傅里叶级数

设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 　　其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 　在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用

线性时不变系统对复指数信号的响应也是同一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化 系统对信号输出响应是一个常数乘以输入，则该输入信号为系统的特征函数，该常数为特征值（和线代概念类似） 复指数信号就是线性时不变系统的特征函数 输入为：输出为：成谐波关系的复指数信号集一个连续时间周期信号可以由成谐波关系的复指数信号的加权和表示 连续时间周期信号的傅里叶级数表示不同频率的系数为：为直流分量或常数分量 连续时间周期信号的傅里叶级数近似当 时， 1. 在任何周期内， 必须是绝对可积 2. 在任意有限区间内， 具有有限个起伏变化，也就是说，在单个周期内，最大值和最小值的数目是有限的。 3. 在有限区间内，只有有限个不连续点。 满足狄里赫利条件的周期信号，在不连续点傅里叶级数收敛于不连续点左右值的平均值吗，在其他连续点收敛于原信号点。 在不连续点附近的连续位置，当N增加时，傅里叶级数和原信号越来越接近，但是对任意N值，起伏的峰值大小保持不变因为离散时间复指数信号，频率加 和本身相同，因此实际上只需要N个谐波。

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

一步步讲来：1、序列、数列：sequence、progression，就是一串数字的有规律的排列。.2、级数 series，就是一连串的函数之和形成级数；.3、幂级数，power series，就是由常数跟 x、x²、x³、x⁴、、、之和形成，     其中 x、x²、x³、x⁴、、、可以带有不同的系数 coefficients；     这个幂级数就是麦克劳林级数 Mclaurin series；.4、常数跟 (x-a)、(x-a)²、（x-a)³、(x-a)⁴、、、之和形成泰勒级数，     其中 (x-a)、(x-a)²、（x-a)³、(x-a)⁴、、、也可以带有不同的系数；     泰勒级数 = Taylor series；.5、上面的泰勒级数的幂次没有负数，如有负幂次就是洛朗级数，      洛朗级数 = Laurent series；.5、麦克劳林级数、泰勒级数、洛朗级数，都是由代数项构成，     若麦克劳林级数、泰勒级数的每一项由正弦函数、或余弦函数、     或既有正弦函数又有余弦函数构成，就是傅立叶级数 = Fourier series。.6、请参看下面的图示：.......

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。 这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析 。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 还是举个栗子并且有图有真相才好理解。 如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图： 第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x） 第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x) 第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加 第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加 随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！） 随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？） 不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。 还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看： 在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。 这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。 好了，关键的地方来了！！ 如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。 （好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?） 时域的基本单元就是“1”秒，如果我们将一个角频率为ω0的正弦波cos（ω0t）看做基础，那么频域的基本单元就是ω0。 有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。 接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。 正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。 介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了： 这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是— 再清楚一点： 老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。 但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？ 我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数…… 上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。 在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。 先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事： 先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？ 好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。 所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为 滤波 ，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。 再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。 傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。 下面我们继续说相位谱： 通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。 鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。 在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。” 注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。 最后来一张大集合： 傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。 所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。 因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？ 你见过大海么？ 为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。 以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？ 尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续…… 直到变得像波涛起伏的大海： 很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。 不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。 不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是—— 虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢? 这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。 我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。 同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。 现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场—— 这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。 经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“ 这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义： 欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。 关于复数更深的理解，大家可以参考： 复数的物理意义是什么？ 这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。 有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？ 光波 高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验： 所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。 但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。 这里，我们可以用两种方法来理解正弦波： 第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。 另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解： 将以上两式相加再除2，得到： 这个式子可以怎么理解呢？ 我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么 e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！ 举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。 这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。 好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子： 想象一下再往下翻： 是不是很漂亮？ 你猜猜，这个图形在时域是什么样子？ 哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。 顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。 如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。 好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下： 好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事： 这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。 你们猜我的了多少分？ 6 分 没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。 那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？ 45 分 没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。 在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。 后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。 这次，我考了满分，而及格率只有一半。 老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？ 缺少了目标的教育是彻底的失败。 在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！ 好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！ 这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。 最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。 本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。 最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…

傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于s(x)，只要在s(x)的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。如果一个函数在区间[x0,x0+P]上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎所有点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛定义傅里叶系数。

根据傅里叶系数的表达式，这是对的：“若f是以2l为周期且在[-l,l]上可积的函数 ，则：系数：an=（1/l）∫（-l，l）cos（nπx/l）dx，n=0,1,2,3...bn=（1/l）∫（-l，l）sin（nπx/l）dx，n=1,2,3...

函数的周期不必要求是2π，可以任意。教材先是针对周期为2π的函数的傅里叶级数展开进行讨论，此时的狄利克雷收敛定理中的函数自然是周期为2π。此后讨论了一般情形，函数的周期为2L，一般都省略了新的狄利克雷收敛定理的叙述，因为没有多大必要，只要把周期2π换成2L，连续点、间断点的讨论是一样的。

在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。 扩展资料 　　在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的`正整数a,d，有无限多个质数的形式如a+nd，其中n为正整数，即在等差数列a+d,a+2d,a+3d,...中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。

这里涉及两个函数 (1)事先给定一个函数f(x) (2)根据f(x)构造一个Fourier级数,这是一个形式上的无穷项的和,和函数F(x)不一定存在.所以要判断它是否收敛.如果不收敛,f(x)与F(x)就毫无关系. (3)如果判断出Fourier级数收敛,其和函数为F(x),而F(x)也不一定是f(x) (4)Dirichlet定理指出,满足收敛定理2条件时,和函数F(x)恰等于f(x)在点x处左右极限的平均值. 用一个生活中的例子来阐明这过程： （1）事先给您一只动物（如小兔）的旧衣服,小兔的旧衣服就是f(x) （2）您根据小兔的旧衣服为它做一件新衣服,新衣服就是F(x),但是衣服F(x)未必能穿（未必收敛） （3）即使能穿（收敛）,新旧衣服也不一定大小完全一样(f与F未必相同） （4）如果满足一定条件,新衣服F(x)在某些地方（f(x)连续点）与旧衣服f(x)完全相同.新衣服F(x)在某些地方（f(x)的不连续点,像衣服的破洞）与旧衣服f(x)是不相同的.