数组公式的标识，通过按Ctrl+Sshift+Enter这三个键加上的。按这三个键时，光标要放在公式编辑栏的公式中任意位置，不能放在单元格，才有效果的。数组公式，是通过一定规律循环求值或统计的公式，例如=sum(if(a1:a17=0,1,0))可以统计a1到a17中，0的个数。注意与普通公式不同的是a1:a17=0这部分，这部分计算了17次，将a1到a17的17个位置挨个与0比对，如果是相等就返回1，如果不等就返回0。最后用sum将得到的值取和，就能 知道a1到a17中，0的个数。数组公式需要按ctrl+shift+回车三键确认才有效，其有效的标志，是当你点选数组公式的单元格时，公式两端有{ }符号。有时直接回车也不会报错，但会产生一个错误的返回值。数组公式的应用很广，比如著名的身份证号码验证公式：=IF(RIGHT(f2,1)=MID("10X98765432",MOD(SUM(MID(f2,ROW(INDIRECT("1:17")),1)*2^(18-ROW(INDIRECT("1:17")))),11)+1,1),"","错误")

首先打开一个工作样表作为例子。大于等于的输入方法是输入>=号。>=不能写作=>，=>不被系统识别。同理还有小于等于符号也不能输入为等于小于。最后还有一个不等于号，输入方法是<>，

不会555也教教我啊

int Sum(int N){if(N=1) return N;else return Sum(N-1)+N;}

那要看这个递归的终止条件是什么，如果按照你这样的想法，这个问题是无解的。

关于递归函数的说法中，不正确的是（） A.递归函数可以改写为非递归函数B.递归函数应有递归结束的条件C.解决同一个问题的递归函数的效率比非递归函数的效率要高D.递归函数往往更符合人们的思路，程序更容易理解正确答案：C

可以都是哈,几行代码就可以当你写的十几行for循环代码.很意思也和复杂

给你一个例子，跟这个差不多：CREATE TABLE T(ID INT ,PID INT) INSERT INTO T SELECT 1,0UNION ALL SELECT 2,0UNION ALL SELECT 3,1UNION ALL SELECT 4,1UNION ALL SELECT 5,2UNION ALL SELECT 6,4UNION ALL SELECT 7,3UNION ALL SELECT 8,4GO--测试数据CREATE FUNCTION F(@ID INT)RETURNS VARCHAR(20)ASBEGINDECLARE @R VARCHAR(20)SET @R=@ID WHILE ISNULL(@ID,"")<>"" BEGIN SELECT @R=CAST(PID AS VARCHAR(20))+"."+@R FROM T WHERE ID=@ID SELECT @ID=PID FROM T WHERE ID=@ID ENDRETURN @RENDGO--生成目录CREATE FUNCTION F2(@F VARCHAR(20))RETURNS VARCHAR(20)BEGINDECLARE @R VARCHAR(20)SET @R=""SET @F=SUBSTRING(@F,4,LEN(@F))WHILE CHARINDEX(".",@F,1)<>0BEGIN SET @F=SUBSTRING(@F,CHARINDEX(".",@F,1)+1,LEN(@F)) SET @R="-"+@RENDRETURN @RENDGO--生成前缀符号SELECT DBO.F2(DBO.F(ID))+CAST(ID AS VARCHAR) FROM T ORDER BY DBO.F(ID)GO--结果DROP TABLE TDROP FUNCTION FDROP FUNCTION F2----------------------------------------------------以下为结果集--------------------------------------------------------------1-3--7-4--6--82-5

