「泛函」究竟是什么意思?

"wangdongxing7p"您好，很高兴为您解答！泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析的主要定理包括：1. 一致有界定理（共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。希望我的回答对您有帮助~请采纳哦，O(∩_∩)O谢谢【我最爱数学！】

函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。1. 希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。2. 巴拿赫空间一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。佐恩引理（Zorn"s Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

"wangdongxing7p"您好，很高兴为您解答！泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析的主要定理包括：1.一致有界定理（共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。3.罕-巴拿赫定理研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。4.开映射定理和闭图像定理。希望我的回答对您有帮助~请采纳哦，O(∩_∩)O谢谢【我最爱数学！】

2.1 函数的定义 在理解泛函之前，我们首先需要重新审视函数这个基本概念。 函数可以说是在基本的分析问题中最常见的基本概念了。绝大多数人不会严格去思考函数的意义，而习惯于被动地使用它们。但理解函数本身对于理解泛函是有很大的帮助的。所以我们先从数学上严格定义函数。 我们知道，函数有自变量和因变量。函数的自变量可以用基本的向量 来表示。而函数 则是向量空间 上的映射。这里的两个数学符号需要解释一下。 数学上叫做基矢，它的意义是 这个方向上的单位向量，它的长度为1，方向指向 方向。 则是“直积”的意思，引入它的目的是为了扩展向量的涵义。向量本质上是一维的量，通过直积，就可以构建二维的，三维的乃至任意维度的有方向的量。实际上，可以将它看作构建坐标轴的代数表述。因为几何上构造坐标轴非常简单，就是画出来。但代数上则比较抽象。举个例子，如果存在多个方向，比如三维空间 ，就存在 三个方向 ，那么 就代表了三维坐标轴。因此( ) 就表示N维空间中的坐标轴。函数的作用是将 映射到指定的空间 , 即 这种数学定义看起来比较难懂，但实际上很多概念都是从这个简单的函数定义延伸出来的。 既然是表述方向，那么向量空间 的各个方向的分量就必须是“正交归一的”。正交归一性包含两重含义，其一是“正交性”，它表示对于任意两个不同的方向矢量 , 它们都是互相垂直的。数学上的表示是内积为零 在这里我们将 ， 是一种约定俗称的缩写记号。 内积为零这个正交性要求是非常重要的。因为如果两个不同方向的方向矢量内积不为零，就会导致在一个方向上的变化会影响另一个方向，物理上这种问题叫做量子纠缠态。这种纠缠问题在分析上就会造成非常严重的困难，原本的简单线性问题就会极其复杂，而且本质上无法完全求解。很多人学到无监督学习的时候会使用PCA方法来降维，但是不明白为什么要降维。实质上根本原因就是要让基矢尽可能正交化。另外，对于监督学习来说，如果选取的特征（features）不佳，就会选到高度相关的多个特征，这同样对于算法来说是一个灾难性的选择。虽然说矩阵计算可以做到将这些相关性较高的特征主值求逆，但最终学习结果仍然是泛化能力很差。 内积为零几何上代表的是互相垂直，但是内积的代数表述到底是什么呢？其实很简单，对于方向矢量来说，总可以表示成一个行矩阵或者列矩阵。我们习惯上使用列矩阵。比如在第5个方向上的方向矢量，用矩阵表述就是 其中 表示我们在使用矩阵表示。那么 如何用矩阵表达呢？很简单 这里的 的上指标 表示矩阵的转置（transpose），它将一个 矩阵逆时针旋转90度，转成一个 矩阵。在上面的例子中，它将 这个(N,1)列矩阵转成了一个 行矩阵。 至于“归一性”，实质上就是说方向矢量的长度是1。这个定义也可以用内积或者矩阵乘法来表示。即， 这个归一性在线性回归分析中就体现为要对所有的特征做标度变换操作。比如通过房屋的大小，房间的数量等特征来预测房屋的价格。房屋的大小一般接近100平方米，而房间数一般只有2到5个。那么如果不进行归一化操作，采取同样的递归速率就会导致在“大小”这个特征上的回归速率比在“房间数”这个特征上的回归速率慢20到50倍，这显然是极大的浪费算力。 回到函数的定义上来，函数实质上是定义了从定义域到值域（两者都是向量空间）的映射。如果函数是映射到具体的数的，那么这样的函数就是标量函数。如果函数是映射到向量的，那么就是一个矢量函数。如果函数是映射到值域上的张量的，那么就是张量函数。如果我们的函数是标量函数。那么在坐标轴空间画出来，就是一根曲线或者一个曲面或者一个复杂的几何体。但无论这个几何体多复杂，它上面每一个点都可以用 标记它的位置。用 标记它的值。如果对于定义域有取值范围，比如0到1之间，那么得到的值域也就同样是受到约束的。如果手动限制一个函数，可以采用如下的常见定义： 是约束函数，它限定了定义域的区间。 这样引入约束的办法很机械，而且对于计算机来说，事先定义出约束是很困难的。所以有没有一种“自动化”引入约束的办法？实际上当然存在这样的办法，我们将上面的式子改写成 这样，要使得上式取极值，就必须有 这恰好就给出了约束方程 .这种引入约束的方法在泛函的分析中尤为重要，它一般被称作拉格朗日乘子法。 对于矢量函数或者张量函数，定义域中每一个位置除了定义出了值域中的一个数值之外，还定义出了在这个数值上的方向。这样定义出来的“东西”几何上已经不是曲线，曲面或者某个怪异几何体了。它有个非常数学化的称呼：纤维丛。关于纤维丛的概念，已经超出了本文的讨论范围，暂时不表。

