傅里叶级数

这个是最简单的傅立叶展开题，这个题目的意思是周期是2派，然后有公式的，把对应的a0，an和bn算出来就可以了，

设分段函数为f(x),那么S(x)与f(x)的关系如下：在f(x)的连续点处的值S(x)与f(x)一样,在f(x)的间断点处S(x)的值等于F(x)在此点处的左右极限的算术平均值.

想知道

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记住傅立叶级数的形式，把傅立叶级数中系数an,bn的公式记住然后代入公式算出积分来就可以了！因为公式太难输入了，所以只给了方法，你可以查书上公式！希望能帮到你！

如图所示，用积分相关性质以及分部积分法可以求出相应的定积分

sinx,-pi<=x<=pi

再用傅立叶级数展开成余弦级数。傅立叶级数在整个定义域上都成立。 补全为偶函数后，不用求正弦级数的部分，只用求余弦级数。 a<n>=1/A×(-A,A)∫f(

解：2题，f(x)=e^(2x)，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=[e^(2π)-e^(-2π)]/(2π)。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=[(-1)^n](4a0)/(n^2+4)，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=-[(-1)^n](2na0)/(n^2+4)，∴f(x)=(1/2)a0+∑[ancosnx+bnsinnx)=(a0){1/2+2∑[(-1)^n](2cosnx-nsinnx)/(n^2+4)}，其中，n=1,2，……，∞，a0=[e^(2π)-e^(-2π)]/(2π)。3题，f(x)=π/4-x/2，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=π/2。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=0，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=[(-1)^n]/n，∴f(x)=(1/2)a0+∑[ancosnx+bnsinnx)=π/4+∑[(-1)^n](sinnx)/n，其中，n=1,2，……，∞。4题，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,0)f(x)dx+(1/π)∫(0,π)f(x)dx=π。按照余弦级数展开式，an=(2/π)∫(0,π)f(x)cosnxdx=2[1-(-1)^n]/(πn^2)，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=0。又，当n为偶数时，an=0、当n为奇数时，an=4/(πn^2)，∴f(x)=(1/2)a0+∑ancosnx=π/2+(4/π)∑cos[(2n-1)x]/(2n-1)^2，其中，n=1,2，……，∞。供参考。

|H(jw)|e的jφ(w)次幂，φ(w)表示相位，pi，-pi当然一样。确实是 顺时针逆时针 的问题。实函数的相位只有0 和pi，习惯上还是用+pi根据相位是奇函数的性质，以及实际信号、系统，w>0的相位应该是 负的，这样系统对输入的作用是 延时的，否则是 超前的[则为非因果系统]。例如cos(2t)经过系统后输出 cos(2t+φ(w))，φ(w)不可能是正的，除非是pi，这个值很特殊。 同一个角度，规定顺时针为正，逆时针为负；假设H(jw)=R(w)+jI(w),φ(w)=arctan(I(w)/R(w)),如果I(w)/R(w)为负，则角度为负。而当I(w)=0，R(w)<0时，用φ(w)=arctan(I(w)/R(w))不好计算吧，因此H(jw)=-8[比如]=8e^jpi=8e^(-jpi)

需要正交且完备，如果这两个条件满足就行。比如你说的这个情况，如果满足条件，也可以（未具体证明，可能不满足正交完备性条件），但不叫傅里叶级数，而且傅里叶级数应用范围很广，你这个展开没有应用场合，那就没啥意义。

傅里叶级数对于求量子物理方面的问题有重要作用 一般都是通过傅里叶变化把难解的题解出 傅里叶级数可以表示在某点出现电子的概率

由于∫axcosnxdx = AX / N *罪（NX）-A / N∫罪（NX）DX = AX / N *罪（NX）+ A / N 2 * COS（NX）+ C ∫axsinnxdx = - 斧/ N * COS（NX）+ A / N∫COS（NX）DX = A / N 2 *罪（NX）-AX / N * COS（NX）+ C 这样一个=∫（ - π到π）axcosnxdx = 0 BN =∫（-π到π）axsinnxdx =-2aπ/ N * COS（Nπ）所以如果n是奇数，则BN =2aπ/ N >如果n为偶数，则BN =-2aπ/ N 所以函数f（x）是傅里叶级数为 F（X）=2aπ*的sinx-2aπ/ 2 * sin2x +2 Aπ/ 3 * sin3x-2aπ/ 4 * sin4x + ......

半波镜像周期信号的傅里叶级数展开式有以下特点：1. 只包含奇次谐波分量，因为偶次谐波对称轴上的取值恒为0。2. 基波分量为0，因为信号在周期内的平均值为0。3. 级数展开式以奇函数形式呈现，因为信号表现为半波对称。4. 在频域中，幅度为谐波频率的倒数，即低频部分幅度高，高频部分幅度低。

在非线性电流，电压或信号作用下，线性电路的分析和计算。主要在波，热传导中的计算中应用的比较多，主要是将复杂的函数转换成已知的谐波叠加。

这里业绩数的要求是非常好的，因为有一些使用非常广泛

这是傅里叶余弦级数。原理是先将f偶函数化，然后写成傅里叶级数。利用傅里叶级数逼近定理，我们知道S（x）会趋向于函数值。函数是偶函数延拓的，所以f（-1/4）=f(1/4)=1/4，所以S（-1/4）=1/4

