正定矩阵

CA+B一定正定，AB不一定正定

对称矩阵未必是正定矩阵，比方零元素方阵。

正定矩阵是由于区分二元二次多项式的矩阵而引进的，而二元二次多项式的矩阵都是实对称矩阵，所以正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵

http://baike.baidu.com/view/686970.html?wtp=tt设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 　　X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量,X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵

基本上是这样

因为A为n阶可逆实矩阵，构造非退化的线性变换Y=AX则对任意的X≠0,必有Y≠0,令Y=(y1,y2,...,yn)T则XT(ATA)X=(XTAT)(AX)=(AX)T(AX)=YTY=y1^2+y2^2+...+yn^2>0由正定矩阵的定义即知ATA是正定矩阵。正定矩阵是一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。在线性代数里，正定矩阵(positivedefinitematrix)有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。正定矩阵有以下性质：（1）正定矩阵的行列式恒为正；（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

实对称矩阵的特征值都是实数属于不同特征值的特征向量正交k重特征值有k个线性无关的特征向量

这个问题首先要知道什么是正定阵,以及实对称矩阵的性质. 第一正定阵定义:A正定,就是任意非零列向量x,x"Ax>0[这里注意x"Ax按照矩阵乘法后是一个数,既不是矩阵也不是向量] 第二谱分解定理:实对称矩阵A,存在正交矩阵P,使得 P"AP为对角形,对角线上是A的n个特征值,即P"AP=diag. 我们先来证明充分性 A实对称,则存在正交矩阵P"AP=diag,对角线上是n个特征值. 当对角线上特征值全是正数时:对任意的非零向量x,y=Px(此时x和y一一对应).则y"Ay=x"P"APx=x"diagx 此时x"diagx按照矩阵乘法展开,可见是正数.这就说明了这样一个结论:任意非零向量y,令x=P逆y,则y"Ay>0,满足正定定义. 反之,当A正定时,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)",令y=Px,那么y"Ay=x"P"APx=x"diagx=k1(对角阵的第一个元素,也就是A的第一个特征值).按照正定定义y"Ay>0,所以k1>0. 一下分别取x=(0,1,...0)"直到x=(0,.,0,1),就会有对角阵上(2,2)位(3,3)位直到(n,n)位的元素是正数,因此n个特征值都大于0. 本题的关键是要会运用正定性的定义(非零向量x的任意性,二次型是个数),谱分解定理(P是由A唯一决定的,对角阵对角线上是n个特征值)

A的所有主子式都大于等于0，所以必然可以进行特征值分解。不存在你说的哪种情况。

这东西叫极分解. 需要先证一个引理：任何一个实方阵A,都存在正交方阵P,Q使得PAQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数 有这个引理.题中所给的是可逆矩阵,设这个可逆矩阵叫做B,那么由于P,Q都是正交矩阵,是可逆的,所以PBQ逆的. 由引理,应该存在正交方阵P,Q使得PBQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数.但是PBQ是可逆的,所以PBQ=diag(a1,a2,...an) 得到B=P"diag(a1,...an)Q"（其中的"表示转置） P"是正交矩阵,而diag(a1,...an)Q"是正定矩阵.证毕

