实变函数

林德伯格列维定理林德伯格－列维[1]（Lindburg-Levy）定理，即独立同分布随机变量序列的中心极限定理。它表明，独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限：设随机变量X1，X2，......Xn，......相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2>0(k=1,2....),则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn（x）对于任意x满足limFn（x）=Φ（）　其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数

BDD是布尔函数的一种图形表示方式．可以直观地反映出布尔函数的逻辑结构，利用BDD可以实现对布尔函数的分解和优化。针对BDD的数据结构和一种以generalized dominators为基础的布尔表达式的优化方法进行研究，并且着重时其中的一种方法：连接的BDD分解方法（Conjunctive BDI）Decomposition）进行了详细的分析。

【定义】： 聚点：如果对于任意给定的δ>0，点P的去心邻域Uo(P,δ)内总有E中的点，则称P是E的聚点。 边界点：如果点P的任意邻域内既含有属于E的点又含有不属于E的点，则称P为E的边界点。

没有内点，因为此开区间内任意一点的领域内都有有理数，这个开区间内无理数集合只有界点和聚点。

首先实变函数为泛函分析奠定了理论基础.泛函分析你应该比较了解,对近代的常微分方程,偏微分方程,差分方程,解的性质有很重要的意义 实变函数本身主要用于高等概率论,以及随机过程中很多定理的证明.对于普通的积分勒贝格还是不常用,但是对不少特殊函数（概率分布）用勒贝格积分算还是很有用的.

数学分析 应该是 实变分析的基础吧我也不大清楚也。。。

有限的就是说,任何一个点的函数值都是一个实数,而不是无穷大.有界是所有的函数值有一个共同的最大的绝对值.如果有界,那么显然是有限的.但是有限却不一定有界,比如说f(x)=x,任何一个实数x,对应的函数值都是一个实数,而不是无穷大,然而x->∞的极限却是∞,所以说不是有界的.

设{An}是一串集合，上极限设为B，下极限设为C，则：首先，B包含C其次，某元素x属于B表示：存在无穷多个k，使得x属于Ank；某元素x属于C表示：只存在有限个k，使得x不属于Ank；

实变 相对难学 ,泛函还好, 复变函数 , 可以单独学 影响不大

《实变函数与泛函分析 》是 高等教育出版社 出版的图书，这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

数学与信息计算等专业学实变函数与泛函分析。泛函分析是最具综合性和抽象性的数学专业必修课，是研究生入学考试的重要组成部分。

泛函分析难。1、泛函分析更抽象，实变函数技巧性更强。2、微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

假定 A=B并C，C是可列集，B是不可列集，B交C为空。首先，B具有可列子集P，把 B划分成 B=P并S，P交S为空，那么A = (C并P)并S注意 |C并P|=|C|=|P|，取C到C并P的双射f，再将f和S上的恒等映射合并就得到B到A的双射，所以|B并C|=|B|。反过来，如果已知A是不可列集，去掉C之后得到B，那么B仍然是不可列集，用上面的结论得到|A|=|B|。

陶哲轩实分析

1、E=0,1和形如p/q(q、q互质且q<q)的数构成E"=[0,1]，E0=空集,E的闭包=[0,1]

1 集合1.1 集合及其运算1.2 映射1.3 对等与基数1.4 可数集1.5 连续基数1.6 例题选讲习题一2 点集2.1 n维欧氏空间2.2 开集与内点2.3 闭集与极限点2.4 闭集套定理与覆盖定理2.5 函数连续性2.6 点集间的距离2.7 Cantor集2.8 稠密性2.9 例题选讲习题二3 Lebesgue测度3.1 广义实数集3.2 外测度3.3 可测集3.4 可测集类3.5 不可测集3.6 例题选讲习题三4 可测函数4.1 可测函数的定义及性质4.2 Egoroff（叶果洛夫）定理4.3 依测度收敛性4.4 Lusin（鲁津）定理4.5 例题选讲习题四5 Lebesgue积分5.1 非负可测简单函数的积分5.2 非负可测函数的积分5.3 一般可测函数的积分5.4 控制收敛定理5.5 可积函数与连续函数5.6 Lebesgue积分与Riemann积分5.7 重积分与累次积分5.8 例题选讲习题五6 微分与不定积分6.1 单调函数的可微性6.2 有界变差函数6.3 不定积分的微分6.4 绝对连续函数6.5 例题选讲习题六7 Lp空间7.1 Lp空间的定义与有关不等式7.2 Lp空间（1≤p≤∞）的完备性7.3 Lp空间（1≤p<∞）的可分性7.4 例题选讲习题七

