函数

你还记得闭合曲线积分结果是0的条件吗？这里有一个重要的条件：解析函数。也就是只有函数f在Ω内解析时，对Ω内闭合曲线积分才是0。但题目中这个函数，在|z|=2围道内，分子f(z)=z的共轭，而z共轭这个函数并不是解析函数。解析函数应当满足柯西-黎曼条件，z共轭这个函数不满足。因此，这个围道积分，应当先做变量代换，令z=2e^(iθ)，然后对z共轭等于2e^(-iθ)，dz=2ie^(iθ)dθ。对θ做积分可以得到解答是4πi。希望对你有帮助，望采纳。有什么问题可以提问。

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

本书遵循普通高等学校工科本科《复变函数课程教学基本要求》，按照新形势下教材改革精神，结合编者长期的教学改革实践编写而成，较全面、系统地介绍了复变函数的基础知识．全书共7章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、留数及其应用和共形映射等，最后一章是复变函数实验，讨论怎样用计算机软件去解决复变函数中的问题．每章配有适量习题和补充题供读者选用，书末附有习题答案与提示．本书可作为普通高等学校工科本科各专业的复变函数课程的教材，也可供工程技术人员、报考研究生的读者参考．

复变函数中求积分的方法有哪些1、柯西积分定理；2、柯西积分公式；3、高阶导数公式；4、复合闭路定理；5、留数定理（留数的计算可以用定理或洛朗展开），这个方法是最重要的，柯西积分公式和高阶导数公式其实都是留数定理的特例。 希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

区间变换不对，指数化成三角函数，涉及到虚数，在(-2,2)内单调性并不好判断，你试试以角度作为被积参数用三角函数代替试试看

根据分式线性变换保对称点性f（-i）=∞，可将f（z）表为：代入z=0，得|f（z）|=2，由于f（z）将边界变为边界，且z=0是上半平面边界上的点，故R=|f（z）|=2

如图所示：

Arg(z)表示复数z的幅角，它有无穷多个值，任两个值的差是2π的整数倍。arg(z)则表示复数z幅角的主值，复数幅角主值的范围的规定各种书上不尽一致，有的规定是[0，2π）。必须指出，只要是复数z的某一个幅角值（即使不是主值）也可以用arg(z)表示。arg(z)与Arg(z)之间的关系是：Arg(z)=arg(z)+2kπ（k为整数）。 z=x+iy 复数的指数函数定义为e^z=e^x(cosy+isiny），|e^z|它是求复数的模的问题，可以证明出来的是|e^z|=|e^(x+iy)|=|e^x(cosy+isiny)|=|e^x|*|cosy+isiny|=e^x*1=e^x。其中乘号右边复数的模|cosy+isiny|=√(cosy^2+siny^2)=1

如果f(z)可导，那么f(z)就是"解析函数"所以判断一个复变函数是否解析当然就是用复变函数导数的定义去判断这个函数是否可导。还有一种方法，就是根据解析函数的充分必要条件:设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)，那么f(z)解析的充分必要条件为:1.u和v可微。2.u和v满足柯西黎曼关系。

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分(1)这是形式上的变换向左转|向右转上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程向左转|向右转那么上式就可以化为定积分向左转|向右转当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导另外当然第二型曲线积分可以化为第一形曲线积分，这一点不作深入讨论如果要问积分的意义是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运动的物体所做的功把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解(2)向左转|向右转向左转|向右转这里△zk可以看作曲线C的一个小段，那么f(zk)是该段曲线上一点的“复线密度”，因此积分的结果可以看作整段曲线的“复质量”(3)如果积分是平面积分或者多重积分，那么通常是关于实变量的积分，这时就可以看作实部虚部分别积分即可

cr方程是复变函数可导的条件：一阶偏导数存在且连续且满足柯西黎曼条件。设f（x），g（x）是两个可导的函数，来证明f（g（x））可导。有lim［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δx=lim{［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δt}（Δt/Δx）［就是分子分母同时乘以Δt］。limΔt/Δx=lim［g（x+Δx）-g（x）］/Δx=g"（x），lim{［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δt}=f"（t），其中t=g（x）。上述两个极限存在，所以极限lim［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δx=lim{［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δt}（Δt/Δx）存在，也就是f（g（x））可导，且按上述推导过程可知［f（g（x））］"=f"（t）g"（x）=f"（g（x））g"（x），即复合函数的求导法则。内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