3.2.4.1 方法建立就全国范围而言，我国地下水质量总体较好，根据国家《地下水质量标准》（GB/T 14848—93），我国63%的地区地下水可直接饮用，17%经适当处理后可供饮用，12%不宜饮用，剩余8%为天然的咸水和盐水，由此可见，不宜饮用的地下水和天然咸水、盐水占到了20%，对于这些地下水型水源地饮用水指标并不一定受到污染而存在超标现象，其水质可能受到地下水形成演化影响更为明显，因此，考虑选择反映地下水形成、演化的地下水水化学类型常规指标，进行影响因素解析。地下水水质指标在取样与分析过程中，由于取样和样品处理、试剂和水纯度、仪器量度和仪器洁净、采用的分析方法、测定过程以及数据处理等过程均会产生测量误差（系统误差，随机误差，过失误差）。从取样到分析结果计算误差都绝对存在，虽然在各个过程中进行质量控制，但无法完全消除不确定性的影响，为确保分析结果的可靠性，采用PMF法对地下水水质指标考虑一定的不确定性误差，使分析数据能够准确地反映实际情况。PMF（Positive Matrix Factorization）与主成分分析（PCA）、因子分析（FA）都是利用矩阵分解来解决实际问题的分析方法，在这些方法中，原始的大矩阵被近似分解为低秩的V＝WH形式。但PMF与PCA和FA不同，PCA、FA方法中因子W和H中的元素可为正或负，即使输入的初始矩阵元素全是正的，传统的秩削减算法也不能保证原始数据的非负性。在数学上，从计算的观点看，分解结果中存在负值是正确的，但负值元素在实际问题中往往是没有意义的。PMF是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法，在求解过程中对因子载荷和因子得分均做非负约束，避免矩阵分解的结果中出现负值，使得因子载荷和因子得分具有可解释性和明确的物理意义。PMF使用最小二乘方法进行迭代运算，能够同时确定污染源谱和贡献，不需要转换就可以直接与原始数据矩阵作比较，分解矩阵中元素非负，使得分析的结果明确而易于解释，可以利用不确定性对数据质量进行优化，是美国国家环保局（EPA）推荐的源解析工具。3.2.4.2 技术原理PMF：模型是一种基于因子分析的方法，具有不需要测量源指纹谱、分解矩阵中元素非负、可以利用数据标准偏差来进行优化等优点。目前PMF模型此方法成功用于大气气溶胶、土壤和沉积物中持久性有毒物质的源解析，已有成熟的应用模型 PMF1.1，PMF2.0，PMF3.0等。PMF模型基本方程为：Xnm＝GnpFpm+E （3.7）式中：n——取样点数；m——各取样点测试的成分数量；p——污染源个数；Xnm——取样点各成分含量；Gnp——主要源的贡献率；Fpm——源指纹图谱。基本计算过程如下：1）样品数据无量纲化，无量纲化后的样品数据矩阵用D表示。2）协方差矩阵求解，为计算特征值和特征向量，可先求得样品数据的协方差矩阵，用D′为D的转置，算法为：Z＝DD′ （3.8）3）特征值及特征向量求解，用雅各布方法可求得协方差矩阵Z的特征值矩阵E和特征向量矩阵Q，Q′表示Q的转置。这时，协方差矩阵可表示为：Z＝QEQ′ （3.9）4）主要污染源数求解，为使高维变量空间降维后能尽可能保留原来指标信息，利用累计方差贡献率提取显著性因子，判断条件为：地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：n——显著性因子个数；m——污染物个数；λ——特征值。5）因子载荷矩阵求解，提取显著性因子后，利用求解得到的特征值矩阵E和特征向量矩阵Q进一步求得因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C，这时，因子载荷矩阵可表示为：S＝QE1/2 （3.11）因子得分矩阵可表示为：C＝（S′S）-1S′D （3.12）6）非负约束旋转，由步骤5求得的因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C分别对应主要污染源指纹图谱和主要污染源贡献，为解决其值可能为负的现象，需要做非负约束的旋转。7）首先利用转换矩阵T1对步骤5求得的因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C按下式进行旋转：地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例C1＝T1C （3.14）式中：S1——旋转后的因子载荷矩阵；C1——旋转后的因子得分矩阵；T1——转换矩阵，且T1＝（C∗C′）（C∗C′）-1（其中：C∗为把C中的负值替换为零后的因子得分矩阵）。8）利用步骤7中旋转得到的因子载荷矩阵S1构建转换矩阵T2对步骤5中旋转得到的因子载荷矩阵S1和因子得分矩阵C1继续旋转：S2＝S1T2 （3.15）地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：S2——二次旋转后的因子载荷矩阵；C2——二次旋转后的因子得分矩阵；T2——二次转换矩阵，且T2＝（S′1+S1）-1（S′1+ ）（其中： 为S1中的负值换为零后的因子载荷矩阵）。9）：重复步骤7、8，直到因子载荷中负值的平方和小于某一设定的误差精度e而终止，最终得到符合要求的因子载荷矩阵S，即主要污染源指纹图谱。3.2.4.3 方法流程针对受体采样数据直接进行矩阵分解，得到各污染源组分及其贡献率的统计方法（图3.5）。图3.5 方法流程图（1）缺失值处理正定矩阵因子分析是基于多元统计的分析方法，对数据有效性具有一定的要求，因此在进行分析之前首先对数据进行预处理。根据已有数据的特征结合实际情况主要有以下5种处理方法。1）采样数据量充足的情况下直接丢弃含缺失数据的记录。2）存在部分缺失值情况下用全局变量或属性的平均值来代替所有缺失数据。把全局变量或是平均值看作属性的一个新值。3）先根据欧式距离或相关分析来确定距离具有缺失数据样本最近的K个样本，将这K个值加权平均来估计该样本的缺失数据。