虚数

z

共轭复数是指一个复数的实部不变，虚部取相反数的复数。共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反，如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z。同时, 复数z（上加一横）称为复数z的复共轭（complex conjugate）。共轭复数在复数运算中起着重要的作用，它可以用来求解复数的模长、幅角、乘法逆元等。例如，复数z的模长可以表示为|z| = sqrt(z * z)，其中sqrt表示平方根，z表示z的共轭复数。此外，两个复数的乘积可以表示为（z1 * z2）* = z1** z2*，其中z1和z2为任意两个复数。公式根据定义，若z=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是“共轭”一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做“轭”。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个“一”就表示x-yi，或相反。

Z=a+bi形同上式的都叫复数a、b不同时为0就是非零复数做题时所说的虚数都是指纯虚数，即a=0、b不等于0

-1-i

解如下图所示

∵复数1+7ii=(1+7i)(?i)i?(?i)=7-i，故它的共轭复数是 7+i，再根据它的共轭复数为a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，可得 a=7，且b=1，∴ab=7，故答案为 7．

z(1+i)=1—iz=(1-i)(/(1+i)=(1-i)^2/2=-iz共轭=i

复数形如：a+bi模=根号（a^2+b^2)虚数形如：bi模=b的绝对值

首先你要知道 e^(iθ）用复数来表示的形式为：e^(iθ)=cosθ+isinθ所以有其模为1注：欧拉在1748年给出了著名公式e^(iθ)=cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，任何一个复数z=r（cosθ+isinθ），都可以表示成z=re^(iθ）的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，

根据复数模的计算公式若z＝a+bi则|z|＝a2+b2可得复数z=2-3i的模为13．故选D．

虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。“虚数”一词首先由笛卡尔提出。早在1800年就有人用(a，b)点来表示a+bi，他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴?魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。“i”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。复数集C来源于英文complexnumber(复数)一词的第一个字母。圆周率“π”来源于希腊文πelφela——“圆周”的第一个字母。“π”这个记号是威廉?琼斯在1706年第一个采用的，后经欧拉提倡而通用。用“e”来表自然对数的底应归功于欧拉。他也是第一个证明了e是无理数的人。公式eiθ=cosθ+sinθ为欧拉首创，被称为“欧拉公式”。式子eiπ+1=0将i、π、e、1这四个最重要的常数连在一起，被认为是一个奇迹。

i＝√-1，表示二维空间的一个维度，这个维度垂直于实轴且被称为虚轴，即ⅰ丄1。

意思是题目的答案需要用到虚数来表示，结果不再实数范围之内。虚数的单位i，正如实数中的单位是1一样。“虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。 虚数单位i是什么意思 i是虚数单位，i^2=(-i)^2=-1，不是等于1 i和-i就像1和-1一样，是有区别的，在复变函数中，i复数的研究和复平面是分不开的，任意一个复数z=x+iy，其中x叫做实部，y叫做虚部，x和y都是实数，x+iy就是一个复数，复平面和实平面相仿，x轴表示复数的实部，y轴表示复数的虚部，例如在复平面上的点(2,2)表示复数2+2i，如果以-i为单位，复平面的纵轴就要向下指了。 这个复数还可以用指数的形式表示，写作2e^(π/4) 虚数单位i就像实数中的1一样，我们认为1和-1不同，是因为我们日常生活中用1作为计数的单位，假设我们的老祖宗用-1作为计数单位，我们现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。 -1比1多个负号，当然不方便，同样，研究复数中谁也不会多此一举用-i作为单位。 规定了i为单位展开对复数的研究，是简便的也是合理的。

设纯虚数z1=ai(a不为0)那么它的共轭复数是z2=-ai因为a不为0,所以-a也不为哦因此z2=-ai是纯虚数,因此纯虚数的共轭复数还是纯虚数

复数是本身吗

是的纯虚数则z=ai，a≠0所以z共轭=-ai=-z

复数可以写成a+bi；当a不等于0，b也不等于0时为虚数；当a=0，b不等于0时，则为纯虚数；当a不等于0，b=0时，则为实数。

这是把两个概念搞混了。一个概念是单数和双数，自然数分为单数和双数，能被二整除的数是双数，不能被二整除的数是单数。也就是说二的整数倍的数都是双数，否则就是单数。第二个概念是实数和复数。实数分为实部和虚部两部分，虚部的单位i是这样定义的，i^2=-1。只有实部而虚部为零的数，就是实数。所以单数和复数是两个不同范围内的概念，不能直接进行比较。