一般将单变量复变函数简称为复变函数，而多变量复变函数称为多复变函数，复变函数常用的记号是w＝f（z）。从几何的角度看，复变函数是复平面上的

不知道是多少次去看这书了，可惜每一次都不得不暂时放手，不能坚持看完。 复变函数是很神奇的一个领域，总有人说它很简单，那估计是为了考试吧，因为相比于实数域内的函数及其微积分，复数域确实十分的神秘而微妙。 通常的数系的拓展不过是将点取得更密一些，从自然数，到整数，比例数，实数，它们的发展逃脱不出这个实数线，并没有本质的变化，但是，复数需要一个平面来表示，将数的维度由一维升为了二维，这是非常奇怪的事，但是又合情合理，既然实数可以把数从孤立的点拓展为连续的线，那复数将这条线给拓展为一个面又有什么不合适的呢？ 然后是复数的代表运算，加法和乘法，加法是独立分量的运算，乘法也是独立分量的运算，但是它们采用的独立分量是不一致的，加法对应的是笛卡尔坐标的虚实轴，乘法对应的是极坐标的半径和角度，这两种坐标之间又具有联系，所以各自的独立性却导致了相互的联系性。这里，我感觉加法和乘法恐怕不是复数的本质运算，应该有某一种或几种更加精妙的运算可以实现真正的独立运算。就像张量之于具体坐标，一个是本质，一个是表象。显然，目前的加与乘是表象。 其实，上面这个问题可能是比较深刻的，即使在整数范围内，加法和乘法是否就是真的独立的呢？这个问题与世界难题abc猜想有关。 不过，这里更多的是关于二维数的问题，二维就应该可以表示为两个独立分量，就像向量一般，泾渭分明，互不干扰，但是，复数的乘法却在破坏这种独立性。虽然有人将复数的代数结构同构于二维对称矩阵的代数结构，不过，这真的是复数的本质吗？因为我并没有看相关的研究，所以也不能评价它的对错。假如真的是这样的同构，那估计也是局限在代数上，对于分析上的结果可能是无法继承的，不然的话，就产生了一个新的研究领域了。 什么是解析函数，如何判断，这些问题看书就能知道了。但是，解析函数是什么呢？我们都知道，实变函数是一个图像，总可以实际的或者示意的画出来，称之为函数的图像。看到一个图像，可以很容易的得到很多信息，这个函数的许多性质都可以从图中不费力的得到。 可是，复变函数画不出来，或者说很难在一幅图中画出来，有人采用模值与幅角的方法，模值为数值，幅角为颜色。实话说，这并不高明，而且很难去理解，颜色已经被附加上了特定含义，也就是等高线，用它去表示角度，实在是让人费解。但是把幅角作为数值就更让人难以理解了，因为它是一个周期量，表示在直线轴上更加难以理解了。 就因为图像画不出来，就导致复变函数的许多性质变得难以理解。像是处处不解析的函数，这就像处处不可导的函数一样难以想象。甚至更加难以想象，即使是性质良好的解析函数，也有许多看起来很古怪的性质，平均值定理，解析函数在某点的值等于以他为圆心，任意圆周上的值的平均值，由此得到最大模定理，函数模值的最大值不会出现在区域中，而应该在区域的边界上。对于解析区域为整个复平面的整函数而言，意味着函数的最大模值一定出现在无穷远处。 如果解析函数的图像可以画出，对于平均值定理而言，围绕任一点所做的一组同心圆看起来总是相对于圆心的值而振荡，对于圆心值的一个微小的修改都将导致无穷多的点随之变化。这是很神奇的事情，说明解析函数不可能对局部连续形变而其余部分保持不变，似乎暗示了解析函数保解析变换的依赖性和不连续性，就像量子化假设一般，只能取整体的某些分立值。 最大模定理姑且还是可以画出的，因为只涉及到了模值，可以画成三维空间的曲面，也就是二元函数的图像。