是说的泛函理论吗

泛函分析研究的什么？　　学习泛函，首先要问泛函研究的是什么？可以用下图来解释：　　1.映射指的是算子和泛函。　　2.空间:　　X是定义在某数域上的一些对象的集合，若X是线性空间，在X上赋上距离，则就是赋距离线性空间；在X上赋上范数，则就是赋范数线性空间；在X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。　　控制方向的学生可参考教材：《应用泛函分析---自动控制的数学基础》清华大学出版社作者:韩崇昭（西安交通大学）此书可供研究生和博士生阅读。　　编辑本段什么是泛函分析　　泛函分析泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。编辑本段赋范线性空间概况　　从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。希尔伯特空间　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。巴拿赫空间　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。　　对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是所有绝对值的p次方的积分泛函分析收敛的勒贝格可测函数所构成的空间。（参看Lp空间）　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。编辑本段主要结果和定理　　泛函分析的主要定理包括：　　1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。　　2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。　　3.罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。　　4.开映射定理和闭图像定理。编辑本段泛函分析与选择公理　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn"sLeema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（AxiomofChoice）弱于布伦素理想定理（Booleanprimeidealtheorem）的一个形式。编辑本段泛函分析的研究现状　　泛函分析目前包括以下分支：　　1.软分析（softanalysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。　　2.巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。　　3.非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。　　4.与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。编辑本段泛函分析的产生　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。　　本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。　　这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。　　这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。　　研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。编辑本段泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。　　正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。　　泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析的内容　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

泛函科普中国 | 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核审阅专家胡启洲泛函是数学中重要的基本概念，是现代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。中文名泛函外文名functional性质函数的函数内容从函数空间到数域的映射常见泛函线性泛函和二次型泛函快速导航定义常见泛函特点内容应用产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。二十世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、几何的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。[1]

假设x不等于y. hahn-banach定理告诉我们，赋范线性空间中有足够多的连续线性泛函能够区分不同的点。然而根据弱极限的定义，X上任意的连续线性泛函f, 都有f(x)=f(y). 矛盾了.具体的说：令z=x-y，则z不等于0.由hahn-banach定理, 存在f属于X*使得f(z)=||z|| 且 ||f||=1所以f(z)不等于0.然而, 根据弱极限的定义，对X上的任意连续线性泛函f, 都有f(x)=f(y). 即f(z)=f(x-y)=0（由f的线性性质）, 矛盾.