functions of real variable

实变函数更难，从开课时间就能看出来，复变函数一般学校的数学系是大二开的，实变函数是大三开的。再者说，学习复变函数之前，只要学好数学分析和解析几何就行了，学习实变函数那就好多门只是综合应用了，而且还十分抽象。在数学中，一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系，符号通常为f(x)。在英文中读作f of x，但在中文中则常读作fx。其中x为自变量,y=f(x)为因变量（或称应变量）。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。

就以下限集为例，有的概念不是一步就能引出的，我们先定义递增集合列的极限集，如果集合列An是递增的（即A1包含于A2包含于A3...包含于An...），那么定义它们的并为其极限集。对于一般的集合列An，不一定有单调性，为了定义类似的集合，我们可以通过这些集构造出一个递增的集合列，构造的方法就是把An中第n个以后所有的集合取交集，构成一新集合列Bn=∩Ak（k从n取到∞），这样Bn是递增的（因为随着n的增大，前面不参与交运算的集合就越来越多，其中一些很”小“的集合就会在交运算中失去作用了）。对Bn这个递增的集合列，再按开始的定义求其极限集，也就是∪Bn（n从1取到∞），把这个极限集就定义为An的下限集，即An的下限集=∪∩Ak（k从n取到∞，n从1取到∞）

只要证明对任意有界可测集E成立（利用测度的连续性）对任给定的ε>0 由可测集性质 存在有界互不相交开区间列Ki 使得∪Ki包含E 且m(E)+ε>m(∪Ki)=Σl(Ki)>=2Σm(E∩Ki)=2m((∪Ki)∩E)=2m(E) 即 ε>m(E) 由ε的任意性 得 m(E)=0

实变函数就是实变量的函数，数学分析中微积分的那部分所讨论的函数都属于实变函数。以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。

你这是个什么题啊？

对于∀x∈A‘，x的任意邻域内都含有A中异于x的点x"，由于A⊂B，所以x‘∈B，所以x的任意邻域内都含有B中异于x的点，所以x是B的聚点，即x∈B"，根据x的任意性，得A‘⊂B"

只需要证明n=2的情况,再根据归纳法可得.n=2时,根据Lebesgue积分的定义,当振幅delta足够小时左边=c1*m(E1E2)+c2*m(E2E1)+(c1+c2)*m(E1∩E2)=c1*(m(E1E2)+m(E1∩E2))+c2*(m(E2E1)+m(E1∩E2))=c1*m(E1)+c2*m(E2)=右边 后者

第一问：先把德尔塔的p次方移至不等式左端，再对右端进行分析。把g的Lp范数的p次方写成勒贝格积分的形式，然后，把积分号下面的积分域E分成两部分，第一部分是g的绝对值大于或等于德尔塔，另一部分是g的绝对值小于德尔塔。接着，对第一部分的勒贝格积分进行估计。第二问；把f-fn代入第一问的g，然后就得出答案了。

要看具体定义了，不同的书有不同的定义。一般可列(countable)表示无穷多个，且可以由自然数集合编号；而至多可列（at most countable） 表示有限也行，无穷多且可以由自然数集合编号也行。

把函数分成实部和复部分别求导就行了 EG：y=2x+i(3x) y"=2+i(3)

必须要有数学分析基础数学分析就是一般的微积分基础，主要概念就是函数的连续性，极限、微分、积分，以及相关应用。非数学专业一般在本科阶段接触。实变函数又叫实分析，研究自变量为实数的函数的最基本的分析性质，以集合论为基础，实变函数主要研究实值函数的连续性，微分和积分理论，还有测度理论。非数学专业一般在研究生阶段接触。

