大数定律

在数学与统计学中，大数法则（又称大数定律、大数律）是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。大数定律很重要，因为它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。我们知道，大数定律研究的是随机现象统计规律性的一类定理，当我们大量重复某一相同的实验的时候，其最后的实验结果可能会稳定在某一数值附近。就像抛硬币一样，当我们不断地抛，抛个上千次，甚至上万次，我们会发现，正面或者反面向上的次数都会接近一半。强大数定律的含义这一系列问题其实就是大数定律要研究的问题。很早的时候，人们其实就发现了这一规律性现象，也有不少的数学家对这一现象进行了研究，这其中就包括伯努利（后来人们为了纪念他，都认为他是第一个研究这一问题的人，其实在他之前也早有数学家研究过）。伯努利在1713年提出了一个极限定理，当时这个定理还没有名称，后来人们称这个定理为伯努利大《sport.xcuvrqn.cn/article/908326.html》《sport.86jy.cn/article/652307.html》《sport.renyu8.cn/article/872903.html》

一、高山缺氧工程人员为了解决氧气缺少影响工作人员工作,使的工程缓慢的问题,把大型制氧机带到了高原,为打造隧道的工程人员提供充足氧气,当时洞中氧气含量只相当于海拔1000米左右大大加快了工程的进度。二、冻土问题冻土问题是中国乃至世界最大冻土研究基地为了攻克冻土难题，自青藏铁路开工建设以来，铁道部高度重视青藏铁路冻土攻关难题，先后安排了上亿元科研经费用于冻土研究，并组织多家科研院校的专家，对青藏铁路五大冻土工程实验段展开科研攻关，获得了大量的科研数据和科研成果。工程人员在高原动土上打了上千个水泥桩埋在动土下面,为铁路的运营提供充足的支撑力。三、保护环境为了保护高原湛蓝的天空、清澈的湖水、珍稀的野生动物，青藏铁路仅环保投入就达20多亿元，占工程总投资的8％，是目前我国政府环保投入最多的铁路建设项目，并在全国工程建设中首次引进环保监理，首次与地方环保部门签订环境保护责任书。四、不影响动物迁徙工作人员首次为野生动物开辟迁徙通道，位于可可西里国家级自然保护区的清水河特大桥，就是青藏铁路专门为藏羚羊等野生动物迁徙而建设的。五、地形复杂问题为了解决地形问题工程人员建设了世界上海拔最高的火车站——唐古拉车站。

是大数定律，经典的伯努利大数定律就是说抛硬币出现正面的频率收敛与硬币出现正面的概率。而切比雪夫不等式是证明大数定律可使用的一个工具。

定义：假设离散型随机变量 的分布律为： 如果 级数 绝对收敛 ，则称级数 的和为随机变量 的 数学期望 ，记为 。即， 设连续型随机变量 的概率密度为 ，如果积分 绝对收敛 ，则称积分 的值为随机变量 的 数学期望 ，，记为 。即， 数学期望简称 期望 ，又称为 均值 。 定义： 设 是随机变量，若 存在，则称 为 的 方差 ，记为 或 。即， 度量随机变量与其均值 的偏离程度。 记为 ，称为 标准差 或者 均方差 。 方差一个著名的表达形式， 定理： 设随机变量 具有数学期望 , 方差 ，则对于任意正数 ，不等式 成立。 该不等式被称为 切比雪夫不等式 。 证明： 根据概率的定义， 切比雪夫不等式也可以写成， 切比雪夫不等式给出了在随机变量分布未知，只知道 与 的情况下，估计概率 的界限。 设 是相互独立同分布的随机变量序列，且具有数学期望 。计算前 个变量的算术平均 ，则对于任意 ，有 证明： [1]中只给出了随机变量的方差 存在 这一条件下的证明。 考虑随机变量 ， 根据切比雪夫不等式 ， ， 根据概率的定义， ，有 ， 对不等式取 ，得到 弱大数定律表明：对于独立同分布且具有均值 的随机变量 ，当 很大时它们的算术平均 很可能 接近于 。 也称序列 依概率收敛 于 。 设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数， 是事件 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 , 有 [1] 概率论与数理统计（浙大第四版），盛骤、谢式千、潘承毅。

设{Xn}为相互独立的随机变量序列，证明{Xn}服从大数定律。计算出X(n)的分布函数,从而分布密度.（有现成公式）计算P（|X(N)-a|>e)=P(a-ea如果U（0，a）的分布函数是F(x)，则Xn的分布函数就是[F(x)]^n。例如：大数定理， 要求i.i.d. ( independently, identically distributed)，也即期望相同E(X1) = E(X2) = ...方差相同Var(X1) = Var (X2) = ...题中情况是： E 相同，但是Var 不同，Var(X1) = 0, Var(X2) = ln2。扩展资料：在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律，即大数法则。此法则的意义是：风险单位数量愈多，实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果。据此，保险人就可以比较精确的预测危险，合理的厘定保险费率，使在保险期限内收取的保险费和损失赔偿及其它费用开支相平衡。大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。参考资料来源：百度百科-大数定律