泛函分析研究的什么？　　学习泛函，首先要问泛函研究的是什么？可以用下图来解释：　　1.映射指的是算子和泛函。　　2.空间:　　X是定义在某数域上的一些对象的集合，若X是线性空间，在X上赋上距离，则就是赋距离线性空间；在X上赋上范数，则就是赋范数线性空间；在X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。　　控制方向的学生可参考教材：《应用泛函分析---自动控制的数学基础》清华大学出版社作者:韩崇昭（西安交通大学）此书可供研究生和博士生阅读。　　编辑本段什么是泛函分析　　泛函分析泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。编辑本段赋范线性空间概况　　从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。希尔伯特空间　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。巴拿赫空间　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。　　对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是所有绝对值的p次方的积分泛函分析收敛的勒贝格可测函数所构成的空间。（参看Lp空间）　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。编辑本段主要结果和定理　　泛函分析的主要定理包括：　　1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。　　2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。　　3.罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。　　4.开映射定理和闭图像定理。编辑本段泛函分析与选择公理　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn"sLeema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（AxiomofChoice）弱于布伦素理想定理（Booleanprimeidealtheorem）的一个形式。编辑本段泛函分析的研究现状　　泛函分析目前包括以下分支：　　1.软分析（softanalysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。　　2.巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。　　3.非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。　　4.与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。编辑本段泛函分析的产生　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。　　本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。　　这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。　　这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。　　研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。编辑本段泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。　　正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。　　泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析的内容　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

以认为学简单的泛函分析不需要实变函数的基础，简单的代数和拓扑知识更有用，稍复杂一些的泛函分析则最好是各科基础都需要，一来很多技术手段是差不多的，二来泛函分析比较抽象，各种例子都会帮助理解，所以即使是学简单的泛函分析也最好先对别的课程有所了解，否则虽然完全可以学但不见得理解得很深入。对于实分析的不适应也许是数学分析和复分析接触得太多了一时间无法转变思维方式，这个习惯了就好，多从高层次去理解证明的主线而非细节。实变函数和泛函分析这种课程本科就应该或多或少讲过一些了，怎么会到研究生才开始学呢？晚是晚了一点，不过再困难也得慢慢啃下来，否则这些思想的缺失会影响到进一步的学习和研究。追问实变我们本科开过，但是那时只顾准备考研了，实变学的很浅很浅，期末考试靠划题。泛函我们本科压根没开过。。。现在该读研了，老师让看这些，现在就愁了，整天恶补，但是还是晕乎的。真想学，也认真自学了，但总有雾里看花的感觉。好象会又好象什么都不会。。。做梦都是做题，真的。。。请问学泛函还要会拓补？天啊。。。本来只愁实变，现在还要再恶补拓补。。。加油吧，慢慢学吧。。。

泛函分析的解释 综合运用分析、 几何 和 代数 等学科的观点和方法 研究 无限维拓扑向量空间的结构及其上的 函数 (也称“泛函”)和算子的理论。可以看成无限维向量空间上的 解析 几何和数学分析。 词语分解 泛的解释 泛 à 漂浮：泛舟。 透出：脸上泛出了红晕。 浮浅，不切实：浮泛。空泛。 泛泛 之交（友谊不深）。泛泛而谈。 一般地：泛论。泛指。泛称。 广泛 。泛览。泛读。 水向四处漫流：泛溢。 笔画数：； 部首 ：氵； 分析的解释 将事物、现象、 概念 分门别类,离析出本质及其内在联系详细解释.分开；区分。《汉书·孔安国传》：“世所传《百两篇》者，出 东莱 张霸 ，分析合二十九篇以为数十。又采《左氏传》、《书叙》为作首尾，凡百二篇

《泛函分析》是在Lax教授多年来为纽约大学柯朗数学研究所二年级研究生授课的讲义基础上整理而成的。书中除了泛函分析的基本内容外，还介绍了一些非常重要的深刻论题，比如自伴算子的谱分解和谱表示、紧算子理论、不变子空间和强连续单参数半群等。《泛函分析》还涉及了对于计算拓扑不变量十分重要的算子的指标、强有力的分析工具Lidskii迹公式、Fredholm行列式及其推广，以及源自于物理的散射理论及其他特殊论题。《泛函分析》理论内容紧密联系具体应用，包含了大量习题和例题。书中还给出了一些历史注记。这部优美简洁的著作已被很多学校用作教材或主要参考书。作者简介作者：（美国）拉克斯（Peter D.Lax） 译者：侯成军 王利广Peter D.Lax，当代最杰出的数学家之一，2005年阿贝尔奖和1987年沃尔夫奖得主，美国科学院院士，于1986年荣获美国国家科技奖章。Lax 1926年5月1日生于匈牙利，1941年随父母定居纽约，自1958年开始就一直在纽约大学从事教学与研究工作，曾担任柯朗数学研究所所长。他在纯数学与应用数学的诸多领域都有卓越的建树，影响深远。同时，他一生致力于数学教育，独立撰写或与他人合著教材20多部。