当然就是之前的专业课。。。最重要的就是数学分析，尤其是黎曼积分以及分析学的思路。实变函数就是黎曼积分的拓展，介绍一种新的积分——勒贝格积分，将可积函数类的范围扩大了。值得注意的是勒贝格积分当中，牛顿莱布尼兹公式不一定成立（仅有一个小于等于号），除非是绝对连续或者有界变差等某些情形。在引入勒贝格积分的过程中，测度论是不可少的，有很多引进测度的方法。要掌握这些基本上逻辑没有问题就行了，并不需要什么准备知识，通常的实变书都应该有一些集合论的知识。高等代数、解析几何、微分方程、复变都完全用不到的，基本就是数学分析。

你说反掉了泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。所以一般都是先学实变，再学泛函,当然直接学泛函也不是不可以，从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。

好学啊，我现在正在学呢。感觉还可以。我是自学的，看的书是俄国数学家的《实变函数论》，开头的有点难懂，不过慢慢就感到合适的了。我现在越学越想学。总之实变函数论是有点抽象，不要用直观思维去理解。它绝对可以挑战你的抽象思维。楼主自便吧。。

内容基本差不多，在集合论部分郑书多给了一些拓扑定义，然后还讲了一些有关序和选择公理的东西，程书把序和选择公理放在附录做简单说明，但是这一部分对实变函数学习影响不大，测度论方面郑书从外测度、内测度出发给出测度，按照勒贝格最早建立测度论的顺序来，操作较复杂，而程书给出外测度后直接由卡拉泰奥多里条件定义测度，简单但抽象，两种定义实际等价，那种容易接受还要看个人习惯。此外，郑书另外讲了σ环。可测函数部分郑书对一些定理的证明思路偏爱用简单函数逼近，程书喜欢按可测定义来做，各有千秋，主要定理，比如叶果洛夫定理、鲁津定理、勒贝格定理、里斯定理证明也都差不多。积分论前半部分，郑书感觉条理比较乱，比如第二节一下很多性质，程书是按简单、非负、一般的顺序分节叙述的。那种好接受也要看个人习惯，然后是后半部分，郑书对富比尼定理讲得较多，但微分讲得较少，程书富比尼讲得少，但是微分另成一章，讲得很细。泛函部分感觉程书更好一些，郑书有部分定理证明有瑕疵。对经济学来书测度论和积分论对学习高等概率论有用，所以实变部分很重要，可任选一本作为主要学习的教材，另一本最好有电子版，互相参考。如果感觉两本都太基础可选用周民强《实变函数论》

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。

十遍函数学十遍，量子力学量力学，随机过程随机过。。。这都是顺口溜，没有任何依据。实变函数论和微积分都是属于分析这一分支。但是学实变函数，对于微积分并无多少帮助，因为它是微积分的后续课程。微积分所研究的，是可微，连续的“好”函数，但是还有很多“奇怪”的函数，比如连续却处处不可微的函数。简而言之，微积分研究的，是微分和积分两种互逆的运算，而实变函数，研究的是，什么样的函数，能参与到这种运算中来。在实变函数中，连续，可积等概念，都被推广了，以“测度”概念为核心。至于教材，首推Rudin的教材，他写的分析的书好几部，都很好。机械工业出版社有影印的英文版，也有翻译的中文版。此外，天才陶哲轩（数学界最高奖菲尔兹奖得主）写过一本，《陶哲轩实分析》。至于国内的，首推北大周民强老师的《实变函数论》。相对于物理学，国内与国外的数学教材差距较小。至于为什么难学，我觉得可能是由于觉得抽象。这一点，可以通过解题来克服，然后就会对那些奇形怪状的函数有了更好的认识，注意解题，非到万不得已，绝对不可以看答案。很多时候，看了答案，有“不过如此”的感觉，但是这不等于自己已经能够掌握理解。

bzd

一个是测度；另一个是外测度。在勒贝格测度的意义下，E的外测度必然存在，但E的测度未必存在。如果满足Carathéodory条件，则E可测且mE=m*E。

首先[0,1]的基数为C,其次[0,1]上的有理数是可数的.所以[0,1]/Q[0,1]的基数=[0,1]的基数,所以就是C了

简单的说，自变量是实数的，就是实变函数；是复数的，就是复变函数；是函数的，就是泛函。例子实变：y=x+1,x属于R复变：w=2*z，z属于C泛函：L(y)=y"+y, y=y(x) [y"代表y的导数]