指数函数与正弦函数，都是整函数，所以模值最大点在无穷远。单奇点的解析函数，模值最大出现在奇点处，也就是解析域的边界上。 至少在模值性质方面还是可以直观的看到。也算是一些安慰。 为什么图像无法画出？复平面也不过是一个平面而已，即使再怎么弯曲，扭转，拉伸至少在三维空间中还是可以表示的。可惜，这样表示出的曲面只依赖于单个参数，复数有着两个参数，于是，就不得不加入时间维度，变为随时间变化的二维曲面。 这其实也反映了复数强大的应用场景，表示一个时变的二维场。不管它是流场，电场，还是温度场。可是，总是还是让人遗憾的，如果现实是四维的就好了，那将会是多么精彩的世界。 微积分互相联系是已经广为人知，所谓的牛顿莱布尼兹公式，高斯公式，斯托克斯定理或者说是外微分的斯托克斯公式，表现在物理中是区域无源漏的连续性方程。 但是，解析函数给出了另一种联系，围绕某点的奇点积分，与该点的导数值的关系，这是更进一步的联系，毕竟前面的那些定理公式是绝不允许内部有奇点存在的。 零点与奇点本身就是复变函数中占比极重的内容，失去了奇点，那整个理论就变得干瘪而无聊。无非就是实数理论的平凡推广罢了。正是奇点的存在使得它变得神秘而微妙。奇点是不符合定义的点，是无视规则的点，是规则的边界，也就是解析函数的边界。许许多多的定理都表明了，解析函数内部其实空空如也，没有什么出彩的定理，是一个完美而无趣的天堂。反而是边界上有些各种奇妙性质。像之前提及的平均值定理，最大模定理，还有柯西积分公式，洛朗级数。绕奇点转一圈和转很多圈可能有些本质区别，也可能没有区别，这就导致了奇点的分类。虚假的奇点，极点和本质奇点。 奇点，在我看来就是平整表面上的凹坑，光线照到凹坑之外的地方，得到的是完美的反射光，然而，一旦接近这些凹坑，反射光就变得弯曲起来，性质变得十分的奇怪，随着进一步接近，甚至于包围了这个凹坑，形成了一个光圈，解析函数和光毕竟还是有所差别的，但是当积分路径靠近奇点时就不得不避开他，变得弯曲，假使不小心包住了，那麻烦就大了，积分值就变得很奇怪，要么是增加了某个特定值的整数倍，要么直接变成了发散的结果。 尽管，这些结果都可以通过理论得到一个数值上的原因，但这是远远不够的，数学如果不能应用于现实中，也只是一种美学，因人而异，而如果可以用来解释现实世界，就成为了强有力的逻辑支撑，以至于所有人都应该去理解它。 现实中的奇点，最出名的就是宇宙中的黑洞，它破坏了整个宇宙的平整，还有许多其他的奇点，比如，水池中的漏孔，光滑表面上的凹坑，围绕着奇点总会出现旋转的现象，似乎有什么东西在源源不断的被吸入奇点中。这种说法也是很有道理的，一般来说，这个点总可以将东西全部吸入，然后随着物质的消失而隐匿起来，不过，如果物质在不断的得到补充，那就能维持着微妙的平衡，复变函数中的奇点就是这种维持着的奇点，它不会把函数值吸进去，而仅仅保持着自身的存在。 从这个角度看的话，奇点就是一个漏孔，围绕这个漏孔会导致一个旋量，这个旋量才是导致积分值变化的元凶。不过，这样一来奇点就变得不够神秘了，变成了一个随处可见的存在，就像随处可见的漩涡一样。不过，本来就是一个普遍存在的东西，不过人们总是忽略它罢了。

要写成指数的形式，就要先把模和辐角算出来：r=sqrt([-sqrt(24)]^2+(-2)^2)=sqrt(28)=2*sqrt(7)，辐角Θ=arctan((-2)/(-sqrt(24)))=arctan(1/sqrt(6))，所以指数形式为re^iΘ=2*sqrt(7)*exp(i*arctan(1/sqrt(6)))。