泛函分析是一个相当广阔的领域，你将来可以从事基础理论研究，也可以从事应用研究，具体地说，泛函分析目前大概有四个分支，空间理论，算子理论与算子代数，非线性泛函分析和应用泛函分析，后两者是应用方向的，可以向偏微分方程，控制，最优化等方向转。如果想从事前两者的研究，特别是算子理论和算子代数，需要你对分析（实分析，复分析），拓扑（一般拓扑），代数（近世代数，结合代数理论）等都有一定的知识储备，从而可以在具体的研究方向上，通过读很好的综述文章，以及最新的文献，在了解了此方向的来龙去脉后，才可能提出自己的问题，写文章。一定要打下坚实的基础之后，才能写文章；我知道年轻一点的有北大的老葛最后，目前泛函分析与其他的数学分支有很多交叉学科，你不妨看一下，祝你成功

{ yn }称为等价的,彼此等价的基本列归于同一类且只归一类, 称为等价类,将一个等价类看成一个元素,且用X 表示一切等价类 1 组成的集合...

刚刚学习了泛函分析，浅薄地说说自己的感觉吧，可能有所偏颇，但希望能帮助题主。泛函分析研究的对象主要是各种线性算子，这些算子与线性函数的不同之处在于，算子的定义域和值域都可以不是常见的“数”，而是抽象出来的空间。所以在物理中，大量具有相似特点（就是保持线性性）的算子他们的性质需要抽象出来研究。这就是我认为的泛函分析的主要作用。而且更重要的是，泛函分析主要是研究那些定义域是无穷维的线性空间的算子。对于有限维的线性空间，线性代数已经研究地比较透彻了。但是在现实世界中，无论是自然科学还是社会科学，维度，或者说影响因素常常是无穷多的，特别在物理上。泛函分析既是考察这些无穷维空间上算子的学科。

个人看法：工科生硕士阶段学过的数学课程《矩阵论》《数值分析》《偏微分方程数值解法》都是在最大三维里讨论。《泛函分析》应该是将维数推广到N=无穷大吧，理论性非常强，属纯理论了。如果想详细学，后面还有《实分析》《复分析》等等，这些大都不是我们工科生做的了。

泛函分析是一个相当广阔的领域，你将来可以从事基础理论研究，也可以从事应用研究，具体地说，泛函分析目前大概有四个分支，空间理论，算子理论与算子代数，非线性泛函分析和应用泛函分析，后两者是应用方向的，可以向偏微分方程，控制，最优化等方向转。如果想从事前两者的研究，特别是算子理论和算子代数，需要你对分析（实分析，复分析），拓扑（一般拓扑），代数（近世代数，结合代数理论）等都有一定的知识储备，从而可以在具体的研究方向上，通过读很好的综述文章，以及最新的文献，在了解了此方向的来龙去脉后，才可能提出自己的问题，写文章。一定要打下坚实的基础之后，才能写文章；我知道年轻一点的有北大的老葛最后，目前泛函分析与其他的数学分支有很多交叉学科，你不妨看一下，祝你成功

比如X和Y是Banach空间，M和M_n：X-->Y是线性算子，n=1，2，……如果对于任何x in X，y in Y^*（Y的对偶空间），有<M_n x，y>收敛到<Mx,y>（这个是在实数或者复数域内），那么称为M_n弱收敛到M。如果对于任何x in X，有M_n x收敛到Mx（按X中的范数），那么称为M_n强收敛到M。所有的M_n和M都是L(X,Y)中的元素，而L(X,Y)本身也有范数，如果在这个范数下，M_n收敛到M，那么称为依范数收敛。稍注意一下，以上三种收敛都是指 『算子』 的收敛。（如果只是给了一个Banach空间的话，其中元素的收敛只有强弱两种）对于这三种收敛，依范数收敛可以推出强收敛，强收敛可以推出弱收敛。一般情况下都不能反过来。

