函数

额

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f"(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

lsqcurvefit 函数可以用来球二元线性方程的系数。如：x=0:0.5:10;x=x";y=x.^2;x1=x*sin(pi/4)+y*cos(pi/4)+2+rand(1,length(x))";y1=x*cos(pi/4)+y*sin(pi/4)+2+rand(1,length(x))";xdata=[x y;x y];%ydata=y;ydata=zeros(2*length(x),1);ydata(1:length(x))=y1;ydata((length(x)+1):2*length(x))=x1;k0 = [0 0.3 3]; % Starting guessn=length(x);[k,res]=lsqcurvefit(@myfun,k0,xdata,ydata);%}plot(xdata,ydata,"-r*",xdata,myfun(k,xdata),"-bd");其中 myfun是单独一个函数：function f=myfun(k,xdata) n=length(xdata(:,1))/2; f1=xdata(1:n,1)*k(1)+xdata(1:n,2)*sqrt(1-k(1)^2)+k(3); f2=xdata(1:n,1)*sqrt(1-k(1)^2)+xdata(1:n,2)*k(1)+k(2); f=[f1;f2];end

你要的命令应该在这能找到A a abs 绝对值, 模 acos 反余弦 acosh 反双曲余弦 acot 反余切 acoth 反双曲余切 acsc 反余割 acsch 反双曲余割 all 所有元素均非零则为真 alpha 透明控制 angle 相角 ans 最新表达式的运算结果 any 有非零元则为真 area 面域图 asec 反正割 asech 反双曲正割 asin 反正弦 asinh 反双曲正弦 atan 反正切 atan2 四象限反正切 atanh 反双曲正切 autumn 红、黄浓淡色 axis 轴的刻度和表现 B b bar 直方图 binocdf 二项分布概率 binopdf 二项分布累积概率 binornd 产生二项分布随机数组 blanks 空格符号 bode 给出系统的对数频率曲线 bone 蓝色调浓淡色阵 box 坐标封闭开关 break 终止最内循环 brighten 控制色彩的明暗 butter ButterWorth低通滤波器 C c caxis （伪）颜色轴刻度 cd 设置当前工作目录 cdf2rdf 复数对角型转换到实块对角型 ceil 朝正无穷大方向取整 cell 创建单元数组 char 创建字符串数组或者将其他类型 变量转化为字符串数组 charfcn Maple函数 Children 图形对象的子对象 clabel 等高线标注 class 判别数据类别 clc 清除指令窗中显示内容 clear 从内存中清除变量和函数 clf 清除当前图形窗图形 close 关闭图形窗 collect 合并同类项 Color 图形对象色彩属性 colorbar 显示色条 colorcube 三浓淡多彩交错色 colordef 定义图形窗色彩 colormap 设置色图 comet 彗星状轨迹图 comet3 三维彗星动态轨迹线图 compass 射线图;主用于方向和速度 cond 矩阵条件数 conj 复数共轭 continue 将控制转交给外层的for或while循环 contour 等高线图 contourf 填色等高线图 conv 卷积和多项式相乘 cool 青和品红浓淡色图 copper 线性变化纯铜色调图 corrcoef 相关系数 cos 余弦 cosh 双曲余弦 cot 余切 coth 双曲余切 cov 协方差矩阵 csc 余割 csch 双曲余割 cumsum 元素累计和 cumtrapz 梯形法累计积分 D d dblquad 二重（闭型）数值积分指令 deconv 解卷和多项式相除 del2 计算曲率 demos 演示函数 det 行列式的值 diag 创建对角阵，抽取对角向量 diff 求导数,差分和近似微分 digits 控制符号数值的有效数字位数 dir 列出目录清单 dirac 单位冲激函数 disp 显示矩阵和文字内容 disttool 概率分布计算交互界面 doc 列出指定工具包中所有函数名 docsearch 进行多词条检索 double 把符号常数转化为16位相对精度的浮点数值对象 drawnow 刷新屏幕 dsolve 求解符号常微分方程 E e edit 矩阵编辑器,打开M文件 Ei maple 指数积分 eig 矩阵特征值和特征向量 end 数组的最大下标，结束for，while，if 语句 eps 浮点相对误差 EraseMode 图形对象属性 error 显示错误信息 exit 关闭MATLAB exp 指数 expand 对指定项展开 expm 矩阵指数 eye 单位阵 ezcontour 画等位线 ezcontourf 画填色等位线 ezmesh 画网线图 ezmeshc 画带等位线的网线图 ezplot 绘制符号表达式的二维图形 ezplot3 画三维曲线 ezpolar 画极坐标曲线 ezsurf 画曲面图 ezsurfc 画带等位线的曲面图 F f factor 进行因式或因子分解 false 按指定大小创建全0逻辑数组 feather 从X轴出发的复数向量图，羽毛图 feval 函数宏指令 fill 多边形填色图 find 寻找非数单下标标识 findsym 确认表达式中自由符号变量 fix 朝零方向取整 flag 红-白-蓝-黑交错色图 fliplr 矩阵的左右翻转 flipud 矩阵的上下翻转 floor 朝负无穷大方向取整 fminbnd 非线性函数在某区间中极小值 fminsearch 单纯形法求多元函数极值点指令 for (end) 按规定次数重复执行语句 format 设置数据输出格式 fourier Fourier变换 fsolve 解非线性方程组的最简单格式 function 函数文件头 functions 观察函数句柄内涵 function handle 函数句柄 funfun 数值泛函函数和ODE解算器 funm 