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）当复数a+bi中a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数

复数的集合用C表示、虚数用I

答：复数包含实数，虚数，纯虚数实数与虚数，纯虚数没有交集，虚数包含纯虚数（注意包含和包含于的区别）

虚数和复数，是数学上的概念。详见：百度百科“虚数”和“复数”。

数的分类中,最大的就是复数,它包括了实数和虚数.虚数,简单来说就是平方之后是负的数.平时在数字的后面加上小写字母i进行区分,而这个i就称为虚单位.一个数字再在它后面加上i就构成一个纯虚数.如果,在这个纯虚数前面在加上一个实数,则这个数也叫做虚数,不过就不能再叫纯虚数了.就象根号2叫无理数,2+根号2也叫无理数一样.实数,初中已经学得很完备了.

复数包括实数和虚数,纯虚数就是虚数.z=a+bi,z为复数,a为实数,bi为虚数. a=0时,z就是虚数；b=0时,z就是实数.

虚数就是其平方是负数的数。说白了虚数是指含有虚数单位i的纯虚数，如果在这个虚数前加个实数，它就变成了复数，这个复数的虚部就是虚数前面的系数，例如1+i的虚部就是1,2+3i的虚部就是3.

复数包括实数和虚数,纯虚数就是虚数.z=a+bi,z为复数,a为实数,bi为虚数. a=0时,z就是虚数；b=0时,z就是实数.

复数包含实数和虚数，所以一楼正解

实数和虚数统称为复数。复数为a+bi在坐标系上表示为（a，b） 其中a为0是，则为纯虚数。 b为0时，则为实数。a叫做虚部，b叫做实部

复数属于虚数

复数包括实数和虚数 虚数是含有虚数单位i的数 纯虚数是只含有虚部的虚数

自然数：所有大于等于0的正整数实数：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。虚数：虚数是指平方是负数的数复数：复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根），只有虚部的叫虚数中国物联网校企联盟技术部

　　实数：是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象；虚数：如果有数平方是负数的话，那个数即为虚数；所有的虚数都是复数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面 上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复平面上每一点对应着一个复数。

复数包含虚数，所以所有的虚数都是复数。在数学中，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言，不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。复数集包含了实数集，因而是复数是实数的扩张。

1，1+i, i 都是复数——复数包括虚数和实数。1+i，i是虚数，但是1不是虚数。i是纯虚数。

答：复数包含实数，虚数，纯虚数实数与虚数，纯虚数没有交集，虚数包含纯虚数（注意包含和包含于的区别）

复数包含虚数，所以所有的虚数都是复数。在数学中，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言，不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。复数集包含了实数集，因而是复数是实数的扩张。复数的运算律加法交换律：z1+z2=z2+z1乘法交换律：z1×z2=z2×z1加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

复数和虚数不一样，形如a＋bi的数。式中a，b为实数，i是一个满足i2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

都可以啊，就是更具体些了。好比你是河北省的，你可以叫河北人，当然也可以叫中国人。

虚数，即平方为负数的数，所有的虚数都是复数； “虚数”这个名词由17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字；在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数； 实数，是数学名词，由实数部分和虚数部分所组成的数，实数和虚数都是复数的子集，实数可以在数轴上表示。