泛函分析是数学系统里很重要的一门学科，也是对后面的一系列知识架构非常重要的。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。泛函分析在现代数学几乎各个领域都很有用。我是做算子代数的，这个来源于量子理论。我们几乎所有的工具都来源于泛函分析。而且可以学习量子力学，也是非常有用的工具。举例的话比如紧算子的Riesz-Fredholm理论来自于线性积分方程的特征值问题，线性算子微扰论，反函数定理等等。一般而言，对某一特定的本科课程学习性质的功能分析，但仅为后续研究奠定了基础。本课程的目的是使学生熟悉抽象语言的基本分析,并能解决简单问题的研究(例如,一些方程的解的存在性和唯一性方面的简单),距离自己是远离真正的研究。必须学习非线性功能分析，更接近于学习。所以一门学科学好了能做的事有很多，跟其他的知识相串联，你会发现每一环都缺一不可。

这是完备空间的定义。如果在不完备的空间里，当然可以有柯西列不收敛，距离空间中任意收敛点列都是柯西列，但柯西列不一定收敛。设{x_n}是Cauchy点列。则满足任取e > 0，存在N，使得m, n >= N时，有x_m和x_n距离小于e。取e = 1，设m, n >= N0时，x_m和x_n距离小于1。此时取m = N0，则x_N0和x_n的距离小于1。说明N0之后的点都在以x_N0为球心，半径为1的球之内。而N0之前只有有限个点x_1, ..., x_{N0-1}。取M = max{x_N0到x_i的距离，i < N0}，再取M1 = max{M, 1}，于是X_N0到x_n(n是自然数）的距离都不超过M1，当然说明这个点列是有界的。扩展资料：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0当且仅当x = y；（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。参考资料来源：百度百科-度量空间

泛函分析难。1、泛函分析更抽象，实变函数技巧性更强。2、微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

强收敛，弱收敛，弱*收敛，主要是根据收敛空间不同

泛函分析多难。1、点集拓扑：拓扑学主要是应用在运筹学中的理论，图论，线性规划，排队论，决策。拓扑学是研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。2、泛函分析：微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。而泛函分析是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。比微分几何困难许多。

证：lim x(n(k)) = x (当k趋于正无穷)，那么任取e>0，存在 N1>0，使得当 k>N1 时，有|x(n(k))-x|<e；又{x(n)}是cauchy列，任取e>0，存在 N2>0 ，使得当 n,m>N2 时，有|x(m)-x(n)|<e； 取 N=max{N1,N2}，当 n>N,k>N 时，n(k)>=k>N，那么|x(n)-x|=|x(n)-x(n(k))+x(n(k))-x|<=|x(n)-x(n(k))|+|x(n(k))-x|<e+e=2e；所以 x(n) 收敛，且极限为 x .希望对你有帮助，满意请采纳，谢谢~

是要证明该泛函的闭线性子空间是连续的啊，书上应该有这道题的，翻书去吧

吉田耕作泛函分析是一种有效的数学分析方法。吉田耕作泛函分析是用来分析研究问题的不确定性，以及变量之间的复杂关系。优势在于，可以解决许多复杂的问题，可以有效地求解复杂的统计方程。吉田耕作泛函分析有许多应用，可以用于社会科学研究、控制系统设计、安全分析等。

考虑P[a,b]（多项式空间）：利用魏尔斯特拉斯逼近定理，可知P[a,b]在C[a,b]稠密；并且P[a,b]是可数的。故C[a,b]为可分空间。#

学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n维空间中的点集、外测度与可测集、可测集的结构、可测函数、空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n维欧氏空间中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念：1.距离空间（或度量空间）的定义：设为一集合，是到的映射，使得使得，均满足以下三个条件：（1），且当且仅当（非负性）（2）（对称性）（3）（三角不等式），则称为距离空间（或度量空间），记作，为两点间的距离.学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间，离散度量空间，连续函数空间，有界数列空间，次幂可和的数列空间，次幂可积函数空间，均满足距离空间的性质.2.距离空间的完备性设是距离空间（或赋范空间），如果中的点列满足则称是中的基本列（或列），若中任意基本列都在中收敛，则称是完备的距离空间（或赋范空间）.在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过空间的完备性，除此之外，我们可知道按距离是完备的、是完备的.第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量的夹角指的是，其中是与的内积，是的模或长度，它等于.如果抛开中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空间上的内积概念：设是复数域上的线性空间，是到复数域的二元函数，使得对任意满足：(1) (2)(3)(4)则称为上的内积，称为具有内积的内积空间，也记为.在学习了内积空间的定义后，我们知道若在上定义则是内积空间.还有其他的内积空间需要我们去探究和研究.以上是我对本学期学习的《泛函分析》的一小部分内容的理解，学习了《泛函分析》后发现这是一门很值得学习和研究的课程，同时是一门相对比较深奥的课程，需要我们更用心去学习.这门课程与其他数学学科有密切的联系，但又有本质的区别，我会在日后更加努力认真学习，去研究和探究其与其他学科的联系与区别，希望能运用《泛函分析》的知识和观点去解决其他学科的问题.