计算一般矩阵函数 fzero 单变量函数的零点 G g gallery 产生测试矩阵 gca 获得当前轴的柄 gcf 获得当前图的柄 general 通用指令 get 获得图柄 getframe 获得影片动画图象的帧 ginput 用鼠标在图上获取数据 global 定义全局变量 gradient 梯度 gray 线性灰度 grid on/off 画坐标网格线 H h heaviside 单位阶跃函数 help 在线帮助指令 helpbrowser 超文本文档帮助信息 helpdesk 超文本文档帮助信息 helpwin 打开在线帮助窗 hidden 网线图消隐开关 hist 统计频数直方图 histfit 带拟曲线的统计频数直方图 hold on/off 图形的保持 horner 转换成嵌套形式 hot 黑-红-黄-白交错色图 hsv 饱和色彩图 I i i, j 虚数单位 if end 条件执行语句 if-else-end 程序分支控制 ifourier Fourier反变换 ilaplace Laplace反变换 imag 复数虚部 image 图像 impulse 给出系统的冲激响应 ind2sub 据单下标换算出全下标 inf 或 Inf 无穷大 inline 创建内联函数 input 提示键盘输入 int 计算积分 int2str 整数转换为字符串 inv 矩阵的逆 invhilb Hilbert矩阵法求逆阵 isa 判断指定变量类别 ischar 若是字符串则为真 isempty 若是空矩阵则为真 isfinite 若是有限数则为真 isglobal 若是全局变量则为真 ishandle 是否图柄 isinf 若是无穷大则为真 isletter 串中是字母则为真 islogical 若是逻辑数则为真 isnan 若为非数则为真 isnumeric 若是数值则为真 isolate maple的特殊指令 isprime 是否质数 isreal 若是实数矩阵则为真 isspace 串中是空格则为真 iztrans Z反变换 J j jacobian Jacobian 矩阵 jet 变异HSV色图 jordan Jordan分解 K k keyboard 键盘获得控制权 L l laplace Laplace变换 legend 形成图例说明 length 确定数组长度 light 灯光控制 lighting 设置照明模式 limit 求极限 line 创建线对象 LineStyle 图形线对象属性-线型 LineWidth 图形属性-线宽 linmod2 从SIMULINK模型得到系统的状态方程 linspace 线性等分向量 load 从磁盘调入数据变量 Location 图形对象属性-位置 log 自然对数 log10 常用对数 log2 以2为底的对数 logical 将数值转化为逻辑值 logspace 对数等分向量 lookfor 关键词检索 M m magic 魔方阵 maple 进入MAPLE工作空间计算 Marker 图形对象属性-点形状 MarkerEdge- Color 图形对象属性-点边界色彩 MarkerFace- Color 图形对象属性-点域色彩 MaekerSize 图形对象属性-点大小 material 对象材质 max 最大值 md 创建目录 mean 平均值 mesh 三维网线图 meshgrid 用于三维曲面的分格线坐标 mfun 对MAPLE中若干经典特殊函数的数值计算 mfunlist MAPLE经典特殊函数列表 mhelp 查阅Maple中的库函数及其调用方法 min 最小值 minreal 状态方程最小实现 mkdir 创建目录 mod 模数求余 more 命令窗口分页输出的控制开关 movie 播放影片动画 moviein 影片动画内存初始化 mtaylor Taylor级数展开 N n NaN或nan 非数 nargin 函数输入量的个数 nargout 函数输出量的个数 ndims 数组的维数 norm 矩阵或向量范数 normcdf 正态分布累计概率 normpdf 服从N分布的随机变量取值x的概率密度 normrnd 产生服从N分布的随机数组 notebook 创建或打开M-book文件 null 零空间 num2str 把数值转换为字符串 numden 提取公因式 O o ode45 高阶法解微分方程 ones 全1 数组 optimset orth 值空间 P p pack 合并工作内存中的碎块 pascal Pascal 矩阵 path 控制MATLAB的搜索路径 pathtool 修改搜索路径 pause 暂停 pcolor 用颜色反映数据的伪色图 peaks 产生peaks图形数据 pi 3.1415926535897…. pie 饼形统计图 pink 淡粉红色图阵 plot 直角坐标下线性刻度曲线 plot3 三维直角坐标曲线图 plotyy 双纵坐标图 polar 极坐标曲线图 poly 特征多项式,由根创建多项式 poly2sym 将多项式转换为符号多项式 polyfit 多项式拟合 polyval 求多项式的值 polyvalm 求矩阵多项式的值 pow2 2的幂 pretty 习惯方式显示 prism 光谱色图阵 prod 元素积 Q q quad 低阶法数值积分 quadl 高阶法数值积分 quit 退出MATLAB quiver 二维箭头图；主用于场强、流向 R r rand 均匀分布随机数组 randn 正态分布随机数组 random 产生各种分布随机数组 randsrc 产生均布数组 rank 秩 real 复数实部 realmax 最大浮点数 realmin 最小正浮点数 rem 求余数 repmat 铺放模块数组 reshape 矩阵变维 residue 求部分分式表达 return 返回 roots 求多项式的根 rose 频数扇形图；主用于统计 rot90 矩阵逆时针旋转90度 rotate 旋转指令 round 四舍五入取整 rref 转换为行阶梯形 S s save 把内存变量存入磁盘 sec 正割 sech 双曲正割 set 设置图形对象属性 shading 图形渲染模式 shg 显示图形窗 sign 函数符号,符号函数 simple 运用各种指令化简符号表达式 simplify 恒等式简化 simulink 打开SIMULINK集成环境 sin 正弦 sinh 双曲正弦 size 确定数组大小 