欧拉方程

取流体微元建立直角坐标系考虑x轴设微元内部压力p根据欧拉知p＝p（xyzt） x轴假设t变yz相位置变找微元边界px＝p（x）＝p＋(?p/?x)dx+(?p/?x)^2/(2!)dx^2+... 假设px线性则px＝p＋(?p/?x)dx（x取向右z）故微元左侧p左＝p－(?p/?x)dx/2p右＝p＋(?p/?x)dx/2 微元x轴总受力＝（p右－p左）dydz＝(?p/?x)dxdydz yz轴同理故ρRdxdydz＝?pdxdydz（R流体单位面积受力?p?p/?x＋?p/?y＋?p/?z）即ρR＝?p（欧拉公式）取泰勒级数第项取流体所取微元内变化量近似值

作变量替换x=et或t=lnx，则：dydx＝dydt?dtdx＝1xdydt，①d2ydx2＝?1x2dydt+1xd2ydt2?dtdx＝1x2[d2ydt2?dydt]，②将①，②代入原方程，原方程可化为：d2ydt2+3dydt+2y＝0，③③是一个常系数齐次微分方程，它的特征方程为：λ2+3λ+2=0，解得：λ1=-1，λ2=-2，于是方程③的通解为：y＝c1e?t+c2e?2t，将t=lnx代入上式，得原方程的通解为：y＝c1x+c2x2．

后退欧拉(Euler)法： yn+1 = yn + hf(xn+1 ,yn+1 ) (2.1)上式称为后退的欧拉(Euler)法。后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别,后者是关于yn+1的一 个直接的计算公式, 这类公式称作是显式的; 然而公式(2.1)的右端含有未知的yn+1,它实际上是关于yn+1的函数方程,这类公式称作是隐式的。对于隐式方程(2.1), 通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化。 设用欧拉公式 给出迭代初值, 用它代入(2.1)式的右端，使之转化为显式，直接计算得 然后再用 代入(2.1)式，有 后退的欧拉方程是二阶

这个可以简单理解为复合函数求导，将原来y对x的求导转化为y对t的求导。

您好，欧拉方程可能会考，首先要注意欧拉方程的结构特点，它是未知函数导数的阶数与乘积因子自变量方幂次数相等的方程。其解法是固定的，作变量代换y＝e＾t或t＝lnx，通过x的这个变量代换把欧拉方程化为常系数线性微分方程，但需注意，要会利用复合函数求导的方法准确地求出y＾／，y＾／／，变换为关于自变量t的导数表达式，计算都比较简单，不用担心，祝您考试顺利。

因为1800＝2³×3²×5²，因此φ(1800)＝2²(2-1)3(3-1)5(5-1)＝480。这也就是说，1，2，...，1800 中共有480个与1800互质。

【答案】：B根据离心式泵与风机的基本方程(也叫欧拉方程)：-)可以看出，理论能头HT∞与叶轮进口速度有关-与叶轮出口速度有关。与输送流体密度和叶轮内部的流动过程有关。[解题关键] 很多人会有一个错误的认识，即流体机械的能头与输送流体密度有关。其实，一旦叶轮尺寸、形状固定，转速一定。如果它能将水输送的高度为20m，它对空气或是水银也是20m。但是此时电机所需要的功率却是大为不同。您可能感兴趣的试题

在SPH方法中，解的精度也依赖于质点的排列，但它对点阵排列的要求远远低于网格法的要求。由于质点之间不存在网格关系，因此它可避免极度大变形时网格扭曲而造成的精度破坏等问题，并且也能较为方便的处理不同介质的交界面。SPH的优点还在于它是一种纯Lagrange方法，能避免Euler描述中欧拉网格与材料的界面问题，因此特别适合于求解高速碰撞等动态大变形问题。 SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics)是光滑粒子流体动力学方法的缩写，是在近20多年来逐步发展起来的一种无网格方法。该方法的基本思想是将连续的流体(或固体)用相互作用的质点组来描述，各个物质点上承载各种物理量，包括质量、速度等，通过求解质点组的动力学方程和跟踪每个质点的运动轨道，求得整个系统的力学行为。计算方法的实现，依赖于计算机技术。