好像不同的书有不同的叫法按范数收敛（一致收敛）：||x[n]-x[0]||趋于零。强收敛（逐点收敛）：对于每一个x，||Tx-T0x||趋于零。弱收敛（弱*收敛）：对于每一个有界线性泛函f，||f（x）-f（x[0]）||趋于零。

泛函分析中的几乎周期函数是指一类几乎在全局范围内具有周期性的函数。具体来说，假设$f$是定义在实数集上的函数，存在实数$T>0$和常数$epsilon>0$，使得对于所有的$xinmathbb{R}$，都有$|f(x+T)-f(x)|<epsilon$，那么$f$就被称为几乎周期函数。其中，$T$被称为几乎周期，$epsilon$被称为几乎周期的误差界。通常情况下，$epsilon$非常小，可以看作是$f$在全局范围内具有周期性的一个微弱偏差。几乎周期函数是泛函分析中的重要概念，具有广泛的应用。以下列举几个典型的几乎周期函数：1. 小波函数：小波函数是在时间和频率上都具有一定局部性质的函数，具有良好的压缩性和近似性。一些小波函数具有几乎周期性质，例如Haar小波、Daubechies小波等。2. 周期卷积函数：周期卷积函数指的是一类周期性函数的卷积。一些周期性函数的卷积结果具有几乎周期性，例如周期方波的卷积函数。3. 周期延拓函数：周期延拓函数是指将一个有限区间上的函数在整个实数轴上进行周期性延拓得到的周期函数。一些函数的周期延拓函数具有几乎周期性，例如三角函数。需要注意的是，几乎周期函数并不是严格的周期函数，因此在具体应用中需要考虑其周期性和误差界的限制。

泛函分析(美国)Walter.Rudin，吉田耕作的也可以初学不适合，先了解些拓扑的内容比较好，比如一致空间这些，更容易学下去

综述：Functional Analysis Notes (2011) Mr. Andrew Pinchuck 这是一份讲义107页，很好地体现了泛函分析基础的所有主要结论。证明非常的有条理。在初学的时候，包括之后参加博士考试的时候都参考了这份讲义。好处是能在短时间内掌握泛函分析基础的内容。a. Introductory Functional Analysis with Applications, Erwin Kreyszig, 这是一本703页的书。内容十分详实具体，包含了大量的例子。可读性也很强。b. Linear Functional Analysis, Bryan P. Rynne and Martin A. Youngson. 基本的体系靠近上面的两本。也是很适合打基础的类型。Basic Classes of Linear Operators, Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Marinus A. Kaashoek, 非常好的泛函分析的书。虽然标题是算子，但是内容还是比较循序渐进地从一些基础的问题开始。这本书相对于1,2都要深入很多（后面包含Poincare Operators, Fredholm Operators, Toeplitz Operators等课题）。但是可读性依然很强。Hilbert Spaces with Applications, Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski, 这是一本599页的书，比较侧重于希尔伯特空间及其应用。包含了的方程，量子物理，小波变换等课题。很好看的。考博的时候看了前面一半。

本书共分5章。第1章简明介绍实变函数的基础知识，为后面各章作一些铺垫；第2章介绍距离空间、线性赋范空间和内积空间；第3章介绍线性算子与线性泛函；第4章介绍有界线性算子的谱与紧算子；第5章介绍广义函数。第2章至第5章，着重介绍了泛函分析的基本知识，力求简明、严谨与系统性，力求主线清晰、易学易懂。各章配有习题，书后配有习题答案与提示。本书可作为理工科院校研究生或高年级本科生教材。也可供科技工作者参考。

线性空间中的一个子集。泛函分析中的理想是指线性空间中的一个子集，该子集可以通过加法和标量乘法与整个空间交互作用。理想在泛函分析中的应用很广泛，例如，在Banach空间中，一个理想可以被用来定义商空间，这是由该空间和该理想的商空间构成的。