slice 切片图 solve 求解代数方程组 sphere 产生球面数据 spinmap 颜色周期性变化操纵 spring 青、黄浓淡色 sqrt 平方根 square 轴属性 为方型 ss 产生状态方程LTI对象 stairs 阶梯形曲线图 std 标准差 stem 杆图 stem3 三维离散杆图 str2func 创建函数句柄 （punct） strcmp 比较字符串 String 图形对象属性-字符串 subexpr 运用符号变量置换子表达式 subplot 创建子图 subs 通用置换指令 sum 元素和 summer 绿、黄浓淡色图阵 surf 三维表面图 surfc 带等高线的三维表面图 switch-case 多个条件分支 sym 产生符号对象 syms 定义基本符号对象 symsum 符号序列的求和 T t tan 正切 tanh 双曲正切 taylor Taylor级数 text 图形上文字标注 tf 产生传递函数LTI对象 tfdata 从对象中提取传递函数分子分母多项式系数 tic 秒表起动 title 图形名 toc 秒表终止和显示 trace 迹 trapz 梯形数值积分 true 按指定大小创建全1逻辑数组 triplequad 三重（闭型）数值积分指令 type 显示文件内容 V v var 求方差 version MATLAB 版本 view 设定3-D图形观测点 vpa 给出数值型符号结果 W w what 列出当前目录上的M、MAT、MEX文件 which 确定指定文件所在的目录 while end 不确定次数重复执行语句 whitebg 图形底色控制 who 列出工作内存中的变量名 whos 列出工作内存中的变量细节 winter 蓝、绿浓淡色 X x xlabel X轴名标注 xor 异或 Y y Ycolor 图形对象属性-纵轴颜色 ylabel Y轴名标注 Z z zeros 全零矩阵 zlabel Z轴名标注 zoom 二维图形的变焦放大 ztrans Z变换 Simulink模块 Add 求和模块 Breaker 开关 Current Measurement 电流测量器 Dc Voltage Source 直流电压源 Discrete Filter 离散滤波器模块 Gain 增益模块 In1 输入端口模块 Integrator 连续函数积分 Out1 输出端口模块 Parallel RLC Branch RLC并联支路 Powergui Product 乘法器 Random Source Scope 示波模块 Series RLC Branch RLC串联支路 Simulink SIMULINK基本库 Sine Wave 正弦波输出 Step 阶跃输出 Transfer Fcn 传递函数模块 Voltage Measurement 电压测量器一、MATLAB常用的基本数学函数 abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度 angle(z)：复数z的相角(Phase angle) sqrt(x)：开平方 real(z)：复数z的实部 imag(z)：复数z的虚部 conj(z)：复数z的共轭复数 round(x)：四舍五入至最近整数 fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数 ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数 rat(x)：将实数x化为分数表示 rats(x)：将实数x化为多项分数展开 sign(x)：符号函数 (Signum function)。 当x<0时，sign(x)=-1； 当x=0时，sign(x)=0; 当x>0时，sign(x)=1。 rem(x,y)：求x除以y的馀数 gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数 lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数 exp(x)：自然指数 pow2(x)：2的指数 log(x)：以e为底的对数，即自然对数或 log2(x)：以2为底的对数 log10(x)：以10为底的对数 二、MATLAB常用的三角函数 sin(x)：正弦函数 cos(x)：馀弦函数 tan(x)：正切函数 asin(x)：反正弦函数 acos(x)：反馀弦函数 atan(x)：反正切函数 atan2(x,y)：四象限的反正切函数 sinh(x)：超越正弦函数 cosh(x)：超越馀弦函数 tanh(x)：超越正切函数 asinh(x)：反超越正弦函数 acosh(x)：反超越馀弦函数 atanh(x)：反超越正切函数 三、适用於向量的常用函数有： min(x): 向量x的元素的最小值 max(x): 向量x的元素的最大值 mean(x): 向量x的元素的平均值 median(x): 向量x的元素的中位数 std(x): 向量x的元素的标准差 diff(x): 向量x的相邻元素的差 sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting） length(x): 向量x的元素个数 norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度 sum(x): 向量x的元素总和 prod(x): 向量x的元素总乘积 cumsum(x): 向量x的累计元素总和 cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积 dot(x, y): 向量x和y的内积 cross(x, y): 向量x和y的外积 四、MATLAB的永久常数 i或j：基本虚数单位（即） eps：系统的浮点（Floating-point）精确度 inf：无限大， 例如1/0 nan或NaN：非数值（Not a number），例如0/0 pi：圆周率 p（= 3.1415926...） realmax：系统所能表示的最大数值 realmin：系统所能表示的最小数值 nargin: 函数的输入引数个数 nargin: 函数的输出引数个数 五、MATLAB基本绘图函数 plot: x轴和y轴均为线性刻度（Linear scale） loglog: x轴和y轴均为对数刻度（Logarithmic scale） semilogx: x轴为对数刻度，y轴为线性刻度 semilogy: x轴为线性刻度，y轴为对数刻度 六、plot绘图函数的叁数 字元 颜色 字元 图线型态 y 黄色 . 