服从参数为1/ξ的泊松分布

书上这一节主要讲的是概率论的理论依据，我们高中甚至是初中就学了概率，但是却没有学为什么是这样的，为什么算术平均值可以代表一种结果出现的可能性，这一节就是从理论上证明了我们早已熟知的东西(比如你知道骰子出现1的概率是1/6，但是你知道为啥要这么做吗，虽然想起来很简单，但是数学是严谨的，所以数学家们做了无数次重复实验，证明了 在实验条件不变的情况下，重复实验很多次，随机实验的频率会接近它出现的概率，也就是我们这一节讲的大数定律，概率才有了坚实的理论基础。 我来举个栗子，比如掷骰子，每掷一次骰子都会有一个结果1～6中的任意一个数，我们按照古典概型可以知道每个数出现的概率都是1/6，于是我们可以计算出一次实验的期望(均值)。 在我不知道这些的情况下，我想通过做n多次实验来看看点数出现的规律到底是什么(或者到底有没有规律)，我把每次实验都取个名字(你会发现其实每一次实验都是一个随机事件，我都用一个随机变量来表示，这些随机变量我给他取名字叫x1，x2，他们分别代表了第一次掷骰子，第二次掷骰子，单从一次实验来看每次实验都可能出现1～6的任意一个数，1～6就是随机变量的取值，一般用小写字母表示)。 重点来了，我做了n次实验，得了n和结果，并且这些结果都是1～6中的数，我想研究他有没有规律可言("概率")，这n个数的算术平均值可以计算(这就是你问的Xn的平均，比如我掷骰子6次，出现的结果分别是3，3，2，4，5，1，那么他的算术平均值就是把他们加起来除以总数，算出来结果是3)，从概率论的角度我们可以算出掷骰子的期望(均值)＝1/6×1+1/6×2+1/6×3+1/6×4+1/6×5+1/6×6＝3.5，两者之间的值很接近，而且你会发现实验的次数越多，就越接近，这就是频率的稳定性。 你还问到随机变量序列的算术平均值和每个随机事件的期望的平均相减的意义，他们相减大于一个任意小的正数的概率趋近于1(在做实验的次数无限大的情况下)，就是说当我做实验的次数无限多的时候我们可以用期望来表示随机事件出现的可能性，就是我一开始提到的随机事件的频率近似于它的概率。 数学家们先有了概率的猜想，再从理论的角度去证明他。总的来说就是，X是一个随机变量，每做一次实验都有一个取值(实验结果)，做n次实验就有n个实验结果，而在做实验之前结果都是未知的，所以我们叫他随机变量，随机变量有随机取值，实验结果总是这些值中的一份子而已。我们用概率来判断未知，也就是未知出现的可能性。你的第二个问题我没有回答，我想看到这你应该知道答案了吧，如果不知道可以追问我哦，虽然已经过去很久了这个问题，可能你早就都懂了吧U0001f602。更2020.10时隔多年又一次想到这个问题有了一些新的认识，我发现把自己的想法写在这里也相当于自己的笔记，目前在学应用统计的课所以重新捡起了概率论，很多东西都已经忘记了，所以又翻到了这里。仔细看了一下题主的图片才发现原来我的理解是有偏差的，所以再来纠正一下自己。书中说的是 大量独立或弱相关的因素（比如一个人的身高是由各种因素影响的，父母的身高，营养获取，基因U0001f9ec控制等等，这些因素是互相无关的） 累积在一起的规律服从大数定律，而我当时理解为大量独立同分布的随机变量了（相同的实验做了好多次，每次实验的期望方差都相等）了。Yn 说的是随机变量的和（随机变量是用随机数字代表随机事件的东西，比如用1代表抛硬币出现正面结果，0代表抛硬币出现反面结果，因为数字更方便计算，总不能说抛硬币出现的平均结果是不正不反吧，这样也不好用数学表示）Yn/n表示的是随机事件的算数平均（统计了一群人的身高数据），EYn/n表示的是多个随机变量期望的平均（客观存在的影响人的身高的各个因素的期望，这个值一般是不知道的，可以通过统计数据来估计）。查了一下百度百科觉得有一句话可以表达这个定律：当大量重复某一相同实验的时候，最后的实验结果可能会稳定在某一数值（其实就是期望）附近。用在身高的例子就是，统计了10万人的身高，会发现大多数人的身高集中在一个数值附近（这里是正态分布的miu附近，这个miu应该是多个因素的期望的平均 ）

随机变量是样本空间中的变量。如离散型，X=1,2,3,4,5等等

好像问题就集中于随机变量序列怎么理解？随机变量序列依概率收敛于a。感觉说不通

！中心极限定理是说一定条件下，当变量的个数趋向于无穷大时，它们的和趋向于正态分布。而大数定律是当重复独立试验次数趋于无穷大时，平均值（包括频率）具有稳定性。两者是完全不同的，具体例题任何一本教材上都有。经济数学团队帮你解答，请。！

前半部分，答：因为这是最简单的一种情况。数学是由难到易；先学习较简单的情况，再整复杂的。后半部分，答：这N此实验是独立的

伯努利大数定律 设 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，且 在每次试验中出现的概率 ，则对于任意正数 ，有 。 (5.2.2) 证 令 ， ， 则 是 个相互独立的随机变量，且 ， 。 而 ， 于是 。 由契比雪夫不等式有 。 又由独立性可知 ， 从而有 。 这就证明了（5.2.2）式，定理得证。 频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象，而上述伯努利大数定律则从理论上给了这种现象以更加确切的含义。所谓“大数”就是指观测值 数量较大，因而伯努利大数定律揭示了大量重复试验下所呈现的客观规律。

四大收敛： 1.依 收敛（Convergence in ）     令 ，又令随机变量序列 满足 ，并令随机变量 满足     若     则称 依 收敛于 ，记为 2.依分布收敛（Convergence in Distribution）     令随机变量序列 对应的分布函数序列为 ，随机变量 对应的分布函数为     若对于每个连续点 ，有     则称 依分布收敛于 ，记为 3.依概率收敛（Convergence in Probability）     令随机变量序列 和随机变量     若 ，有     则称 依概率收敛于 ，记为 4.几乎处处收敛（Almost Sure Convergence）     令随机变量序列 和随机变量     若 ，有     则称 几乎处处收敛于 ，记为 三个大数定律（仅列出简化版本）： 1.弱大数定律（Weak Law of Large Numbers，WLLN）     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足 和     定义 ，则对 ，有     即 依概率收敛于 2.强大数定律（Strong Law of Large Numbers，SLLN）     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足 和     定义     则 几乎处处收敛于 3.中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足 和     定义 ，有标准化样本     则 依分布收敛于正态分布 引理1.相互推导关系 1.1 1.2 1.3 引理2.两个不等式 2.1马尔可夫不等式     设 为一随机变量， 为一非负函数，则对 ，有      2.2波恩斯坦不等式     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足零均值且有界支撑      ，有 ；令 ，有     则对 ，有 引理3.连续性质 3.1若 为连续函数，则 3.2若 为连续函数，则 3.3若 为连续函数，则 引理4.等价性质 4.1渐进等价性（Asymptotic Equivalence）      4.2Slutsky     假设 且 为常数，则     1）     2） 集合、概率、随机变量（三元集）： 事件：全空间 的子集 事件集：由 的子集构成的 代数 随机变量：Borel可测映射 随机变量取值的概率：         对应几乎处处连续的分布函数CDF： 事件就是集合，随机变量的取值对应着某个事件，随机变量取值的概率对应着集合的测度 不可能事件、零概率事件、或然事件、全概率事件、必然事件     集合的上下极限：          事件 至少发生一个          上限事件，发生次数为无限次的事件          事件 同时发生          下限事件，不发生次数为有限次的事件德·摩根律：          即          即 博雷尔·康特立引理：     （1）若 满足 ，则 且     （2）若 相互独立，则 等价于 且 噶依克·瑞尼不等式：      为独立随机变量序列， ， 为正的非增常数序列      ，有 柯尔莫哥洛夫不等式：      为独立随机变量序列，      ，有 Declare： 凡是四大收敛的定义法证明，几乎都可以归结为集合的交并补运算 数学期望与高阶矩的本质：积分矩母函数的定义：     设 为随机变量， ，有 存在，则 矩母函数与高阶矩的关系：      特征函数的定义：     设 为随机变量， ，有 必存在，则 特征函数与高阶矩的关系：      特征函数与分布函数的关系：一一对应 1.逆转公式     分布函数 的特征函数为 ，又 是 的连续点，则有      2.唯一性定理     分布函数 由特征函数 唯一确定，即令 ，得      3.海莱第一定理     任意一个一致有界的非降函数列 中必有一子序列 ，其弱收敛于某一有界的非降函数 4.海莱第二定理及其推广      ，且 是 上弱收敛于 的一致有界非降函数序列，且 和 为 的连续点，则     可推广至 5.正极限定理     若分布函数列 弱收敛于 ，则特征函数列 逐点收敛于 ，且在 的任一有限区间内一致收敛 6.逆极限定理     若特征函数列 收敛于 ，且 在 处连续     则相应 弱收敛于 ，且 为 的特征函数四大收敛与特征函数的关系 1. 收敛与特征函数     考虑到 2.依分布收敛与特征函数      逐点收敛于 ，且在 的任一有限区间内一致收敛 3.依概率收敛&几乎处处收敛与特征函数      逐点收敛于 ，且在 内一致收敛     积分运算使得函数的部分信息丧失，进而无法由特征函数直接区分这两种收敛渐进等价性引理的证明（By 特征函数）     引理.两个函数列之和在 内一致收敛，其中一个函数列在 的任一有限区间内一致收敛，则另一个函数列在 的任一有限区间内一致收敛 Slutsky定理的证明（By 集合）     将依概率收敛 中的集合 不等式打开      渐进等价性引理与Slutsky定理的关系：     一个依概率收敛，两个依分布收敛->本质相同，表述不同 博赫纳尔-辛钦定理：      是特征函数 非负定、连续且         随机变量唯一确定集合映射关系，唯一确定分布函数，唯一确定特征函数         随机变量是三元集，分布函数性质较差，而特征函数性质堪称完美         故应当以集合&特征函数的视角研究随机变量与概率论        进入玄学范围，概率的问题，随机变量的问题，在其三元集上讨论，这一做法极其愚蠢         将概率论与卡巴拉生命之树相联系，那么：         <集合>对应于<王座>         <特征函数>对应于<王冠>        若是无视了<集合>这一王座，未曾见<特征函数>这一王冠         只见粗干，甚至于一叶障目         那么概率论到最后也不过是白学了，毫无卵用        书中写遍概率符号         然而在我眼中只有<集合><特征函数>罢了 最后附上CLT&WLLN&SLLN的证明梗概，需要详细证明可以查阅相关书籍或者私戳我：        CLT的证明有三种套路： 1.特征函数&海莱定理 2.林德伯格-莱维条件 3.特殊情况下的代数变换        WLLN的证明有两种套路： 1.特征函数的泰勒展开 2.马尔可夫不等式&波恩斯坦不等式&一般化        SLLN的证明有两种套路： 1.特征函数的泰勒展开 2.博雷尔康特立引理&噶依克·瑞尼不等式

