天元术

据史籍记载，金元之际已有一批有关天元术的著作，尤其是数学家李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。李冶在数学专著《测圆海镜》中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》则是李冶为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。他还著有《敬斋古今黈》、《敬斋文集》、《壁书丛削》、《泛说》等，前一种今有辑本12卷，后3种已失传。朱世杰所著《算学启蒙》，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法，以及他在高阶等差级数求和、高阶内插法等方面的重要成就。除李冶、朱世杰外，元代色目人学者赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。宋元时期，天文学与数学的关系进一步密切了。招差术的创立、发展和应用，是我国古代数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。北宋真宗时，有一年皇宫失火，很多建筑被烧毁，修复工作需要大量土方。当时因城外取土太远，遂采用沈括的方案：就近在大街取土，将大街挖成巨堑，然后引汴水入堑成河，使运料的船只可以沿河直抵宫门。竣工后，将废料充塞巨堑复为大街。沈括提出的方案，一举解决了取土、运料、废料处理问题。此外，沈括还有“因粮于敌”、“高超合龙”，“引水补堤”等，也都是使用运筹学思想的例子。沈括是北宋时期的大科学家，博学多识，在天文、方志、律历、音乐、医药、卜算等方面皆有所论著。沈括注意数学的应用，把它应用于天文、历法、工程、军事等领域，得出许多重要的成果。沈括的数学成就主要是提出了隙积术、测算、度量、运粮对策等。其中的“隙积术”是高阶等差级数求和的一种方法，为后来南宋杨辉的“垛积术”、元代郭守敬和朱世杰的“招差术”开辟了道路。垛积，即堆垛求积的意思。由于许多堆垛现象呈高阶等差数列，因此垛积术在我国古代数学中就成了专门研究高阶等差数列求和的方法。沈括在《梦溪笔谈》中说：算术中求各种几何体积的方法，例如长方棱台、两底面为直角三角形的正柱体、三角锥体、四棱锥等都已具备，唯独没有隙积这种算法。所谓隙积，就是有空隙的堆垛体，像垒起来的棋子，以及酒店里叠置的酒坛一类的东西。它们的形状虽像覆斗，4个测面也都是斜的，但由于内部有内隙之处，如果用长方棱台方法来计算，得出的结果往往比实际为少。沈括所言把隙积与体积之间的关系讲得一清二楚。同样是求积，但“隙积”是内部有空隙的，像垒棋，层层堆积坛罐一样。而酒家积坛之类的隙积问题，不能套用长方棱台体积公式。但也不是不可类比，有空隙的堆垛体毕竟很像长方棱台，因此在算法上应该有一些联系。沈括是用什么方法求得这一正确公式的，《梦溪笔谈》没有详细说明。现有多种猜测，有人认为是对不同长、宽、高的垛积进行多次实验，用归纳方法得出的；还有人认为可能是用“损广补狭”办法，割补几何体得出的。沈括所创造的将级数与体积比类，从而求和的方法，为后人研究级数求和问题提供了一条思路。首先是南宋末年的数学家杨辉在这条思路中获得了成就。杨辉在《详解九章算术算法》和《算法通变本末》中，丰富和发展了沈括的隙积术成果，还提出了新的垛积公式。沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”。元代数学家朱世杰在其所著的《四元玉鉴》一书中，把沈括、杨辉在高阶等差级数求和方面的工作向前推进了一步。朱世杰对于垛积术做了进一步的研究，并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式，这是元代数学的又一项突出成就。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。对于一般等差数列和等比数列，我国古代很早就有了初步的研究成果。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情，是有相当难度的。上述沈括、杨辉、朱世杰等人的研究工作，为此作出了突出的贡献。“招差术”也是我国古代数学领域的一项重要成就，曾被大科学家牛顿加以利用，在世界上产生了深远影响。我国古代天文学中早已应用了一次内插法，隋唐时期又创立了等间距和不等间距二次内插法，用以计算日、月、五星的视行度数。这项工作首先是由刘焯开始的。刘焯是隋代经学家、天文学家。他的门生弟子很多，成名的也不少，其中衡水县的孔颖达和盖文达，就是他的得意门生，后来成为唐代初期的经学大师。隋炀帝即位，刘焯任太学博士。当时，历法多存谬误，他呕心沥血制成《皇极历》，首次考虑到太阳视运动的不均性，创立“等间距二次内插法公式”来计算运行速度。《皇极历》在推算日行盈缩，黄道月道损益，日、月食的多少及出现的地点和时间等方面，都比以前诸历精密得多。由于太阳的视运动对时间来讲并不是一个二次函数，因此即使用不等间距的二次内插公式也不能精确地推算太阳和月球运行的速度等。因此，刘焯的内插法有待于进一步研究。宋元时期，天文学与数学的关系进一步密切了，许多重要的数学方法，如高次方程的数值解法，以及高次等差数列求和方法等，都被天文学所吸收，成为制定新历法的重要工具。元代的《授时历》就是一个典型。《授时历》是由元代天文学家兼数学家郭守敬为主集体编写的一部先进的历法著作。其先进的成就之一，就是其中应用了招差术。郭守敬创立了相当于球面三角公式的算法，用于计算天体的黄道坐标和赤道坐标及其相互换算，废除了历代编算历法中的分数计算，采用百位进制，使运算过程大为简化。数学名家我国古代数学领域涌现了许多学科带头人，是他们让古典数学大放异彩。假如历史上没有人研究数学，就绝不会有《周髀算经》、《九章算术》等这样的书流传下来；没有数学家，周王开井田、秦始皇建陵墓等一样也做不成。

