向量空间

向量空间_百度百科http://baike.baidu.com/view/327493.htm

V对某某运算封闭，是说V的元素。经过这个运算之后，得到的结果还在V中。2a1还是实数，看成新的a1就行了。V2是向量空间，而V1不是。因为2不是1.两个V1的元素，相加的结果，已经不在V1了。即V1对于加法已经不封闭，它不是向量空间了。

向量空间的维度：尽管组成基的向量组不变，但是所有基的含有向量的个数是一致的，比如三维空间基中向量组的个数必须是3，这个数目就是向量空间的维度。当然，这里按照惯例提前使用了3维空间，这里说的就是维度。一个维度就是一个独立变量，也就是不受其它变量影响的变量。在这里shu，x1的取值不受任何限制，于是有一维，x2同理，所以有两维。例如：X=（x1，x2，x3，x4），其中x1+x2+x3+x4=0，这个因为四个变量中有三个都可以任意取，但是第四个受其它三个限制，所以是三维的。扩展资料：更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性：零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的a 0 = 0，∀ a ∈ F0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的(−1)v = −v，∀ v ∈ V(−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V参考资料来源：百度百科-向量空间

你好！第一问你写的是正确的，第二问V2不是向量空间，因为对于V2中的两个向量α=(1,0,0,...,0)T，β=(0,1,0,...,0)T，它们的和α+β=(1,1,0,...,0)T不属于V2。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

你是看张宇的集合论了么····

1）v1不是向量空间：若a=(x1,x2,…,xn〕,b=(y1,y2,...,yn) ∈V1则 a+b=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)∉V1 ,因为它的元素之和=2≠1,2）v2是向量空间：若a=(x1,x2,…,xn〕,b=(y1,y2,...,yn) ∈V2则① a+b=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn),满足（x1+y1）+(x2+y2)+...+(xn+yn)=0,a+b∈V2② 对任意常数λ,λa=〔λx1,λx2,…,λxn〕,满足λx1+λx2+…+λxn＝0 λa∈V2基：e1=(1,-1,0,0,...,0)",e2=(1,0,-1,0,.,0),.,e(n-1)=(1,0,0,0,...,-1)维数=n-1

不是的,线性空间的定义是这样的一个空间：其中的各个元素对加法和乘法运算封闭,0和1向量的定义等等.向量空间除了要满足线性空间的那些条件外,还要有内积的定义.

这个只要明白生成空间的定义就行了 设 V=L(a1,...,as) 则 V= {k1a1+...+ksas} V中任一向量都是a1,...,as的线性组合,即可由 a1,...,as 线性表示 反之,ai = 0a1+...+kiai+...+0as 属于 V 所以两者等价

对于以向量为元素的集合 ，若对于向量集合 中的向量 和标量域 中的标量 ，以下两个闭合性和关于加法及乘法的 个定律均满足时，则称 为 向量空间 或 线性空间 ： 令 和 是两个向量空间，若 是 中一个非空子集合，则称子集合 是 的一个子空间。 令 和 分别是 和 的子空间，若映射 对 和任意标量 满足 叠加性 和 齐次性 ，则称 为 线性映射 或 线性变换 ： 也可以将叠加性和齐次性合并在一起写成线性关系式： 令 为向量空间，若对所有 和 ，映射函数 满足以下三条性质： 则称 为向量 与 的内积， 为 内积空间 。满足以上三个性质的实向量空间和复向量空间分别称为实内积向量空间和复内积向量空间。 令 为向量空间，向量 的范数为一实函数 ，若对所有向量 和任意一个标量 ，有下面性质成立： 则称 为赋范向量空间。 若 对所有向量 和任意一个标量 ，有以下条件成立： 则称 为向量 的 半范数 （也称为 伪范数 ）。 【注】半范数与范数的唯一区别在于：半范数不完全满足范数的非负性条件。 若 对所有向量 和任意一个标量 ，有以下条件成立： 则称 为向量 的 拟范数 。 【注】拟范数和范数的唯一区别在于：拟范数不满足范数的三角不等式。 令 为赋范向量空间，若对每一个 Cauchy 序列 ，在 都存在一个向量 ，使得 ，则称 为 Banach 空间 。 一个相对于范数完备的赋范向量空间 称为 Hilbert 空间。