背景渊源就是，几乎一切的分析学，到最后还是要用来解方程。所以答案很简单，就是很多非常自然而困难的方程问题都是非线性的，比如Kdv，Hilbert流形上Morse理论，黎曼流形嵌入等等，很多著名的方法比如Nash-Moser反函数定理，Leray-Schauder理论，也都是为了处理方程问题诞生的。

　　泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。 　 　1概述 　　泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 　 　2拓扑线性空间 　　由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。 　　拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。 　　巴拿赫空间 　　这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间) 　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 　　希尔伯特空间 　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50)上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 　 　3算子 　　在具体的函数空间上，我们有对函数的各种各样的操作。最典型的是对函数求导数的操作。这样的操作一般叫做算子。作为一个拓扑空间之间的映射，我们总可以要求算子是连续映射。对拓扑线性空间上的算子的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域。 　　线性算子和线性泛函 　　最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域(特别的，一个一维拓扑线性空间)那么这样的算子成为线性泛函。 　　在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理。 　　1.一致有界定理(亦称共鸣定理)，该定理描述一族有界算子的性质。 　　2.罕-巴拿赫定理(Hahn-BanachTheorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 　　3.开映射定理和闭图像定理。 　　4.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 　　非线性算子 　　更一般的我们会遇到非线性的算子。最简单的例子就是各种函数空间上不同的能量泛函。非线性的算子在微分几何和微分方程理论中都扮演重要的角色，比如极小曲面就是能量泛函的极小点。 　　 4选择公理 　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理(Zorn"sLemma)。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理(AxiomofChoice)弱于布伦素理想定理(Booleanprimeidealtheorem)的一个形式。 　 　5历史简介 　　背景 　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 　　20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 　　研究现状 　　泛函分析目前包括以下分支： 　　软分析(softanalysis)，其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。 　　巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。 　　非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。 　　与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。 　 　6特点和内容 　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。 　　正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 　　泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等;另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

1、泛函分析的主要研究对象是什么？泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。2、什么是泛函数？又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在 R或C（n是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。3.泛函分析的四大基本定理及其特征？泛函分析的主要定理包括： 　　1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 　　2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 　　3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 　　4. 开映射定理和闭图像定理。

泛函分析研究的什么？　　学习泛函，首先要问泛函研究的是什么？可以用下图来解释：　　1.映射指的是算子和泛函。　　2.空间:　　X是定义在某数域上的一些对象的集合，若X是线性空间，在X上赋上距离，则就是赋距离线性空间；在X上赋上范数，则就是赋范数线性空间；在X上赋上内积，就是内积空间（也是赋范数线性空间）。　　控制方向的学生可参考教材：《应用泛函分析---自动控制的数学基础》清华大学出版社作者:韩崇昭（西安交通大学）此书可供研究生和博士生阅读。　　编辑本段什么是泛函分析　　泛函分析泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。编辑本段赋范线性空间概况　　从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。希尔伯特空间　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。巴拿赫空间　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。　　对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是所有绝对值的p次方的积分泛函分析收敛的勒贝格可测函数所构成的空间。（参看Lp空间）　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。编辑本段主要结果和定理　　泛函分析的主要定理包括：　　1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。　　2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。　　3.罕-巴拿赫定理（Hahn-BanachTheorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。　　4.开映射定理和闭图像定理。编辑本段泛函分析与选择公理　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn"sLeema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（AxiomofChoice）弱于布伦素理想定理（Booleanprimeidealtheorem）的一个形式。编辑本段泛函分析的研究现状　　泛函分析目前包括以下分支：　　1.软分析（softanalysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。　　2.巴拿赫空间的几何结构，以JeanBourgain的一系列工作为代表。　　3.非交换几何，此方向的主要贡献者包括AlainConnes，其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。　　4.与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照IsraelGelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。编辑本段泛函分析的产生　　十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。　　本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。　　由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。　　非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。　　这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。　　这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。　　研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。编辑本段泛函分析的特点和内容　　泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。　　泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。　　正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。　　泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析的内容　　半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。　　泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。|||泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。 这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域（特别的，一个一维拓扑线性空间）那么这样的算子成为线性泛函。在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理。1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。2.罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。3.开映射定理和闭图像定理。4.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 泛函分析目前包括以下分支：软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