点 k 黑色 o 圆 w 白色 x x b 蓝色 + + g 绿色 * * r 红色 - 实线 c 亮青色 : 点线 m 锰紫色 -. 点虚线 -- 虚线 七、注解 xlabel("Input Value"); % x轴注解 ylabel("Function Value"); % y轴注解 title("Two Trigonometric Functions"); % 图形标题 legend("y = sin(x)","y = cos(x)"); % 图形注解 grid on; % 显示格线 八、二维绘图函数 bar 长条图 errorbar 图形加上误差范围 fplot 较精确的函数图形 polar 极座标图 hist 累计图 rose 极座标累计图 stairs 阶梯图 stem 针状图 fill 实心图 feather 羽毛图 compass 罗盘图 quiver 向量场图 回答者： edifiers2008 - 助理 二级 8-30 19:141、特殊变量与常数 ans 计算结果的变量名 computer 确定运行的计算机 eps 浮点相对精度 Inf 无穷大 I 虚数单位 inputname 输入参数名 NaN 非数 nargin 输入参数个数 nargout 输出参数的数目 pi 圆周率 nargoutchk 有效的输出参数数目 realmax 最大正浮点数 realmin 最小正浮点数 varargin 实际输入 的参量 varargout 实际返回的参量 操作符与特殊字符 + 加 - 减 * 矩阵乘法 .* 数组乘（对应元素相乘） ^ 矩阵幂 .^ 数组幂（各个元素求幂） 左除或反斜杠 / 右除或斜面杠 ./ 数组除（对应元素除） kron Kronecker张量积 : 冒号 () 圆括 [] 方括 . 小数点 .. 父目录 ... 继续 , 逗号（分割多条命令） ; 分号（禁止结果显示） % 注释 ! 感叹号 " 转置或引用 = 赋值 == 相等 <> 不等于 & 逻辑与 | 逻辑或 ~ 逻辑非 xor 逻辑异或 2、基本数学函数 abs 绝对值和复数模长 acos,acodh 反余弦，反双曲余弦 acot,acoth 反余切，反双曲余切 acsc,acsch 反余割，反双曲余割 angle 相角 asec,asech 反正割，反双曲正割 secant 正切 asin,asinh 反正弦，反双曲正弦 atan,atanh 反正切，双曲正切 tangent 正切 atan2 四象限反正切 ceil 向着无穷大舍入 complex 建立一个复数 conj 复数配对 cos,cosh 余弦，双曲余弦 csc,csch 余切，双曲余切 cot,coth 余切，双曲余切 exp 指数 fix 朝0方向取整 floor 朝负无穷取整 gcd 最大公因数 imag 复数值的虚部 lcm 最小公倍数 log 自然对数 log2 以2为底的对数 log10 常用对数 mod 有符号的求余 nchoosek 二项式系数和全部组合数 real 复数的实部 rem 相除后求余 round 取整为最近的整数 sec,sech 正割，双曲正割 sign 符号数 sin,sinh 正弦，双曲正弦 sqrt 平方根 tan,tanh 正切，双曲正切 3、基本矩阵和矩阵操作 blkding 从输入参量建立块对角矩阵 eye 单位矩阵 linespace 产生线性间隔的向量 logspace 产生对数间隔的向量 numel 元素个数 ones 产生全为1的数组 rand 均匀颁随机数和数组 randn 正态分布随机数和数组 zeros 建立一个全0矩阵 colon) 等间隔向量 cat 连接数组 diag 对角矩阵和矩阵对角线 fliplr 从左自右翻转矩阵 flipud 从上到下翻转矩阵 repmat 复制一个数组 reshape 改造矩阵 roy90 矩阵翻转90度 tril 矩阵的下三角 triu 矩阵的上三角 dot 向量点集 cross 向量叉集 ismember 检测一个集合的元素 intersect 向量的交集 setxor 向量异或集 setdiff 向是的差集 union 向量的并集 数值分析和傅立叶变换 cumprod 累积 cumsum 累加 cumtrapz 累计梯形法计算数值微分 factor 质因子 inpolygon 删除多边形区域内的点 max 最大值 mean 数组的均值 mediam 中值 min 最小值 perms 所有可能的转换 polyarea 多边形区域 primes 生成质数列表 prod 数组元素的乘积 rectint 矩形交集区域 sort 按升序排列矩阵元素 sortrows 按升序排列行 std 标准偏差 sum 求和 trapz 梯形数值积分 var 方差 del2 离散拉普拉斯 diff 差值和微分估计 gradient 数值梯度 cov 协方差矩阵 corrcoef 相关系数 conv2 二维卷积 conv 卷积和多项式乘法 filter IIR或FIR滤波器 deconv 反卷积和多项式除法 filter2 二维数字滤波器 cplxpair 将复数值分类为共轭对 fft 一维的快速傅立叶变换 fft2 二维快速傅立叶变换 fftshift 将FFT的DC分量移到频谱中心 ifft 一维快速反傅立叶变换 ifft2 二维傅立叶反变换 ifftn 多维快速傅立叶变换 ifftshift 反FFT偏移 nextpow2 最靠近的2的幂次 unwrap 校正相位角 多项式与插值 conv 卷积和多项式乘法 roots 多项式的根 poly 具有设定根的多项式 polyder 多项式微分 polyeig 多项式的特征根 polyfit 多项式拟合 polyint 解析多项式积分 polyval 多项式求值 polyvalm 矩阵变量多项式求值 residue 部分分式展开 interp1 一维插值 interp2 二维插值 interp3 三维插值 interpft 使用FFT的一维插值 interpn 多维插值 meshgrid 为3维点生成x和y的网格 ndgrid 生成多维函数和插值的数组 pchip 分段3次Hermite插值多项式 pp