　　向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。那么你对向量空间了解多少呢?以下是由我整理关于什么是向量空间的内容，希望大家喜欢!　　向量空间的简介 　　在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 　　向量空间它的理论和 方法 在科学技术的各个领域都有广泛的应用。 　　向量空间的线性映射 　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。 　　同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。 　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 　　向量空间的额外结构 　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。 　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。 　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。 　　向量空间的公理化定义 　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算： 　　向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 　　标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 　　向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w; 　　向量加法交换律：v + w = w + v; 　　向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v; 　　向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0; 　　标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w; 　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 　　有些教科书还强调以下两个公理： 　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V 　　V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V 　　更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。

什么是空间，空间的本质是一个集合，集合里面包含元素。这个空间的含义与我们生活中描述的空间含义是一致的，如我们说"宇宙空间"就是因为宇宙是一个大的集合，里面包括有恒星，行星等等。 线性代数中接触的有如二维空间，三维空间， 维空间等空间的本质也是一个集合，我们管这种空间叫做 。在基础的几何学里，就是在欧几里得空间处理诸如 点，线，面 这样的几何元素之间的关系。 从有序实数元组集合来看，欧几里得空间可以理解为一个点集，每个点的实质就是一个有序的实数元组。 从向量视角来看，欧几里得空间就是一个起点为原点的向量集合； 在欧几里得空间，一个点其实可以看成一个向量。 在线性代数领域，我们不讨论其它空间(如宇宙空间，一个房子所形成的空间)，而是研究一种特殊的空间，就是欧几里得空间(有序实数元组集合 )，更进一步欧几里得空间不仅仅是一个 空间 (空间作为一个集合，它可能是杂乱无章的，也可以是有序的，这不方便进行研究)，同时还是一个 向量空间 (一种具有特殊性质的空间)。 向量空间: 空间中的元素是“向量”。其中“向量”这个名词的定义是很广泛的，不仅仅指之前学习的“起点在原点，并且有方向”这种概念的向量(这种向量是定义在欧几里得空间里的描述)。 “向量”的具体定义，或者说一个元素具体满足哪些性质可以称之为“向量”？数学家给出的定义是对于向量来说必须定义两种运算：①加法运算 ，②数量乘法 。 是向量空间，在欧几里得空间的这些向量(元素)是有序实数元组，对这些向量定义的加法和数量乘法两种基础运算也都满足“向量的十条性质”。 在这个世界上 向量空间 不仅仅只有欧几里得空间，而是存在有无数的向量空间，不同的向量空间对应的元素是不一样的，其中零向量是谁，负的向量是谁，包括向量的加法，数量乘法的定义都有可能不一样。 对于我们接触到的很多具体的实际问题的处理上近乎都是在欧几里得空间中进行处理的。

对应矩阵的列向量生成的空间，即像空间。核空间=零空间。

这一节主要是说明几个向量空间，关系到后面正交矩阵、线性拟合等感性上的理解 简而言之向量空间 包含了所有含有 个分量的向量。那 向量空间内 就很好理解了，就是任何 空间内的向量， 相加，乘以系数 （即线性组合），其结果依旧在这个空间内。 那么子空间呢？ 子空间就是一组满足其 线性组合 依旧在该集合内的向量集合（包含0） 最重要的子空间直接跟矩阵 相关。 对于 考虑如果A是非可逆矩阵，那么必然有一些 是可解的，一些 是不可解的，那么对于这些可解的 ，其只是矩阵 中的列向量的线性组合。这些 组成 的列空间。 记做 顾名思义，零空间就是 的时候，所有的解 所组成的空间。 问题来了，对于可逆矩阵而言，零空间有几个向量？没错，答案就是1。因为对于可逆矩阵而言， 只有唯一 这个解。 记做 如何通过消元法求出所有的 解呢？ 如前文所述，线性组合就可以表示为向量空间，那么，对于表达式 而言，必然存在 个特殊解。用特殊解的线性组合就可以构造出所有的满足 的解，自然也就是零空间了。 矩阵 的秩(rank)就是主元素(pivot)位置非零的数量，记做 注意哦，这里的矩阵 不一定是可逆矩阵呢。那么，如何求解出所有的 的解呢？ 独立向量就是矩阵中那些不能由其他列线性组合得到的列。这些独立向量构成了空间。因为依赖列其实没有起任何作用，他们可以由独立向量线性组合得到。 矩阵的基可以理解为一组满足条件 1.相互独立2.构成整个空间 的向量集合 空间的维数等于这个空间的基的数量 列空间 零空间 行空间 转置矩阵零空间 思考：各子空间的关系 直接放图