不是前面有an和bn的计算过程了么？

这是fourier级数的特别性质，对于不连续函数，但是左连续，右连续，级数收敛到左右极限的平均

令f(t)为周期信号，满足Dirichlet条件，则f(t)可以写成许多不同幅度频率和相位的余弦信号之和。其中w0 = 2pi/T0这就是三角函数形式的傅里叶级数。当然你也可以写成正弦形式或者混合形式。傅里叶级数也可以写成指数函数形式其中Fn 是复数，它的幅度和f的关系称作幅度频谱，相位和f的关系称作相位频谱显然所以幅度频谱是f的偶函数,相位频谱是f的奇函数。不知道这么说楼主有没有理解了。

他们不属于同一类概念，谈不上区别，要说关系的话，傅里叶系数是将一个函数按傅里叶级数的展开方法得到傅里叶级数后的每一个周期性的三角函数的带有常数性质的系数，级数是一种数学逼近方法，系数只是几个数罢了

（一）谐波及其合成物理上所说的谐波是指如下的三角函数：反射波地震勘探原理和资料解释其中A称为振幅，φ称为初相，ω＝2πf称为角（圆）频率，f称为频率， 称为周期（见附图A-1）。利用三角公式可将（附A-1）式改写为S＝Acosφcosωt-Asinφsinωt若记反射波地震勘探原理和资料解释则得：反射波地震勘探原理和资料解释而反射波地震勘探原理和资料解释由此可知，若已知（附A-1）式可由（附A-2）式计算出a、b；反之，若已知（附A-3）式，可由（附A-4）式解出A和φ，故两种谐波表达式等价。附图A-1谐波是极其简单的波形，但利用谐波的合成可以得到比较复杂的波形。例如考虑三个谐波的合成：S＝sint+ 。其图形见附图A-2，它与原谐波图形已有很大差异了。下面将会看到满足一定条件的周期函数均可用谐波合成出来。附图A-2 谐波的合成（二）周期函数的傅里叶级数数学上可以证明，当一个周期为T的函数f（t）满足一个比较宽的条件时可以表示为反射波地震勘探原理和资料解释其中Akcos（kω0t+φk）称为f（t）的角频率为kω0的谐波分量。换句话说，即当f（t）满足一定条件时可分解为直流成分（常数项 ）和一系列谐波成分之和。这一系列谐波成分以 为基频，其余的角频率皆为基频的整数倍。利用（附A-2）式可将（附A-5）式改写为反射波地震勘探原理和资料解释可以证明其系数为反射波地震勘探原理和资料解释（附A-5）式和（附A-6）式右端的级数即是周期函数f（t）的傅里叶级数。Ak＝ 是f（t）的谐波分量（对应于角频率kω0）的振幅，φk是其初相。可以将傅里叶级数（附A-6）式和（附A-7）式改写为复数形式：反射波地震勘探原理和资料解释式中 是f（t）简谐分量的复数表示法，ck是个复数即 ，显然反射波地震勘探原理和资料解释也就是说，∣ck∣为简谐分量的振幅，φk为初相。将振幅∣ck∣与频率kω0的函数关系称为f（t）的振幅谱，相应地将φk与频率kω0的函数关系称为f（t）的相位谱。周期函数可以表示为傅里叶级数这一事实说明周期函数的振幅谱和相位谱都是离散的，即由一条条谱线所组成，称为线状谱。附图A-3即为附图A-2波形的线状谱。附图A-3 合成波的线状谱（三）傅里叶变换和频谱实际反射波地震资料处理中遇到的信号大多是非周期的。非周期函数在一定条件下可以利用周期函数进行研究。可将非周期函数看成是周期T为无穷大的周期函数。由前述可知基频ω0等于 ，频率间隔Δωk＝（k+1）ω0-kω0＝ω0＝ ，周期T越大时Δωk越小；当时T➝∞时，Δωk➝dω，离散的线性谱的端点逐渐连成一条曲线，离散谱逐渐变成连续谱。此时数学上傅里叶级数就变成了形式上十分类似的傅里叶积分：反射波地震勘探原理和资料解释式中F（ω）是ω的复变函数（复变谱），它可以写成F（ω）＝A（ω）eiφ（ω）。其中A（ω）和φ（ω）均为ω的实变函数，前者称为f（t）的振幅谱，后者称为f（t）的相位谱。对于一个确定的频率ω而言，A（ω）和φ（ω）是确定的实数，它们分别表示频率为ω的谐波分量的振幅值和相位。（附A-9）式的物理意义是说任何一个非周期函数f（t）均可认为是无穷多个不同频率、不同振幅和不同起始相位的谐波之和。傅里叶级数将一个周期信号分解为无穷多个谐波的离散和。这些谐波有一个基频ω0，所有谐波的频率皆是ω0的整倍数，故它们有一个共同的周期 ，叠加结果为一个周期是T的函数。傅里叶积分则把一个非周期信号分解为无穷多个谐波的连续叠加。这些谐波的频率ω可以取任意实数，虽然每一项F（ω）iωtdω都是一个周期函数，但它们之间不存在共同的周期，故叠加结果为一个非周期函数。由（附A-9）式可知，已知信号f（t）可以唯一地计算出它的复变谱F（ω）。已知信号的复变谱F（ω）也可以唯一地确定其波形f（t）。数学上是唯一的、一一对应的关系。F（ω）称为f（t）的傅里叶变换，而f（t）则称为F（ω）的反傅里叶变换。物理上将由信号f（t）求其傅里叶变换F（ω）的过程称为信号的频谱分析，附图A 4是傅里叶变换的一例。附图A-4 非周期函数（a）及其振幅谱（b）作为时间函数的地震波形与作为频率函数的振幅谱、相位谱（或复变谱）之间可以互换且一一对应，故任何复杂的波形既可以作为时间函数研究也可以作为频率函数研究。作为时间函数研究时称为时间域中的函数，作为频率函数研究时称为频率域中的函数。（四）傅里叶变换的几个基本性质（1）叠加定理（线性性质）。设信号f1（t）的频谱为F1（ω），f2（t）的频谱为F2（ω）。若f（t）＝af1（t）+bf2（t），其中a、b为任意常数，则f（t）的频谱为F（ω）＝aF1（ω）+bF2（ω）。（2）时延定理。设信号f（t）的频谱为F（ω），则延迟一段时间后τ的信号f（t-τ）的频谱为F（ω）e-iωτ。说明一个波形经延迟一段时间后，振幅谱不变，相位谱的变化与延迟时τ有关。（3）频移定理。设信号f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴移动ω0得F（ω-ω0），则与之对应的时间信号变为f（t）eiω0t。（4）时间尺度展缩定理。设f（t）的频谱为F（ω），将波形沿时间轴压缩到原来的 倍（即将时间坐标尺度扩展a倍）后的波形f（at）的频谱为 F（ ）。（5）频率尺度展缩定理。设f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴压缩到原来的 倍后F（αω）所对应的时间信号为 （ ）。（6）褶积定理。设时间函数x（t）和h（t）的频谱分别为X（ω）和H（ω），则它们褶积y（t）＝x（t）*h（t）的谱Y（ω）等于X（ω）和H（ω）之积，即Y（ω）＝X（ω）·H（ω）。