变量和变量之间的关系

1. 双纵坐标函数plotyy在Matlab中，如果需要绘制出具有不同纵坐标标度的两个图形，可以使用plotyy函数，它能把具有不同量纲，不同数量级的两个函数绘制在同一个坐标中，有利于图形数据的对比分析。使用格式为：plotyy(x1,y1,x2,y2)x1,y1对应一条曲线，x2,y2对应另一条曲线。横坐标的标度相同，纵坐标有两个，左边的对应x1,y1数据对，右边的对应x2,y2。

再次单击确定，关闭对话框即可。

可导就可微，可微就可导

先证连续，在用定义证

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f"(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。扩展资料：设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。参考资料来源：百度百科——可导参考资料来源：百度百科——可导函数

这个，我认为，不能一概而论，这个命题显然是你想象出来的，比如，对于被积函数为两个未知量的那么对一种一个变量求积分，而对另一个变量求极限，如果在……内是连续的，是可以先取极限再积分的；再如，对于一个变量的函数，先积分（如从0到x）后求极限得到的是个数，如果先求极限再积分得到的是一个关于x的函数，显然两者是不等价的。

多元函数可微必可导，而反之不成立。一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。 拓展资料可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。一元函数是指函数方程式中只包含一个未知量。可以直接通过求解得出该未知量的大小。与一元函数对应的为多元函数，顾名思义函数方程中包含多个未知量，要求解多个未知量需要有与未知量个数一样多的多元方程式，且这些方程式组成的矩阵必须满秩，即行列式值不为0.

u粗粗糙v好吧就是的呀吃哈v的豆腐吃还发

超越函数 (Transcendental Functions) 变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。补充 在数学领域中, 超越函数与代数函数相反, 是指那些不满足任何以多项式方程的函数, 即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程.换句话说, 超越函数就是"超出"代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算. 严格的说, 关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数, 如果该函数是关于变量z是代数独立的. 对数和指数函数即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数, 例如正弦,余弦,正割,余割,正切,余切,正失,半正失等. 非超越函数则称为代数函数. 代数函数的例子有多项式和平方根函数. 对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数. 如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中, 对倒数函数y = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的双曲函数sinh, cosh, tanh 都是超越函数. 微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数, 例如将三角函数与多项式的合成取不定积分.

不太明白

变量就是在某一个过程中，取值能变化的量。这是相对于常量而言。如物体运动时，时间、位移、速度等都是变量。变量通常用字母表示，如时间用 t，位移用 s，速度用 v 等 。函数，简单来说，就是一个变量对另一个变量的完全依赖关系。用数学术语表示就是：对两个变量 x、y，如果对于 x 在其取值范围内的每一个值，都有唯一确定的 y 与之对应，称 y 是 x 的函数 。

如图所示：

渐近线一般指的是直线吧?

多变量函数的优化策略到单变量函数的优化方法的转换方式是利用什么方法？在于

在B1中输入或复制粘贴下列公式=PI()^(1/2)*A1*EXP(A1^2)*ERFC(-A1)数据，模拟分析，单变量求解，设置如下：结果如下：α=0.096766

陶哲轩实分析

1、E=0,1和形如p/q(q、q互质且q<q)的数构成E"=[0,1]，E0=空集,E的闭包=[0,1]

1 集合1.1 集合及其运算1.2 映射1.3 对等与基数1.4 可数集1.5 连续基数1.6 例题选讲习题一2 点集2.1 n维欧氏空间2.2 开集与内点2.3 闭集与极限点2.4 闭集套定理与覆盖定理2.5 函数连续性2.6 点集间的距离2.7 Cantor集2.8 稠密性2.9 例题选讲习题二3 Lebesgue测度3.1 广义实数集3.2 外测度3.3 可测集3.4 可测集类3.5 不可测集3.6 例题选讲习题三4 可测函数4.1 可测函数的定义及性质4.2 Egoroff（叶果洛夫）定理4.3 依测度收敛性4.4 Lusin（鲁津）定理4.5 例题选讲习题四5 Lebesgue积分5.1 非负可测简单函数的积分5.2 非负可测函数的积分5.3 一般可测函数的积分5.4 控制收敛定理5.5 可积函数与连续函数5.6 Lebesgue积分与Riemann积分5.7 重积分与累次积分5.8 例题选讲习题五6 微分与不定积分6.1 单调函数的可微性6.2 有界变差函数6.3 不定积分的微分6.4 绝对连续函数6.5 例题选讲习题六7 Lp空间7.1 Lp空间的定义与有关不等式7.2 Lp空间（1≤p≤∞）的完备性7.3 Lp空间（1≤p<∞）的可分性7.4 例题选讲习题七

functions of real variable

实变函数更难，从开课时间就能看出来，复变函数一般学校的数学系是大二开的，实变函数是大三开的。再者说，学习复变函数之前，只要学好数学分析和解析几何就行了，学习实变函数那就好多门只是综合应用了，而且还十分抽象。在数学中，一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系，符号通常为f(x)。在英文中读作f of x，但在中文中则常读作fx。其中x为自变量,y=f(x)为因变量（或称应变量）。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。

就以下限集为例，有的概念不是一步就能引出的，我们先定义递增集合列的极限集，如果集合列An是递增的（即A1包含于A2包含于A3...包含于An...），那么定义它们的并为其极限集。对于一般的集合列An，不一定有单调性，为了定义类似的集合，我们可以通过这些集构造出一个递增的集合列，构造的方法就是把An中第n个以后所有的集合取交集，构成一新集合列Bn=∩Ak（k从n取到∞），这样Bn是递增的（因为随着n的增大，前面不参与交运算的集合就越来越多，其中一些很”小“的集合就会在交运算中失去作用了）。对Bn这个递增的集合列，再按开始的定义求其极限集，也就是∪Bn（n从1取到∞），把这个极限集就定义为An的下限集，即An的下限集=∪∩Ak（k从n取到∞，n从1取到∞）

只要证明对任意有界可测集E成立（利用测度的连续性）对任给定的ε>0 由可测集性质 存在有界互不相交开区间列Ki 使得∪Ki包含E 且m(E)+ε>m(∪Ki)=Σl(Ki)>=2Σm(E∩Ki)=2m((∪Ki)∩E)=2m(E) 即 ε>m(E) 由ε的任意性 得 m(E)=0