泛函是数学中重要的基本概念，是现代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。中文名泛函外文名functional性质函数的函数内容从函数空间到数域的映射常见泛函线性泛函和二次型泛函快速导航定义常见泛函特点内容应用产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。二十世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、几何的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

实分析和泛函分析的区别是先后顺序不同。泛函分析主要是数学分析和高等代数的后续，也牵扯一些点集拓扑。实分析提供了一些例子，比如Lp空间。所以一般都是先学实分析，后学泛函分析。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

数学分析和高代是泛函分析的基础，泛函分析研究的是函数映射到函数的空间,数学分析研究的是数值映射到数值上的空间。

泛函是数学中重要的基本概念，是现代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。特点：泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

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感觉拓扑学容易些，泛函分析完全是在听天书，量子力学这种玄幻的东西可不是盖的，不过要修这几门的话数学分析一定要过硬拓扑学主要是应用在运筹学中的理论，图论，线性规划，排队论，决策等等；而泛函分析则主要是应用在电子，通信等领域。如果是学经济学的，建议学拓扑学。拓扑学是研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。泛函分析主要是研究由函数构成的空间（如巴拿赫空间，希尔伯特空间），量子力学的一个数学基础，需要很好的分析学基础。希望对你有帮助

答案如下：【共鸣定理】：设 X 是 B 空间，Y 是 B* 空间，如果 W 包含于 L(X, Y)，使得 sup[A∈W] || Ax || < ∞(对任意的 x ∈ X)，那么存在常数 M，使得 || A || <= M (对任意的 A∈W).简单的说，就是算子族 W 点点有界，根据已知条件，推出算子族 W 一致有界.【闭图像定理】：设 X, Y 是 B 空间. 若 T 是 X -> Y 的闭线性算子，并且 D(T) 是闭的，则 T 是连续的.【Hahn - Banach 定理】：（注：不知道你要的【泛函延拓定理】是否是这个著名的定理）设 X 是 B* 空间，X0 是 X 的子空间，f0 是定义在 X0 上的有界线性泛函，则在 X 上必有有界线性泛函 f 满足：(1). f(x) = f0(x) (对任意 x ∈ X0 )； (延拓条件)(2). || f || = || f0 ||(下表0). (保范条件)|| f0 ||(下表0) 表示 f0 在 X0 上的范数.【Lax-Milgram 定理】：（注：不知道你要的【逆算子定理】是否是这个著名的、应用很多的定理）设 a(x,y) 是 Hilbert 空间 X 上的一个共轭双线性泛函，满足：(1). 存在 M > 0，使得 |a(x,y)| <= M || x || || y || (对任意的 x, y ∈ X)；(2). 存在 δ > 0，使得 |a(x,x)| >= δ || x ||^2 (对任意的 x ∈ X).那么必存在唯一的有连续逆的线性算子 A ∈ L(X)，满足a(x,y) = (x, Ay) (对任意的 x, y ∈ X)|| A^(-1) || <= 1/δ.（注：条件1称为有界性条件，条件2称为强制性条件. 定理非常强大的证明了，在希尔伯特空间中逆算子的存在性，在许多学科中有用，例如：《有限元分析》）【实数Hahn - Banach 定理】：设 X 是实线性空间，p 是定义在 X 上的次线性泛函，X0 是 X 的实线性子空间，f0 是定义在 X0 上的实线性泛函并且满足 f0(x) <= p(x) (对任意 x ∈ X0 ). 那么 X 上必有一个实线性泛函 f ，满足：(1). f(x) <= p(x) (对任意 x ∈ X )； (受 p 控制条件)(2). f(x0) = f0(x0) (对任意 x ∈ X0 ). (延拓条件)

为了做比较，先说一下函数。一般来说，函数是从数域映射到数域，通俗说，就是自变量每取一个数，得到一个函数值，生活中有很多这样的例子。从这个角度，泛函是从抽象空间映射到数域，相比函数自变量不再是数了，是更抽象的东西，可以是函数，也可以是随机过程，甚至可以是另一个泛函。所以泛函是一种特殊的映射。举个例子：定义一个泛函是函数的函数，F(f)=从0到1积分{f*e^xdx}自变量是函数，泛函值是实数泛函的想法主要来自对无穷维空间的结构的研究（这部分是线性代数的推广，把有限维欧式空间推广到无穷维）简单理解的话，可以认为泛函比函数在定义域上更广泛了。