您好，傅里叶级数一致收敛的情况下，就可以使用逐项积分。当然，傅里叶级数并不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于f（x）。只有一致收敛于f（x），即f（x）＝1／2a。＋∑（ancosnx＋bnsinnx）（n＝1→∞），那么双方乘以cosnx或sinnx后，在（-兀，兀）上可以逐项积分。傅里叶级数的收敛判别法，常用的有：（1）狄利克雷判别法（2）迪尼判别法这两种判别法，对函数所提的要求都是充分条件，并非必要的。至今还没有收敛的充分且必要的条件。

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.110 - p.127 第二章我们就学到了，对于LTI系统的分析，将信号分解为基本信号的线性组合，这个方法对信号与系统的分析极为有用。 基本信号需要满足以下两个条件： 第二章我们用的是单位脉冲的移位来作为这个基本信号，并导出了卷积和与卷积积分。从这里开始学习傅里叶分析，基本信号选取的是复指数信号，即连续时间的 和离散时间的 信号，其中 和 都是复数。 对于LTI系统，复指数信号的重要性在于LTI系统对复指数信号的响应仍然是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即 其中 或 是复振幅因子，一般来说是复变量 或 的函数。 一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号就是系统的特征函数，幅度因子就是特征值。 考虑连续时间LTI系统具有单位冲激响应 ，当输入 ，输出可以由卷积积分求出，有， 因为积分变量为 ，所以可以把 提出到积分外， 假设积分收敛，则 其中， 有输入 ，由卷积和得到LTI系统的输出 假设求和收敛，则 其中， 对于连续时间LTI系统而言，如果输入信号可以表示为复指数的线性组合，即 那么输出一定为， 同样的，对于离散时间LTI系统，如果输入可以表示为 那么输出一定可以表示为 一般来说， 和 可以是任意复数，但傅里叶分析仅限于 和 ，也就是只考虑 和 。 对于周期信号 ，满足该式的最小正值 就是基波周期， 为基波频率。 成谐波关系的复指数信号集就是， 这些信号的基波频率都是 的倍数，而且每个信号对 都是周期的。于是一个由成谐波关系的复指数线性组合构成的信号为， 这个信号 对 来说也是周期的。上式就称为傅里叶级数表示。 上式中， 这一项就是一个常数， 和 这两项都有基波频率等于 ，两者合在一起称为基波分量或一次谐波分量。依次有 次谐波分量。 我们一般研究实周期信号的傅里叶级数，那么就有， 对于上式中的求和，用 代替 ，于是 两式比较，发现需要 ，将 以极坐标形式写出， ，那么 可以表示为， 上式为实周期信号的傅里叶级数表示。由于复指数表示计算更为方便，我们后面都用复指数表示。 将给定的连续时间周期信号写成傅里叶级数，需要确定系数 。连续时间周期信号的傅里叶级数表示为， 左右同时乘以 ，得到 从 到 对 积分，得 交换求和与积分次序，得 对于积分 ， 综上， 因此得到， 总结一下，连续时间周期信号的傅里叶级数表达式 系数 称为 的傅里叶级数系数，或称频谱系数。 研究周期信号的有限项级数与 近似的问题， 令 为近似误差， 用一个周期内误差的能量来衡量近似误差的大小， 周期信号若想表示为傅里叶级数，必须满足两类条件， 满足这个条件并不意味着周期信号和它的傅里叶级数在每一个 值上都相等，只表示两者没有能量上的差别。 这个条件保证了每个系数 都是有限值。 对于一个不存在间断点的周期信号而言，傅里叶级数收敛且在每个 值上的级数都与原信号相等； 对于在一个周期内存在有限间断点的周期信号，除去那些间断点，级数与原信号相等；在间断点处，级数收敛于原信号不连续点处的平均值。 在这种情况下，两者没有能量上的差别。 吉布斯现象 表现为傅里叶级数在原信号不连续点处，傅里叶级数具有9%的超量，而且不论 取多大，这个超量不变。 一个不连续信号 的傅里叶级数的截断近似 ，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。 周期都为 的两个信号 和 ，其傅里叶级数系数分别是 和 ，即 那么就有 从这个性质可以看出，信号在时间上的移位，其傅里叶级数系数的模保持不变。 施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的左右反转。 如果 是偶函数，那么其傅里叶级数系数也是偶函数；如果 是奇函数，那么其傅里叶级数系数也是奇函数。 可以看出时域尺度变换不会导致信号的傅里叶级数系数的变化，但其傅里叶级数表示还是变化了，因为基频变了。 有两个相同周期的连续时间周期信号 和 ，相乘后信号的傅里叶级数系数为 我们可以注意到，相同周期连续时间信号相乘后，其傅里叶级数系数 可以看作 和 的离散卷积和。我会在后面学习连续时间非周期信号傅里叶变换性质中，再次看到这个性质， 时间相乘映射到频域里的卷积 。 将一个周期信号 取其复数共轭（考虑信号为复数信号），那么其傅里叶级数系数为 当 为实函数时，那么有 ，也就是说此时 。 如果 为实偶函数，那么其傅里叶级数系数为实偶函数；如果 为实奇函数，其傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 一个周期信号的平均功率等于其全部谐波分量的平均功率之和。 在1.3节中我们定义 当输入为 时，输出 当 为一般复数时， 称为系统函数，对于连续时间信号与系统而言，在这一章和下一章中，我们只考虑 为纯虚数， 。具有 形式的系统函数[即 被看作 的函数]，该系统函数就被称为该系统的频率响应， 令 为一个周期信号，将其写作傅里叶级数表示 那么根据线性性质，输出可以得到 也就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。 这一节书中的内容也不复杂，主要是了解一下，第七章会集中介绍利用傅里叶变换方法研究滤波。用于改变频谱形状的LTI系统往往称为频率成形滤波器，近似无失真通过某些频率，而显著衰减或消除另一些频率的LTI系统称为频率选择性滤波器。 参考书中p.153的电路图，一阶RC滤波器，根据选取的输出不同，如果选取电容两端的电压 为输出，系统为低通滤波器；如果选取电阻两端电压 为输出，就是高通滤波器。 假定该系统是 初始松弛 的，那么上面这个微分方程描述的就是一个LTI系统。当输入 时，输出一定为 ，将 和 代入微分方程，得到 当频率 接近0时， 趋近1；而当频率 增加时， 减小。也就是说这个系统在选取 为输出时，是一个非理想的低通滤波器。 滤波器设计中一个典型的权衡问题就是 的选取。如果我希望滤波器仅能通过很低的频率，那么 一定越大越好。但考虑其单位阶跃响应， 我们可以发现，随着 的增加，阶跃响应就需要更多的时间达到其长期稳态值1。这种在频域和时域特性之间的折中是LTI系统和滤波器分析与设计中要考虑的典型问题。 选取电阻两端电压 为输出，有 该系统的频率响应 可以求得，