实变函数就是实变量的函数，数学分析中微积分的那部分所讨论的函数都属于实变函数。以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。

你这是个什么题啊？

对于∀x∈A‘，x的任意邻域内都含有A中异于x的点x"，由于A⊂B，所以x‘∈B，所以x的任意邻域内都含有B中异于x的点，所以x是B的聚点，即x∈B"，根据x的任意性，得A‘⊂B"

只需要证明n=2的情况,再根据归纳法可得.n=2时,根据Lebesgue积分的定义,当振幅delta足够小时左边=c1*m(E1E2)+c2*m(E2E1)+(c1+c2)*m(E1∩E2)=c1*(m(E1E2)+m(E1∩E2))+c2*(m(E2E1)+m(E1∩E2))=c1*m(E1)+c2*m(E2)=右边 后者

第一问：先把德尔塔的p次方移至不等式左端，再对右端进行分析。把g的Lp范数的p次方写成勒贝格积分的形式，然后，把积分号下面的积分域E分成两部分，第一部分是g的绝对值大于或等于德尔塔，另一部分是g的绝对值小于德尔塔。接着，对第一部分的勒贝格积分进行估计。第二问；把f-fn代入第一问的g，然后就得出答案了。

要看具体定义了，不同的书有不同的定义。一般可列(countable)表示无穷多个，且可以由自然数集合编号；而至多可列（at most countable） 表示有限也行，无穷多且可以由自然数集合编号也行。

把函数分成实部和复部分别求导就行了 EG：y=2x+i(3x) y"=2+i(3)

必须要有数学分析基础数学分析就是一般的微积分基础，主要概念就是函数的连续性，极限、微分、积分，以及相关应用。非数学专业一般在本科阶段接触。实变函数又叫实分析，研究自变量为实数的函数的最基本的分析性质，以集合论为基础，实变函数主要研究实值函数的连续性，微分和积分理论，还有测度理论。非数学专业一般在研究生阶段接触。

当然就是之前的专业课。。。最重要的就是数学分析，尤其是黎曼积分以及分析学的思路。实变函数就是黎曼积分的拓展，介绍一种新的积分——勒贝格积分，将可积函数类的范围扩大了。值得注意的是勒贝格积分当中，牛顿莱布尼兹公式不一定成立（仅有一个小于等于号），除非是绝对连续或者有界变差等某些情形。在引入勒贝格积分的过程中，测度论是不可少的，有很多引进测度的方法。要掌握这些基本上逻辑没有问题就行了，并不需要什么准备知识，通常的实变书都应该有一些集合论的知识。高等代数、解析几何、微分方程、复变都完全用不到的，基本就是数学分析。

你说反掉了泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。所以一般都是先学实变，再学泛函,当然直接学泛函也不是不可以，从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。

好学啊，我现在正在学呢。感觉还可以。我是自学的，看的书是俄国数学家的《实变函数论》，开头的有点难懂，不过慢慢就感到合适的了。我现在越学越想学。总之实变函数论是有点抽象，不要用直观思维去理解。它绝对可以挑战你的抽象思维。楼主自便吧。。

内容基本差不多，在集合论部分郑书多给了一些拓扑定义，然后还讲了一些有关序和选择公理的东西，程书把序和选择公理放在附录做简单说明，但是这一部分对实变函数学习影响不大，测度论方面郑书从外测度、内测度出发给出测度，按照勒贝格最早建立测度论的顺序来，操作较复杂，而程书给出外测度后直接由卡拉泰奥多里条件定义测度，简单但抽象，两种定义实际等价，那种容易接受还要看个人习惯。此外，郑书另外讲了σ环。可测函数部分郑书对一些定理的证明思路偏爱用简单函数逼近，程书喜欢按可测定义来做，各有千秋，主要定理，比如叶果洛夫定理、鲁津定理、勒贝格定理、里斯定理证明也都差不多。积分论前半部分，郑书感觉条理比较乱，比如第二节一下很多性质，程书是按简单、非负、一般的顺序分节叙述的。那种好接受也要看个人习惯，然后是后半部分，郑书对富比尼定理讲得较多，但微分讲得较少，程书富比尼讲得少，但是微分另成一章，讲得很细。泛函部分感觉程书更好一些，郑书有部分定理证明有瑕疵。对经济学来书测度论和积分论对学习高等概率论有用，所以实变部分很重要，可任选一本作为主要学习的教材，另一本最好有电子版，互相参考。如果感觉两本都太基础可选用周民强《实变函数论》

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。

十遍函数学十遍，量子力学量力学，随机过程随机过。。。这都是顺口溜，没有任何依据。实变函数论和微积分都是属于分析这一分支。但是学实变函数，对于微积分并无多少帮助，因为它是微积分的后续课程。微积分所研究的，是可微，连续的“好”函数，但是还有很多“奇怪”的函数，比如连续却处处不可微的函数。简而言之，微积分研究的，是微分和积分两种互逆的运算，而实变函数，研究的是，什么样的函数，能参与到这种运算中来。在实变函数中，连续，可积等概念，都被推广了，以“测度”概念为核心。至于教材，首推Rudin的教材，他写的分析的书好几部，都很好。机械工业出版社有影印的英文版，也有翻译的中文版。此外，天才陶哲轩（数学界最高奖菲尔兹奖得主）写过一本，《陶哲轩实分析》。至于国内的，首推北大周民强老师的《实变函数论》。相对于物理学，国内与国外的数学教材差距较小。至于为什么难学，我觉得可能是由于觉得抽象。这一点，可以通过解题来克服，然后就会对那些奇形怪状的函数有了更好的认识，注意解题，非到万不得已，绝对不可以看答案。很多时候，看了答案，有“不过如此”的感觉，但是这不等于自己已经能够掌握理解。