4）采用预测模型来预测每一个缺失数据。用已有数据作为训练样本来建立预测模型，如神经网络模型预测缺失数据。该方法最大限度地利用已知的相关数据，是比较流行的缺失数据处理技术。5）对低于数据检测限的数据可用数据检测限值或1/2检测限以及更小比例检测限值代替。（2）不确定性处理计算数据不确定性。地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：s——误差百分数；c——指标浓度值；l——因子数据检出限。（3）数据合理性分析本研究所用数据在放入模型前以信噪比S/N（Signal to Noise）作为标准进行筛选，信噪比S/N为：地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：xij——第i采样点第j个样品的浓度；sij——第i采样点第j个样品的标准偏差。信噪比小，说明样品的噪声大，信噪比越大则表示样品检出的可能性越大，越适合模型。（4）数据输入及因子分析与其他因子分析方法一样，PMF不能直接确定因子数目。确定因子数目的一般方法是尝试多次运行软件，根据分析结果和误差，Q值以及改变因子数目时Q值的相对变化等来确定合理的因子数目。3.2.4.4 适用范围PMF对污染源和贡献施加了非负限制，并考虑了原始数据的不确定性，对数据偏差进行了校正，使结果更具有科学的解释。PMF使用最小二乘方法，得到的污染源不需要转换就可以直接与原始数据矩阵作比较，PMF方法能够同时确定污染源和贡献，而不需要事先知道源成分谱。适用于水文地质条件简单，观测数据量较大，污染源和污染种类相对较少的地区，运用简便，可应用分析软件进行计算。3.2.4.5 NMF 源解析NMF在实现上较PMF算法简单易行，非负矩阵分解根据目的的不同大致可以分为两种：一是在保证数据某些性质的基础上，将高维空间的样本点映射到某个低维空间上，除去一些不重要的细节，获得原数据的本质信息；二是在从复杂混乱的系统中得到混合前的独立信息的种类和强度。因此，基于非负矩阵分解过程应用领域的不同，分解过程所受的约束和需要保留的性质都不相同。本书尝试性地将NMF算法应用于水质影响因素的分离计算中（表3.2）。表3.2 RMF矩阵分解权值表依照非负矩阵分解理论的数学模型，寻找到一个分解过程V≈WH，使WH和V无限逼近，即尽可能缩小二者的误差。在确保逼近的效果，定义一个相应的衡量标准，这个衡量标准就叫作目标函数。目标函数一般采用欧氏距离和散度偏差来表示。在迭代过程中，采用不同的方法对矩阵W和H进行初始化，得到的结果也会不同，算法的性能主要取决于如何对矩阵W和H进行初始化。传统的非负矩阵算法在对矩阵W和H赋初值时采用随机方法，这样做虽然简单并且容易实现，但实验的可重复性以及算法的收敛速度是无法用随机初始化的方法来控制的，所以这种方法并不理想。许多学者提出改进W和H的初始化方法，并发展出专用性比较强的形式众多的矩阵分解算法，主要有以下几种：局部非负矩阵分解（Local Non-negative Matrix Factorization，LNMF）、加权非负矩阵分解（Weighted Non-negative Matrix Factorization，WNMF）、Fisher非负矩阵分解（Fisher Non-negative Matrix Factorization，FNMF）、稀疏非负矩阵分解（Sparse Non-negative Matrix Factorization，SNMF）、受限非负矩阵分解（Constrained Non-negative Matrix Factorization，CNMF）、非平滑非负矩阵分解（Non-smooth Non-negative Matrix Factorization，NSNMF）、稀疏受限非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization with Sparseness Constraints，NMF-SC）等理论方法，这些方法针对某一具体应用领域对NMF算法进行了改进。本书尝试应用MATLAB工具箱中NNMF程序与改进的稀疏非负矩阵分解（SNMF）对研究区11项指标（同PMF数据）进行分解，得到各元素在综合成分中的得分H，初始W0，H0采用随机法取初值。r为分解的基向量个数，合适的r取值主要根据试算法确定，改变r值观察误差值变化情况，本书利用SMNF算法计算时，r分别取2，3，4，采用均方误差对迭代结果效果进行评价，结果显示当r取2，4时误差值为0.034，取3时误差值为0.016，因此r＝3是较合理的基向量个数。采用NNMF算法进行计算时，利用MATLAB工具箱提供的两种计算法分别进行计算，乘性法则（Multiplicative Update Algorithm）计算结果误差项比最小二乘法（Alternating Least-squares Algorithm）计算误差值小且稳定，但总体NNMF计算误差较大，改变初始W0，H0取值和增加迭代次数误差均未明显减小，调整r取值，随着r值的增大误差逐渐减小。对比SNMF和NNMF算法所得权值结果，两种方法所得权值趋势一致，但得分值有所不同，由于SNMF算法对矩阵进行了稀疏性约束，计算结果中较小的权值更趋近于0，两次结果中在三个基向量上总体权值较大的元素项为T-Hard、 、Mg2+、Ca2+、 ，从盲源分离的角度来看该几种元素对地下水具有较大的影响，但从地下水水质影响因素来看，该方法对数据的分析偏重于突出局部数据的特征，在各因素相关性较大但含量不高的情况下，容易忽略了关键的影响因素。从权值得分来看，SNMF法解析的第一个基向量上的元素包括EC、T-Hard、NH4—N、 、 、TDS；第二基向量主要有Na+、Mg2+、Cl-；第三个基向量 、Ca2+，从结果可以看出该方法进行矩阵分解并未得到可合理解释的源项结果，方法有待进一步研究及验证。