复数A+BI中，当B不等于0时，叫虚数2i这样的是虚数，2i+2这样的是复数

虚数、复数实际上是一种数学形式，一种构造出来的数学工具，用于解决一些数理问题。

复数分为实数和虚数，纯虚数属于虚数。复数z=a+bi 当b=0时为实数，当b不等于0时为虚数，当a=0且b不等于0时为纯虚数。高二数学选修1-2课本51页有图

实数，就是：整数、小数，以及“带小数”的统称。实数包括了：　　整数（正整数、负整数、零）；　　小数（正的、负的、有限的、无限的、循环的、不循环的）。　　带小数（含有整数部分和小数部分）这些，都是小学学过的知识吧？实数，简单来说，就是：“数轴上所有的点”上的数字。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－虚数，是“实数与虚单位 i 的乘积”。　　其中 i * i =－1。　　由于 i 的存在，虚数就是“i 轴上所有的点”的数字。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－复数，包括实部和虚部两个部分。　　一般是以实轴为水平、i 轴为垂直，构成一个“复平面”。　　复数就是：“复平面上所有点”上的数字。

有理数：有理数分为正有理数，负有理数，0。有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数。如：3.12121212121212…… 无理数：无限不循环小数。无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．圆周率π=3.141592653…… 复数：形如a＋bi的数。式中a，b为实数，i是一个满足i2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。 实数：有理数和无理数统称为实数 整数：整数包括正整数,负整数和0. 如正整数:1、2、3．．．．．． 负整数：－1、－2、－3．．．．．． 自然数：自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。 虚数的意义 [编辑本段] (1)[unreliable figure]∶虚假不实的数字(2)[imaginary number]∶复数中a+bi,b不等于零时叫虚数(3)[暂无英文]：汉语中不表明具体数量的词在数学里，如果有某个数的平方是负数的话，那个数就是虚数了。所有的虚数和实数组成复数。这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正虚数写为（+i），把负虚数写为（-i），而把+1看作是一个正实数，把（-1）看作是一个负实数。因此我们可以说√￣（-1）＝±i。我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数系统，那么，位于0点某一侧的是正实数，位于0点另一侧的就是负实数。这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复平面,复平面上每一点对应着一个复数。 注：虚数也有大小； 虚数没有一维正负，但有二维正负； 整数准确地应当划分为实整数和虚整数.采纳哦

复数包含实数，虚数，纯虚数。虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。在z=a+bi中，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。扩展资料：相关运算律加法交换律：z1+z2=z2+z1乘法交换律：z1×z2=z2×z1加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

复数包括实数和虚数 虚数是含有虚数单位i的数 纯虚数是只含有虚部的虚数

1,共轭复数是例如a+bi和a-bi的形式,但是他们不是实数的时候也共轭,因此错误. 2,充要条件是意思是指可以互相推出,当x=i、y=-i时,x+yi=1+i也成立,因此不能从左推到右,错误. 3,错误,a=0时不对应

数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”.虚数是指平方是负数的数.当复数的实部为0且虚部不为0时,平方是负数的数定义为纯虚数

自然数：所有大于等于0的正整数 实数：包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数. 虚数：虚数是指平方是负数的数 复数：复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位（即-1开根）,只有虚部的叫虚数 中国物联网校企联盟技术部

　　虚数，即平方为负数的数，所有的虚数都是复数； 　　“虚数”这个名词由17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字；在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数； 　　实数，是数学名词，由实数部分和虚数部分所组成的数，实数和虚数都是复数的子集，实数可以在数轴上表示。

我们把形如a + bi（a,b∈R）的数叫做复数; 当 b≠0 时,复数 a + bi 叫做虚数.

复数包括：1.实数2.虚数只要谨记：迄今为止人们所说的所有数都是复数，它是一切数的总和再说虚数：顾名思义，虚数就是不真实的数，比如让你给-1开方，你能得到什么呢？答不出来吧。简单讲虚数就是指平方是负数的数，在初中阶段可能还学不到关于复数的表示方式，肯定会不理解。总之记住什么是实数就好了，不是实数的数肯定就是虚数。实数你应该知道吧，就是包括有理数和无理数的数集

复数包括实数和虚数,

复数包括实数和虚数。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 扩展资料 我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数 z= a+bi (a, b 为实数） b=0 时， z 为实数 a=0 时， z 为（纯）虚数。

复数和虚数不一样,形如a＋bi的数.式中a,b为实数,i是一个满足i2＝－1的数,因为任何实数的平方不等于－1,所以i不是实数,而是实数以外的新的数.在复数a＋bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数.由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张.