你好，具体解答过程可以参考下面的图片，我也是用公式编辑器打出来的详细步骤

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

先求公共周期w0=2pai/pai=2，然后直接利用欧拉公式，cos4t就等于[e^(j4t)+e^(-j4t)]/2，把这个和傅里叶级数的形式一比较得k=2 的时候, 系数就是那个1/2。同理k=-2，就是1/2sin6t可以用类似的方式展开，那个e的指数形式就对应项的傅里叶级数，前面就是他的系数了。扩展资料：傅里叶级数的性质：1、收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。2、正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

正弦级数必过原点，正满足奇函数的性质；而且，仔细观察傅里叶级数，cos0x的系数正是a0/2，而sin0x的系数是0，所以，傅里叶级数中并没有常数项，只不过sin0x和cos0x正好是常数而已。

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：sériedeFourier，或译为傅里叶级数)。傅里叶系数的重要性质　列举下面两条：　　①若??(x∈l(-π,π),则??的傅里叶系数αn,bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。　　②若??(x∈l(-π,π)，则有。这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数??(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。　　三角级数与单位圆内解析函数的关系设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数　　　(6)的实部就是三角级数(1)，虚部　　　(7)称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。　　多元三角级数与多元傅里叶级数设为m维欧氏空间R的点，级数　　　(8)称为m元三角级数，其中，而n1,n2,…,nm为整数。假如??(x)＝??(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体Q:-π≤xj≤π　(j=1,2,…,m)　　　(9)上，??是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数那么称(8)为??的傅里叶级数，并记为多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

教科书上有类似的例题的，依样画葫芦即可。计算傅里叶系数 a0 = (2/π)∫[0,π]f(x)dx， an = (2/π)∫[0,π]f(x)cosnxdx， bn = 0， ……

你举个例子说明一下，怎么不同了？两者都是以2pi为周期的周期函数，应该是一样的。

傅里叶级数和傅里叶变换是用来描述信号在频域上的表示方式。傅里叶级数表示离散周期序列信号：傅里叶级数可以将周期性的离散信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够表示周期性信号的频域特性。傅里叶变换表示非周期信号：傅里叶变换是将时间域上的信号在连续频谱下进行表示，它可以表示所有的信号，因此也被称为傅里叶积分变换。它能够将任意信号在频域中高精度地表示出来。联系：傅里叶变换和傅里叶级数都是将时域中的信号转化到频域中，进一步研究信号的频域性质。傅里叶级数只对周期性信号适用，而傅里叶变换适用于所有信号，包括非周期性信号。在傅里叶级数中，信号在频域上的表示是通过一组基函数的线性组合来实现的；而在傅里叶变换中，信号在频域上的表示则是通过将信号在单位圆上的连续谱分解为一系列的正弦和余弦函数的组合来实现的。

cos(kwt+sita)[级数中的每一项都bai是这样]，时移某个t0，仅仅相位变了，体现在系数中，就是ak×daoe^-jkwt0；时域尺度变化，ak×cos(m ×kwt+sita)，说明ak是第mk次分量的系数，所谓的"ak后面的基却变了"，说明只有m的整数倍次分量。这个积分是不能直接计算的，因为不满足绝对可积条件。根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。直流信号的傅里叶变换是2。扩展资料：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