是。对称正定矩阵流形黎曼流形中的紧致极小子流形，我们可以从正定矩阵的定义、性质和定理等进行判断。在线性代数里，正定矩阵（positivedefinitematrix）有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

问题一：对称正定矩阵的性质 若n阶矩阵A为对称正定矩阵，则有：det(A)>0，A^T=A，且A的顺序主子式det Ak>0，k=1,2,...,n（注：此处及以下的‘k"均为下标） 问题二：正定矩阵一定是对称矩阵吗？ 线性代数范围内是的 这是因为矩阵的正定来自于二次型的正定 而二次型的矩阵都是对称矩阵 丹以正定矩阵是对称矩阵 问题三：举个对称正定矩阵的例子 最简单的例子：单位矩阵 E＝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 单位矩阵就是对称正定矩阵。证明也很简单， 对于任一个非零向量X，都有 X"EX=X"罚＝|X|^2>0，只有当X=0向量时，X"EX才等于0， 所以是正定矩阵。 如果你想找一个复杂点的，那你用任意一个3阶可逆矩阵A，让它与它的转置矩阵A"相乘，得到的矩阵就是一个3阶对称正定矩阵。 问题四：正定矩阵是否一定是对称阵 不要听别人胡扯了，书上先研究二次型，二次型矩阵是对称的，然后才有正定的概念。你去翻考研的真题，或者真题解析，里面有要证明是正定的，我记得很清楚，要先证其对称性。而且解析上还特意提了一句，当年N多人没证明其对称而失分。 问题五：正定矩阵是否必为实对称阵 是的。 你回去看书，正定矩阵的定义是建立在对称矩阵的基础上的： 对称矩阵A对任意非零向量x，满足x"Ax>0，则定义A正定。 然后对称矩阵是实矩阵的时候，满足上边定义我们叫他“正定矩阵” A=A"是复矩阵的时候，满足x"Ax>0(这里的打撇代表共轭转置，共轭用电脑不好打)，叫做“正规矩阵”。 可见大学阶段提到正定阵，都是实对称的。 问题六：对称正定矩阵的特征值问题4 对于非对称矩阵A, 其特征值可能出现虚数, 但不论如何总有 μ_min 问题七：什么叫正定矩阵 正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 　　X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 　　正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 　　所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 　　另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 baike.baidu/view/686970?wtp=tt 附上网址便于您查看

矩阵正定性的性质：1、正定矩阵的特征值都是正数。2、正定矩阵的主元也都是正数。3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。相关信息：对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：A是正定矩阵；A的一切顺序主子式均为正；A的一切主子式均为正；A的特征值均为正。对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

对称矩阵的根据定义判定。a"=a正定矩阵的判定方法有多种，常用的有：1。各介顺序主子式均大于零2。所有的秩都大于0.共轭矩阵的判定根据定义。已经很详细了~建议你到网络上去找一找课件看看。

在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。扩展资料：判定的方法根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

这道题实在看不懂，没办法回答。