第3章  频率法3.2 大数定律:“否极泰来”有科学依据吗？ ➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖ ️3.2大数定律:“否极泰来”有科学依据吗？️大数定律证明了整体的确定性。 ️️️ ✨“依概率收敛”。️ 弱大数定律的本质是,试验的次数越多,频率接近真实概率的可能性越大。 ️数学家先用弱大数定律找到了整体,又用强大数定律确定了整体一定是稳定的。至此,大数定律完整确立。 ➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖ ️现实中的频率都是局部频率。️大数定律起作用有个限制条件➡️只有在数据无限的情况下,随机事件发生的频率才等于它的概率。✨现实中所有的事情都是有限的。➡️我们记录的所有频率,都只是一个随机事件局部的频率。（所以大数定律也只对某个范围内有用，当数据有限时，随机事件发生的频率就不会等于它的概率。）️当数据量有限时,局部频率和整体概率之间是有误差的。随着数据量的增加,局部频率才会越来越接近整体概率。（大数定律就是依靠大量的数据去推测更为精准的概率，就像如今的抖音大数据一样，随着用户在刷抖音时的点赞评论加关注，分析出用户的喜好，不断给用户推荐出用户喜欢的内容，用户被摸得透透的。） ➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖ ️整体不需要对局部进行补偿。️“补偿思维”看起来很合理,但其实是错的。 ️整体不需要通过补偿来对局部产生作用。️大数定律并不是通过补偿作用来实现的,而是利用大量的正常数据,削弱那部分异常数据的影响。（比如一勺糖倒进大海里，并不会影响到大海，反而是那勺糖成了应该被忽略不计的异常数据。） ➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖ ️整体通过均值回归对局部起作用️均值回归 ️️ ✨如果一个数据和它的正常状态相比有很大的偏差,那么它向正常状态回归的概率就会变大。 ✨现实中,均值回归的例子有很多。比如,高个子父母生出的孩子往往不如父母高，股票久涨必跌,连续涨停的股票,往往接下来就要下跌。 ️均值回归更准确的叫法是“趋均值回归”,即趋向均值的方向回归。➡️产生作用的对象,是那些特殊的、并常的、极端的数据。（但这种作用不能持续下去，所以是短暂性的。）️大数定律不需要补偿,而是通过均值回归,通过产生大量的正常数据,削弱之前异常数据的影响。（极坏的运气之后，不一定会有好运气，更大概率是回到最初的不好不坏的正常状态。）

定义、适用范围。1、大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。概率论中用来阐述大量随机现象平均结果的稳定性的理论称为大数定律。二者的定义有很大的区别。2、大数定理适用于概率问题，大数定律适用于函数问题，适用范围有很大的区别。

大数定律（LAW OF LARGE NUMBERS)指样本均值几乎必然收敛到总体均值。这个定律可以叫统计学基本定理。初中物理第零章告诉我们测量要反复多次，然后取平均数。这背后的原理就是大数定律。所以所有人对它都是熟悉的。对于问题，这要么是在挑战大数定律的数学证明，要么是在怀疑其前提条件的宽松度。对数学证明的怀疑可以非常深，比如一直钻到哥德尔的公理系统不完备性。对前提条件宽松度的怀疑则比较主观。合理的做法是去符合从而利用，而非去剥削从而滥用。

一个和楼主问题相关的问题是，数学定理是必然的吗？如果你相信逻辑法则，那么数学定理是必然的（必然为真的），至少在数学上是的。如果一个三角形两条边相等，那么这两条边所对的角也一定相等；如果一个圆半径为r，那么它的面积一定是。然而微妙之处在于，数学的世界是一个高度抽象，高度理想化的晶莹剔透的世界，它和我们客观存在的物理世界不是一回事。在我们真实的物理世界里，不存在数学上完美的直线，完美的三角形，或者完美的圆。我们所能观察到的一切几何对象，从数学的角度上讲，都是粗造的：我们的世界里只可能存在是近似的直线，近似的三角形，以及近似的圆。因此，严格的说，一切数学定理的前提条件在真实的世界里都不可能完美的满足，因而数学定理断言的结论在真实的世界里也不可能完美的成立。假设我用圆规在纸上画了一个半径10cm的圆，现问该圆的面积是多少。如果这是一道中学数学题，那么我们可以这样回答：应用定理2，我们可以算出该圆的面积为。然而真实的情况是，我画的这个圆不会是个完美的圆，我用的纸张也不可能绝对的平整，因此如果用精密的仪器测量它的面积（假设“面积”这个概念仍然有意义），我们会发现测量的结果不精确等于。这个例子想说明的道理无非是，尽管数学定理在数学上是必然为真的，然而由于在真实世界中不存在完美的符合数学定理要求的前提条件，因此我们也不可能完美的得到数学定理预言的结论。一切数学理论在真实的世界里的应用都只能是近似的。重要的是，近似仍然是有用的；因此数学理论是有意义的。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。

你好！中心极限定理是说一定条件下，当变量的个数趋向于无穷大时，它们的和趋向于正态分布。而大数定律是当重复独立试验次数趋于无穷大时，平均值（包括频率）具有稳定性。两者是完全不同的，具体例题任何一本教材上都有。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