这怎么递归，你题意没说完整吧。

1 引言递归程序处理的问题可以分成两类：第一类是数学上的递归函数，要求算得一个函数值，例如阶乘函数和Fibonacci函数；第二类问题具有递归特征，目的可能是求出满足某种条件的操作序列，例如Hanoi塔和八皇后问题。第一类问题的程序设计是简单的、机械的，而第二类问题则不然，由于涉及面广，没有统一的规则可循，所以编程过程往往比较复杂，而且编得的程序也不大好理解。究其原因在于，第一类问题已经有了现成的函数公式，第二类则没有。如果我们对于第二类问题也能写出它的递归公式，那么编码过程会大大简化，而且还可以改善程序的可读性。本文将借助两个程序实例讨论这种方法。2 公式化方法程序设计可以分成两个阶段：逻辑阶段和实现阶段。逻辑阶段要确定算法，不必考虑编程语言和实现环境。通常算法可以用自然语言、流程图、NS图等工具来表示，对于第二类问题能在逻辑阶段得出它的递归公式，那么至少有这样几个好处：1. 把逻辑阶段同实现阶段截然分开，大大简化程序设计。2. 用数学方法推导递归公式，要比用其他方法设计算法要简单得多。3. 由于公式是算法的最精确最简洁的描述形式，有了递归公式，编码工作就变得异常简单，而且程序的可读性也会很好。所谓递归程序设计的公式化方法，首先要把问题表示成数学意义下的递归函数，那么关键是确定函数值的意义，尽管问题本身未必需要计算什么函数值。函数值的选取可能不是唯一的，但是愈能表现问题本质愈好。Hanoi塔问题要求显示为把若干个盘子从一柱搬到另一柱要采取的动作，我们可以把动作的个数取为函数值。于是得到有四个自变量的递归函数h(d，f，t，u)，其意义是以u柱（using）为缓冲把d个盘子（disks）从f柱（from）搬到t柱（to）。容易得到下面的递归公式：h(1,f,t,u)=1h(d,f,t,u)= h(d-1,f,u,t)+ h(1,f,t,u)+ h(d-1,u,t,f), 如果d>1其实际意义非常明显：搬动一个盘子只需一个动作；而把f柱上的d个盘子从f柱搬到t柱，需要先把上面的d-1个盘子从f柱搬到u柱，再把最下面的一个盘子从f柱搬到t柱，最后把已在u柱上的d-1盘子搬到t柱，因此总的动作个数等于三组动作之和。有了递归公式，编程就变得极为简单。程序的结构是一个多分支结构，恰好同递归公式一一对应，编程几乎变成了机械的翻译。在下面的程序中，递归函数与递归公式的差别只有当d为1时不仅要把动作个数v置为1，同时还要显示此动作。main(){ int d,v,h(int,int,int,int);printf("disks = ");scanf("%d",&d);v=h(d,1,2,3);printf(" %d actions for %d disks! ",v,d);}int h(int d,int f,int t,int u){ int i,v;if(d==1)else v=h(d-1,f,u,t)+h(1,f,t,u)+h(d-1,u,t,f);return v;}此程序的运行会话如下：disks = 31->2 1->3 2->3 1->2 3->1 3->2 1->27 actions for 3 disks!3 例子：八皇后问题八皇后问题[2]是一个更有代表性更复杂的递归例题，要求在8×8的国际象棋棋盘上摆放8个皇后，使她们不致互相攻击。我们采取的算法仍然是从棋盘第一行开始每行放一个皇后，对于每一行都从该行的第一列开始放置，并判断它同前面的那些皇后是否互相攻击，如是就换成下一列，否则继续放置下一个皇后，直至放好8个皇后。依照这种思想，我们定义一个有9个自变量的函数:q（k,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8）其中k表示已放置的皇后个数，而ai（此处i<=k）表示第i行上的皇后所在列的列号，因此这9个自变量能够代表求解过程中任一时刻的状态，而函数值定义为从此状态出发能得到的解的个数。按照这一思想不难得到下面的递归公式：q（k,a1,...,ak,0,...0）= 0 如果有0<i<k,使ai同ak不相容q（k,a1, ... , a8）= 1 如果对于任意的0<i<8,ai同a8都相容q（k,a1,...,ak,0,...0）= q(k+1,a1,...,ak,1,...0）+...+q(k+1,a1,...,ak,8,...,0）如果k<8而且对于任意的0<i<k,ai同ak都相容公式中的“a i和a k相容”的意思是它们不互相攻击，即逻辑表达式：(ai-ak)&&(i+ai-k-ak)&&(i-ai-k+ak)为真，就是说ai≠ak且i+ai≠k+aki且i-ai≠k-ak。将上面的递归公式很容易地翻译成如下程序：main(){ int a[9],v,q(int,int *);v=q(0,a);printf(" There are %d solutions! ",v);}int q(int k,int *a){ int i,u,v;for(i=1,u=1;i<k&&u;i++)u=u&&(a[i]-a[k])&&(i+a[i]-k-a[k])&&(i-a[i]-k+a[k]);if(u==0) v=0;else if(k==8){ v=1; printf("%d%d%d%d%d%d%d%d ",a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8]);}elsefor(i=1,v=0;i<=8;i++)return v;}递归公式中的自变量a1,…,a8是一个相关的序列，在程序中只好用数组a表示。在q( )中首先计算ak是否同其前的所有ai相容，若是变量u非0。q( )与递归公式严格对应，呈现出有三个选择的分支结构。在u非0且k为8的情况下，置函数值v为1，并显示已得到的解。显然这个程序编写起来最为简单，而且最好理解。下面给出该程序的交互会话，为节省版面只列出92个解中的4个：15863724 16837425 ... 83162574 84136275There are 92 solutions!4 结束语公式化方法是一种简单而有效的设计思想，它把程序设计和程序理解的难点都集中到递归公式上。从上面的例子可以看到这种思想能够简化程序设计，而且得到的程序显然好于通常的程序。这种思想有普遍性，至少适用多数递归程序的设计。由递归公式设计出的程序具有标准的分支结构，编写和理解都要简单得多。上面的两个例题在求得函数值的同时，很容易地得到了要求的序列，但对于一般的问题未必总是这样。笔者曾给出一种伴随序列法，可以用来得到某些问题（如显示所有从m个数中取n个数的组合）要求的序列。