求导以后先不要急着把t回带成lnx,容易乱 dy/dx=dy/dt*dt/dx=(1/e^t)*dy/dt 所以d²y/dx²=[d(dy/dx) / dt ]*(dt/dx) 将dy/dx=(1/e^t)*dy/dt再对t求导, 得到d(dy/dx) / dt =(1/e^t)*d²y/dt² - (1/e^t)*dy/dt 即d²y/dx²=[d(dy/dx) / dt ]*(dt/dx) =[(1/e^t)*d²y/dt² - (1/e^t)*dy/dt] * (dt/dx) 这时候再把x=e^t,和dt/dx=1/x代入, 所以得到 d²y/dx²=[(1/x)*d²y/dt² - (1/x)dy/dt] * (1/x) =1/x²(d²y/dt²—dy/dt) 就是最后的那个式子, 你就是计算的时候把x和t弄混了

N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，可以简单地理解为流体微元的牛顿第二定律，在流体力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。物理学界普遍认为这个方程组刻画了黏性不可压缩流体的运动规律。现在人们对于自然界、国防和各种工程技术中的流体力学问题，都在用它进行计算、分析和研究。鉴于纳维一斯托克斯方程解的存在性问题至今尚未解决(在一些简化的特殊情况下，已知有不多的准确解存在)，物理学界认为当使用纳维一斯托克斯方程时应注意：1。对于流体力学问题，数值计算(现亦称数值实验)与物理实验的本质差别并未消失．对纳维一斯托克斯方程进行大规模数值计算是必需的，但也需要巧妙设计物理实验以检验计算分析的正确性。2。由于对同‘微分方程．边界条件提得合适否有可能影响问题的解存在与否，似应关心数学界对纳维一斯托克斯方程研究的进展，并使我们在进行计算、分析问题时将边界条件提得在物理上和数学上都合理。3。瑞士数学家、物理学家欧拉于1752年翁出连续性方程， 1755年建立理想流体动力学方程．对于理想流体的欧拉方程，尽管比纳维一斯托克斯方程简单得多，但因解的存在性也并末解决，在进行数值计算分析时似也应注意以上问题。

dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=1/e^t*(dy/dt)d^2y/dx^2={d[1/e^t*(dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=(1/e^t)*(d^2y/dt^2-dy/dt)*(1/e^t)=(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)d^3y/dx^3={d[(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=[(1/e^t)^2*(d^3y/dt^3-d^2y/dt^2)-2(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]*(1/e^t)=(1/e^t)^3*(d^3y/dt^3-3d^2y/dt^2+2dy/dt)

这一章不考，

我从来都是只令x=e^t的！那么(dy/dx)=(dy/dt)(dt/dx)=(1/e^t)(dy/dt) 同样y"也是换成Y对 t的2阶导，带入原方程，e^t就会被消掉！！我是用手机打的，2阶导不好打，要是还不清楚的话你再问我，明天我给你贴图！

例如动量方程，拉格朗日体系下，方程左侧是全导，也就是动量随时间的变化的全导。在欧拉体系下，方程左侧可以从前者推导出一个动量随时间的偏导，加上一个对流项。这个需要动手演练一下。欧拉和拉格朗日方程本质上是统一的，而且推导上也可以互相转化。介绍拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。

微分算子法适用于求非齐次微分方程的特解，对应的齐次微分方程的通解通过特征方程（二阶或者可以转化成二阶）和分离变量法（一阶，此时的非齐次方程常用常数变易法解比较简单）求解。 2.方程转化：令 则，……将微分方程改写为的形式，即特解。 有这样的结果： 常系数微分方程，直接将求导的阶数改写成D的指数，其常系数不变，即可。 变系数微分方程（我只知道欧拉方程），先做变换，那么： ，，带入方程即可。 3.F(D)的性质： (1)D表示微分，1/D表示积分； (2)F(D) g（x）表示对g（x)做对应F（D）的微分运算，[1/F（D）] g（x）亦表示表示对g（x）做对应1/F（D）的微分运算，其中1/F（D）按多项式除法写成假分式的形式； (3)，，，； （4）按照（3）的公式带入使得分子为零时也即此时的k是方程的特征根，为了使特解与通解线性无关，只要将若分子还为零直到使分子不为零。