统计的基本定律，数量很大的话，概率趋于稳定，对生产实践有指导意义啊

大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律： 切比雪夫大数定理 设 是一列相互独立的随机变量(或者两两不相关) ，他们分别存在期望 和方差 。若存在常数C使得：则对任意小的正数 ε，满足公式一：将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。特别需要注意的是，切比雪夫大数定理并未要求 同分布，相较于后面介绍的伯努利大数定律和辛钦大数定律更具一般性。 伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 辛钦大数定律 辛钦大数定律：常用的大数定律设为独立同分布的随机变量序列，若 的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有公式三：大数定律的四种证法对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的： 是独立同分布随机变量序列，均值为 ，则 收敛到u.如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。）最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。下面均假设 是独立同分布随机变量序列，数学期望为u。独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。 (1) 带方差的弱大数定律：若 小于无穷，则 依概率收敛到0。证明方法：Chebyshev不等式即可得到。这个证明是Chebyshev给出的。(2) 带均值的弱大数定律：若u存在，则 依概率收敛到0。证明方法：用Taylor展开特征函数，证明其收敛到常数，得到依分布收敛，然后再用依分布收敛到常数等价于依概率收敛。 (3). 精确弱大数定律：若xP(|X|>x) 当x趋于无穷时收敛到0，则 依概率收敛到0，其中。（在这个定理里，不需要u存在。）证明方法：需要用到截断随机变量. 然后要用的三角阵列的依概率收敛定理和Fubini定理分析积分变换。(4). 带4阶矩的强大数定律：若小于无穷，则 几乎必然收敛到0.证明方法：与(1)类似，先用Chebyshev不等式。然后因为4阶矩的存在，得到对任意常数t的收敛速度足够快，满足Borel-Cantelli的要求，用Borel-Cantelli引理得到大数定律。(5). 带方差的强大数定律：若小于无穷，则 几乎必然收敛到0.证明方法：用Kolgoromov三级数定理和Kronecker定理。(6). 精确强大数定律：若u存在，则 几乎必然收敛到0.证明方法：这个大数定律的证明确实有几种不同的方法。最早的证明是由数学大师Kolmogorov给出的。Durrett (2010)的书上用的是Etemadi (1981)的方法，需要截断X，用到现代概率论的知识如Borel-Cantelli引理、Kolmogorov三级数定理、Fubini定理等。（感谢读者指出，Durrett的书在倒向鞅一章中给出了大数定律的倒向鞅方法证明，只需要用到倒向鞅的知识和Hewitt-Savage 0-1律，不过这也是现代概率论的知识。）此外，还有很多不同的大数定律，不同分布的，不独立的序列等。定律也不一定是关于随机变量的，也可以是关于随机函数的，甚至随机集合的等等。以数学家命名的也有Khinchin大数定律(不独立序列的强大数定律)、Chebyshev大数定律(弱大数定律(1))、Poisson大数定律(不同概率的随机事件序列的大数定律)、Bernoulli大数定律(随机事件的大数定律)、Kolmogorov大数定律(强大数定律(6))等等……以上(1-6)是常见的独立同分布序列的大数定律。其中，(3)和(6)是最严格也是最精妙的结果，证明所涉及的高等概率论知识也最多。它们成立的条件不仅是充分条件，也是必要条件，因此它们算是完结了大数定律的发展。大数定律的发展符合数学的一般规律：想证明某一结论，条件越弱（弱大数定律：2阶矩条件->1阶矩条件->没矩条件；强大数定律：4阶矩条件→2阶矩条件→1阶矩条件），证明也就变得越难。虽然只有(3)和(6)是最精确的结果，但是必须认识到，数学的发展是一个循序渐进的过程，如果没有前面那些更强条件下的定理，也无法得到最后的大数定律。从最开始的自然界观察到大数定律的存在，到最后证明最终形式，历时数百年，现代概率论也在这个过程中建立起来。此外，虽然(3)和(6)比前面的(1)和(5)强很多，但是(1)和(5)的条件仅仅是2阶矩（或方差）的存在，因此他们在几百年间早就被广泛使用，对于一般的社会科学问题、统计问题等已经足足够用了。总之，大数定律包含概率论里核心的知识。“大数定律的四种证法”尽管表述模糊，原意也充满调侃，但并不是真如《孔乙己》里回字四种写法所暗示的那样迂腐或毫无价值。作为概率或统计专业的研究生，弄懂这些定理表述的区别和证明方法的区别和联系，了解前代数学家的工作，对于深刻理解现代概率论是很有好处的。当然，任何人也不应去死记硬背这些证法，只要能理解、弄清其中微妙即可。

有。历年314数学农有考过大数定律和中心极限定理。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。

大数定律在生活中的应用，比如人口比例的体现。大数法则（Lawoflargenumbers）又称“大数定律”或“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。大数法则反映了这世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难于预测的。但由于大数法则的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。比如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情况，发现有的生男，有的生女，没有一定的规律性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。生活中最常见的，依靠大数定律来赚钱的其实是保险行业。比如你在网上购买某个电子产品的时候，网站经常会向我们推销延长保修的服务。比如：一台2000元的洗衣机，多花100块钱可以延保一年，如果你掌握了大数定律就很容易想到。厂家对这台洗衣机维修服务的预期成本肯定少于100元，否则厂家就要赔钱了。大家都知道，保险公司利润很高，假设一种人身意外险的赔偿额度是100万，发生意外的概率是百万分之一，那么预期损失就是1元钱。如果你花10元钱来买，保险公司就能赚到10倍的利润，基本和开赌场没什么区别。

判断满不满足大数定律：设{Xn}为相互独立的随机变量序列，证明{Xn}服从大数定律。计算出X(n)的分布函数,从而分布密度.（有现成公式）。设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。伯努利大数定律设μn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次实验中A出现的概率。则对任意的ε>0，有（2）成立。马尔可夫大数定律对随机变量序列，若（3）成立，则服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。定义大数定律，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。

同意楼上的

在N重伯怒力实验中(只有2个相互独立的事件发生,且发生的概率是不变的),在实验次数足够大的条件下,其中一事件发生的频率n/N可无限接近其发生的概率.以此可用频率近似估计概略率.