有上极限定义可得上极限为R按下极限定义可得下极限为∅还可以用上下极限等价公式：由A(2k-1)∪A(2k)=(0,k）当n为奇数2p-1时：当n为偶数2p时，所以由A(2k-1)∩A(2k)=(0,1/k)得：当n为奇数2p-1时：当n为偶数2p时，所以

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

实变函数学十遍

16 sinx是R上连续函数，同时sin(π/2)=1,sin(-π/2)=-1，取闭区间[-π/2，π/2]根据介值定理，sinx可以取得[-1,1]上任何值，也即[-1,1]上任意值在[-π/2，π/2]都有原像，自然在R上都有原像，所以sinx是R→[-1,1]的满射17显然∪E[f≥c+1/n]⊂E[f>c]（∪从n=1到∞）又对∀x∈E[f>c],令α=f(x)-c>0，∃N=[1/α]+1([表示取整值])，c+1/N≤f(x),故x∈E[f≥c+1/N]，所以x∈∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），由x的任意性，E[f>c]⊂∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），故E[f>c]=∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞）。18.En=[-n,n]∩E是渐张列，即E1⊂E2⊂···⊂En⊂···，根据定理：有：19.

1.根据自己的工作性质，确定自己有多少自学时间，选择带有习题答案的教科书。2.按部就班地自学，学完一节，就试做相应的习题，用以检验自己的学习效果。如果做习题很顺利，那么就继续学下一节；如果不会做习题，那么要重新学习，直至会做为止，不能囫囵吞枣。3.实变函数的习题有的很难，可以在初学时放过，等复习时再做。4.如有可能找个同学，以便相互切磋。仅供参考，祝您进步！

1、反证法：设E是可数集，那么E必有最大项a，再任取E中一元素b，那么a+b也是自然数，也就是E的元素，那么a+b＞a，与a是E的最大项矛盾……

B△C=(B-C) 并 (C-B)A△（B△C)=A△（(B-C) 并 (C-B))= （A - ((B-C) 并 (C-B))） 并 （（B-C) 并 (C-B) - A）= （ A - B并C) 并 （A交B交C） 并 （（B-C并A) 并 (C-B并A) ）=（ A - B并C) 并 （B-C并A) 并 (C-B并A) 并 （ A交B交C ）从最后式子的对称性，可知，右边也必然如此，所以结论成立。

如果是刚入门的话，看看现在师范类院校用的程其襄的实变函数还是可以的，《实变函数》江泽坚，吴志泉 也是比较适合初学者，《实变函数论》那汤松 我觉得这本书也写的相当到位，看看也出错；如果你的实变函数有一定的基础，或者说对集合论、测度论比较熟悉的话，看看周民强的，这本书有点儿难度，但是里面的思想学习一下还是很有好处的

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程.简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质,而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质.《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分,用来研究不连续函数的积分问题.《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质.可以理解为复数函数的《数学分析》.但内容上有所增加.在我国的数学系课程中,二者的联系并不大,研究的方法也不同.可以说《实变函数》要更深一些.如果要深入了解它们之间的联系,可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本）,它是美国大学数学系研究生用书,其中包括了《实变函数》和《复变函数》.

证明:因为E可测,设E0={x|f(x)=∞},则EE0可测,且m(E0)=0.所以任取e>0,存在闭集F包含于EE0,使得m(EE0F)<e,f(x)在F上是有界的,因为EF=(EE0F)∪(E0F)所以m(EF)<=m(EE0F)+m(E0)=e+0=e

依测度收敛(convergence in measure)是实变函数论中重要的收敛概念之一。 正文 设{f}(x)}是定义在可测集E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若对任给。}0, 依测度收敛 则{f}(x)}称为依测度收敛于f (x).这个概念经过推广，在概率论中也有用.

mE是指E的测度，m*E是指E的外侧度。对于任意集合E，外侧度m*E总是存在且有意义的。但是mE仅仅当E是可测集的时候才有意义。

英文的？

（1）由f（x）=ex-ax得f′（x）=ex-a．又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，∴f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=ex-x2，则g′（x）=ex-2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=1/c＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得ex＞x2＞1/cx，即x＜cex．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．

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余集（每次去掉的区间的并）的测度为1，而[0,1]区间的测度为1，所以康托集测度为1-1=0

实变函数:测度空间,积分.泛函分析:抽象空间.这个东西说的再具体也没用.总之,就是一些抽象出来的概念.