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如下：复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

1、以复数作为自变量的函数就叫做复变函数。 2、复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 3、复变数复值函数的简称.设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z,通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应,就说在复数集A上定义了一个复变函数,记为w=?(z).这个记号表示,?(z)是z通过规则?而确定的复数.如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=?(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=?(z)就对应着一对两个实变数的实值函数.除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z,有且仅有一个w与之对应。

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w＝u+iv,那么复变函数w＝ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=�0�6(z)。这个记号表示,�0�6(z)是z通过规则�0�6而确定的复数。如果记z=x+iy,w＝u+iv,那么复变函数w＝�0�6(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=�0�6(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=??(z)。这个记号表示,??(z)是z通过规则??而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=??(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=??(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

复变函数是定义域为复数集合的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，自2002年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。2002年，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

自变量是复数，并且对应的函数值也是复数的函数，就是复变函数。常用的初等函数（一次函数、二次函数、……等等）都是一样的，别的就不然了。例如，三角函数sin(ix)=(i/2)[e^x-e^(-x)],……复变函数在日常生活、工作、生产上没有什么用处，但是在电学、流体力学上有重要的应用。

楼上的，不会可以不回答知道吗？复变是针对点泛函，泛函是针对线，面，体，泛函，大鱼吃小鱼小鱼吃虾米

复变函数就是以复数为研究对象的函数，可以看作是高数从实数域到复数域的扩充。它的部分内容，如函数可导和解析的判定、函数积分、幂级数的展开等，与高数相应部分内容是极为相似的。但也有部分内容与高数不同。至于作用，我想主要有两个方面：一是数学理论方面的研究，二是实际应用，主要在工科方面，如电工技术、力学、自动控制、通信技术等方面。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

解：复数z0=x0+iy0，既可以表示平面直角坐标系中的点(x0,y0),也可以表示复平面的向量z0(x0+iy0)。故，圆心为(x0,y0)、半径为R的圆的参数方程等价的复数形式为：z=z0+Re^(it)(t∈[0,2π])。供参考啊。

方法建议：（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与xy坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy积分公式。这个是复分析的第一个重要定理。（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和零点极点的性质。与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor级数和Laurent级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela定理。（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann映照定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究Mobius 变换的保角和交比之类的性质。（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass理论，是研究Weierstrass函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。

解：用欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx，有cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2，sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)。∴sini=[e^(-1)-e]/(2i)=i(e-1/e)/2=isinh1。同理，cosi=cosh1∴cos(1+i)=cos1cosi-sin1sini=cos1cosh1-isin1sinh1。供参考。

本书遵循普通高等学校工科本科《复变函数课程教学基本要求》，按照新形势下教材改革精神，结合编者长期的教学改革实践编写而成，较全面、系统地介绍了复变函数的基础知识．全书共7章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、留数及其应用和共形映射等，最后一章是复变函数实验，讨论怎样用计算机软件去解决复变函数中的问题．每章配有适量习题和补充题供读者选用，书末附有习题答案与提示．本书可作为普通高等学校工科本科各专业的复变函数课程的教材，也可供工程技术人员、报考研究生的读者参考．

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

四者的都通过指数函数e^z来定义的。e^z=f(x,y)=e^x*(cosy+isiny)。这里面x和y分别为z的实部和虚部。这样一来就通过实指数函数和实三角函数定义了复指数函数。接下来就用复指数函数定义这四个函数。cos z=[e^(iz)+e^(-iz)]/2;sin z=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i;ch z=[e^z+e^(-z)]/2;sh z=[e^(z)-e^(-z)]/2

根据v的表达式得到其对y的偏导数为vy=-2；根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。上式对y求导，得到uy=C"(y)；另外，根据v的表达式，对x的偏导数为vx=4x+1，根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即C"(y)=4x+1.这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

前一个积分可化为（用z（z共轭）=|z|²=4）这个积分在n=0时=8πi，在n≠0时=0后一个积分即当n=2时，=2πi，当n≠2时=0，所以要让他们相等n≠0且n≠2

　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[编辑本段]复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