大数定律有很多种,一般是iid(独立同分布)的话,是辛钦大数律,然后就是马尔科夫大数律比较强一点,前面的几个大数律是他的特例,具体的话随便翻本概率论的书都有, 至于用于什么场合的话,这个不好说,最常见的肯定是统计里证明强相合弱相合的地方

查理芒格说：“一个人只要掌握80到90个思维模型，就能够解决90%的问题。”这是老锦关于思维模型的第8篇文章（No. 3 概率模型）。 在上一篇文章《概率模型（二）福利彩票的那些坑，你也中招了吗？》末尾，我给大家留一个思考题。 小明和小东研究了最近100期的双色球蓝球的走势图，发现号码5出现的了20次，号码1只出现了2次。 小明说：从过去100期的5号球的表现，他判断接下来5号球出现的概率应该比别的号码更大。 小东说：从理论上讲，每个数字出现的概率都是1/16。号码1在过去100期出现的频次更少，因此，接下来号码1出现的概率将更高。 小明和小东说得都挺有道理的，你觉得到底谁说得对呢？你get到了吗？ 正确的答案是：小明和小东都错了。 根据上一篇文章所学的知识，我们知道小明和小东，都犯了同一个错误：把独立随机事件错误地理解成关联事件。 16选1的双色球蓝色球的号码，每一次摇奖都是独立的随机事件。 每一次摇奖结果每个数字出现的概率总是1/16，不因为前面几期（无论是5期还是1万期）的开奖结果而改变。 然而，你可能不知道，这里小东还犯了另一个赌徒缪误：误用大数定律。 什么是误用大数定律？ 别急，这就是我们今天要学习的新知识： 大数定律及大数定律误用。1.大数定律是什么？ 大数定律：当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。以抛硬币为例。 一枚理想对称的硬币，抛掷的结果，正面朝上，记为1；反面朝上，记为0。我们知道，每一次抛掷，1和0出现的概率均为1/2。 当我们进行n次抛掷实验后，得到1的次数为n（1），比值P（1）=n（1）/n，叫作1出现的频率。 1出现的频率并不一定等于概率（1/2）。但是，当n逐渐增大时，频率就会逐渐趋近于1/2。 也就是说， 随着实验次数增大，频率趋近于概率，这就是大数定律。2.大数定律误用 那么，大数定律误用是什么呢？我们就以思考题中的小东为案例进行分析吧！ 案例： 小明和小东研究了最近100期的双色球蓝球的走势图，发现号码5出现的了20次，号码1只出现了2次。 小东说：从理论上讲，每个数字出现的概率都是1/16。号码1在过去100期出现的频次更少，因此，接下来号码1出现的概率将更高。根据大数定律，随着实验次数增大，号码1出现的频率会最终趋近于它的预期概率1/16。 小东说的不就是这么回事吗？ 错！ 小东这里犯的错误是： a.把短期频率当成长期概率； 频率V.S.概率频率不一定等于概率。 频率取决于多次实验后的结果；而概率是一个极限值。 案例中，小东错把最近100-200期号码的短期频率当成了长期的概率。b.把无限的情况当成有限的情况来分析。 大样本区间V.S.小样本区间 大数定律能够适用的是大样本区间。 问题在于，多少次实验才算“足够多”。答案是：实验的次数是理论上的无穷大，实际中难以定论。 对于双色球蓝色球而言，100期乃至10000期的走势图都只是小样本区间。 小样本区间的频率分布不能等同于大样本区间的概率分布。事实上，任何一段有限次的试验得到的频率对于足够多次试验的频率几乎没有什么影响。大数定律说的是总频率趋近于概率值，如上图所示，小样本区间实验的结果并不影响最后趋近的概率。3.总结 a.大数定律：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率。 b.频率不一定等于概率。 当实验次数足够多时，事件发生的频率终究会趋向于它的概率。 c.大数定律能够适用的是大样本区间。 实验的次数是理论上的无穷大，实际中难以定论。 d. 看一百期的彩票走势图，其实是对小样本区间历史数据的归纳，不适用大数定律，不足以对未来作出正确的判断。4.思考题 你知道墨菲定律吗？ 墨菲定律：凡事有可能会出错，就一定会出错。 换言之，如果暂时没有出错，也只是时间的问题。 这个跟大数定律有没有关系呢？ 快来用今天学到的知识来分析一下吧！

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。后来泊松、切比雪夫、马尔科夫、格涅坚科等众多的数学家都有重大成就，弱大数定律的研究已经趋于完善，最好的结果是属于格涅坚科，他找到了弱大数定律成立的充要条件，而且没有任何独立性或同分布的要求。在二十世纪初，博雷尔引入测度论的方法之后，将伯努利大数定理推广到强大数定律开创了强大数定律的研究，之后工作最有成就的属于柯尔莫哥洛夫，他不但完成了概率的公理化，还找到了独立同分布下的强大数定律的充要条件。如今，对强大数定律的研究仍然是难题，数学家们在向着不独立随机变量序列服从强大数定律的条件努力。

马尔可夫大数定律DX=E(X^2)一(EX)^2。1、大数定律是在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。2、概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。安德烈·马尔可夫简介：安德烈·马尔可夫，俄罗斯人，物理-数学博士，圣彼得堡科学院院士，彼得堡数学学派的代表人物，以数论和概率论方面的工作著称，他的主要著作有《概率演算》等。1878年，荣获金质奖章，1905年被授予功勋教授称号。他的儿子A.A.马尔可夫后来也成为著名的俄罗斯数学家。马尔可夫是彼得堡数学学派的代表人物。以数论和概率论方面的工作著称。他的主要著作有《概率演算》等。在数论方面，他研究了连分数和二次不定式理论，解决了许多难题。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。

偶然的，小概率事件如果放在大量的总体环境中，就会变成必然事件比如说，你今天突然心中想去买鸡蛋，这个时候你朋友打电话过来问你要不要一起去买鸡蛋。这就是生活中的“碰巧”“真巧”，其实放在你生活这个大样本中，你一生中总会碰到几次这种“偶然”的，这就是通俗的大数定律。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利,后人称之为“大数定律”.概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律.概率论与数理统计学的基本定律之一.又称弱大数理论. 大数定律(law of large numbers),是一类描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律. 　　有些随机事件无规律可循,但不少却是有规律的,这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下,往往呈现几乎必然的统计特性,这个规律就是大数定律. 　　通俗地说,这个定理就是,在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率.比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一.这种情况下,偶然中包含着必然.必然的规律与特性在大量的样本中得以体现. 　　简单地说,大数定理就是“当试验次数足够多时,事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”

大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。

　　大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。

大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。来源最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现。因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。

切比雪夫大数定律说的是一列独立变量（可以不同分布）的均值收敛到一个常数，但前提是每个变量的期望和方差均存在且有限，并且满足方差的平均值是样本数n的高阶无穷小这一额外条件。切必雪夫大数定理成立的条件：期望存在，方差存在且有界。取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间(Ω,F,p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，X(ω)为实数，且对任意实数x，使X(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:X(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。事件{ω:X(ω)≤x}常简记作{x≤x}，并称函数F(x)=p(x≤x)，-∞<x<∞ ，为x的分布函数。设X,Y是概率空间(Ω,F,p)上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外，X(ω)与Y(ω)相同，则称X=Y以概率1成立，也记作p(X=Y)=1或X=Y,α.s.（α.s.意即几乎必然）。

大数定律(lawoflargenumbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。几乎处处收敛与依概率收敛不同。生活例子：开始上课了，慢慢地大家都安静下来，这是几乎处处收敛。绝大多数同学都安静下来，但每一个人都在不同的时间不安静，这是依概率收敛。

