二次型

1、可以用求特征值来求标准型的，每一个特征值就是所对应位置的系数（且特征值没有相对的位置）。我还是推荐这个的，其他的就不讲了。。这个例子其实可以免了，因为把特征值求出来基本就没问题了。

矩阵间合同的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵C 使：C"AC==B就主A,B合同 相似和合同都可以得到等价那这样你可以随便取一个满秩的矩阵C,就行了

是的。P^-1AP = diag则 A = PdiagP^-1由于P正交，所以P^-1=P^T所以 A = PdiagP^T所以 A^T = (PdiagP^T)^T = PdiagP^T = A两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。实对称矩阵A的特征n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若矩阵A满足条件A=A"，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

如果A是一个未必对称的方阵，令B=(A+A^T)/2那么B对称，并且二次型x^TAx=x^TBx也就是说即使A不对称，一定存在一个等效的对称矩阵来表示这个二次型所以为了研究方便就选择（或者理解成规定）用对称阵来表示二次型

配送方法求二次型的标准型，重点是如何配方，你想知道他的二次配房，把你的联系方式告诉我，我来教你。

配方的方法：1、若二次型中不含有平方项则先凑出平方项。方法：令x1=y1+y2，x2=y1-y2，则x1x2 = y1^2-y2^2。2、若二次型中含有平方项x1方法：则将含x1的所有项放入一个平方项里, 多退少补，将二次型中所有的x1处理好，接着处x2、以此类推。例子：x1^2-4x1x2+4x1x3=x1^2-4x1(x2-x3)+4(x2-x3)^2-4(x2-x3)^2=[x1-(x2-x3)]^2-4(x2-x3)^2扩展资料对称双线性：在低层的域的特征不是2的时候，二次形式等价于对称双线性形式。二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求除以2。注意对于任何向量u∈V，2Q(u) =B(u,u)。所以如果2在R中是可逆的（在R是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式B恢复二次形式，通过Q(u) =B(u,u)/2。当2是可逆的时候，这给出在V上的二次形式和V上的双线性形式之间的一一映射。如果B是任何对称双线性形式，则B(u,u)总是二次形式。所以在2是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果2不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能写为形式B（u,u）。参考资料来源：百度百科-配方法

二次型在经济方面的应用如下：次型是数学中一个重要的概念，它在经济管理中有着广泛的应用。经济学中的许多问题都可以用二次型这个工具来解决，如最小二乘法、方差分析、投资决策等等。在经济学中，最小二乘法是一种常见的数据回归分析方法。在这种方法中，二次型被用来评估一个函数的拟合程度。通过最小化误差平方和，我们可以找到最适合数据的函数，并且可以用这个函数来预测未来的结果。方差分析也是经济学中常用的方法，它被用来比较不同组之间的差异。在方差分析中，二次型被用来评估组内变量之间的差异和组间变量之间的差异。通过这种方法，我们可以确定哪些变量是对不同组之间产生影响的。投资决策也是经济学中一个重要的领域，二次型在这个领域中也有广泛的应用。通过使用二次型的方法，我们可以计算出不同的投资组合之间的风险和收益。这可以帮助我们选择最适合我们需求的投资组合，并且可以帮助我们优化我们的投资策略。除了上述应用，二次型还可以在财务分析、市场预测、风险管理等方面发挥作用。因此，掌握二次型的方法和应用是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和解决经济学中的各种问题。历史：二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

化二次型为标准型的三种方法如下：一、配方法如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=（x1^2+4x1x2+2x1x3）+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3）^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2。作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2。将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵。二、初等变换法将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I），在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换，当将A化为对角阵时，子块I将会变为C"。三、正交变换法先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X"AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2。

正交变换和配方法正交变换：求出A的所有特征值和特征向量将特征向量单位正交化由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了配方法：就按照完全平方公式配方。但结果不一定能正交（保持图形不变）

根据矩阵的合同C"AC=B，可逆矩阵C是一列初等矩阵的乘积，所以对A进行同样的行变换与列变换，即可化A为B，把使用的列变换对应的矩阵记录下来，即为C

正交变换法化二次型为标准型技巧是正交变换和配方法正交变换。正交变换法步骤：1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。2、求出A的所有特征值λ1,λ2,...,λn。3、求出对应于特征值的特征向量a1,a2,...,an。4、将特征向量正交化、单位化，得b1,b2,...,bn，记C=(b1,b2,...,bn)。5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k1y1+k2y2+...+knyn。二次型化成标准型的方法是正交变换和配方法正交变换，二次型（quadratic form）是指n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项。

正交变换法化二次型为标准型技巧是正交变换和配方法正交变换。正交变换法步骤：1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。2、求出A的所有特征值λ1,λ2,...,λn。3、求出对应于特征值的特征向量a1,a2,...,an。4、将特征向量正交化、单位化，得b1,b2,...,bn，记C=(b1,b2,...,bn)。5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k1y1+k2y2+...+knyn。二次型化成标准型的方法是正交变换和配方法正交变换，二次型（quadratic form）是指n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项。