求微分方程  x²y″＋3xy′＋y＝0  的通解解：把原式写成：y""+(3/x)y"+(1/x²)y=0  由观察可知有特解 y₁=1/x；∵y₁"=-1/x²；y₁""=2/x³；代入原式并化简得：(2/x³)-3/x³+(1/x³)=0，即y₁=1/x确是原方程的一个特解；那么第二个特解为：∴原方程的通解为：y=C₁(1/x)+C₂(lnx)/x=(1/x)(C₁+C₂lnx);

应该是y=e的t次方吧？

根据euler方程的特点。根据euler方程的特点，求导几阶，则前面有x的几次方相乘。我们知道，幂函数求导一次，其幂次要降低一次。现在系数有一个x的幂相乘，相当于来弥补求导所造成的幂次的降低，而且弥补得不多也不少。所以会想到方程本身有一个幂函数的解。做这种代换，就会使方程代换后变成常系数方程。欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。而常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。

系数, 得设特解: ① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 例2. 解: 将方程化为 则方程化为 (欧拉方程) 即 特征根: ② 设特解: y ? A t 2 et , 代入 ② 解得 A =...

欧拉方程是把相邻的两起消费联系在一起，它是一架天平，要让任何一对相邻的两起消费都协调在一起，这样才能达到优化。其实不要过多试图理解欧拉等式的经济学意义，因为这个名称来自于动态规划这门应用数学学科。如果你学过的话，像 transverality condition, Bellman equation, Euler-Lagrange equation，这些东西的经济学意义基本不大，他们的存在是为了解模型，让模型time path优化。

我们考虑等熵相对论流体力学中由质子数守恒和动量守恒方程构成的欧拉方程组在状态方程p=k2ρ下具有周期初值的Cauchy问题,其中p是压强,ρ是密度,k21. 本文主要是利用绝热指数γ=1时方程组本身所具有的一些特殊性质,并结合Bnkhvalov-DiPerna条件构造对应的周期形式的Glimm泛函,进而证明对任意满足条件ρ0(x)0,‖ν0(x)‖∞1的具有局部有界全变差的周期初值(ρ0(x),ν0(x)),其中ν是气体速度,方程组存在一个整体空间周期熵解U(x,t),且=U(x,t)在Lloc1.意义下收敛到初值在一个周期上的均值(t→+∞).

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还是不清……………

变分法？不懂欧拉方程？http://hi.baidu.com/lijiaqigreat/blog/item/49521216a3f88a55f3de3234.html

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。

不需要，直接x=e^t算出来后的，直接包括所有齐次通解，你那个48算出齐次通解，然后设ax²+bx+c为特解，带进去，解abc

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

数一欧拉方程考过1次.。根据查询相关信息显示微分方程中可降阶出现频率较高，常在微分方程的应用题中出现，欧拉方程单独直接考查出现过1次。欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。

欧拉方程在高数第七章。第一章，连续性；第二章，描绘、近似解；第三章，积分表使用；第五章，审敛、函数；第七章，欧拉方程；第九章，二元函数的泰勒公式；第十章，含参变量的积分；第十二章，应用、一致性。简介历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

欧拉方程和N-S方程区别： 1、欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 2、N-S方程，即纳维-斯托克斯方程描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程。

欧拉方程x大于或小于0的结果都是一样。根据查询公开信息显示不论X的值是大于零，还是小于零，结果都是正数，即两者最终的结果是一致的。欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。

不可以，欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。中文名欧拉方程外文名Euler Equation本质运动微分方程地位无黏性流体动力学最重要的方程首次提出1755年简介其它TA说参考资料简介在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax2D2y+bxDy+cy=f(x)其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D2y的系数是二次函数ax2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x2D2-xD+1)y=0,(x2D2-2xD+2)y=2x3-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。