如图所示

与实变函数的定义完全相同。首先具有奇偶性的函数，它的定义域一定是关于原点中心对称的。在此基础上，如果f(-z)=-f(z),那么称f(z)为奇函数。如果f(-z)=f(z)，那么称f(z)为偶函数。

用留数定理，tanz=sinz/cosz 在 IzI=2内有两个一级极点 z=π/2 和 z=-π/2，则积分结果为-4πi。

所谓的“像”就是函数值或者值域 w=u+iv=z^2+iz=(x^2-y^2)+2xyi+i(x+iy)=(x^2-y^2-y)+i(2xy+x) u=x^2-y^2-y,v=2xy+x (1)对于z=2-i,有w=4-2i (2)对于曲线z=t^2+2it(其中t是实数)，有x=Re(z)=y^2/4=Im(z)^2/4 所以w=(y^4/16-y^2-y)+i(y^3/2+y^2/4) 那么u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4 所以曲线在W的像为{(u,v)|u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4,y∈R} [注：其实把u写成v的函数或者倒过来，在这个题是不可行的，因为u和v都是关于y的高次函数(方程)，而且函数不是单调的，所以用u或者v来表示y都是不可行的] (3)闭区域D={x+yi|0≤y≤sqrt(1-x^2),x∈R}={re^it|0≤r≤1,0≤t≤π} 所以其在W中的像为 {x+yi|x=r^2*cos2t-rsint,y=r^2*sin2t+rcost,0≤r≤1,0≤t≤π} 目测也不能再化简了

首先实变函数为泛函分析奠定了理论基础.泛函分析你应该比较了解,对近代的常微分方程,偏微分方程,差分方程,解的性质有很重要的意义 实变函数本身主要用于高等概率论,以及随机过程中很多定理的证明.对于普通的积分勒贝格还是不常用,但是对不少特殊函数（概率分布）用勒贝格积分算还是很有用的.

数学分析 应该是 实变分析的基础吧我也不大清楚也。。。

有限的就是说,任何一个点的函数值都是一个实数,而不是无穷大.有界是所有的函数值有一个共同的最大的绝对值.如果有界,那么显然是有限的.但是有限却不一定有界,比如说f(x)=x,任何一个实数x,对应的函数值都是一个实数,而不是无穷大,然而x->∞的极限却是∞,所以说不是有界的.

设{An}是一串集合，上极限设为B，下极限设为C，则：首先，B包含C其次，某元素x属于B表示：存在无穷多个k，使得x属于Ank；某元素x属于C表示：只存在有限个k，使得x不属于Ank；

如下：复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复变函数是指定义在复数域上的函数，即将复数域映射到复数域上的函数。以下是一些常见的复变函数：1. $f(z) = z^2+1$：这是一个简单的二次函数，输入为复数，输出为复数。2. $f(z) = e^z$：这里的 $e$ 是自然对数的底数，$f(z)$ 为复数 $z$ 上的指数函数。3. $f(z) = sin z$：这是复数 $z$ 上的正弦函数，其定义方式类似于实数情况下的正弦函数。4. $f(z) = frac{1}{z}$：这是复数 $z$ 上的倒数函数，它对于 $z=0$ 的情况存在极点。以上只是一些常见的例子，实际上复变函数有各种形式，包括有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。

复变函数是指定义在复平面上的函数，也就是将复数作为自变量和函数值的函数。复变函数是一个复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数。复变函数在数学中有着广泛的应用，涉及到复数解析几何、调和分析、微分方程等领域。复变函数的一些特性和概念包括：1. 复变函数可以表示为实部和虚部的和，即f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是复平面上的一个点，u(x,y)和v(x,y)是实函数。2. 复变函数的导数称为复导数，也称为导数或者导数。如果一个函数f(z)在某个点z0处可导，那么它在这个点处的导数就是一个复数。3. 复变函数有很多基本函数，如指数函数、三角函数、双曲函数等等。4. 复变函数也有调和函数的概念，调和函数是指其实部和虚部的拉普拉斯算子的和为零的函数。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.