李冶和朱世杰 1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。 天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x 为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致，按照李冶的记法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可写成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各项系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。 据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的著作，如蒋周《益古演段》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等（朱世杰《四元玉鉴》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。 李冶（1192—1279），真定栾城（今河北栾城县）人。生于大兴府（今北京市）。曾为金代词赋科进士，钧州（今河南禹州市）知州，元翰林学士知制诰同修国史。晚年隐居于河北元氏县封龙山下，收徒讲学并勤于著述，与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《测圆海镜》（12 卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》（3 卷）则是他为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。 朱世杰，字汉卿，号松庭，生平不详。所著《算学启蒙》3 卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入朝鲜和日本，产生了一定的影响。 天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。 不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术

朱世杰也是一位医生，肿瘤科的医生，在北京天健医院出诊，周二下午，周日全天。。。无痛病房

李冶、朱世杰。 天元术的发明者是宋元时期的李冶和朱世杰。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。

为天元术的发展做出贡献的金代数学家叫李冶。李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。金元时期的数学家。金正大末进士，辟知钧州。金亡北渡后，流落忻崞间，常与元好问唱和，世称“元李”。晚家封龙山（今河北省元氏县）下，隐居讲学。元世祖至元初，以翰林学士召，就职期月，以老病辞归。能诗词，有《敬斋集》，今有考订之作《敬斋古今黈》40卷传世。另著有《测圆海镜》12卷（1248年）、《益古演段》3卷（1259年）、《泛说》40卷、《壁书丛削》12卷。李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。

　　天元术的主要贡献者是李冶和朱世杰。1248年，金代数学家李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》、《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。 　　天元术简介 　　天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某棠”，就是现在的设未知数x，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式(就是含这个天元的多项式)，把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。 　　 李冶简介 　　李冶，真定栾城人，金代著名数学家。李冶与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《测圆海镜》(12卷)中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。 　 　朱世杰简介 　　朱世杰，字汉卿，号松庭。他的著作《算学启蒙》3卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部比较全面的数学启蒙书籍。

天元术主要贡献者是李治和朱世杰，李治在数学专著《测圆海镜》（12卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等著作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

　　天元术的主要贡献者是李冶和朱世杰。1248年，金代数学家李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》、《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。 　　天元术简介 　　天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某棠”，就是现在的设未知数x，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式(就是含这个天元的多项式)，把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。 　　 李冶简介 　　李冶，真定栾城人，金代著名数学家。李冶与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《测圆海镜》(12卷)中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。 　 　朱世杰简介 　　朱世杰，字汉卿，号松庭。他的著作《算学启蒙》3卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部比较全面的数学启蒙书籍。