我总是鼓励或者说是鼓动周围的女士们使劲折腾，折腾发型、折腾身材、折腾美衣、折腾职场、折腾家庭，总是把“生命不息折腾不止”挂在嘴边，因为我笃定的认为越折腾越有可能遇见更好的自己。 其实这个道理生活中的很多人都在践行，可很多人的折腾到最后却没有实现预想的好结果，例如常年折腾减肥，可是却越减越肥；例如常年买买买，可还是没有几件能提升自己能量的衣服；例如为了发财致富，常年买彩票…… 这些没有实现预想好结果的人，一方面是“大数定律”在发挥作用，另一方面因为误读了“大数定律”。 一、什么是“大数定律” 在数学与统计学中，大数定律又称大数法则、大数律，是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其平均就越趋近期望值。 大数定律很重要，因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。 人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。 比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，亦即偶然之中包含着必然。 （以上来自维基百科。） 二、一个数学家对大数定律的研究 1939年，南非数学家克里奇冒失地跑到欧洲，结果被关进集中营。他给自己找到了一个有趣的乐子：他将一枚硬币抛了 1万次，记录了正面朝上的数量，统计结果如下图所示。（话说这个数学家得多能自娱自乐）从图中可知：随着硬币的数量越来越多，正面朝上的概率明显地向 50%靠近。 但是在抛硬币比较少的时候，波动性是很大的。 根据计算机模拟的结果是： 抛10枚硬币，正面朝上的比例范围为30% ~ 90%； 抛100枚，比例范围缩小，变为40% ~ 60%； 抛1000枚，比例范围仅为46. 2% ~ 53. 7%。 三、大数定律是如何发挥作用的 《魔鬼数学》对大数定律的解释：硬币没有记忆，因此，再次抛出硬币时，正面朝上的概率仍然是 50%。 总的比例会趋近于 50%，但这并不意味着在出现若干次正面朝上的结果后，幸运女神就会青睐反面。 实际的情况是，随着抛硬币的次数越来越多，前 10次结果的影响力就会越来越小。如果我们再抛1000次，那么这1010次正面朝上的比例仍然接近 50%。 大数定律不会对已经发生的情况进行平衡，而是利用新的数据来削弱它的影响力，直至前面的结果从比例上看影响力非常小，可以忽略不计。 这就是大数定律发生作用的原理。 简而言之，大数定律发挥作用，是靠大数对小数的稀释作用。 四、生命不息折腾不止的方法论 从大数定律我们可以类推出：短期看，生命充满了偶然；长期看，生命呈现出必然。 我们可以把人生的折腾分为三种： 一、拼命地扔硬币； 二、在早期不均匀的随机分布曲线中，徒劳地探寻秘诀； 三、改变硬币的概率分布。 前二者，都属于“为了逃避思考愿意做任何事情”的表现，一个是体力，一个是脑力。 坚持未必是美德，坚持可以挖出土里的宝藏，但不会改变土里的宝藏。 而第三项，极少有人去思考，去实践。 为了让自己的人生实现逆袭，我们需要做的努力是： 1、不能一味的瞎折腾。 瞎折腾看似是很努力的去改变现状，然而是莽撞的去折腾，结果自然是劳民伤财。 例如有的菇凉为了让自己变美，就开始随意的买买买，可是衣柜里堆满衣服，却还是在每天出门时找不到适合的衣服穿。 我经常说，巨量的0的累加还是0，这种瞎折腾的结果也遵循着大数法则，即最后的结果是趋近于没结果，即0. 所以我总是奉劝那些想要改变的菇凉们，前期先要学会的一件事就是控制自己的购买欲望，因为没有方法论的买买买就是在浪费自己的时间和金钱。 2、不要自己被脑海中的执念困住 我们有很多自己总结出来的执念，例如我不适合穿裙子，例如女人见了短发就没了女人味，例如我不会穿高跟鞋，例如脸大不能剪短发，等等。 这些执念大多来自于生活中一次或者几次的经历，我们就开始总结规律，这就如抛了5次硬币，结果4次都是正面，然后就觉得自己的手特别神奇一样。 自己在有限经历的基础上总结出来的方法非常不靠谱，所以就导致了很多菇凉无法实现突破。 每当学员咨询我如何实现形象逆袭时，我总是回答说：先跟着学。学什么？就是学真正有效的方法论。 3、增加自己实现逆袭的概率 抛硬币的“大数定律”是足够多的次数后，正反出现的概率一定会接近于50%。 每件事情的发生都遵循着概率，而且在“大数定律”下，都会趋向于一个恒定的概率。 我们首先得了解每件事情的大致概率，不再小概率事件上浪费太多的精力，而应当关注大概率会成的事情。 例如靠自己随意买买买能让自己实现形象逆袭的概率是多少？靠跟着一个拥有方法论的老师实现形象逆袭的概率是多少？我们不用调查就能知道后者成功的概率一定更高。 就如自学能考上大学的概率更高？还是去学校读书考上大学的概率更高？ 我们要想办法改变做成一件事情的概率，这就需要我们调整做事的方法和认知的层级。 我做社群和线上课程，目的就是为了让更多的女性能够拥有更多正确的方法去实现形象逆袭乃至人生的逆袭，也即让这些女性可以提升实现形象逆袭的概率。

大数定律是什么?大数定律通俗理解统计研究现象总体的数量特征，大数定律所用的基本方法都与总体的数最性有关，大数定律其数学依据是大数定律。 大数定律又称大数法则，大数定律它是说明大盆随机现象的平均结果具有稳定性质的法则，即说明如果被研究的总体数量特征是由大最相互独立的随机变最形成的，且每个变量对总体的影响都相对小.那么对大tmi机变A加以综合平均的结果，大数定律变最的个别影响相互抵消，而显现出它们共同作用的倾向，大数定律使总体数常特征具有稳定的性质.大数定律正是从数量方面表现了偶然与必然的辩证关系。因而我们可以通过大盆随机现象的综合概括.大数定律消除偶然性的误差，发现必然性的趋势，认识规律的表现形式。

是。大数定律是近代博彩业、保险业，乃至银行业赖以建立的数理基石。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

大数定律是区间估计的理论依据，这个说法是错误的。拓展资料：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。）

对于数列的收敛一定有|fn(A)-P|<ε但是对于事件再大的样本,都有可能使|fn(A)-P|>ε,只是说当样本容量趋近无穷大的时候|fn(A)-P|的概率为1,不排除特殊的情况

有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。简言之，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。 比如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情况，发现有的生男，有的生女，没有一定的规律性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。

设{Xn}为相互独立的随机变量序列，证明{Xn}服从大数定律。计算出X(n)的分布函数,从而分布密度.（有现成公式）计算P（|X(N)-a|>e)=P(a-ea如果U（0，a）的分布函数是F(x)，则Xn的分布函数就是[F(x)]^n。例如：大数定理， 要求i.i.d. ( independently, identically distributed)，也即期望相同E(X1) = E(X2) = ...方差相同Var(X1) = Var (X2) = ...题中情况是： E 相同，但是Var 不同，Var(X1) = 0, Var(X2) = ln2。扩展资料：在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律，即大数法则。此法则的意义是：风险单位数量愈多，实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果。据此，保险人就可以比较精确的预测危险，合理的厘定保险费率，使在保险期限内收取的保险费和损失赔偿及其它费用开支相平衡。大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。参考资料来源：百度百科-大数定律

伯努利大数定理，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A).⒈当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性。⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理，当n趋向于无穷大的时候，频率fn(A)在一定意义下接近于概率P（A）.