令x=e^t，然后转化为y与t的微分方程，求出y(t)后再把t=ln x代回去。

本条目讨论流体动力学。对于其它意义的欧拉方程，参看欧拉方程。 在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。 跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。 欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。 本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

欧拉方程是对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程，是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛，在1755年，由瑞士数学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程，欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题，在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。

考的。常微分方程考试要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程；理解线性微分方程解的性质及解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；会解欧拉方程；会用微分方程解决一些简单的应用问题。扩展资料：考研的相关要求规定：1、推荐和接收办法由学校（招生单位）根据教育部的有关规定制定。被接收的推免生（包括研究生支教团和农村教育硕士项目的推免生）须在国家规定的报名时间内到报考点办理报名手续，且不得再参加统考。2、取得国家承认的大学本科学历后连续工作4年或4年以上，业务优秀，已经发表过研究论文（技术报告）或者已经成为业务骨干，经考生所在单位同意和两名具有高级专业技术职称的专家推荐，为本单位定向培养或委托培养的在职人员。3、有国家承认的大学本科毕业学历的人员，网上报名时需通过学信网学历检验验证，没有通过的可向有关教育部门申请学历认证。参考资料来源：百度百科-考研数学

理想欧拉方程的等号左边第2项怎么推出来的？理想欧拉方程的等号左边是一个二阶偏微分方程：$$frac{partial^2u}{partial x^2} frac{partial^2u}{partial y^2}=0$$ 由泰勒公式可以将它写成如下形式： $$ frac{1}{h_x}left[ frac{u(x h_x,y)-u(x,y)}{h_x} - frac{u(x,y)-u(x-h_x,y)}{h_x} ight] frac{1}{h_y}left[ frac{u(x,y h_y)-u(x,y)}{h_y} - frac{u(x,y)-u(X- h_{Y},Y) } { h_{Y}} ight]= 0 $$ 当$ h_{X}, h_{Y} $ 足够小时，上面的表达式可以近似地写成： $$ u_{xx} u_{yy} = 0 $$ 即理想欧拉方程。

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无粘性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒(连续性)、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程--包括能量方程--称为"欧拉方程"

1、优点。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程，可以做到精准计算无粘性流体在各个环境下的动力学参数。2、缺点。该方程只能用于无粘性流体。

我说的是理想流体定常流动时的欧拉方程和伯努力方程

欧拉方程有固定解法把一阶导，二阶导，三阶导换元具体换元如下图换完元，正常解方程就行了dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=1/e^t*(dy/dt)||d^2y/dx^2={d[1/e^t*(dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=(1/e^t)*(d^2y/dt^2-dy/dt)*(1/e^t)=(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)||d^3y/dx^3={d[(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=[(1/e^t)^2*(d^3y/dt^3-d^2y/dt^2)-2(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]*(1/e^t)=(1/e^t)^3*(d^3y/dt^3-3d^2y/dt^2+2dy/dt)你先自己解一解，解不了你再追问我

欧拉方法是一种一阶 数值 方法，用以对给定初值的 常微分方程 （即 初值问题 ）求解。它是一种解决 数值常微分方程 的最基本的一类 显型方法 。 我们用上面的方程来控制位置和速度的变化率。 按牛顿第二定律，力除以质量，在典型的设置中，我们也知道时间0处的位置和 速度。 现在我们使用计算机来了解这些方程式导致的结果，最简单的方法称为前向欧拉方法。 Small time steps of size h : 欧拉的思想是通过在很短的时间内来解决这些方程式。如果我们从初始位置—— 和初始速度—— 开始，那么在一个很的短时间间隔 内会发生什么呢？ 位置将大约增加速度的h倍 ：如果速度是每秒2米，我们等待3秒，位置将改变6米。当然，实际仿真时我们使用的时间步长要小得多。 速度的变化也是类似的，在一些小的时间间隔 之后，速度将是其 原始值加上时间步长乘以加速度 ，即 。 所以这个方程会使我们获得大概从时刻0到时刻 的解。这里用等号其实并不是很准确，应该是约等于。 以同样的方式，我们可以用另一个时间步长得出从h到2h的结果。我们知道在第一步结束时我们已达到的位置，并且我们继续使用新的速度，这导致了新的位置——速度也是类似的。反复迭代此过程，就可以随时查找位置和速度的估计值。 另一种角度看上面的公式：从当前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数，可得到下一时刻的值。因此显式欧拉法又称为前向欧拉（Forward Euler） 参考 https://www.youtube.com/watch?v=42-eBNm3rCY