李冶；朱世杰 1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。 天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x 为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致，按照李冶的记法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可写成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各项系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。 据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的著作，如蒋周《益古演段》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等（朱世杰《四元玉鉴》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。 李冶（1192—1279），真定栾城（今河北栾城县）人。生于大兴府（今北京市）。曾为金代词赋科进士，钧州（今河南禹州市）知州，元翰林学士知制诰同修国史。晚年隐居于河北元氏县封龙山下，收徒讲学并勤于著述，与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《测圆海镜》（12 卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》（3 卷）则是他为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。 朱世杰，字汉卿，号松庭，生平不详。所著《算学启蒙》3 卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入朝鲜和日本，产生了一定的影响。 天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。 不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。

天元术的主要贡献者是李冶。李冶，原名李治，字仁卿，自号敬斋，是金元时期著名的数学家，代表著作有《测圆海镜》、《益古演段》。李冶与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“元宋数学四大家”。李冶在数学专著《测圆海镜》中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《测圆海镜》的总结性强、专业度高和敢于创新。李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。用“元”代表未知数的说法，一直沿用到现在。

李冶；朱世杰1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的著作，如蒋周《益古演段》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等（朱世杰《四元玉鉴》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。扩展资料：天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。

对我国古代数学成就天元术的发展作出重要贡献的是李冶。李冶是金元时期的数学家，在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》。李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》。李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，它无疑是当时世界上第一流的数学著作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂。而且当时数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢。他在结束避难生活、回元氏县定居以后，许多人跟他学数学，这使得他需要编写教学用书，《益古演段》便是在这种情况下写成的。《测困海镜》的研究对象是离生活较远而自成系统的圆城图式，《益古演段》则把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方、圆面积。

天元术最主要的发明者是李冶和朱世杰两位数学家。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。李冶和朱世杰天元术的计算过程李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。用“元”代表未知数的说法，一直沿用到现在。他设未知数为“天”元，以常数项为“太”（太极），列出方程。列如，方程2x2+32x+256=0,他将等号左边的多项式表示成“天元式”，此后，他又吧常数项放到最上层，按升幂将系数依次往下排。两个多项式相加，将对应的天元式同层相加，元加元，太加太，等等。元乘天元式，“元”字移下一层。这些天元式的运算法则，与现在的多项式运算是一致的。列出多项式以后，用“增乘开方法”来求它的数值解。

对我国古代数学成就天元术的发展作出重要贡献的是李冶。李冶的著作有很多，比如说《测圆海镜》、《益古演段》都介绍了用天元建立二次方程，除了这些以外，还有在水利工程方面的应用，为后人准备了材料。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。卷一的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式）。扩展资料李冶方程理论进展第一，他改变了传统的把常数项看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方程也并非代表体积。第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数。

对我国古代数学成就天元术的发展作出重要贡献的是李治和朱世杰。天元术主要贡献者是李治和朱世杰，李治在数学专著《测圆海镜》（12卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等著作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

天元术天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等著作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。公元1248年，12卷的《测圆海镜》的天元术专著诞生。从此书开始，文词代数演变成符号代数。《测圆海镜》是一本高雅、正宗的数学专著。其高雅之处有三：一是总结性强。该书第一卷“识别杂记”阐述了用勾股弦求内切圆直径的方法，这些方法都是整合前代数学家所成。该书600多条定义，就是古代勾股容圆的总结。从第二卷起，他总结出一套行之有效的天元术程序，并用182种方法先后解答了148个问题。二是专业度高。书中所列的天元术理论，勾股形解法，数学抽象化的新起点等知识，都是当时最先进的理论知识。三是敢于创新。为了计算方便，该书中首次使用了负号（在数字上面加一横）和符号○（中文数字），以及一套先进的小数记法。这些都比西方数学家早几百年。李治很快认识到，自己花费十几年心血写出的《测圆海镜》太过高雅、精深，一般人看不懂，普及天元术从何谈起？为此，他决心写一部天元术的基础读物。经过十几年努力，他终于完成了三卷《益古演段》。“益古”指蒋周的专著《益古集》，“演段”即《益古集》中演示的条段法。所谓条段法，是根据古书《九章算术》中用几何方法代替代数方程的方法，因方程中各项均用条形面积所表示而得名。很显然，条段法是一种旧法，虽然直观，但计算麻烦且占篇幅。《益古演段》正是把条段法转化为天元术的第一理论书，正如序言所讲：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉！”《益古演段》最大特色就是用天元术解决日常所见的方、圆面积等问题。除四道题是一次方程外，其它都是二次方程，内容安排基本上是从易到难。当时只要熟读《益古演段》，便可依葫芦画瓢地列出方程解决类似问题。可以这么说，目前初中数学教材上的一元二次方程，其解题思想均来自于李冶的《益古演段》。《测圆海镜》和《益古演段》成为世界上至今保留下来的有关“天