大数定律（laws of large number)编辑本段【基本概念】 概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论。编辑本段【主要含义】 在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然必然中包含着必然。编辑本段【发展历史】 1733年，德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。 贝努里是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。编辑本段【举例说明】 例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。 设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。 伯努利大数定律设μn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次实验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有（2）成立。 马尔可夫大数定律对随机变量序列，若（3）成立，则服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。 辛钦大数定律设为独立同分布的随机变量序列，若Xi的数学期望存在，则服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）成立。

边写，边明白点东西，其中的x1、x2......xn是同一样本点中，x随机变量的分量，即每一次我随机取x中的每一个值，而x1对应一个数值，而这个数值是随机的，取的越多，这些数值的平均值越接近于e(x)不知道是不是这样理解？

由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。常用的大数定律 有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律（见左上方图片）。 伯努利大数定律 设 为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次实验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有（2）成立。 切比雪夫大数定律 设{ }为一列两两不相关的随机变量序列，若每个 的方差存在，且有共同的上界，即Var( )小于或等于c,则{ }服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。 马尔可夫大数定律 对随机变量序列{ }，若（3）成立，则{ }服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。 辛钦大数定律 设{}为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则{}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）成立。 泊松大数定律 如果在一个独立试验序列中，事件A在第k次试验中出现的概率等于，以记在前n次试验中事件A出现的次数，则对任意，都有.

马尔可夫大数律是一种弱大数律，是切比雪夫大数律的一般形式。马尔可夫大数律不仅能用于独立的随机变量序列，而且对于相依的随机变量序列在一定条件下也能适用，而切比雪夫大数律可以看作马尔可夫大数律的特例。大数定律概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。中心极限定理中心极限定理，是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

随机变量的期望存在，则方差不一定存在。 比如一个随机变量X 取1的概率为 1/2 取2的概率为 1/4 。 取n的概率为1/2^n 。 比如一个随机变量X 取1的概率为 1/2 取2的概率为 1/4 。 取n的概率为1/2^n 。

1、大数定律是在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。 2、概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。(百度百科）这是在大学学概率论的时候会学到的一个定律望采纳

大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。来源最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现。因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。

大数定律公式为g=log*vn。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。大数定律概述大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。与“大数定律”对应的，就是“小数定律”， 小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。伯努利大数定律公式：伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。基本内容设有一 随机变量 序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从 大数定律。（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重 伯努利实验中事件A发生的 次数，p为A在每次实验中发生的 概率，则对任意给定的实数ε>0，有 成立。即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。

他说经理都还有很多，可以把那个专业的静虑，然后提升过来，然后人们可以利用它做很多的事情

大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。来源最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现。因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。

什么是大数定律？举个例子，我们都抛过硬币，都知道抛出正面和抛出反面的概率相同，都是50%，假设我们抛10次硬币，我们的期望值是5正5反，但是如果你真的去实验一下，每组都抛10次，然后记录正面朝上的次数，你会发现正好出现5个正面的情况并不像我们预期一样稳定，正面朝上的次数 波动很大 ，有时候是7次，有时候6次，有时候是4次。 但是如果你吃饱没事干，每组抛1万次，你会发现正面朝上的次数会稳定在5000次上下，误差不超过 2% 如果你每组抛10万次，你会发现正面朝上的次数会稳定在5万次上下，误差不超过 6‰ 大数定律的意思是你每组抛的次数越多，正面朝上的次数越接近50%，就向下图一样： 在 随机事件 的大量重复出现中，往往呈现几乎 必然 的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次， 随机事件的频率近似于它的概率 。偶然中包含着某种必然。 在抛硬币的场景中，有一种场景下的概率经常让人算错，假设你连续抛了5次硬币，都是朝上，那么第6次抛硬币还朝上的概率是多少？ 正确答案是50%，因为大自然并不会记住前5次的结果。记得几年前和蛋哥一起在澳门金沙通宵赌博，我们连续押大，但是摇骰子的结果是连续小，在连续出了6个小后，我们觉得下一把是大的概率很大了，然后。。。然后我们所有现金都输光了。。。然后还动用了蛋哥的银行卡。。。然后还引来了高利贷。。。 大数定律和血本无归的教训告诉我们赌的次数越多，输钱的必然性越大。

伯努利大数定律是指在N重伯努利实验中，在实验次数足够大的条件下,其中某一事件发生的频率n/N可无限接近其发生的概率，因此可用频率近似估计来代替概率。在这个定义中必须注意伯努利实验蕴含着只有两个相互独立的事件发生，并且发生的概率是不变的。现实生活中的抛硬币是典型的伯努利实验。概率论主要的目标是研究不确定性：正如我们抛掷一枚硬币，我们在进行实验之前根本不知道究竟是正面朝上还是反面朝上，它是不确定性事件，但是我们可以估计出正面朝上还是反面朝上的概率值，估计概率值的方法就是用大数定律，即在大量重复实验的过程中，用事件发生的频率去近似估计它的概率。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论。大数定律（law　of　large　numbers），是一类描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。　　有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。　　通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。　　简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”

大数定律(lawoflargenumbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。几乎处处收敛与依概率收敛不同。生活例子：开始上课了，慢慢地大家都安静下来，这是几乎处处收敛。绝大多数同学都安静下来，但每一个人都在不同的时间不安静，这是依概率收敛。

大数定律概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。 伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。主要含义大数定律(law of large numbers)，又称大数定理，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是大数定律并不是经验规律，而是严格证明了的定理。有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的，这些“有规律的随机事件” 数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。该描述即伯努利大数定律。举例说明例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。

依据考研数学的安排，在学习大数定律之前引入这样两个先修知识点： （1）切比雪夫不等式： ，对任意的ε>0.             它的意义是：事件大多会集中在它的期望附近 （2）依概率收敛：如果xn是一个随机变量序列、A是一个常数，对任意的ε>0，有              ，则称Xn依概率收敛于常数A        依概率收敛并不同于传统意义上的“实验无数次后频率会无限靠近概率”，它实际上在概率附近划出了一个小的边界ε。实验结果当然可能发生波动，这个边界的作用就是把波动限制在一个很小的范围内。即使超出这个边界，也只是一个 小概率事件 。（小概率事件是指在一次实验中几乎不可能发生的事件，而在重复实验中一定会发生。） 接着看大数定律： （1）切比雪夫大数定律：     这里显然是不严谨的，因为为了方便表述我们省略掉了一些前提条件，好在并不影响对于这个定律本身的理解。     它的数学意义显而易见： 算数平均值依概率收敛于数学期望 。当我们中学做的物理实验中采用多次实验取平均值的方法来减小误差时，实际上理论依据就是切比雪夫大数定律。 （2）伯努利大数定律：     伯努利大数定律的条件是Xn服从B(n,p)，也就是说Xn是n重伯努利实验中事件发生的次数，它的数学意义是 频率依概率收敛于统计概率 。伯努利大数定律实际上是切比雪夫大数定律的一种特殊情况。 （3）辛钦大数定律：     辛钦大数定律在表述上和切比雪夫相差不多，但它的特点在于要求Xi独立同分布，并且要存在期望。 （4）棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理     设随机变量Xn服从B(n,p),则对于任意实数x，有 ，其中φ(x)是标准正态的分布函数。     结论：Xn近似服从于N(np,np(1-p)) （5）列维——林德伯格中心极限定理     条件：Xn独立同分布、期望和方差存在，有       结论： 近似服从于N(nμ，n ) 我们先给出这两个中心极限定理，可能不太好懂，好在他们之间有很深的关系，或者说棣莫弗实际是列维的特殊情况（服从B(n,p)）。有了上述的两个中心极限定理，我们就可以在n很大的情况下把任意一个复杂的分布近似地看作一个正态分布，大大减少了分析的难度。（当然，要符合前提条件）

