实变函数 什么是"有限" 有限和有界的区别

首先实变函数为泛函分析奠定了理论基础.泛函分析你应该比较了解,对近代的常微分方程,偏微分方程,差分方程,解的性质有很重要的意义 实变函数本身主要用于高等概率论,以及随机过程中很多定理的证明.对于普通的积分勒贝格还是不常用,但是对不少特殊函数（概率分布）用勒贝格积分算还是很有用的.

数学分析 应该是 实变分析的基础吧我也不大清楚也。。。

设{An}是一串集合，上极限设为B，下极限设为C，则：首先，B包含C其次，某元素x属于B表示：存在无穷多个k，使得x属于Ank；某元素x属于C表示：只存在有限个k，使得x不属于Ank；

如下：复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复变函数是指定义在复数域上的函数，即将复数域映射到复数域上的函数。以下是一些常见的复变函数：1. $f(z) = z^2+1$：这是一个简单的二次函数，输入为复数，输出为复数。2. $f(z) = e^z$：这里的 $e$ 是自然对数的底数，$f(z)$ 为复数 $z$ 上的指数函数。3. $f(z) = sin z$：这是复数 $z$ 上的正弦函数，其定义方式类似于实数情况下的正弦函数。4. $f(z) = frac{1}{z}$：这是复数 $z$ 上的倒数函数，它对于 $z=0$ 的情况存在极点。以上只是一些常见的例子，实际上复变函数有各种形式，包括有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。

复变函数是指定义在复平面上的函数，也就是将复数作为自变量和函数值的函数。复变函数是一个复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数。复变函数在数学中有着广泛的应用，涉及到复数解析几何、调和分析、微分方程等领域。复变函数的一些特性和概念包括：1. 复变函数可以表示为实部和虚部的和，即f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是复平面上的一个点，u(x,y)和v(x,y)是实函数。2. 复变函数的导数称为复导数，也称为导数或者导数。如果一个函数f(z)在某个点z0处可导，那么它在这个点处的导数就是一个复数。3. 复变函数有很多基本函数，如指数函数、三角函数、双曲函数等等。4. 复变函数也有调和函数的概念，调和函数是指其实部和虚部的拉普拉斯算子的和为零的函数。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.

复变函数的作用为：物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。扩展资料：复变函数发展历史1、复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。2、到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。3、为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。4、二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。参考资料来源：百度百科-复变函数

可导性。事实上，复变函数可以看做二元函数。只不过要满足CR方程。想要证明它不可导，跟高数的二元函数一样，随便取两条轨迹。证明从这两条轨迹到同一点的导数不同即可。证明它可导，最好先证明一下解析性。也就是这个函数是否满足CR方程。如果满足，再证明它的可导性。需要证明它处处可导，或者某些地方可导某些不可导。就需要放大眼睛，灵活应变。可能需要用到不仅仅是复变函数，高数知识，尤其是二元函数的可导性也要用到了。

楼上的，不会可以不回答知道吗？复变是针对点泛函，泛函是针对线，面，体，泛函，大鱼吃小鱼小鱼吃虾米

复变函数就是以复数为研究对象的函数，可以看作是高数从实数域到复数域的扩充。它的部分内容，如函数可导和解析的判定、函数积分、幂级数的展开等，与高数相应部分内容是极为相似的。但也有部分内容与高数不同。至于作用，我想主要有两个方面：一是数学理论方面的研究，二是实际应用，主要在工科方面，如电工技术、力学、自动控制、通信技术等方面。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

解：复数z0=x0+iy0，既可以表示平面直角坐标系中的点(x0,y0),也可以表示复平面的向量z0(x0+iy0)。故，圆心为(x0,y0)、半径为R的圆的参数方程等价的复数形式为：z=z0+Re^(it)(t∈[0,2π])。供参考啊。

方法建议：（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与xy坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy积分公式。这个是复分析的第一个重要定理。（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和零点极点的性质。与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor级数和Laurent级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela定理。（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann映照定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究Mobius 变换的保角和交比之类的性质。（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass理论，是研究Weierstrass函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。

解：用欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx，有cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2，sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)。∴sini=[e^(-1)-e]/(2i)=i(e-1/e)/2=isinh1。同理，cosi=cosh1∴cos(1+i)=cos1cosi-sin1sini=cos1cosh1-isin1sinh1。供参考。

本书遵循普通高等学校工科本科《复变函数课程教学基本要求》，按照新形势下教材改革精神，结合编者长期的教学改革实践编写而成，较全面、系统地介绍了复变函数的基础知识．全书共7章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、留数及其应用和共形映射等，最后一章是复变函数实验，讨论怎样用计算机软件去解决复变函数中的问题．每章配有适量习题和补充题供读者选用，书末附有习题答案与提示．本书可作为普通高等学校工科本科各专业的复变函数课程的教材，也可供工程技术人员、报考研究生的读者参考．