首先一个信号，比如X(t)是一个奇形怪状的函数。我们很难对他进行分析。但是X(t)=很多有规律的函数叠加。。。于是我们就寻找这些有规律的函数来代表X(t)，这就是对X(t)进行分解。分解有很多种类，其中非常牛b的一种是正交分解。三角函数族恰好就是一个正交函数族。周期为T 2T 3T...nT的三角函数能够通过叠加组合出所有周期为T的连续函数。就是说X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n (其中基n是周期为T/n的三角函数...)。为什么会这样呢？数学分析上是使用：黎曼勒贝格引理+局部收敛+狄里赫雷核积分推出的。泛函上证明要简洁些。不过这些你都不需要太过于专注（就连傅立叶都没有证明出来的），你只需要记住周期nT三角函数叠加能表示周期为T的连续函数。X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n。那么前面的系数ai怎么求呢，这时函数正交的作用就体现出来了。直接用(x,基n)内积 ，就可以得出系数an。至于为什么，你可以自己算下，利用(基i，基j)=δij就可推出结果。当X(t)没有明确的周期的时候，我们假定他的周期是无穷大，再用复数来表示各个正交基，在系数上乘以T(这时的T是无穷大，如果不乘以T的话，L1L2空间的函数的傅立叶变变换就是无穷小了)，这样就成了傅立叶变换了。傅立叶变换难很多。因为傅立叶变换的定义域大大超过了L1L2空间。有些函数广义积分不存在，但是傅立叶变换存在。所以在处理这些积分的时候，必须要利用某些特殊函数的性质，比如冲击函数，阶跃函数等，进行反向的推导。

正弦级数必过原点,正满足奇函数的性质；而且,仔细观察傅里叶级数,cos0x的系数正是a0/2,而sin0x的系数是0,所以,傅里叶级数中并没有常数项,只不过sin0x和cos0x正好是常数而已.

傅里叶级数是一老大难，公式复杂，内容深奥，讲解少。 但是，他是很简单的东西。 本文不去科普，只谈理解。 一个函数，可以按傅里叶基展开，也就是可以写成这样的形式 其具体理解，可类比线性空间由此，将傅里叶级数与线性代数知识相联系 求解系数的方法，可以类比向量的内积以上推导是不够严谨的，但通常情况下是没有问题的。 线性空间到底是什么？ 线性运算只有加法和数乘吗？ 函数基与普通意义上的基有何区别与联系？代数结构仅对一种运算起作用吗，如果不是，那对那一类运算起作用，他们应具有何种性质？ 有哪些常用的代数结构？分解的思想体现在那些工作上？ 类比的思想有哪些作用？如何培养？

第一问，考虑a是否为自然数是必要的，因为a为自然数时，函数变成sinnx（即为a=n），由于sinnx，cosnx，n=1，2,。。。是一个正交列，故其傅里叶级数变成有限项（即项角标等于a的sin系数非零，其余全是0），这个的计算不同于a非自然数，而且这个时候函数在端点值相等，拓展成周期函数时是连续的，级数在整个定义域都收敛于函数值，可以单独列出。第二问中，n不是自然数时，f（-π）不等于f（π），也就是如果把函数拓展成周期函数，那么在周期两端的地方是不连续的，故其傅里叶级数在这些点不收敛于函数值。而在周期内部是连续的，级数收敛于函数值，可以写成f（x）=级数。

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。供参考。

你举个例子说明一下，怎么不同了？两者都是以2pi为周期的周期函数，应该是一样的。

这个函数符合狄里克雷收敛定理f(x)是周期为2π的周期函数；在一个周zhi期内连续或只有第一类间断点，在一个周期内至多只有有限个极值点。所以x是f(x)的连续点时，级数收敛于x，x是f(x)的间断点时，级数收敛于1/2[f(x+)+f(x-)]，这题就是3。解：根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,∞。扩展资料：傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。参考资料来源：百度百科-傅里叶级数

隔年考一次。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在收敛于此函数本身时的一种称呼，基本上隔年考一次。

傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。傅里叶展开式系数公式是a0=π平方/3，傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R y=sinx---y"=cosxy=cosx---y"=-sinxy=tanx---y"=1/(cosx)^2y=cotx---y"=-1/(sinx)^2y=arcsinx---y"=1/√1-x^2y=arccosx---y"=-1/√1-x^2y=arctanx---y"=1/(1+x^2)y=arccotx---y"=-1/(1+x^2) 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).反三角函数主要是三个：y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；sinar