在数学与统计学中，大数法则（又称大数定律、大数律）是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。大数定律很重要，因为它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。我们知道，大数定律研究的是随机现象统计规律性的一类定理，当我们大量重复某一相同的实验的时候，其最后的实验结果可能会稳定在某一数值附近。就像抛硬币一样，当我们不断地抛，抛个上千次，甚至上万次，我们会发现，正面或者反面向上的次数都会接近一半。强大数定律的含义这一系列问题其实就是大数定律要研究的问题。很早的时候，人们其实就发现了这一规律性现象，也有不少的数学家对这一现象进行了研究，这其中就包括伯努利（后来人们为了纪念他，都认为他是第一个研究这一问题的人，其实在他之前也早有数学家研究过）。伯努利在1713年提出了一个极限定理，当时这个定理还没有名称，后来人们称这个定理为伯努利大数定律。因此概率论历史上第一个有关大数定律的极限定理是属于伯努利的，它是概率论和数理统计学的基本定律，属于弱大数定律的范畴。当大量重复某一实验时，最后的频率无限接近事件概率。而伯努利成功地通过数学语言将现实生活中这种现象表达出来，赋予其确切的数学含义。他让人们对于这一类问题有了新的认识，有了更深刻的理解，为后来的人们研究大数定律问题指明了方向，起到了引领作用。其为大数定律的发展奠定了基础。除了伯努利之外，还有许许多多的数学家为大数定律的发展做出了重要的贡献，有的甚至花了毕生的心血，像德莫佛—拉普拉斯，李雅普诺夫，林德伯格，费勒，切比雪夫，辛钦等等。这些人对于大数定律乃至概率论的进步所起的作用都是不可估量的。

切比雪夫大数定律是：E(Xi)=μ(i=1,2,⋯)。将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。特别需要注意的是，切比雪夫大数定理并未要求同分布，相较于伯努利大数定律和辛钦大数定律更具一般性。切比雪夫主要成就：切比雪夫在概率论、数学分析等领域有重要贡献。在力学方面，他主要从事这些数学问题的应用研究。他在一系列专论中对最佳近似函数进行了解析研究，并把成果用来研究机构理论。他首次解决了直动机构（将旋转运动转化成直线运动的机构）的理论计算方法，并由此创立了机构和机器的理论，提出了有关传动机械的结构公式。他还发明了约40余种机械,制造了有名的步行机（能精确模仿动物走路动作的机器）和计算器，切比雪夫关于机构的两篇著作是发表在1854年的《平行四边形机构的理论》和1869年的 《论平行四边形》。

根据辛钦定理，只要Xi独立同分布，则辛钦大数定律成立。因此，此题可用，再根据辛钦大数定律的内容，Xi均值的期望会依概率收敛到样本均值0.1。也就是随着n增大，1/n E Xi 和0.1的差距会越来越小，那么也就是说|1/n E Xi - 0.1|<e的概率会趋近于1。解释一下，这个e是依谱西龙，是指任意小的数，2楼简直是自在放，根本就不是无理数e 。

辛钦大数定律需要独立同分布。切比雪夫大数定律只需相互独立分布。

1、梦见辛钦大数定律的吉凶指数 虽有长辈的爱护提拔，或父祖之余德荫益，而可成功于中年或壮年，但基础运劣，须防青年或晚年期之急变没落或遭受病苦、破财、失败或因色情事被杀等之不安定，凶运频来之兆。 【吉多于凶】 吉凶指数：92（仅供参考） 2、梦见辛钦大数定律的宜忌 「宜」宜冲动消费，宜分享旅游攻略，宜晚饭少吃。 「忌」忌致谢，忌坦诚相对，忌打扫卫生。 3、梦见辛钦大数定律的预兆 梦见辛钦大数定律 ，不利于你的绯闻，在或明或暗地流传，对于你的名声造成不利的影响，瓶子今天往往得面对有口难辩的难堪！恋情也容易因此变得危机四伏，恋人对你的怀疑往往胜于信任默契。瓶子首先要检讨一下自己才是！ 梦见辛钦大数定律，按周易五行分析，幸运数字是 0 ，桃花位在 西南方向 ，财位在 正西方向 ，吉祥色彩是 红色 ，开运食物是 苹果 。 本命年的人梦见辛钦大数定律，少管闲事，恐被牵累或官司之灾。 怀孕的人梦见辛钦大数定律，生男，春占生女，慎防早产，母体要多保养。 恋爱中的人梦见辛钦大数定律，互相尊重对方，谦虚有礼，婚姻有望。 做生意的人梦见辛钦大数定律，不可扩大经营，宜守，稳定可得财利。 怀孕的人梦见大数，预示生女，冬占生男，慎防流产于始终。 怀孕的人梦见墨菲定律，预示生女，春月占生男，平安。 梦见钦风玲，按周易五行分析，桃花位在 西北方向 ，财位在 正东方向 ，幸运数字是 6 ，吉祥色彩是 黑色 ，开运食物是 蘑菇 。 怀孕的人梦见少辛，预示可望生男，夏占生女。南方少去。 梦见一价定律 ，预期外的支出突然发生的可能。为了交际上的支出也有可能使财务出现危机，为了好面子硬著头皮最不经济了。健康运低迷，如果继续漠视不管，恐怕将影响这个夏季的活力。适度运动与好消化的饮食是你这阵子该注重的。 做生意的人梦见墨菲定律，代表起伏不定、宜守。秋占有利。 出行的人梦见大数，建议离开团遂、延误时间慢回家。 出行的人梦见切比晓夫大数定律，延期外出为佳。 梦见一价定律，按周易五行分析，吉祥色彩是 白色 ，财位在 东南方向 ，桃花位在 正东方向 ，幸运数字是 0 ，开运食物是 石榴 。 梦见辛字，按周易五行分析，财位在 正东方向 ，桃花位在 西北方向 ，幸运数字是 5 ，吉祥色彩是 橙色 ，开运食物是 芹菜 。 本命年的人梦见凯恩斯定律，意味着多施舍，只问耘耘不问收获，则平安无事。 恋爱中的人梦见李荣钦，说明互相尊重对方，谦虚有礼，婚姻有望。 做生意的人梦见徐伟钦，代表有一段阻碍，重新整理再经营一定顺利。 梦见王仁钦，按周易五行分析，吉祥色彩是 黄色 ，幸运数字是 4 ，桃花位在 正北方向 ，财位在 西南方向 ，开运食物是 鸭蛋 。

条件不一样，切比雪夫要求独立，且方差存在，辛钦要求独立同分布，但不要求方差存在。

要好好的算