欧拉方程是对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程，是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。是1755年瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出的。丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv^2+ρgz=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，z为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv1^2+ρgz1=p2+1/2ρv2^2+ρgz2需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。

(2)式是对的。我不常用数学形式，不太熟，所以写成一面的样子：由（uv）"=u"v+uv"得d2y/dx2=d(1/x)/dx* (dy/dt) + 1/x * d(dy/dt)/dx 其中 d(1/x)/dx=-1/x^2 d(dy/dt)/dx= d(dy/dt)/dt * dt/dx=d2y/dt2 * 1/x代入即得。

从微分方程的理论上讲，两个都难啊。。但是难度所在的地方可能有不同。（1）Compressible Euler Equation的理论比较完备。最重要的fact是，smooth solution（with some nicely prepared initial data在finite time会blow up--T.Sideris。由于Euler可以写成conservation law的形式，所以可以expect产生shock wave。但是高维守恒律的研究本来就很困难，因此multi-D Euler的weak solution如何提admissibility条件（熵条件）是很困难的。----之前对sideris的结论的描述听起来有点misleading。我们只能说已知有一些smooth initial data决定的smooth solution有finite time blowup。能否提出一个multi-D compressible Euler的finite-time blowup/global in-time redularity的criterion是一个major open problem。（2）Incompressible Euler：目前部分的研究集中在weak solution上。近年一大进展是关于Onsager conjecture的：Constantin-E-Titi（E=鄂维南）证明了如果弱解是Holder的，holder指标大于三分之一，那么弱解是唯一的。这个结论是purely mathematical的，但跟物理上的紊流有关：参见K41 theory，即kolmogorov在1941年提出的理论。另一方面，De Lellis-Szekelyhidi及他们的学生们利用gromov的convex integration technique（传奇数学家nash的C^1 isometric embedding定理与其关系密切），构造了holder指标小于a的无穷多的弱解。目前a的上限是1/5，距离onsager conjecture的1/3还有gap。----2016年底Isett把指标a做到了1/3-epsilon，via refinement of the convex integration method。另外，感谢评论区的朋友Zhao的指正，我对onsager conjecture一词的用法是slightly abused的：包括了existence and “genericity” of “wild” weak solutions。（3）Incompressible Navier Stokes。这个方程组有两个特点：从Navier-Stokes的角度上讲，因为存在diffusion term（ie laplacian），因此方程有parabolic equation 的特性，所以可以expect一些regularity结果；另一方面，由于incompressibility，流体的密度是不变的，因此有特殊的scaling property，而且压力可以直接由速度解出来（taking divergence to the momentum equation--the pressure solves a poisson equation）。关于regularity结果的cornerstone是caffarelli-Kohn-Nirenberg的关于“好的”weak solution的partial regularity theorem：如果initial velocity是energy data（L^2 div-free)，那么存在一个epsilon，对于“suitable weak solution” v，如果v的local L^2 norm加上p（压力）的local L^｛3/2｝-norm 小于epsilon，则v在大多数（x，t）处是Holder的。“大多数”的意思是：singular set的（a parabolic version of the）Hausdorff dimension是小于等于5/3的。对于这个结果，林芳华、Michael Struwe等有简化和改进。----另外，based on the partial regularity theory of C-K-N，Seregin-Sverak证明了：如果在whole space R^3里压力p有下界（不取到-infty），弱解是globally regular的（2010左右）。另一方面：虽然L^2是physical的energy space，但是并不invariant under Navier-Stokes scaling。。而L^3或L^｛3，infty｝（弱L^3）是满足的。因此把initial data pose在这些空间上，可以应用椭圆/抛物方程中常用的blow up technique，也就是去在某个spacetime point附近zoom in一个解，得到的 functions在rescale后还是同一个方程的解。一个重要的结论是backward uniqueness of （nice）weak solutions for L^3 initial data--cf Escuriaza-Seregin-Sverak。（4）compressible Navier-Stokes：这个是最“全”的navier-stokes方程组，因此也最难。对于polytropic gas压力满足p= ho^gamma，P-L. Lions解决了三维中gamma>9/5时weak solution的existence，E. Feireisl等人把gamma下界提升到了3/2。球对称情况下中国数学家江松-张平解决了gamma>1。近期Invent Math上有一个重要进展：Cheng Yu和Alexis Vasseur证明了三维compressible Navier Stokes Cauchy problem with large initial data的global existence，for gamma>1。但是该文章的方法需要两个viscosity coefficients其中的一个是 ho的power（满足一个well-known的Bresch-Desjardins提出的条件）。一个重要的open problem是当两个viscosity coefficients都是常数的时候，是否还有global existence of weak solution，for large data and gamma>1。