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一个是测度；另一个是外测度。在勒贝格测度的意义下，E的外测度必然存在，但E的测度未必存在。如果满足Carathéodory条件，则E可测且mE=m*E。

首先[0,1]的基数为C,其次[0,1]上的有理数是可数的.所以[0,1]/Q[0,1]的基数=[0,1]的基数,所以就是C了

简单的说，自变量是实数的，就是实变函数；是复数的，就是复变函数；是函数的，就是泛函。例子实变：y=x+1,x属于R复变：w=2*z，z属于C泛函：L(y)=y"+y, y=y(x) [y"代表y的导数]

有上极限定义可得上极限为R按下极限定义可得下极限为∅还可以用上下极限等价公式：由A(2k-1)∪A(2k)=(0,k）当n为奇数2p-1时：当n为偶数2p时，所以由A(2k-1)∩A(2k)=(0,1/k)得：当n为奇数2p-1时：当n为偶数2p时，所以

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

实变函数学十遍

16 sinx是R上连续函数，同时sin(π/2)=1,sin(-π/2)=-1，取闭区间[-π/2，π/2]根据介值定理，sinx可以取得[-1,1]上任何值，也即[-1,1]上任意值在[-π/2，π/2]都有原像，自然在R上都有原像，所以sinx是R→[-1,1]的满射17显然∪E[f≥c+1/n]⊂E[f>c]（∪从n=1到∞）又对∀x∈E[f>c],令α=f(x)-c>0，∃N=[1/α]+1([表示取整值])，c+1/N≤f(x),故x∈E[f≥c+1/N]，所以x∈∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），由x的任意性，E[f>c]⊂∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），故E[f>c]=∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞）。18.En=[-n,n]∩E是渐张列，即E1⊂E2⊂···⊂En⊂···，根据定理：有：19.

1.根据自己的工作性质，确定自己有多少自学时间，选择带有习题答案的教科书。2.按部就班地自学，学完一节，就试做相应的习题，用以检验自己的学习效果。如果做习题很顺利，那么就继续学下一节；如果不会做习题，那么要重新学习，直至会做为止，不能囫囵吞枣。3.实变函数的习题有的很难，可以在初学时放过，等复习时再做。4.如有可能找个同学，以便相互切磋。仅供参考，祝您进步！

1、反证法：设E是可数集，那么E必有最大项a，再任取E中一元素b，那么a+b也是自然数，也就是E的元素，那么a+b＞a，与a是E的最大项矛盾……

B△C=(B-C) 并 (C-B)A△（B△C)=A△（(B-C) 并 (C-B))= （A - ((B-C) 并 (C-B))） 并 （（B-C) 并 (C-B) - A）= （ A - B并C) 并 （A交B交C） 并 （（B-C并A) 并 (C-B并A) ）=（ A - B并C) 并 （B-C并A) 并 (C-B并A) 并 （ A交B交C ）从最后式子的对称性，可知，右边也必然如此，所以结论成立。

如果是刚入门的话，看看现在师范类院校用的程其襄的实变函数还是可以的，《实变函数》江泽坚，吴志泉 也是比较适合初学者，《实变函数论》那汤松 我觉得这本书也写的相当到位，看看也出错；如果你的实变函数有一定的基础，或者说对集合论、测度论比较熟悉的话，看看周民强的，这本书有点儿难度，但是里面的思想学习一下还是很有好处的

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程.简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质,而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质.《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分,用来研究不连续函数的积分问题.《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质.可以理解为复数函数的《数学分析》.但内容上有所增加.在我国的数学系课程中,二者的联系并不大,研究的方法也不同.可以说《实变函数》要更深一些.如果要深入了解它们之间的联系,可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本）,它是美国大学数学系研究生用书,其中包括了《实变函数》和《复变函数》.

证明:因为E可测,设E0={x|f(x)=∞},则EE0可测,且m(E0)=0.所以任取e>0,存在闭集F包含于EE0,使得m(EE0F)<e,f(x)在F上是有界的,因为EF=(EE0F)∪(E0F)所以m(EF)<=m(EE0F)+m(E0)=e+0=e

依测度收敛(convergence in measure)是实变函数论中重要的收敛概念之一。 正文 设{f}(x)}是定义在可测集E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若对任给。}0, 依测度收敛 则{f}(x)}称为依测度收敛于f (x).这个概念经过推广，在概率论中也有用.

mE是指E的测度，m*E是指E的外侧度。对于任意集合E，外侧度m*E总是存在且有意义的。但是mE仅仅当E是可测集的时候才有意义。

英文的？

（1）由f（x）=ex-ax得f′（x）=ex-a．又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，∴f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=ex-x2，则g′（x）=ex-2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=1/c＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得ex＞x2＞1/cx，即x＜cex．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．

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余集（每次去掉的区间的并）的测度为1，而[0,1]区间的测度为1，所以康托集测度为1-1=0

实变函数:测度空间,积分.泛函分析:抽象空间.这个东西说的再具体也没用.总之,就是一些抽象出来的概念.