根据勒贝格积分的中值定理，在E中存在一点k，使：∫(E) f(x)dx=f(k)*m(E)即f(k)*m(E)=0因为f(x)在E上几乎处处>0，所以f(k)>0，即m(E)=0

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。[编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。[编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

首先关于函数列处处收敛：对于一列函数列  {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列了。类如函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当给定x=2时，fn(x)=2^n(2的n次方)，，这就是一个数列了，当这个数列{2^n}收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2收敛；当这个数列{2^n}不收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2发散的。对于函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当x=1时收敛；当x=2时发散。2. 弄清上面了，函数列几乎处处收敛就很容易了。函数列几乎处处收敛是指：使得函数列不收敛的所有点组成的集合的测度（Lebesgue测度）为0。通俗的说就是不收敛的点不多，测度为0，可以忽略。除去不收敛点，剩下的点都是使得函数列收敛，所以说函数列“几乎处处”收敛（因为测度为0）。 3. 函数列的一致收敛：首先看一下处处收敛的定义：对于一列函数列  {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列，当这个数列收敛于f（x），即对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N与ε和给定的x有关)，使得当n>N时，有                                                           |fn(x)-f(x)|<ε. 再次强调：定义中的这个N，是与ε和给定的x有关。对不同的x，给定ε，就会有不同的N。 一致收敛的定义是：对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N只与ε有关)，使得当n>N时，对一切的x（当然是fn(x)定义域上的x）有                                                           |fn(x)-f(x)|<ε. 定义中的这个N，只是与ε有关。对不同的x，给定ε，都能找到相同的N。可以看到，处处收敛研究的是函数列在一点处的收敛性，因为给定误差ε，要找的N与ε和给定的x有关而一致收敛研究的是函数列在定义域上的整体收敛性，因为给定误差ε，不管是什么样的x，函数列fn(x)都会随着n的增大而靠近f（x），可以这样想象，fn(x)代表的很多曲线，随着n的增大，趋近于曲线f(x).上面的例子：函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)在区间[0,1]上处处收敛，在[0,1)上收敛到f(x)=0，在x=1处收敛到1.但不是一致收敛的，问题出在x=1处附近的点。因为x=1处附近的点，当n增大时总是要靠近1的，所以fn(x)无法整体趋向于f(x)=0这个函数。但是把x=1处附近的点去掉，只考虑区间[0,δ）（δ是小于1的任意正数），则函数列 fn(x)=x^n在区间[0,δ）一致收敛于f(x)=0。 4、依测度收敛测度收敛与前面的几种收敛方式不一样，也叫概收敛，一般地可以这样定义：定义： 设E是可测集，f(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，…都是E上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意ε>0，都有lim E{x||fn(x)-f(x)|>ε}=0则称f_n(x)在E上依测度收敛到f(x)，记作 。指的是使得fn(x) 和 f(x)不相等的点x做成的集合，随着n 的增大而其测度趋向于零。  总的来说，在区域有限和函数有限的情况下，收敛强度从弱到强依次是：依测度收敛，几乎处处收敛，处处收敛，一致收敛打了好多字

1·要学好理论：以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。2·可以买购买辅导资料，或请教老师。

弥补R积分的不足（差不多连续的函数才可积），引入了L可积，增加了可积函数类

记A为平面上所有圆的集合，B为含有有理点的圆的集合，证明A为不可列集，B为可列级，所以A-B非空，得证

实变函数更难,从开课时间就能看出来,复变函数一般学校的数学系是大二开的,实变函数是大三开的.再者说,学习复变函数之前,只要学好数学分析和解析几何就行了,学习实变函数那就好多门只是综合应用了,而且还十分抽象