欧拉方程的意义：在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。

看看答案对不对

是的1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。欧拉方程是对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛。

1、欧拉方程是对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程，是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛，在1755年，由瑞士数学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程，欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题，在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。 2、补充内容： （1）在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。 （2）在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无粘性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒(连续性)、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程--包括能量方程--称为欧拉方程。 （3）跟纳维-斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法:“守恒式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律;而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。 （4）欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体--这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

1、欧拉方程是对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程，是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛，在1755年，由瑞士数学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程，欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题，在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。 2、补充内容： （1）在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。 （2）在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无粘性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒(连续性)、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程--包括能量方程--称为欧拉方程。 （3）跟纳维-斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法:“守恒式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律;而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。 （4）欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体--这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

欧拉方程：对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

1、欧拉方程是对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程，是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛，在1755年，由瑞士数学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程，欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题，在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。2、补充内容：（1）在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。（2）在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无粘性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒(连续性)、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程--包括能量方程--称为欧拉方程。（3）跟纳维-斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法:“守恒式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律;而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。（4）欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体--这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

　　欧拉方程和N-S方程区别： 　　1、欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 　　2、N-S方程，即纳维-斯托克斯方程描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程。

欧拉方程微分方程详解：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。用途欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。以上内容参考：百度百科-微分方程

欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。那么欧拉方程怎么应用？ 1、 在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为人们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。 2、 在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。 3、 历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。 4、 欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。 以上就是关于欧拉方程怎么应用的全部内容。

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

看数学物理方程最新版

推导过程如下图所示，从上向下，导出的是含多个自变量的泛函的欧拉方程参考资料：http://baike.baidu.com/link?url=_kHbsA0l2RZDOs6aohJZBvXNEw6MX0iVugPDppQuhqQpPyi2mAUyN0-u9_jrRruYTeGoHps3LclFVD-2RsKCya

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax²D²y+bxDy+cy=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关

欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换可化为常系数微分方程。欧拉方程的概念：对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax²D²y+bxDy+cy=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。

欧拉公式http://baike.baidu.com/view/398.html欧拉方程

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax²D²y+bxDy+cy=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关

谢谢， 我不能

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax²D²y+bxDy+cy=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关

你到底想问什么？以欧拉冠名的定理和方程不下十个，你至少把方程和定理的内容给个提示吧？

齐次欧拉方程的通解公式：u＋xu"＝(u－1)/(4u＋1)。(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。 ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。∵（1+x^2）y""=2xy"==>（1+x^2）dy"/dx=2xy"。=>dy"/y"=2xdx/（1+x^2）。=>ln│y"│=ln（1+x^2）+ln│C1│（C1是积分常数）。∴原方程的通解是y=C1（x+x^3/3）+C2。应用首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。