根据傅里叶级数的定义，对于一个周期为2π的周期函数f(x)，它的傅里叶级数可以表示为：f(x) = a0 + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)其中，an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：an = (1/π) ∫[f(x)cos(nx)]dx （从-π到π的积分）bn = (1/π) ∫[f(x)sin(nx)]dx （从-π到π的积分）如果函数f(x)在周期为2π的区间上满足连续和可导，且在端点处左右极限相等，则可以证明在区间(0,π)上f(x)的傅里叶级数可以表示为：f(x) = (a0/2) + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)这是因为在区间(0,π)上，cos(nx)和sin(nx)都是奇函数，它们的积分在(0,π)上是偶函数，因此只有an和bn中的奇数项对积分有贡献，而a0和偶数项的系数都为0。由此得到上述式子。因此，当函数在周期区间上满足连续和可导条件时，可以使用傅里叶级数在(0,π)上的求和来逼近原函数。但是需要注意的是，傅里叶级数的逼近精度与原函数的连续性和可导性有关，如果原函数在周期区间上不满足这些条件，则傅里叶级数的逼近效果可能不理想。

-π/4-1 由于你是要展开成正弦型级数,所以函数在延拓的时候需要延拓成奇函数,也就是说f(x)在[-π,π]上的定义应该如下： 当x属于[-π,-π/2)时,f(x)=x-1 当x属于[-π/2,0)时,f(x)=-1, 当x属于[0,π/2]时,f(x)=1 当x属于(π/2,π]时,f(x)=x+1 当某个x0为连续点或者第一类间断点（比如你题目中要求的那个点就是第一类间断点）时,由Dini定理可知其傅立叶级数取值为[f(x0+0)+f(x0-0)]/2,其中f(x0+0)和f(x0-0)分别表示在x0点取左右极限的函数值,当然如果这点是连续的,显然有[f(x0+0)+f(x0-0)]/2=f(x0).如果这点是第一类间断点,比如像你题目中的情况,那么有在-π/2处的左右极限分别为-π/2-1和-1,所以其值为两者相加除以2也就是 -π/4-1

都在考试范围，多元函数积分绝对是重点，每年都会有大题。傅里叶级数不算重点，比较冷门，但偶尔也会考，多是填空选择题，也就是考一道小题。不过曾经有一年出过一个大题，考翻了一堆人。我的意见：傅里叶级数的定义要知道，如何做奇延拓、偶延拓要知道；另外重点掌握傅里叶级数的和函数，在某一点的值如何计算（特别是间断点处），如果考填空或选择的话，95%的可能性是考这个地方。希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

进行偶延拓，把周期延展到2π，再带入2π为周期的傅里叶级数公式即可。（偶函数，bn项均为0，只需算a0，an）

傅里叶级数不属于高中知识。在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项傅里叶级数是对于周期信号来说的，如果周期信号满足绝对可积（一般都符合），那么他就可以分解成无限项正弦函数和余弦函数的加权和，这个无限项正弦函数和余弦函数的加权和就是傅里叶级数了首先我们知道线性代数里，一个n维的向量（f）可以由n个完备的正交归一基底叠加而成，叠加系数怎么求呢？就是直接用这个向量（f）点乘各基底（就是用点乘来求它在各基底的分量）。好现在你把一个函数看成一个无限维的向量，每个函数值对应的就是一维，而在这个无限维的空间里，点乘被定义为这两个函数相乘后再积分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一个道理）。

收敛性 傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 傅里叶级数 在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 正交性 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： 傅里叶级数 奇偶性 f_o(x) f_e(x) 奇函数，可以表示为正弦级数，而偶函数，则可以表示成余弦级数： 傅里叶级数 只要注意到欧拉公式：，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。 广义傅里叶级数 类似于几何空间上矢量的正交分解，周期函数的傅里叶级数是在内积空间上函数的正交分解。其正交分解从?基推广到Legendre（勒让特，1775-1837）多项式和Haar（哈尔，1885-1993）小波基等，称为广义傅里叶级数。 任何正交函数系?，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程： （4），那么级数（5） 必然收敛于f(x），其中： 傅里叶级数 （6）。事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： 成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基?，向量x在?上的投影总为?。[2]

分享解法如下。按照傅里叶级数定义，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx，n=1,2，……。而，f(x)=πx-x丨x丨是奇函数。∴f(x)cos(nx)是奇函数、f(x)sin(nx)是偶函数。题中积分区间对称，按照定积分的性质，有a0=0，an=0；bn=(2/π)∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx。又，应用分部积分法，∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx=(1/n)∫(0,π)(π-2x)cos(nx)dx=…=(-2/n³)[(-1)^n-1]。∴n为偶数时，bn=0；n为奇数时，bn=8/(πn³)。设n=2k-1，k=1,2，……。∴n为奇数时，f(x)=∑(bn)sin(nx)=(8/π)∑[sin(nx)]/n³=(8/π)∑[sin(2k-1)x]/(2k-1)³。∴f(x)=(8/π)∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³，n=1,2，……。该级数收敛。∵丨g(x)丨=丨8∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³丨≤∑1/(n-1/2)³~∑1/n³，收敛。故，傅里叶级数f(x)收敛。

傅里叶级数是傅里叶在研究热传导现象时提出的。傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法,直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明，尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物的一个时代。在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具，在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案，在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据。对于周期函数，我们总是把它表示成三角函数组成的级数——傅里叶级数，下面我们进一步研究函数的傅里叶级数展开问题./// 函数展开成傅里叶级数 ///现在的问题是：f(x)满足什么条件才能保证级数式①收敛，并且它的和函数等于f(x)？下面给出的收敛定理就回答了这个问题/// 正弦级数和余弦级数 ///由傅里叶系数公式可见，于是有如下定理:

这题不用算傅立叶级数的系数 傅立叶级数为余弦级数 则f(x)先做了偶延拓，得到F(x) F(x)再做以4为周期的周期延拓 F(x)的傅立叶展开式＝S(x) f(x)的连续点，S(x)＝f(x) f(x)的间断点，S(x)＝左右极限的平均值 S(-1/3)＝S(1/3)＝f(1/3)＝1/3 S(7)＝...9131