所谓天元素就是我们现在常见的一元二次方程，现在基本上读过初中的人都能轻松将此方程解答出来，但是如果是在古代这样的算式是很难解答出来的，而这个时候就出现一个伟大的数学家李治，同时也是天元术的主要贡献者，解出了这个让人头疼的方程式。 天元术的演变过程 早在唐朝的时候就已经出现了天元术，并且数学家王孝通创造了一种“带从开立方”的解答方法，到了北宋的时候又出现了一位叫做贾宪的数学家创造了“增乘开方法”并且提出了“开方作法本原图”，再后来秦九韶极力推广“增乘开方法”成为了任意高次方程的求正根方法。 后来数学家李治花了十几年的时间写了一本《测圆海镜》的书，其中列举了很多种天元术的解决方法，但是《测圆海镜》写的过于高深和专业很多人都难以看明白，所以李治又写了一本比较浅显的《益古演段》，把常见的天元术从简到难依次编写出来。 一直到现在李治所编写的《测圆海镜》和《益古演段》两本书都是有关天元术的计算方法保存下来最原始并且最完整的著作，这个时候还只停留在只有一个未知数的时期，后来开始出现四个未知数的高次方程组，这个时候朱世杰编写出了《四元玉鉴》，解决了如何去除高次方程组的未知数问题。 这个时候天元术已经基本形成了，后来清代藏书家鲍延廷印的《知不足斋丛书》中收集了后人学习天元术的基本内容，并且数学家焦循和李锐共同编写了《天元一释》和《开方通释》，后来这两本书非常清晰明了的介绍了天元术。 后来天元素和现代方程论终于融合成了一体，也就是我们现在演算多次元方程的根本来源，天元素的形成对于整个世界的数学发展都具有非常深刻的意义看，据西方历史介绍，他们的多次元算法的演算比我们晚了三百多年。

01 李冶；朱世杰 1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x 为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致，按照李冶的记法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可写成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各项系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。 据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的著作，如蒋周《益古演段》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等（朱世杰《四元玉鉴》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。李冶（1192—1279），真定栾城（今河北栾城县）人。生于大兴府（今北京市）。曾为金代词赋科进士，钧州（今河南禹州市）知州，元翰林学士知制诰同修国史。晚年隐居于河北元氏县封龙山下，收徒讲学并勤于著述，与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《测圆海镜》（12 卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》（3 卷）则是他为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。朱世杰，字汉卿，号松庭，生平不详。所著《算学启蒙》3 卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入朝鲜和日本，产生了一定的影响。 天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。 不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。

天元术做出贡献的金代数学家是李冶和朱世杰。我国古代重要的数学成就天元术的主要贡献者是李冶，十二和十三世纪，中国北方终于出现了一种系统解一元方程的方法即著名的天元术，天元二字首次出现在北宋数学家蒋周的益古集中。天元术的特点主要是用于改进当时对方程的解法技巧，并且在其一些撰写的书籍当中也记录了用这一方法建立二次方程，后来开始运用在探索直角三角形内切圆的一些特性，为之后的数学研究起到关键的作用。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。

对我国古代数学成就天元术的发展作出重要贡献的是李冶。李冶在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。当时，北方出了不少算书，除《铃经》外，还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等，这无疑为李冶的数学研究提供了条件。他在桐川得到了洞渊的一部算书，内有九客之说，专讲勾股容圆问题。此书对他启发甚大。为了能全面、深入地研究天元术，李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就。扩展资料李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：第一，他改变了传统的把常数项看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方程也并非代表体积。第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数。此外，李冶还发明了负号，他的负号不同，是数字上画一条斜线。而在国外，德国人是在15世纪才引入负号的。李冶还发明了一套相当简明的小数记法，在李冶之前，小数记法离不开数名，如7.59875尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。