合同变换的全系不变量是惯性指数，所以这里问题相当于a+b+c=n有多少组非负整数解（或者等价地，a+b+c=n+3有多少组正整数解）由组合数学的隔板法可得结果是(n+2)(n+1)/2

合同变换的全系不变量是惯性指数，所以这里问题相当于a+b+c=n有多少组非负整数解（或者等价地，a+b+c=n+3有多少组正整数解）由组合数学的隔板法可得结果是(n+2)(n+1)/2

二次型是科学研究的一个重要课题，它的定义是含有n个变量 , ........ 的二次齐次函数。有两种表示形式，多项式或者矩阵。现代计算技术发展很快，矩阵计算可以使用计算器实现，并且从矩阵中可以看到更多关于二次型的信息，因此使用矩阵研究二次型就显得更加重要。对二次型最重要的运算就是变量替换 X=CY 产生的二次型矩阵 A的变形。这里 X 是变向量在自然基（其基矩阵为单位矩阵 E）里的坐标，C表示一个替换基矩阵，Y是同一个变向量在替换基里的坐标。 AX ACY BY，这里的矩阵变换 AC=B 称为合同变换。注意C是基矩阵，所以必须满秩，C亦称为合同变换矩阵。合同变换的主要目的是化简矩阵。在线性代数里有定理：任何非零矩阵 A可经有限次初等变换变为对角矩阵（标准形），并进一步变为规范形（对角元只含1，0的对角矩阵）。这里的初等变换是等价变换，它保持了矩阵的秩不变。具体的包括三种矩阵变换：（1）对换两行（列）。 （2）伸缩（以k 0乘某一行（列）中的所有元）。 （3）消元（以某一行（列）所有元的 k倍加到另一行（列）对应的元上去）。合同变换可以使用初等变换的方法，但是作了一些变动。这里A是对称矩阵，变换过程分两大步， 左乘A施行初等行变换，C右乘A施行同样的列变换。所以合同变换是对对称矩阵施行对称的行列变换。合同变换的结果是：（1）矩阵的秩不变。（2）矩阵的对称性不变。（3）因为进行了两次对称的变换（即对矩阵的第 i行和第 i列施行同样的初等变换），所以不会改变标准形中任一对角元的正负。这样二次型的规范形中含有1，-1，0三种元，且其个数是确定的，称为正（负）惯性指数。

正 求实二次型(或实对称阵)的秩和符号差是一个很重要的问题。目前,在我们所接触到的所有高等代数教材中,计算实二次型的秩和符号差一概采用了用非退化线性替换化二次型为规范形的方法(利用特征根的方法除外)。实际上,不化为规范形,而将它的矩阵化为“每行至多只含一个非零元”的矩阵就可解决问题。这就是下面的定理。定理1 设A是一个实对称矩阵,A的每...

二次型坐标变换和正交变换的关系：二次型的变换是合同变换，所以必须用正交矩阵。化规范型所用的变换是合同变换，不一定是相似变换，正交变换既是合同变换又是相似变换。对应的变换矩阵没有直接联系，它们都是可逆矩阵都不是唯一的，正交变换所得标准形的平方项系数都是特征值，正交矩阵的列向量都是特征向量，配方法所得不一定。分类设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵。若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。

写出二次型矩阵为1 -1 -1-1 1 1-1 1 3 r2+r1,r3+r1,r3/2,交换r2r3，r1+r2～1 -1 00 0 10 0 0显然二次型的秩为2

。。。。。。。。。。。。。。。其实没必要转为椭圆的复数形式方程 上面的图片里面的方法高中生应该可以看懂 我貌似从来没听说过椭圆的复数形式 不过搜了一下 也很容易懂 其实是换汤不换药 只不过将笛卡尔坐标系中的一点(x,y)表示成了复数形式这里明显是将笛卡尔坐标的纵坐标映射到了虚轴上面 于是复数的模长即为该点距原点的距离 即r 所谓的幅角就是9楼里面的alpha即笛卡尔坐标系中点(x,y)与原点连线形成的角度通过欧拉公式容易表示这个值实际上就是用图片中同样的方法 可以得到椭圆方程的复数形式有了这个式子 只要在指数部分下功夫就行了 顺时针旋转就加个theta 相反就减个theta 剩下的就是初等的指数和平方运算了 然后对照复数z和其共轭将原来的变量代换回来就行。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

写出二次型矩阵为：{1，-1，-1}{-1，1，1}{-1，1，3} r2+r1，r3+r1，r3/2，交换r2r3，r1+r2。{1，-1，0}{0，0，1}{0，0，0}显然二次型的秩为2。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。扩展资料：向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩。则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。矩阵的秩性质：如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。参考资料来源：百度百科-秩