虚数不是来自生活，而是为了数学需要。比如x平方+1=0，该方程无实数解，所以规定一个虚数单位i。i的平方=负一，一个虚数按a+bi来表示。a是实部，b是虚部。（ab都要是实数）例如3+i 4-2i等等注意虚数不能比较大小。而实数和虚数的总称就是复数

复数包含虚数，所以所有的虚数都是复数。在数学中，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言，不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。复数集包含了实数集，因而是复数是实数的扩张。扩展资料复数的运算律加法交换律：z1+z2=z2+z1乘法交换律：z1×z2=z2×z1加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

实数是有理数和无理数的总称，表示为 a。虚数是复数中除了实数的数。复数就是实数和虚数的总称，所有的数都是复数。实数包括有理数和无理数。有理数主要包括整数、分数、有限小数、无限循环小数，无理数主要包括开方开不尽的数、无限不循环小数。圆周率“π”属于无限不循环小数；“根号2”、“3的立方根”都属于开方开不尽的数。复数实数：复数一般用“z”表示，复数z的一般形式是“z=a+bi”（a、b∈R，并且a≠0、b≠0，下同）。当虚部b=0时，复数z=a∈R，此时“z”属于复数中的实数。即，复数z=a+bi为实数的充要条件是b=0。当虚部b≠0时，复数z具有形式“a+bi”，此时不管实部a是否为0，复数z都属于复数中的虚数。即，复数z=a+bi为虚数的充要条件是b≠0。实数：就是任何数都能开平方的数的范围。虚数：因为存在实数，但为了表示还有不是实数的，就用虚数表示，如：负一开平方；。复数：就是存在有虚数的表达式。

我们把实数和虚数统称为复数，复数可以统一用a+bi表示，当b=0时，就是实数，当b≠0时，就是虚数。我们学习完实数后，学习虚数，学习完实数和虚数后，我们把两类数统称为复数，也就是说方程在复数范围可求解了。虚数是2+3i等类似的数，我们也可以称它为复数，但是说一个数是复数时，它可能是实数，也可能是虚数。实数集是复数集的真子集。

虚数是实际存在的，它就如同你所熟悉的任何其他数一样，可以进行四则运算以及开根号。虚数的发现极大的拓展了人类对数本身的认识也从而极大地物理学以及工程的研究。可是这就是尽头了吗？记得从小学到高中，当课本引入分数的时候，标题是“数怎么不够用了？”， 当引入负数的时候标题是“数怎么又不够用了？”。现在当我们了解了虚数并且将我们的计数体系从一维拓展到二维之后，会不会在不就得将来发现数怎么还不够用啊！目前看来，答案是否定的。我们的数终于够用了！数学家已经经过严格的证明证明了复平面是完整的，也就是说复平面中任何两个数做任何运算时，结果都可以被另外一个在复平面中的数所表示。而且，在目前的物理学研究中，也再没出现过数不够用的情况了。

i的平方是-1

小朋友懂不懂什么就方程呀！把书翻开看看方程的定义吧。方程最起码是个等式你连等号都没呀。等你把方程写完整再来问吧！想要虚数解引入虚拟单位将X∈C去

没有

虚部为零是实数，实部为零是纯虚数

2^i=e^(ln(2)*i)=cos(ln(2))+i*sin(ln(2))负数的虚数次方没有定义（其实负数的无理数次方都没有定义）纯手打，望采纳哦～

一个数的虚数幂在日常生活中是没有实际意义的，不过在纯数学的领域有意义，记得有个公式很经典:e^(i*pi)+1=0其中e为自然对数,i为虚数单位,pi为圆周率,1是实数的基底推广有e^(i*θ)=cosθ+i*sinθ这么个式子.所以2^i=[e^(ln2)]^i=e^(ln2*i)=cos(ln2)+i*sin(ln2)