题目是不是写错了啊，这样算出的g（3）不是整数。解体思路可以告诉你，首先令m(t)=3*2^(t-1)-2,这个式子就化成g(t)=(3m+4)/m*g(t-1)+6(m+2)/m*g(t-2)-8(m+2)^2/[m(m-2)]*g(t-3)+4(5m+1)(m+1)/m两边同乘m(t)(m(t)-2),得到m(m-2)g(t)=(3m+4)(m-2)*g(t-1)+6(m+2)(m-2)*g(t-2)-8(m+2)^2*g(t-3)+4(5m+1)(m+1)(m-2)注意到m[t]=2m[t-1]+2=4m[t-2]+6=8m[t-3]+14令g(t)=Am(t)^3+Bm(t)^2+Cm(t)+D带入后，,将所有m[t]划为m[t-3]后整理为以m[t-3]为变量的多项式,令所有项的系数为0即可解得A,B,C,D从常数项可知D=-1/8，但是m(t)应该都是整数，所以是不是题目有问题啊

不明不白。递归函数典型应用例题书上就有一个啊。就是老和尚搬碟子的问题。可以参照一下

你所贴程序中，函数p不是递归函数。递归函数是自己调用自己，遇到结束条件后向前层层返回。double legendre(int n, int x){ if (n == 0) return 1; // 结束条件 if (n == 1) return x; return ((2*n-1)*x - legendre(n-1,x) - (n-1)*legendre(n-2,x)) / n; // 递归，降阶}

这个是不可以的，除非强制退出整个程序的执行，比如使用exit(0);这样的语句。C语言的函数调用是一层一层的，本层函数执行完会返回上一层函数执行，如果一个递归函数已经调用了10层了，不可能说支持退出这十层函数的执行，直接返回最上层的函数，这个是不现实的。但是也可以使用其他方法，比如全局变量之类的，每个函数都去判断这个全局变量，这样只要不满足，一层一层的退出函数，也可以实现这个功能，代码举例如下：int flag=0; //全局变量，判断递归函数是否退出。void fun1()   //递归函数实现{    xxxx    //其他语句    fun1(); //递归调用    if(flag==1)  //判断是否退出    {        return;    }    xxxx    //其他语句    if(xxxx)  //需要退出递归函数的条件    {        flag=1;  //设置标志        return;  //退出，这样会一直退出所有递归函数    }}