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

四者的都通过指数函数e^z来定义的。e^z=f(x,y)=e^x*(cosy+isiny)。这里面x和y分别为z的实部和虚部。这样一来就通过实指数函数和实三角函数定义了复指数函数。接下来就用复指数函数定义这四个函数。cos z=[e^(iz)+e^(-iz)]/2;sin z=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i;ch z=[e^z+e^(-z)]/2;sh z=[e^(z)-e^(-z)]/2

根据v的表达式得到其对y的偏导数为vy=-2；根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。上式对y求导，得到uy=C"(y)；另外，根据v的表达式，对x的偏导数为vx=4x+1，根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即C"(y)=4x+1.这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

前一个积分可化为（用z（z共轭）=|z|²=4）这个积分在n=0时=8πi，在n≠0时=0后一个积分即当n=2时，=2πi，当n≠2时=0，所以要让他们相等n≠0且n≠2

　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[编辑本段]复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

如图所示

与实变函数的定义完全相同。首先具有奇偶性的函数，它的定义域一定是关于原点中心对称的。在此基础上，如果f(-z)=-f(z),那么称f(z)为奇函数。如果f(-z)=f(z)，那么称f(z)为偶函数。

用留数定理，tanz=sinz/cosz 在 IzI=2内有两个一级极点 z=π/2 和 z=-π/2，则积分结果为-4πi。

所谓的“像”就是函数值或者值域 w=u+iv=z^2+iz=(x^2-y^2)+2xyi+i(x+iy)=(x^2-y^2-y)+i(2xy+x) u=x^2-y^2-y,v=2xy+x (1)对于z=2-i,有w=4-2i (2)对于曲线z=t^2+2it(其中t是实数)，有x=Re(z)=y^2/4=Im(z)^2/4 所以w=(y^4/16-y^2-y)+i(y^3/2+y^2/4) 那么u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4 所以曲线在W的像为{(u,v)|u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4,y∈R} [注：其实把u写成v的函数或者倒过来，在这个题是不可行的，因为u和v都是关于y的高次函数(方程)，而且函数不是单调的，所以用u或者v来表示y都是不可行的] (3)闭区域D={x+yi|0≤y≤sqrt(1-x^2),x∈R}={re^it|0≤r≤1,0≤t≤π} 所以其在W中的像为 {x+yi|x=r^2*cos2t-rsint,y=r^2*sin2t+rcost,0≤r≤1,0≤t≤π} 目测也不能再化简了

复变函数中求积分的方法有哪些1、柯西积分定理；2、柯西积分公式；3、高阶导数公式；4、复合闭路定理；5、留数定理（留数的计算可以用定理或洛朗展开），这个方法是最重要的，柯西积分公式和高阶导数公式其实都是留数定理的特例。 希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

一般的泛函就是把函数作为元素来研究的一门学科，泛函分析。举个简单一点的列子，我们以前学的函数是把数字作为基本的元素来研究的，现在更高一个层次，就是元素就是一个函数，比如全体实系数连续函数构成一个集合A，那么这个A中每一个元素就是一个函数，而泛函就是研究在类似于A这种集合到数之间的关系，比如在定义一个A到实数R的映射f(x),那么x就代表一个函数，所以有些人也称为是研究函数的函数。泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数。泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为宗量。简言之，泛函就是函数的函数。

不同的书上记号的用法不尽相同，最好的办法是往前翻书。

对。因为有理数是可列的，是可列个单点的并，所以是第一纲集。假如无理数也是第一纲集的话，那实数是两个第一纲集的并，也是第一纲集。但是第一纲集是没有内点的，所以矛盾。第一纲集没有内点，是Baire纲定理的直接推论。一个第一纲集A，是可数个无处稠密集U_n的并，如果你把每个无处稠密集都取上闭包，记成F_n，那么这可数个没有内点的闭集F_n的并，记成F，应该包含原来的那个第一纲集A。Baire纲定理说，这个F没有内点。那么A当然就更不能有内点了。Baire纲定理的证明很漂亮，是一堆开集、闭集套在一起证出来的(跟闭集套有一点点关系)。可以看实变函数或者泛函的教材。