复变函数的作用为：物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。扩展资料：复变函数发展历史1、复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。2、到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。3、为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。4、二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。参考资料来源：百度百科-复变函数

可导性。事实上，复变函数可以看做二元函数。只不过要满足CR方程。想要证明它不可导，跟高数的二元函数一样，随便取两条轨迹。证明从这两条轨迹到同一点的导数不同即可。证明它可导，最好先证明一下解析性。也就是这个函数是否满足CR方程。如果满足，再证明它的可导性。需要证明它处处可导，或者某些地方可导某些不可导。就需要放大眼睛，灵活应变。可能需要用到不仅仅是复变函数，高数知识，尤其是二元函数的可导性也要用到了。

实变 相对难学 ,泛函还好, 复变函数 , 可以单独学 影响不大

《实变函数与泛函分析 》是 高等教育出版社 出版的图书，这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

不必。不过最好先读一点实变函数。那也是作一点思想方法上而的预备。泛函分析只在数学系开，大三吧。 当数学家要具备哪些素质? 老实一点，笨一点，身体好，坐得住。大概就够了吧。当然，还要特别喜欢数学。

一阶连续可导的函数的全体

数学与信息计算等专业学实变函数与泛函分析。泛函分析是最具综合性和抽象性的数学专业必修课，是研究生入学考试的重要组成部分。

泛函分析难。1、泛函分析更抽象，实变函数技巧性更强。2、微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

泛函分析中的几乎周期函数是指一类几乎在全局范围内具有周期性的函数。具体来说，假设$f$是定义在实数集上的函数，存在实数$T>0$和常数$epsilon>0$，使得对于所有的$xinmathbb{R}$，都有$|f(x+T)-f(x)|<epsilon$，那么$f$就被称为几乎周期函数。其中，$T$被称为几乎周期，$epsilon$被称为几乎周期的误差界。通常情况下，$epsilon$非常小，可以看作是$f$在全局范围内具有周期性的一个微弱偏差。几乎周期函数是泛函分析中的重要概念，具有广泛的应用。以下列举几个典型的几乎周期函数：1. 小波函数：小波函数是在时间和频率上都具有一定局部性质的函数，具有良好的压缩性和近似性。一些小波函数具有几乎周期性质，例如Haar小波、Daubechies小波等。2. 周期卷积函数：周期卷积函数指的是一类周期性函数的卷积。一些周期性函数的卷积结果具有几乎周期性，例如周期方波的卷积函数。3. 周期延拓函数：周期延拓函数是指将一个有限区间上的函数在整个实数轴上进行周期性延拓得到的周期函数。一些函数的周期延拓函数具有几乎周期性，例如三角函数。需要注意的是，几乎周期函数并不是严格的周期函数，因此在具体应用中需要考虑其周期性和误差界的限制。

高中数学函数公式是如下：1、sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB。2、sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB。3、cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB。4、cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB。5、tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。6、tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。7、cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)。8、cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。1、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)2、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a3、半角公式sin(A/2)=√（(1-cosA)/2) sin(A/2)=-√（(1-cosA)/2)cos(A/2)=√（(1+cosA)/2) cos(A/2)=-√（(1+cosA)/2)tan(A/2)=√（(1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√（(1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√（(1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√（(1+cosA)/((1-cosA))三角函数简介：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

函数就是把已知的用未知的字母代替例如 1+2=3写成函数就变成a+b=c 其中a=1 b=2 c=3 这样子函数的字母数值可以变动 就会到之后的函数求解例如1+b=3 求b是多少这里的b就等于2 当然这是最基础的函数 只是用来理解的

数列就是按照一定规律排成的一列数，那么函数列就是按照一定规律排成的一列函数。“级数”的实质就是一个无限求和。数项级数就是一列无限个数的求和。这列数或者有规律或者没有规律，但一般是有规律的一列数。数项级数通常也就是含有无限个数的数列的求和。那么，函数项级数就是一列无限个函数的求和，（当然要求函数在定义域内的求和）函数项级数通常也就是含有无限个函数的函数列的求和。