实数包括有理数（能写成分数的数：如2/3）和无理数（不能写成分数的数，无限不循环小数），有理数包括整数和最简分数。虚数的一般式为：c=a+bi,a和b是实数.如果b=0,则c叫实数；如果a=0,则c叫纯虚数。-1开方就得到虚数i。实数表示实际的物理意义，而虚数不表示实际的物理意义，它只是为计算过程方便而引进的。

z=a+bi，b=o，实数 b≠0，虚数 a≠0，b≠o，纯虚数

根据欧拉公式，e^iθ=cosθ+i sinθ请注意θ是以弧度计算的，想知道如何推导可以看看泰勒公式因此，c^i=e^((ln c)i)=cos (ln c)+i sin (ln c)

实数包括有理数（能写成分数的数：如2/3， 2/1）和无理数（不能写成分数的数，无限不循环小数），有理数包括整数和最简分数。-1开方就得到虚数i；虚数的一般式为：c=a+bi,a和b是实数.如果b=0,则c叫实数；如果a=0,则c叫纯虚数。在复空间坐标中，实数为x轴，虚数单位i为y轴单位，

　　在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA.　　不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。　　虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。1＜2是对的，但1+i＜2+i是错的。　　我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。　　“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。 [编辑本段]i的性质　　i 的高次方会不断作以下的循环：　　i^1 = i　　i^2 = - 1　　i^3 = - i　　i^4 = 1　　i^5 = i　　i^6 = - 1...　　由于虚数特殊的运算规则，出现了符号i　　当ω=(-1+√3i)/2或ω=(-1-√3i)/2时：　　ω^2 + ω + 1 = 0　　ω^3 = 1

在物理学中引入复数结构的必需性的根源和复数最重要的物理意义在于量子力学运动规律限定的数学结构。用群论的语言概括：概率守恒要求演化规律的数学结构是酉群 U(n) (参见https://en.wikipedia.org/wiki/Unitarity_(physics)), 而 U(n) 恰好可以分解为正交群 O(n) 和实数域的辛群 Sp(2n, R): U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) , O(n) 的物理意义是概率守恒，Sp(2n, R) 的物理意义正是量子力学限定的运动规律。比如虚时间:虚时间是研究关于宇宙大爆炸初期时间失效,而构建出一种与时间轴成90度的虚时间轴.我个人感觉用什么北极点作比喻还是不太好理解.假如你对相对论,量子物理学,M理论等有所了解的话,可以这么想象（完全不准确,仅便于理解）：现有的时空模型2维化,可以作出以下一个十分容易理解的模型1.把3维空间简单的理解成10厘米的直线,起点为坐标轴Y轴正方向上某一点,终点为该点后的10厘米处.2.把时间简单的理解成10分钟长度,起点为坐标轴X轴正方向上某一点,终点为该点后的10厘米处.这样,就得到一个时空模型：x轴为时间,一厘米对应一分钟；Y轴为距离,1厘米代表1厘米.现在我们引入虚时间.

因为虚数不是你当前应该研究的，老师只是为了普及一下你的无知，就是怕你弄乱了才让你就当虚数不存在。你现在考试一点也不涉及到虚数，一切为了考试高分。

解：1、一般法：Z=a+bi，a为实轴坐标，b为虚轴坐标，原点到点（a,b）的向量即为复数Z2、三角函数法：z=r（cosθ+isinθ），r表示虚数的模，θ为辐角