傅里叶级数和傅里叶变换的关系。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析。傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想理解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。

答案：应该是-1吧！略解：s(x)是傅里叶正弦级数的和函数，意思是应该先把f(x)展开成（-pi,+pi）上的奇函数，然后周期循环。所以s（-pi/2）=-s(pi/2)=-1

傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。扩展资料：收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。参考资料：百度百科-傅里叶级数

    级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:     这种由很多项相加的形式就是级数。     对于函数就是如下这个形式：    在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。     所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。     法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。     看一个动图来理解下这句话。     右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。     下面给出傅里叶级数的数学公式。原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。 便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。      代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。    这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。     很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。     还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：    我们只需要求出 就可以得到 。     所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：     对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。    所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。     当然上面是小学生的解法，大家不要当真。     在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入： 其对应的解为：    想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。 什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。 和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0 而在函数上的正交就表现为积分的形式: 其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。 回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。 { } 任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：关于其证明网上有很多，这里就不细说了。 下面看如何利用上面的性质来接 将函数两边同时积分将 移到前面。 其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于于是:下面求解下 将两边乘上 ，然后两边同时积分将 移到前面。同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：在正交性那块我给出了 ，所以:关于 求法是一样得，这里就不细说了。 上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。 如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二) 中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。

他们不属于同一类概念，谈不上区别，要说关系的话，傅里叶系数是将一个函数按傅里叶级数的展开方法得到傅里叶级数后的每一个周期性的三角函数的带有常数性质的系数，级数是一种数学逼近方法，系数只是几个数罢了

高等数学，很难理解

是的。即使f(t)原来是[-T/2,T/2]上的函数，也要把它延拓为R上的周期函数，然后再作fourier展开。

书上写的就很好理解啊。比如说正弦波，余弦波这样的波，都是有周期的，也就是每过一个单位T他们的波形都会一样，如果一个任意波形图，我也可以认为他是有周期的，但是他的周期很长，从负无穷到正无穷这么长。所以我就把这个周期函数，分解成几个周期函数的和。也就是傅里叶级数

只要给出一个f，然后由公式求出an，bn，那么在构成的三角级数就叫傅立叶级数。也就是说它就是一个普通的三角级数(系数给定了怎么求而已) 一个三角级数肯定不一定收敛，需要判断其收敛性。 之前的定理15.2只是一个充分条件：若f表示为某个三角级数收且一致收敛，那么an，bn特定求出来，这个形式就是傅立叶级数。这只是个充分条件，给一个傅立叶级数不一定收敛。。。

Fourier series一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： mathx(t)=sum _{k=-infty}^{+infty}a_kcdot e^{jk(frac{2pi}{T})t}/math（j为虚数单位）（1） 其中，matha_k/math可以按下式计算： 傅里叶级数 matha_k=frac{1}{T}int_{T}x(t)cdot e^{-jk(frac{2pi}{T})t}/math（2） 注意到mathf_k(t)=e^{jk(frac{2pi}{T})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=pm 1/math时具有基波频率mathomega_0=frac{2pi}{T}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 傅里叶级数 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： mathint _{0}^{2pi}sin (nx)cos (mx) ,dx=0;/math 奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数： mathf_o(x) = sum _{-infty}^{+infty}b_k sin(kx);/math 傅里叶级数 mathf_e(x) = frac{a_0}{2}+sum _{-infty}^{+infty}a_kcos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j heta}= sin heta+jcos heta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。傅里叶级数 任何正交函数系math{ phi(x)}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程： mathint _{a}^{b}f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}/math (4)， 那么级数mathsum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中: mathc_n=int _{a}^{b}f(x)phi_n(x),dx/math (6)。 傅里叶级数 事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： mathint _{a}^{b}f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math{e_i}^{N}_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。mathint _{0}^{2pi}sin (mx)sin (mx) ,dx=0;(m e n)/math mathint _{0}^{2pi}cos (mx)cos (mx) ,dx=0;(m e n)/math mathint _{0}^{2pi}sin (nx)sin (nx) ,dx=pi;/math mathint _{0}^{2pi}cos (nx)cos (nx) ,dx=pi;/math

和连续周期信号相比，离散周期信号的离散傅里叶级数的频谱是周期性的，因为时域的连续对应于频率的非周期，时域的离散对应于频率的周期。所以我们只需要在（0，2π）的频域区间上取N个点就可以完整表示出来了。这是连续周期信号和离散周期信号傅里叶级数的最根本区别。

　　实际上，只要 f(x) 可积，就可写出傅立叶系数，因而可写出傅立叶级数，但该傅立叶级数未必收敛于 f(x)，而是在 x 处收敛于　　　　[f(x-0)+f(x+0)]/2，也就是说，当 x 是连续点时该傅立叶级数才收敛于 f(x)。

实际上，只要f(x)可积，就可写出傅立叶系数，因而可写出傅立叶级数，但该傅立叶级数未必收敛于f(x)，而是在x处收敛于　　　　[f(x-0)+f(x+0)]/2，也就是说，当x是连续点时该傅立叶级数才收敛于f(x)。