复变和实变，自变量的范围不同，复变函数研究对相是解析函数，讨论复数之间的依存关系，而实变函数研究范围较广，复变函数只是前者在微积分领域的推广与发展，亦称复分析。

函数形式。以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。实变函数中三角形是一种函数形式。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

实变函数中测度性质问题 你说的太空乏了《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。 [编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。 [编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

x=∫sinudu=-cosu+C 代入上下限得 x=-cost+1 dx/dt=sint y=∫cosudu=sinu+C 代入上下限得 y=sintdy/dt=cost

即证Q^3可数可数集的笛卡尔乘积可数. 如果非要证明的话可以这样(以A*B为例)A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}因为A,B可数故可写成数列形式B={r1,r2,...,rn,...},则A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}=∪(n从0到无穷){(a,rn)|a∈A,rn∈B}因为{(a,rn)|a∈A,rn∈B}~A,所以可数,可数个可数集的并是可数集.

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

令G=∪(n=1->∞) E[fn(x)≠gn(x)]因为fn(x)=gn(x) a.e于E，所以mG=m{∪(n=1->∞) E[fn(x)≠gn(x)]}<=∑(n=1->∞) mE[fn(x)≠gn(x)]=0即mG=0在E-G上，因为fn(x)=gn(x)且fn(x)->f(x)，所以gn(x)->f(x)在G上，对∀d>0，有E[|gn(x)-f(x)|>=d]⊂E[|fn(x)-f(x)|>=d]∪G所以mE[|gn(x)-f(x)|>=d]<=mE[|fn(x)-f(x)|>=d]+mG=mE[|fn(x)-f(x)|>=d]因为fn(x)->f(x)所以lim(n->∞) mE[|gn(x)-f(x)|>=d]=0即gn(x)->f(x)综上所述，在E上，有gn(x)->f(x)

与函数有关的数学专业课程是：巜实变函数》，巜复变函数》，《数学分析》等等

找不到啊………………似乎实变函数咱们还没学关注中……

这个真得自己看书...我们说也就和书上说的一样了...

这个不是非常显然的吗，直接证明就行了记A={x:f(x)>g(x)},B_n={x:f(x)>=g(x)+1/n}对任何n都有B_n包含于A，所以其并集也包含于A反过来任取x属于A，当n>=1/[f(x)-g(x)]>0时f(x)>=g(x)+1/n，即x属于B_n，也就属于所有B_n的并

E可测，满足卡拉泰奥多里条件：对任意集合T，m*(T)=m*(E∩T)+m*(T-E)令T=E∪A得：m*(E∪A)=m(E)+m*(A-E)令T=A得：m*(A)=m*(E∩A)+m*(A-E)由上面两式得m*(E∪A)-m(E)=m*(A)-m*(E∩A)=m*(A-E)因此m*(E∪A)+m*(E∩A)=m(E)+m*(A)

Caratheodory条件是集合Lesbesgue可测的等价命题，在对于一般的集族定义测度时直接将Caratheodory条件作为集合可测的定义在实数集的全体子集P上定义外测度m*（R的子集E的外测度m*(E)由覆盖E的区间族的长度和的下确界定义）称R的子集E为Lesbesgue可测的，若任取e>0，存在开集G，闭集F，使得F包含于E包含于G，且m*(GF)<e也就是说可测集是可以被开集和闭集无限逼近的集合称E满足Caratheodory条件，若对任意R的子集A有m*(A)=m*(A交E)+m*(AE)满足Caratheodory条件的集合可以没有损失的分割R的任意子集一般地，对于定义了外侧度m*的集族U，称U中的集合E为可测的，若E满足Caratheodory条件