不是。对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。正定埃尔米特二次型是与实数域上正定二次型相对应的概念。正定、半正定、负定、半负定的埃尔米特二次型统称为定型的。不定的埃尔米特二次型称为不定型的。

埃尔米特出生在公元一八二二年，逝世于一九零一年，他是法国著名的数学家，同时他不同于其他的数学家的地方在于他从小到大的考试成绩从来都是不合格的，那么这样一个奇怪的数学家埃尔米特究竟有过如何的一生呢？这个问题的答案就在埃尔米特的简介中。埃尔米特简介要从他的父母开始说起，埃尔米特的家族经历过法国大革命，亲朋好友有不少被送上过断头台，他的父亲是一个有名的冶矿工程师但同时也是一个逃亡在外的死刑通缉犯，他的妈妈是当地出了名剽悍的洛林人，而他继承了优秀的血统，却也天生右脚残疾，这一切似乎预示着他不平凡的一生。上学的时候仇视死板教育的埃尔米特的成绩总是不合格，尽管平时数学非常好，但是到了关键时刻却总是不尽如人意，一直到大学也是徘徊于合格线，后来他在数学期刊上发表的五次方程解法使得所有人震惊，一个数学考试不及格的文学院学生解决了无数人束手无策的难题。之后他又进一步研究并证明了自然对数底的超越性。 前半辈子的坎坷经历使得埃尔米特自卑，但是幸运的是有好友和夫人的理解和支撑，学术界不少识才的数学家也与他交友，到年近半百的时候他被邀请到巴黎大学任教，他的课业没有考试，但却培养了之后许多才华斐然的大数学家，埃尔米特的一生无疑是传奇式的，他用坚持和努力为我们证明了教育和考试的死板是不得行的，数学本就是创造性的学科。 埃尔米特是十九世纪法国著名的数学家，他毕业于巴黎综合工科学校后来辗转在法兰西学等大学任教，同时也是法兰西科学院院士。埃尔米特的数学成就许多，他的一生在函式论、微分方程等各个方面都表现出重大成就。那么埃尔米特的数学成就究竟有哪壹些呢？埃尔米特的数学成就体现今许多方面，其中最出名的要数他在公元一八五八年的时候运用椭圆函式的原理首次得出五次方程的解，这也是数学史上非常有意义的第一次，具有里程碑式的远大意义。在之后不久的公元一八七三年他又一次用超人的智慧论证了自然对数底的超越性，埃尔米特在数学上的伟大成就可以在现代数学各分支中的许多专业名词中看出来，比如「埃尔米特二次型」等根据他名字姓氏命名的名词不但体现出他首次发现并解读这一领域的杰出成就，也体现了埃尔米特的数学成就之高远。 埃尔米特的数学成就影响深远，他是数学史上难得的奇葩，他的数学考试多数不及格但是这却无法抹灭他在学术研究史上的巨大成就，他不但研究「共轭矩阵」而且还提出了埃尔米特原理，他在不变数方面取得的成就尤为多，埃尔米特提出 「互反律」，还致力于推广研究整系数二次型的办法，并且活学活用把这一结果用在代数学。埃尔米特的数学成就直至今还深深影响着人们。 埃尔米特是十九世纪非常有名的数学家，他的一生为数学事业贡献许多，在数学学术研究的历史上取得过许多成就，但是他的一生最为人称道的却是他近乎传奇式的人生经历，埃尔米特的故事究竟有哪壹些传奇之处呢？埃尔米特的故事要从他的家族开始讲起，他的父辈们大多参加过法国大革命，有着不屈的精神，他的父亲甚至是一个死囚犯，他的妈妈也是一个奇女子，有着非常强悍的作风。埃尔米特天生有些跛足，右脚的残障让他必须依靠柺杖行走，他小时候就爱和老师争论，考试非常不理想的他让老师和家长伤透了脑筋，同时他自个非常厌恶死板的教育模式，不止一次的抨击过教育和考试的弊处。他上学的时候因为法令转到文学系，但是他的数学考试一直不及格，导致他无法取得更高的学历，也就是这样一个始终无法考好的末等生研究发表的关于五次方程解得学术报告震惊了全世界，尽管数学成就取得非常高的荣耀但是没有高学历的埃尔米特一直只能当一个小小的助教，这样不平等的待遇使得他的际遇更加传奇起来。 埃尔米特的故事流传到今天，不仅因为他为数学研究做出非常大的进步更是因为他的故事为我们证明了考不好试的数学家的存在，也同时是现代教育体系僵化以及社会只认学历不认研究的死板的讽刺。他用自个传奇式的故事告诉人们只要真正的爱一门学科，考试真的不是非常重要，历史终究会记得他的贡献。