对我国古代数学成就天元术的发展作出重要贡献的是李冶。李冶是金元时期的数学家，在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》。李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》。李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。李冶简介李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。金元时期的数学家。金正大末进士，辟知钧州。金亡北渡后，流落忻崞间，常与元好问唱和，世称“元李”。晚家封龙山（今河北省元氏县）下，隐居讲学。元世祖至元初，以翰林学士召，就职期月，以老病辞归。能诗词，有《敬斋集》，今有考订之作《敬斋古今黈》40卷传世。另著有《测圆海镜》12卷（1248年）、《益古演段》3卷（1259年）、《泛说》40卷、《壁书丛削》12卷。李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。

金代数学家天元术的发展是李治。金代数学家天元术的发展是李冶，天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。宋代以前，数学家要列出一个方程，如唐代王孝通运用几何方法列三次方程，往往需要高超的数学技巧、复杂的推导和大量的文字说明。天元术的历史地位天元术最主要的贡献者是李冶和朱世杰两位数学家。1248年，金代数学家李冶在其著作测圆海镜、益古演段，以及元代数学家朱世杰的算学启蒙下卷四元玉鉴，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要立天元一为某某，相当于设x 为某某，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。随着宋代创立的增乘开方法的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是，又出现了中国数学的又一项杰出创造天元术。

天元术是数学家李冶发明的。他原在金朝做小官，元灭金后，隐居湾山，潜心研究学问，于1248年著成《测园海镜》12卷，以解直角三角形容圆内切圆问题为典型问题，论述“天元术”。李冶毕生致力于数学研究，对中国古代数学的发展做出了卓越的贡献。为了能全面、深入地研究天元术，李冶把勾股容圆（即切圆）问题作为一个系统来研究。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写出了《测园海镜》这是他一生中的最大成就。人物经历李冶一生不求显贵，却潜心著述，乐于教人。他学识渊博，因材施教，循循善诱，前来就学的学生越来越多，连一些有官职的中年人也慕名而来，以聆听李冶的教诲为乐事。后来家里容纳不下，就在乡人的提议和帮助下建了一座讲堂斋。这就是后来名闻遐迩的“封龙书院”。李冶在封龙书院讲授数学、儒经、文学、历史等知识，呕心沥血29余年，培育了大批人才，各地官府都争相任用他的学生。元朝大将、中书右宰相史天泽及其子史杠、史杞，廉访使荆幼纪，集贤学士焦养直，翰林修撰秉直郎王德渊等，都是李冶的学生。1257年，忽必烈委派专人带着自己的亲笔信专程请李冶，信中称他“学优才赡，潜德不耀”，把李冶请到开城（今内蒙古正蓝旗）问政。李冶在这次著名的王庭问对中提出了“立法度，正纲纪”、“辨奸邪”、“止征伐”和摒弃种族歧视、任人唯贤等建议，对忽必烈日后理政产生了一定影响。

天元术的主要贡献者是李冶。李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。 李治简介 李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。金元时期的数学家。金正大末进士，辟知钧州。 金亡北渡后，流落忻崞间，常与元好问唱和，世称“元李”。晚家封龙山（今河北省元氏县）下，隐居讲学。元世祖至元初，以翰林学士召，就职期月，以老病辞归。能诗词，有《敬斋集》，今有考订之作《敬斋古今黈》40卷传世。另著有《测圆海镜》12卷（1248年）、《益古演段》3卷（1259年）、《泛说》40卷、《壁书丛削》12卷。 李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。 天元术的影响 天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。

天元术的金代数学家叫李冶。李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。金元时期的数学家。金正大末进士，辟知钧州。李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。天元术的主要影响天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。以上内容参考百度百科-李冶

1、天元术的主要贡献者是李冶。 2、李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。 3、天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。