所谓函数是指某一个变量是依照另一个变量的变化而产生相应的变化，譬如当速度一定时，路程的变化是根据时间的变化而确定的，这里时间就是自变量，而路程就是因变量，数学上就把路程称为是时间的函数。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。点击查看全文高中数学三角函数国内20强高级数学教师，免费攻克数学难题根据数学相关内容为您推荐三角函数高中数学三角函数高效，准确 快速，简化，高中数学难题.16年教研总结，考霸高分的24个解题模型，今日仅限10份，赶快领取!青岛誉方达教育咨询有限公司广告高中数学函数试题，提高高中生成绩的方法高中数学函数试题，从高一到高三初期，我儿子就一直特别努力，可是成绩就是没提高，高中数学函数试题，试过了这个方法，他的成绩真的提高了烟台东艾教育咨询有限公司广告帐号已注销贡献了超过181个回答

如果a是偶数,那么定义域是有理数,值域是非负数如果a是奇数,那么定义域与值域都是非负数那么a是奇数f(-x)=(-x)^a=-(x)^a=-f(x){我把y看作f（x）｝所以选a

1.早期历史 函数概念的早期演变过程为：开始，x的函数仅只x的幂；接着，其涵义被拓广为含x的代数式；之后，又从代数式拓广到含x的任意解析式；最后，从任意解析式拓广为依赖于x或由x所确定的任意变量。同时，一元函数又被拓广到了多元函数。 2.从约翰·伯努利到欧拉 1694年，约翰·伯努利提到函数是“由不定的量和常量所构成的某个量”。1718年，他首次明确提出函数的新定义：“一个变量的函数是由该变量和一些常量以任何方式组成的量。” 欧拉在约翰·伯努利的定义基础之上，在《无穷分析引论》中首次用解析式来定义函数：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 1755年，欧拉在《微分基础》中更新了函数的定义：“如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。” 欧拉的“解析式”定义和“依赖关系”定义对后世产生了深远的影响，19世纪中叶以前，它们一直是函数定义的蓝本。 3.百科全书中的函数定义1757～1838年的欧美百科全书或数学词典中，函数的解析式定义占有绝对统治地位。虽然欧拉已经定义了“代数函数”和“超越函数”，但各百科全书的有关作者并没有相应的区分“代数式”和“超越式”，将“代数式”与一般“解析式”混为一谈。只有德摩根对两者进行了严格区分，他将我们今天所称的代数函数称为“普通代数函数”，其他函数均为超越函数。 4.函数定义演变过程（1855年以前）结论 （1）欧拉的“依赖关系”定义并未影响“解析式”定义的广泛传播。19世纪中叶以前，英、法、美等国的百科全书、微积分著作中的函数定义均以欧拉的两个定义为蓝本，解析式定义在1840年以前占统治地位，而在1840年以后逐渐退出历史舞台。 （2）19世纪中叶以前，柯西、傅里叶、狄利克雷和黎曼相继突破了欧拉定义的局限，但在相当长时间内，旧定义依然流行，现代定义从诞生到被普遍接受，经历曲折艰难的过程。 （3）历史上，函数定义在微积分、代数学教科书中表现出滞后现象。 （4）中文“函数”名称源于函数的“解析式”定义，其诞生具有一定的历史偶然性。

有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数不能化为显函数。

《函数汇总》 1、一次函数2、正比例函数3、二次函数4、反比例函数5、指数函数6、对勾函数7、对数函数8、幂函数9、抽象函数10、圆的方程11、椭圆方程12、双曲线方程13、抛物线方程

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。基本信息中文名 三角函数定律外文名 trigonometric function提出者 霍斯提出时间 公元前1世纪适用领域 几何学，代数学数值表三角函数值三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度制oπ/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsinαo1/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10cosα1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tanαo√3/31√3--√3-1-√3/30-0.sin0=sin0°=0cos0=cos0°=1tan0=tan0°=0sin15=0.650；sin15°=（√6-√2）/4cos15=-0.759；cos15°=（√6+√2）/4tan15=-0.855；tan15°=2-√3sin30=-0.988；sin30°=1/2cos30=0.154；cos30°=√3/2tan30=-6.405；tan30°=√3/3sin45=0.851；sin45°=√2/2cos45=0.525；cos45°=sin45°=√2/2tan45=1.620；tan45°=1sin60=-0.305；sin60°=√3/2cos60=-0.952；cos60°=1/2tan60=0.320；tan60°=√3sin75=-0.388；sin75°=cos15°cos75=0.922；cos75°=sin15°tan75=-0.421；tan75°=sin75°/cos75° =2+√3sin90=0.894；sin90°=cos0°=1cos90=-0.448；cos90°=sin0°=0

e的z次方不是超越函数。复变函数中，是先定义e的z次方，是单值的整函数，定义了对数函数lnz，是多值函数。超越函数指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数，超越函数就是超出代数函数范围的函数。

