复流形

作为一维复流形，黎曼曲面可以由两个图卡描述，每个的定义域都是复数平面.令ζ和ξ为上的复坐标。将非零复数ζ和非零复数ξ用如下转移映射等同起来：ζ = 1 / ξ, ξ = 1 / ζ. 因为这些变换映射为全纯函数，他们定义了一个复流形，称为黎曼球面。直观地来看，这些变换映射表示了如何将两个平面粘合成一个黎曼球面。两个面用一种从里翻出来的方式粘合，所以他们几乎处处重合，每个平面（用自己的原点）贡献对方平面上缺少的一点。换言之，（几乎）所有黎曼球面上的点既有ζ值也有ξ值，而两个值由ζ = 1 / ξ关联。ξ = 0处的点应该具有ζ-value 1 / 0；从这个意义上讲，ξ-图的原点是ζ-图上的。对称地，ζ-图的原点对应于ξ-图上的.拓扑上，最后的结果是从平面到球面的单点紧致化。但是，黎曼球面不单单是一个拓扑球面。它是具有复结构的拓扑球面，所以球面上的每个点都有一个领域可以通过双全纯函数和同胚。另一方面，黎曼曲面分类的的中心结果单值化定理，断言仅有的三类单连通一维复流形为复平面、双曲平面、和黎曼球面。在这三者中，黎曼球面是唯一的闭曲面（无边界的紧致曲面）。因此二维球面只有唯一的复结构将它变为一维复流形。

如在复流形M 上定义了一个下列复形式 的黎曼度量，其是埃尔米特阵，则称此度量为埃尔米特度量，称具有埃尔米特度量的复流形为埃尔米特流形。复流形上总存在埃尔米特度量。在埃尔米特流形中可引进一个二次外微分形式ω,称为凯勒形式，它在复坐标下的局部表达式为 。若dω=0，即ω 是闭形式,称埃尔米特流形为凯勒流形。复欧氏空间Cn关于通常度量是凯勒流形。在复射影空间CPn中有著名的富比尼-施图迪度量,描述如下：设P是CPn中任一点，它确定了S2n中的大圆。CPn在P点的任一切向量X可对应于球面S2n中与上述大圆正交的切向量塣，把塣 的长度定义为X的长度。就给出了CPn中的富比尼-施图迪度量;CPn关于这个度量构成凯勒流形。任何黎曼面关于其上任何与复结构相容的黎曼度量也是凯勒流形。如果在复流形M 上有一个黎曼度量，那么由这个度量,对M 上任一点的每个二维平面可定义截面曲率(见黎曼几何学)。如特取某点P处的二维切平面σ为全纯截面，即n维复切空间TpM 的一维复子空间，则相应于σ的截面曲率，称为全纯截面曲率。前面例子中，复欧氏空间关于通常度量的全纯截面曲率为零，复射影空间关于富比尼-施图迪度量的全纯截面曲率为正常数。