根据勒贝格积分的中值定理，在E中存在一点k，使：∫(E) f(x)dx=f(k)*m(E)即f(k)*m(E)=0因为f(x)在E上几乎处处>0，所以f(k)>0，即m(E)=0

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。[编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。[编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

首先关于函数列处处收敛：对于一列函数列  {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列了。类如函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当给定x=2时，fn(x)=2^n(2的n次方)，，这就是一个数列了，当这个数列{2^n}收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2收敛；当这个数列{2^n}不收敛，就说函数列{fn(x)}在x=2发散的。对于函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)，当x=1时收敛；当x=2时发散。2. 弄清上面了，函数列几乎处处收敛就很容易了。函数列几乎处处收敛是指：使得函数列不收敛的所有点组成的集合的测度（Lebesgue测度）为0。通俗的说就是不收敛的点不多，测度为0，可以忽略。除去不收敛点，剩下的点都是使得函数列收敛，所以说函数列“几乎处处”收敛（因为测度为0）。 3. 函数列的一致收敛：首先看一下处处收敛的定义：对于一列函数列  {fn(x)}，当给定一x时（也就是让x取一个定值），则函数列fn(x)}，就变成了一个数列，当这个数列收敛于f（x），即对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N与ε和给定的x有关)，使得当n>N时，有                                                           |fn(x)-f(x)|<ε. 再次强调：定义中的这个N，是与ε和给定的x有关。对不同的x，给定ε，就会有不同的N。 一致收敛的定义是：对任意的ε>0，存在N>0(注意这个N只与ε有关)，使得当n>N时，对一切的x（当然是fn(x)定义域上的x）有                                                           |fn(x)-f(x)|<ε. 定义中的这个N，只是与ε有关。对不同的x，给定ε，都能找到相同的N。可以看到，处处收敛研究的是函数列在一点处的收敛性，因为给定误差ε，要找的N与ε和给定的x有关而一致收敛研究的是函数列在定义域上的整体收敛性，因为给定误差ε，不管是什么样的x，函数列fn(x)都会随着n的增大而靠近f（x），可以这样想象，fn(x)代表的很多曲线，随着n的增大，趋近于曲线f(x).上面的例子：函数列 fn(x)=x^n(x的n次方)在区间[0,1]上处处收敛，在[0,1)上收敛到f(x)=0，在x=1处收敛到1.但不是一致收敛的，问题出在x=1处附近的点。因为x=1处附近的点，当n增大时总是要靠近1的，所以fn(x)无法整体趋向于f(x)=0这个函数。但是把x=1处附近的点去掉，只考虑区间[0,δ）（δ是小于1的任意正数），则函数列 fn(x)=x^n在区间[0,δ）一致收敛于f(x)=0。 4、依测度收敛测度收敛与前面的几种收敛方式不一样，也叫概收敛，一般地可以这样定义：定义： 设E是可测集，f(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，…都是E上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意ε>0，都有lim E{x||fn(x)-f(x)|>ε}=0则称f_n(x)在E上依测度收敛到f(x)，记作 。指的是使得fn(x) 和 f(x)不相等的点x做成的集合，随着n 的增大而其测度趋向于零。  总的来说，在区域有限和函数有限的情况下，收敛强度从弱到强依次是：依测度收敛，几乎处处收敛，处处收敛，一致收敛打了好多字

1·要学好理论：以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。2·可以买购买辅导资料，或请教老师。

弥补R积分的不足（差不多连续的函数才可积），引入了L可积，增加了可积函数类

记A为平面上所有圆的集合，B为含有有理点的圆的集合，证明A为不可列集，B为可列级，所以A-B非空，得证

实变函数更难,从开课时间就能看出来,复变函数一般学校的数学系是大二开的,实变函数是大三开的.再者说,学习复变函数之前,只要学好数学分析和解析几何就行了,学习实变函数那就好多门只是综合应用了,而且还十分抽象

复变和实变，自变量的范围不同，复变函数研究对相是解析函数，讨论复数之间的依存关系，而实变函数研究范围较广，复变函数只是前者在微积分领域的推广与发展，亦称复分析。

函数形式。以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。实变函数中三角形是一种函数形式。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

实变函数中测度性质问题 你说的太空乏了《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。 [编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。 [编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

x=∫sinudu=-cosu+C 代入上下限得 x=-cost+1 dx/dt=sint y=∫cosudu=sinu+C 代入上下限得 y=sintdy/dt=cost

即证Q^3可数可数集的笛卡尔乘积可数. 如果非要证明的话可以这样(以A*B为例)A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}因为A,B可数故可写成数列形式B={r1,r2,...,rn,...},则A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}=∪(n从0到无穷){(a,rn)|a∈A,rn∈B}因为{(a,rn)|a∈A,rn∈B}~A,所以可数,可数个可数集的并是可数集.

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

令G=∪(n=1->∞) E[fn(x)≠gn(x)]因为fn(x)=gn(x) a.e于E，所以mG=m{∪(n=1->∞) E[fn(x)≠gn(x)]}<=∑(n=1->∞) mE[fn(x)≠gn(x)]=0即mG=0在E-G上，因为fn(x)=gn(x)且fn(x)->f(x)，所以gn(x)->f(x)在G上，对∀d>0，有E[|gn(x)-f(x)|>=d]⊂E[|fn(x)-f(x)|>=d]∪G所以mE[|gn(x)-f(x)|>=d]<=mE[|fn(x)-f(x)|>=d]+mG=mE[|fn(x)-f(x)|>=d]因为fn(x)->f(x)所以lim(n->∞) mE[|gn(x)-f(x)|>=d]=0即gn(x)->f(x)综上所述，在E上，有gn(x)->f(x)

与函数有关的数学专业课程是：巜实变函数》，巜复变函数》，《数学分析》等等

找不到啊………………似乎实变函数咱们还没学关注中……

这个真得自己看书...我们说也就和书上说的一样了...