属于初等函数

你的猜测是对的。我们不妨从初等函数的定义来窥视高等函数（特别注意引号部分）：由基本初等函数和常数经过“有限次”四则运算和“有限次”复合步骤所构成的并可以用一个式子表示的函数叫初等函数。如果无限次呢？就是高等函数。一般的高等函数用极限（包括导数、微积分、无穷级数）等高级运算来定义。有人说高等函数也包括著名的狄利克雷函数。

这个积分的被积函数不是初等函数,无法用分步积分或凑积分法来积分

答案是在纸上面

三角函数表就是用泰勒公式中的麦克劳林展开式求解出的!如sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+.估值法不准确,但还可以用微分的估值公式进行估值,也较为准确公式是f(x+△x)≈f(x)+f"(x) △x.这就是微分的估值公式,它是以直代曲,即以曲线某点切线的增量代替函数的增量.如sin31度.令f(x)=sinx,x=31,△x=1就可估得结果!

不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等．

超越函数 (Transcendental Functions) 变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。补充在数学领域中, 超越函数与代数函数相反, 是指那些不满足任何以多项式方程的函数, 即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程.换句话说, 超越函数就是"超出"代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算. 严格的说, 关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数, 如果该函数是关于变量z是代数独立的. 对数和指数函数即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数, 例如正弦,余弦,正割,余割,正切,余切,正失,半正失等. 非超越函数则称为代数函数. 代数函数的例子有多项式和平方根函数. 对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数. 如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中, 对倒数函数y = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的双曲函数sinh, cosh, tanh 都是超越函数. 微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数, 例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。希望我的回答对你有用

怎么解？具体的问题是什么？

复合函数是指变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应。设函数Y=f(u)的定义域为D，函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f[φ(x)]。x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。如等都是复合函数。就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。数学领域，超越函数与代数函数相反，是指那些不满足任何以多项式方程的函数，即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说，超越函数就是“超出”代数函数范围的函数，也就是说函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。严格的说，关于变量z的解析函数f(z)是超越函数，如果该函数是关于变量z是代数无关的。对数和指数函数即为超越函数的例子，超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数，例如正弦、余弦、正割、余割、正切 、余切等。非超越函数称为代数函数，代数函数的例子有多项式和平方根函数。对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数，如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中，对倒数函数y=1/x不定积分得到的，以此方式得到的双曲函数sinh，cosh，tanh等皆为超越函数。

变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。补充 在数学领域中, 超越函数与代数函数相反, 是指那些不满足任何以多项式方程的函数, 即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程.换句话说, 超越函数就是"超出"代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算. 严格的说, 关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数, 如果该函数是关于变量z是代数独立的. 对数和指数函数即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数, 例如正弦,余弦,正割,余割,正切,余切,正失,半正失等. 非超越函数则称为代数函数. 代数函数的例子有多项式和平方根函数. 对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数. 如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中, 对倒数函数y = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的双曲函数sinh, cosh, tanh 都是超越函数. 微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数, 例如将三角函数与多项式的合成取不定积分.编辑本段量纲分析 在量纲分析里，超越函数是很非常有用的，因为它们只在其引数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。例如，log(10 m) 是个毫无意义的表示式. log(10 m)不同于 log(5 m / 3 m) 和 log(3) m, 后两者是有实际意义的. log(10 利用对数恒等式, 将m)展开为log(10) + log(m)能够更清晰的说明该问题: 一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果.

叫超越函数 补充百度百科的资料，请参考超越函数(Transcendental Functions)变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 　　如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 　　超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 　　对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 　　非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 　　一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。