二次方程的非实根

虚数是指平方是负数的数.虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实. 　在数学里,将平方是负数的数定义为纯虚数.所有的虚数都是复数.定义为i^2=-1.但是虚数是没有算术根这一说的,所以±√(-1)=±i.对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式,其中e是常数,i为虚数单位,A为虚数的幅角,即可表示为z=cosA+isinA.实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数.虚数没有正负可言.不是实数的复数,即使是纯虚数,也不能比较大小. 　　这种数有一个专门的符号“i”(imaginary),它称为虚数单位.不过在电子等行业中,因为i通常用来表示电流,所以虚数单位用j来表示. 实际意义 　　我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统.如果利用横轴表示全体实数,那么纵轴即可表示虚数.整个平面上每一点对应着一个复数,称为复平面.横轴和纵轴也改称为实 虚数 轴和虚轴. 　　不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明： 　　若存在一个数,它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身）,这个数是什么形式? 　　根据这一要求,可以给出如下方程： 　　-x = (1/x) 　　不难得知,这个方程的解x=i （虚数单位） 　　由此,若有代数式 t"=ti,我们将i理解为从t的单位到t"的单位之间的转换单位,则t"=ti将被理解为 　　-t" = 1/t 　　即 　　t" = - 1/t 　　这一表达式在几何空间上的意义不大,但若配合狭义相对论,在时间上理解,则可以解释若相对运动速度可以大于光速c,相对时间间隔产生的虚数值,实质上是其实数值的负倒数.也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来. 　　虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具,虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础. 起源 　　要追溯虚数出现的轨迹,就要联系与它相对实数的出现过程.我们知道,实数是与虚数相对应的,它包括有理数和无理数,也就是说它是实实在在存在的数. 　　有理数出现的非常早,它是伴随人们的生产实践而产生的. 　　无理数的发现,应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派.无理数的出现,与德谟克利特的“原子论”发生矛盾.根据这一理论,任何两个线段的比,不过是它们所含原子数目的经.而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段. 　　不可通约线段的存在,使古希腊的数学家感到左右为难,因为他们的学说中只有整数和分数的概念,他们不能完全表示正方形对角线与边长的比,也就是说,在他们那里,正方形对角线与连长的比不能用任何“数”来表示.西亚他们已经发同了无理数这个问题,但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了,甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里,方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”. 　　“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实. 　　人们发现即使使用全部的有理数和无理数,也不能长度解决代数方程的求解问题.像x^2+1=0这样最简单的二次方程,在实数范围内没有解.12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的.他认为正数的平方是正数,负数的平方也是正数,因此,一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数,负数没有平方根,因此负数不是平方数.这等于不承认方程的负数平方根的存在. 　　到了16世纪,意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中,把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号.但他认为这仅仅是个形式表示而已.1637年法国数学家笛卡尔,在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称,并和“实数”相对应. 　　1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作,提出了一种求解一般三次方程的求解公式： 　　形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 　　当卡丹试图用该公式解方程x^3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 　　在那个年代负数本身就是令人怀疑的,负数的平方根就更加荒谬了.因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4.容易证明x=4确实是原方程的根,但卡丹不曾热心解释(-121)^(1/2)的出现.认为是“不可捉摸而无用的东西”. 　　直到19世纪初,高斯系统地使用了i这个符号,并主张用数偶（a、b）来表示a+bi,称为复数,虚数才逐步得以通行. 　　由于虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎没有用复数来表达的量,因此在很长一段时间里,人们对它产生过种种怀疑和误解.笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物.”欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说：“一切形如,√-1,√-2的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.” 　　继欧拉之后,挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示.后来高斯又提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路.现在,复数一般用来表示向量（有方向的量）,这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛,虚数越来越显示出其丰富的内容. i的性质 　　i 的高次方会不断作以下的循环： 　　i^1 = i 　　i^2 = - 1 　　i^3 = - i 　　i^4 = 1 　　i^5 = i 　　i^6 = - 1... 　　由于虚数特殊的运算规则,出现了符号i 　　当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时： 　　ω^2 + ω + 1 = 0 　　ω^3 = 1 有关运算 　　许多实数的运算都可以推广到i,例如指数、对数和三角函数. 　　一个数的ni次方为： 　　x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)). 　　一个数的ni次方根为： 　　x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))). 　　以i为底的对数为： 　　log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ. 　　i的余弦是一个实数： 　　cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064. 　　i的正弦是虚数： 　　sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i. 　　i,e,π,0和1的奇妙关系： 　　e^(iπ)+1=0 　　i^I=e^(-π÷2） 符号来历 　　1777年瑞士数学家欧拉(Euler,或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位.而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数,a等于0时叫纯虚数,ab都不等于0时叫复数,b等于0时就是实数). 　　通常,我们用符号C来表示复数集,用符号R来表示实数集. 相关描述 　　虚数 原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院） 　　翻译：徐国强 　　虚文自古向空构,艾字如今可倍乘.所问逢人惊诧甚,生活何处有真能?嗟哉小试调音放,讶矣大为掌夜灯.三极管中知用否,交流电路肯咸恒.凭君漫问荒唐义,负值求根疑窦增.情类当初听惯耳,事关负数见折肱.几分繁复融学域,百计联席悦有朋.但看几何三角地,蓬勃艾草意同承[①]. 　　IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University 　　Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I"m using right now -- A.C.!You say it"s absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i." 　　[①] see "i to i."指可见虚数符号的应用,并谐音双关see eye to eye 为意见一致引