天元术的金代数学家叫李冶。李冶（1192年—1279年），流落在忻、埠（今山西省忻县与哼县）之间，著书立说。一二六五年，被召为元朝翰林院学士，几个月之后，以病老告归，于元氏（今河北省元氏县）封龙山下买田讲学，直至终年。李冶的一生，没有参加过很多的活动，但他绝不是尊崇孔教、信古疑今的旧俗儒生。他力主法治，敢于一针见血地指出当时朝政落后的根本原因。在思想上，他具有朴素的唯物主义思想。正因为如此，在当时儒家门徒对自然科学极力歪曲、贬低的思潮中，李冶能够不计功名，不畏讥讽，信心十足，全力以赴地从事数学科学的总结、普及、提高工作，为我国古代数学的发展，做出了杰出的贡献。李冶的数学贡献李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：一、他改变了传统的把常数项看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。二、李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方程也并非代表体积。三、李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。四、李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数。q

李冶是金元时期的数学家?文学家?诗人。金亡北渡，常与元好问唱和，世称“元李”。晚年居于封龙山下，隐居讲学。李冶在数学上的主要贡献是天元术，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉?秦九韶?朱世杰并称为“宋元数学四大家”。李冶的父亲李遹是位博学多才的学者，曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官。李冶出生的时候，蒙古军队加紧向金代朝廷进攻，腐朽的朝廷内已潜伏着亡国的危机。李遹的上司胡沙虎是一个深得金朝宠信的奸臣。李遹见他无恶不作，常常据理力争，置个人生死祸福于度外。李遹为了防备不测，便把老小送回故乡栾城。这时李冶正值童年，他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元氏求学去了。由于胡沙虎篡权乱政，李遹被迫辞职，隐居阳翟，从此不再过问政事。他吟诗作画，在当地颇有名声。父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。在李冶看来，学问比财富更可贵。他在青少年时期，对文学?史学?数学?经学都感兴趣，曾与好友元好问外出求学，拜文学家赵秉文?杨云翼为师，不久便名声大振。1230年，李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。1232年农历正月，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，走上了漫长而艰苦的流亡之路。这是他一生的重要转折点，将近50年的学术生涯便由此开始了。李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于现在山西省崞山的桐川。由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学?文学?历史?天文?哲学?医学。李冶在桐川的生活条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的写作。李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。特别值得一提的是，他在桐川得到了道教洞渊派的一部算书，内有九容公式，专讲勾股容圆问题的内容。此书对他启发甚大。为了能全面?深入地研究天元术，李冶把勾股容圆问题作为一个系统来研究。李冶讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，经过多年的艰苦奋斗，终于在l248年写成《测圆海镜》12卷。这是他一生中的最大的成就，也是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。其主要成就是总结并完善了天元术，使之成为我国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。卷1的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共600余条，每条可看做一个定理或公式。这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从0至9的完整数码。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇O空位，没有符号O。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程，给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。《测圆海镜》在体例上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义?定理?公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章?卷内容大体上平列。李冶以演绎法著书，这是我国数学史上的一个进步。《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。元代王恂?郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。元代大数学家朱世杰说:“以天元演之?明源活法，省功数倍。”清代著作家阮元认为:“立天元者，自古算家之秘术;而海镜者，中土数学之宝书也。”《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂，所以天元术的传播速度较慢。李冶清楚地看到这一点，他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具，同时深刻认识到普及天元术的必要性。于是，他在1259年写成另一部数学著作《益古演段》，这是一本普及天元术的著作。《益古演段》把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方?圆面积。全书64题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多为圆径?方边?周长之类。除4道题是一次方程外，其他全是二次方程问题，内容安排基本上是从易到难。此时的李冶对天元术的运用更加熟练，他在《益古演段》中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的。在数学理论上，《益古演段》也有创新。该书的问题同《测圆海镜》不同，所求量不是一个而是两个?三个甚至四个。按古代方程理论，应该用方程组来解，所含方程个数与所求量个数一致。但解二次方程组要比解一元方程困难得多。李冶既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补原理及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易求出了。《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新。李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题。同时，李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。《益古演段》图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学。这些特点，使它成为一本深受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播发挥了不小的作用。测圆海镜

对天元术做出贡献的金代数学家有李冶、杨辉、秦九韶、朱世杰。1、李冶李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人。金元时期的数学家。金正大末进士，辟知钧州。李冶在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。2、杨辉杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江省杭州）人，南宋杰出的数学家。他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。3、秦九韶秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）。精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所。4、朱世杰朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。天元术的影响天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。