因为离散周期信号可以看成三角基下的有限维线性空间。

　　傅里叶级数在热学中的意义：　　傅里叶级数可以表示在某点出现电子的概率。　　傅立叶定律是传热学中的一个基本定律，可以用来计算热量的传导量。　　相关的公式为:Φ＝-λA(dt/dx),q＝-λ(dt/dx)　　其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A为传热面积，单位为m^2,t为温度，单位为K,x为在导热面上的坐标，单位为m,q为热流密度，单位为W/m^2,负号表示传热方向与温度梯度方向相反,λ表征材料导热性能的物性参数（λ越大，导热性能越好）。

可以先求不定积分，被积函数可以把括号打开，变成一个余弦函数，加一个t× cosnwt，方法主要是换元和分部积分法

出题者脑残，第二问已经暴露了第一问的答案。方波信号，周期，频谱无偶次谐波，奇次谐波的幅度呈4A/（Npi）递减，其中N为谐波数。2）均值为零，频率只有奇次谐波，各频率的幅值4A/（Npi），其中N为谐波数。脑残题，鄙视！

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

a0=1/μ∫f（x）dxan=1/μ∫f（x）cosnx/μdxbn=1/μ∫f（x）sinnx/μdx积分区间为（-μ，μ）μ可以等于π

傅里叶级数相当于按照余弦或者正弦展开式 泰勒公式：可以按照任意函数展开

不妨先想想平面向量的正交分解。前者是函数在三角函数空间span{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……}下的分解，各项系数就是在各个分量上的投影。而Taylor级数则是在多项式空间span{1,x,x^2,……}下的分解。

书上应该是说如果x*(t)=x(t),即x(t)为实信号，则有a(-k)=a*(k），你再看看书、、、、

请问你求an的公式对了吗? 我看了一下,你的公式没有错!他是以2l为周期的函数展开式的公式其中L=pai/2代入就是an=(2/π)f(x)cos2nxdx在-π/2→π/2上的积分=(2/π)f(x)cos2nxdx在0→π上的积分所以我觉得是答案印刷上的错误吧!相信自己!

第2章 信号分析 本章提要  信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。  x( 质量－弹簧系统的力学模型 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 §2－2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” #  傅里叶级数的三角函数展开式 （，…） 傅立叶系数： 式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式： 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图  周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶 级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式  欧拉公式 或  傅立叶级数的复指数形式  复数傅里叶系数的表达式 其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 # 即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。  cn的复指数形式 共轭性还可以表示为 即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0 （等于三角 函数模的一半） 相角相等） 用cn画频谱：双边频谱 第一种：幅频谱图:|cn|-图:n- 相频谱， 第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图： Imcn-；也就是an-和-bn-. # §2－3 非周期信号与连续频谱 分两类： a.准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号 几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： 定义x(t)的傅里叶变换X(ω) X(ω)的傅里叶反变换x(t):  傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波 的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函 数。  对应关系： X()描述了x(t)的频率结构 X()的指数形式为  以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 X( f ) 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图： 幅值频谱图 相位频谱图 () 实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω ) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。 二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 （二）对称性 （注意翻转） （三）时移性质 （幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质 （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 （六）微分性质 （七）卷积性质 （1）卷积定义 （2）卷积定理 三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： (t) 0) 定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值： 脉冲强度（面积） （二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质： xx(t0)(tt0) 函数值： 强度： 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t) 在脉冲发生时刻的函数值 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2 (b) 利用结论2 结论：平移 x(t （三）脉冲函数的频谱 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果 （利用时移性 质） （利用对称性 质） （对上式， 再用频移性质） （四）正弦函数和余弦函数的频谱 余弦函数的频谱  (f) 正弦函数的频谱 (f)

这个我也不知道是什么意思，你可以去搜寻一下别人。

在上一篇中 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一) 中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？ 我们先看在周期为 的函数傅里叶级数表达: 其对应的解为：如何将其变为任意周期的函数呢？ 其实这里只需要简单的换元操作即可。 举个栗子: 其周期为 , 。我们令 ,则 ,整理下: 所以在对于t来说就变换成了周期为 的函数。 so对于周期为 （方便计算）的函数f(t) 只需令 带入原周期为 的函数即可： 同样的可以得到：最后我们得到:过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。 我们在写一下傅里叶级数的公式： 其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。 关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。 我们先看下公式：可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 ，到虚轴的投影是 ，其中 便是向量与实轴的夹角。而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动 随着 变化， 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。 而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到: 我们令 中的n为-n 则得到： 所以可以看到n的范围变成了 到 ，并且每一项都有 ，于是我们可以得到一个漂亮的形式：其中 分为3中情况：我们将傅里叶级数之前的解带入上边这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成: 但其中的每一项是什么意思呢？ 还记得之前说的 的本质吗？在圆上做圆周运动，那么 也是在做周期运动了。那 又是什么呢？ 我们知道 ，所以我们可以把 看成是以 为单位的频率(正常来讲频率是 )。而系数 是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了 ，但其最小公共周期是一样的。 1倍基频那么系数 怎么理解呢？前面说过 的系数a是代表 运动的圆半径，这里 是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。 看个图，只管的理解下把上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数 ,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数 的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。 这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的 ,而每个 都有自己的幅长 ,当把这些所有的 相加，就得到时域中的图像。 更加生动有趣的介绍可以参见 傅里叶分析之掐死教程 ，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。 目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成 的时候傅里叶级数。随则T的变大 也就不断的减小，当T趋近于 的时候， 也由 变成了 ，那么很自然就需要对 做积分。 我们先看下当T趋近于 的时候 我们可以得到： 将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于 ，就得到: 其中画红圈的地方就是傅里叶变换而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：以上就是傅里叶变换的全部内容，如果你喜欢的话就点个赞。有时间的话，我会写些傅里叶变换的应用。