如果你问大学课程中的《复变函数与积分变换》和《实变函数与泛函分析》哪个难，我觉得都难？首先来聊聊《复变函数与积分变换》：复变函数论主要用于研究复域中的解析函数，因此通常称为解析函数论。积分变换最基本的一点是，它们可以用来解数学方程。其实这可以作为两门学科，但是也可以作为一门学科。因为复数的概念起源于求方程的根。在求二次和三次代数方程的根时，有负数的平方。长期以来，人们无法理解这样的数字。但随着数学的发展，这种数的重要性越来越明显。积分变换是数学理论或应用中非常有用的工具。最重要的积分变换是傅里叶变换和拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他的积分变换，其中梅林变换和汉克尔变换被广泛应用，可以通过傅里叶变换或拉普拉斯变换进行变换。所以他们之间还是有联系的。再者说说《实变函数与泛函分析》：说到这门学科，肯定离不开集合论部分，已知给出了更多的拓扑定义，然后讨论了一些关于顺序和选择公理的事情，这门学科在附录中列出了顺序和选择公理，以便进行简单解释，但这一部分对学习实变量函数几乎没有影响。在测量理论方面，需要从外部测量和内部测量两方面给出了测量方法，按照勒伯格最初建立测量理论的顺序，操作更为复杂。所以，实变函数与泛函分析的关系比较复杂，就是先实变函数，然后再泛函分析。其中包含了范数空间，度量空间：它涉及紧性，可以用来证明代数的基本定理。这些简单的概念已经可以得到强有力的结果：科罗夫金的理论和斯通·韦尔斯特拉的理论。一系列定理实际上回答了一个问题，即逼近问题，即给出一种用多项式（三角多项式）逼近连续函数的方法。如何判断这种方法是否可靠。接下来，我给出一个在20世纪50年代证明的结果，这个结果非常漂亮，不涉及困难的数学概念。总之，我觉得都非常难学，以前觉得高数难，概率论难，自从学了这两门学科，我觉得没有比他们难，因此建议：非数学专业别学。

1. Weierstrass 定理：设 f 是 C 的一个含有 0 的区域上的全纯函数，则存在自然数 n 使得 f(z) = z^n g(z), 其中 g 全纯并且 g(0)≠0实变函数一般是提不出 z^n 这种东西的2. 刚性定理（或者叫最大模原理）：设 f(z) 在 C 的一个区域上全纯，在其闭包上连续，如果 f 在边界上恒为 0，则 f 只能处处为 0实函数没有这么硬，比如磨光核就是在边界上为 0 的非负光滑函数，并且积分=13. 紧复流形到 C 的全纯映射只能是常值映射这个在实变函数里是绝对不可能有的定理，再次说明了复变函数的刚性，也就是非常硬，稍微加点条件就是常数。4. 如果 f 在 C 的一个区域上全纯，并且在 z_0 的附近不是常值函数，那么 f 在 z_0 附近一定是开映射，并且不是一个分歧覆盖就是局部解析同胚。这也是实变函数不可想象的结论，即便对一般的线性空间，也要满足一些比 “不是常数” 苛刻得多的条件才有开映射定理。5. 对复变函数 f, 如果 f " 存在，f "" 就存在，这样一直下去，就推出 f 全纯但是很明显有一阶可导但二阶不可导的实变函数6. Liouvielle 定理. C 上的有界全纯函数一定是常数这个对实变函数也是不可想象的，比如 arctan x 就是 R 上的有界光滑函数，但不是常数7. 全纯函数一定是调和函数，故满足平均值原理。但是实变的光滑函数有很多都不是调和函数，比如平面上的函数 z = x^3 + y^3

R可以看成可数个开区间（n-1,n）（n属于Z）和整数集Z的并集,根据题目给的条件任何的测度为1的开集G有∫G F（x）dx=0,所有则f(x)=0,a.e于G,可知在每个（n-1,n）f(x)=0,a.e.由此可以知道在每个（n-1,n）上f不为零的集合（设为En）其测度一定为零,使得所有f不为零的点应该是所有En和Z的并集的子集,而En和Z（Z为可数集合,可数集合的测度都是零）都是零测度集,可数个零测度集的并集还是零测度集,零测度集的任一一个子集还是零测度集.所有使得不为零的集合一定是一个零测度集.

f(x)为可测函数n(c)为 0 1 2 3……是分别对应x 无 x1 x2 x3……对应f上的点 无 y1 y2 y3）……设有n个解存在一个极小值【y（n）-ε】的绝对值<δ<1/n^2 则元素所在互不相交的区域的测度为<2/n可测，当n去浸于无穷大是测度的和为零， 对任何有限实数a，E[n（c）>=a]都可测 大概就是咋个样子 勿喷对了点个赞