感觉拓扑学容易些，泛函分析完全是在听天书 ，量子力学这种玄幻的东西可不是盖的，不过要修这几门的话数学分析一定要过硬拓扑学主要是应用在运筹学中的理论，图论，线性规划，排队论，决策等等；而泛函分析则主要是应用在电子，通信等领域。如果是学经济学的，建议学拓扑学。拓扑学是研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。泛函分析主要是研究由函数构成的空间（如巴拿赫空间，希尔伯特空间），量子力学的一个数学基础，需要很好的分析学基础。希望对你有帮助

字写的很漂亮，题吗表示看不懂，

刚看教材一般都不行,建议再找点其他参考书来看

数学分析当然是基础了，抽象代数，微分几何，拓扑，微分方程这些是本科高年级学的，实分析复分析，泛函，李群这些应该算研究生内容。

建议先读高等代数、数学分析、解析几何、逻辑学、朴素集合论、点集拓扑学。

就没有人认证回答一下？我们都很需要这道题的答案。真是没人才啊

泛函就是无穷维函数空间的数学分析，所以最好先看看高等代数和数学分析。另外一点，泛函基本都是研究Lebesgue积分，所以最好先学学实变函数。仅有高数基础很困难

不必。不过最好先读一点实变函数。那也是作一点思想方法上而的预备。泛函分析只在数学系开，大三吧。 当数学家要具备哪些素质? 老实一点，笨一点，身体好，坐得住。大概就够了吧。当然，还要特别喜欢数学。

函数~~

国内泛函分析里的一些内容会在Stein实分析后面讲希尔伯特空间的几章讲到，所以可能有的内容在泛函里就不提了。个人感觉是，Stein的书广度比较大，但深度比较欠缺。不论是实分析里讲抽象测度和积分理论，还是泛函里讲算子理论，感觉还没讲够呢，就没有了。

泛函分析，它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用

按照条理来就行了。研究生泛函分析标准教材。楼上说的不全对噢，每一部分都重要，只是国内更注重第一部分而已。在泛函教材上证明素数定理，没其它教材能办到这一点。看翻译的或原版都行。我喜欢这种美式风格。

有。泛函分析+索伯列夫空间+偏微分方程有中译本。《泛函分析、索伯列夫空间和偏微分方程》是著名分析学大师Brezis的一部经典泛函分析教材，该书通俗易懂易于入门，内容丰富方法新颖独特。

关系如图：

设A为线性算子，a在A的谱中点谱：存在非零向量x使得Ax=ax，或者等价地(A-aE)x=0；连续谱：上式不满足（不存在统一的x），但存在不趋于0的序列{x_n}使得Ax_n-ax_n趋于0，或者等价地(A-aE)x_n趋于0考虑算子A-aE，则点谱表示它把某个非零的点映到零点；连续谱表示它把某个不趋于零的序列映到趋于零的序列，这个条件有点像函数在某个非零点处连续

泛函分析是现代数学的一个重要分支，它主要研究各类抽象空间的属性及空间与空间的相互联系的特征。泛函分析具有高度的统一性与广泛的实用性，它可将许多分散在各个数学分支的理论方法统一起来，并且与许多应用学科紧密联系。泛函分析在信号处理中广泛的应用，特别在将信号处理一些分的处理方法统一起来的研究中，更需要泛函分析这个有力的数学工具。由于泛函分析涉及较深的数学理论，且其抽象概念与推理使人闪不习惯，故本章尽量从信号处理实用角度介绍所需的泛函分析初步的一些知识。http://cache.baidu.com/c?m=9d78d513d9d431aa4f9de7697d65c0156d4381132ba7d50209d08439e4732f45506793ac51240772a0d27d1716d94b4b9bf72102441451b08cc9f85dadbd855b2b9f5636676bf05613a30ed9cf5153c337912afedf1ef0cbf62592dec5a5de4320ce44737b97818a4e47549460aa5277a1b1983b084252fab06622ae1f6029e87513ea12afb36e3b1081818c0113de68903c47d0fe73a73e65e652e6550c2530e20cec5e167776f74853a4122a05e4eb5fe72d734224b7&p=c2759a438e941ce81cbe9b7e47&user=baidu

不是啊，求(|f(x)|/|x|)的上确界啊

《实变函数与泛函分析 》是 高等教育出版社 出版的图书，这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

实变 相对难学 ,泛函还好, 复变函数 , 可以单独学 影响不大

泛函分析和代数几何有关系。数学分析和高代是泛函分析的基础，泛函分析研究的是函数映射到函数的空间，数学分析研究的是数值映射到数值上的空间。泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。泛函分析的技巧：把有限维换成无限维，以及欧式度量换成抽象度量，想法还是有限维的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。研究泛函一般都是先从线性泛函入手，内容上以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论为主，目的是熟悉抽象分析的语言, 并能够解决一些简单问题。