虚数的物理指称性呼唤着新数学 众所周知，实数具有物理指称性，比如称某物质量为5千克，体积为15立方厘米等等，都是用实数作为物理指称的。一般认为，只有具有实数物理指称性的对象才可能具有可运算性、可观察性、可分性、可延性、有序性等等物理性质，因而是物理实在，否则就是非物理实在，是虚幻的乌有。因此，按照这样的观点，虚数在物理中是没有地位的，因为没有虚数的物理指称性，即虚数的物理指称性的事物是不存在，如果谁说有存在，那肯定是假的。所以，虽然虚数早在16世纪就被卡尔丹发现，但是至今仍然是卡迪尔的观点：“虚数的本意是指它是假的”在人们物质观中占统治地位。 今天，如果说虚数是具有物理指称性的，可能为时尚早，但是，说这种可能性已经初现端倪，却不是空穴来风。虽然虚数早已通过复数形式“半推半就”地进入物理学，但是被指称为虚过程（如跃迁）和虚粒子（如虚光子）事实上是越来越多了。尽管目前这些事例大多还集中在微观物理中，但是不能否认它们是具有虚数的物理指称性的事实。因此，我想难道我们就不能大胆地推进一步，设想夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象？ 但是，物理学作为一门科学，可不是仅凭一句：“夸克之所以不具有可观察性性由于它是虚的”就可以了事，而必须提供足够的理论证明。倘若果真如上述设想，夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象，那么很可能预示一门新的物理学将产生。物理学史表明，一门新物理学总是伴随着一门新数学，这是因为数学是物理学的最主要工具之一。因此，倘若新的物理学是包含夸克、暗能量和真空在内的具有虚数的物理指称性的对象的物理理论，那么以虚数为基本概念的新数学就是必要的。我们可以预示，这门新数学的运算方法必然与现在代数中的虚数简单方法有重大补充和差异，其内涵必然远远大于现在代数中的虚数内容。因此，历史可能会重演当年物理学家狄拉克需要δ函数而产生广义函数理论一样，人们需要能够描述具有虚数的物理指称性的对象关系的方法而产生新的数学。 作为一个或许有启发性的例子，我在研究夸克与强子的关系中发现[1]，如果把夸克认定为虚的，同时又和电子一样满足Bohr假说和Pauli原理，那么只要假定强子实质量H是由n个虚夸克qi之交按照H=∑q/n(n)1/2进行计算，可以直接得到基态夸克和强子及其共振态的全部质量谱，得到的强子及其共振态的质量值都与观测值相当吻合，而三个基态夸克质量之间的关系可以由黄金分割数所界定[2]，同时还可以得到许多与观察事实相吻合的结果。然而，这里的问题是，虽然上述得到的物理结果是成功的，但是它显然缺少一个坚实的数学基础，那就是我所希望出现的新数学。

实数可理解为一维数，虚数可理解为正交数，即垂直于实轴的数，也就是(ⅰ⊥1)，特别重要的是: ( ⅰ丄1 )不是人为规定，而是数学逻辑的产物。所以复数称为二维数。你问什么是真实的虚数？我的理解: 垂直于实轴的数就是虚数。因此虚数的《虚》不是虚无飘渺，与日常用语 “虚无、虚幻” 没有任何关系。(-1)开平方开出了空间一个新维度，这个新维度⊥实轴且称为虚轴。复平面上的数由实数与虚数组合而成，(a＋ⅰb) 称为复数。复平面与二维向量平面有的方面等价，但不能认为它们完全等价，单位虚数( ⅰ )可以进行很抽象的运算，例如( ⅰ^ⅰ^ⅰ )；单位向量不可进行这些运算。