是要举个例子？比如：void show(int a){ if(a < n) { a ++; show(a); }}这只是个例子，不用在意里面参数，就是说在一个函数中调用它本身，这个没有写循环，但是通过自身的调用实现了循环的效果

对递归函数中的某一关键变量设置阈值条件。

#include<iostream>using namespace std;int sum(int n){ if ( n== 1 ) //这是递归结束条件 return 1; else return n+sum(n-1); //递归的意思就是：先假设sum(n-1)函数能实现1到n-1的求和，sum(n)=n+sum(n-1) ;这是求和递推公式}int main(){ int n; //少了变量定义 cin>>n; cout<<sum(n)<<endl; return 0;}

先来理解下概念：递归过程一般通过函数或子过程来实现。递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。充分必要条件是:问题具有某种可借用的类同自身的子问题描述的性质；某一有限步的子问题(也称本原问题)有直接的解存在。注意：递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。可以自己写几个就知道了

判断递归：只用看函数是否调用了其本身。类似这样的形式。有函数int FUN(int a){ .......... FUN(a); ..........}这就是递归

递归函数提供了不一样的思维方式，用他来解决往往程序要短小很多，思维也会很清晰。它很适合解决树中的一些问题，在编译原理中也可以经常看到。它的主要的解决问题的思维是这样的：先解决最基础的简单的问题；然后把复杂的问题归结为较简单的问题或把较大的问题分解为较小的问题。下面这小段程序是用递归写的用来求1到n所有这些正整数的和的：int f(int n){ if(n==1) return 1; return n+f(n-1);}第一句解决了最简单的问题，就是n==1的情况。接下去在求较复杂的f（n）的时候把它归结为较简单的问题f（n-1）。用递归也有几个需要注意的问题：1.程序总得要有机会让它退出来，不然会变成死循环。就象这里的第一句，而且一般来说位置也通常在第一句。2.递归还有性能开销。一是因为函数调用时参数的入栈出栈操作。二是有些问题处理不当会出现重复计算（不是很老到的程序员经常会出这样的问题，导致性能有问题，然后说递归根本没实际意义）。

var ia,ib,ic:longint; f:array[0..21,0..21,0..21]of longint;function w(a,b,c:longint):longint;begin w:=0; if(f[a,b,c]>0)then exit(f[a,b,c]); if(a<=0)or(b<=0)or(c<=0)then begin w:=1; end else if(a>20)or(b>20)or(c>20)then begin w:=w(20,20,20); end else if(a<b)and(b<c)then begin w:=w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c); end else w:=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1); f[a,b,c]:=w;end;begin fillchar(f,sizeof(f),0); read(ia,ib,ic); if(ia>20)then ia:=20; if(ib>20)then ib:=20; if(ic>20)then ic:=20; writeln(w(ia,ib,ic));end.加入了记忆优化的递归,不优化的话20 20 20 的输入会严重超时. -----我加了个范围检测,看看这次行不?

这是递归的一个有趣用法，输出：3 3地址4 4地址4 4地址3 3地址……等等。目的是观察栈空间的变化

//循环实现#include<stdio.h>int main(){    int n, t = 0;    scanf("%d", &n);    if(n<=0)return 0;    else    while(n){        t = t * 10 + n % 10;        n /= 10;    }    printf("%d", t);    return 0;}简单修改一下就可以变递归了。代码如下#include<stdio.h>int fanzhuan(int n,int t){    t = t * 10 + n % 10;    n /= 10;    if(n>0)return fanzhuan(n,t);    return t;}int main(){    int n, t = 0;    scanf("%d", &n);    if(n<=0)return 0;    else t=fanzhuan(n,t);    printf("%d", t);    return 0;}

int facto(int n){if(n==1)return 1;elsereturn n*facto(n-1);}void main(){    int n;    scanf("%d",&n);    printf("%d ", facto(n));    return 0;}

在main函数以外 编写自定义函数int fun(a){ if(a==1||a==2) return 1; else return arr[a-1]+arr[a-2];}