向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。扩展资料向量空间的定理：1、向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；2、向量加法交换律：v + w = w + v；3、向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；4、向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；5、标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；6、标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；7、标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；8、标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。参考资料来源：百度百科-向量空间

有一个非空集合v和一个数域F，在v中定义了两种运算，叫加法运算+和乘法运算，在v与F上定义了一种运算，叫数乘运算λα。1，任意α，β∈v，有α+β=β+α2，任意的α，β，γ∈v，有……（加法结合律）3，乘法交换律4，乘法结合律5，任意λ∈F,有λ（α+β）=λα+λβ6，存在0∈v，使得任意α∈v有α+0=α7，对应任意α∈v，存在-α∈v，使得α+（-α）=08，存在单位向量1∈v，使得任意α∈v有α×1=α我们就说v构成了数域F上的向量空间

向量空间的维数的求法如下：向量组只有两个向量，且此两个向量线性无关，所以生成的子空间的维数是2。向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。 在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

一个向量空间必对加法、减法、数乘运算自封，在空间中任取一个向量 a，由 a-a=0 属于空间可知，向量空间一定含有 0 向量 。这是对的。

向量空间的基底就是线性空间的基，所谓基就是一组向量，满足以下两个条件：1、这组向量线性无关；2、向量空间中任何向量均可有这组向量线性表示出。书上有定义啊

判断向量集合是否为向量空间：看集合内任意的向量进行线性变换｛加法与数乘｝都能得出本集合的向量，那么这个集合就是向量空间。V2={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=0}是向量空间。但V1={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=1}不是，因为它对加法运算和数乘运算不封闭，即V1中任意两个元素的和不在V1中，V1中任意元素乘以常数k不在V1中(k不等于1)。向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

没有区别, 同一个概念的两种名字而已

有两零元素O1，O2有向量空间的定义知，O1=O1+O2=O2+O1=O2所以有O1=O2，即零元素是唯一的

有限维空间。3维的基为（1 0 0），（0 1 0），（0 0 1）。依次类推

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键． 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 （k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 ． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 可列出两个方程 两个方程，三个未知数 然后根据计算方便 取z（或x或y）等于一个数 然后就求出面的一个法向量了 会求法向量后 1。二面角的求法就是求出两个平面的法向量 可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos<a,b>=|n·n1|/|n| 如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交 那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角 2。点到平面的距离就是求出该面的法向量 在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点， 求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1 点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则 线线平行 l∥m <=> a∥b <=> a=kb； 线面平行 l∥α <=> a⊥μ <=> a·μ=0； 面面平行 α∥β <=> μ∥ν <=> μ=kν 线线垂直 l⊥m <=> a⊥b <=>a·b=0； 线面垂直 l⊥α <=> a∥μ <=> a=kμ； 面面垂直 α⊥β <=> μ⊥ν <=> μ·ν=0

没什么区别。空间维数的定义是，该空间一组坐标基向量中向量的个数。

我就说说复数域上有限维线性空间的情况吧。有限维线性空间的自同态就是线性变换，这个线性变换记为A。A一定存在特征多项式f(x), f(x) 在复数域上可以分解为一次因式的乘积，把它的标准分解写出来，f(x)=(x-x1)^s1(x-x2)^s2...(x-xk)^sk，那么线性空间就可以根据这个分解式有一个根子空间的直和分解。每一个根子空间特征值只有一个，通过变化可以把它转化成研究幂零线性变换的问题，研究结果是，每一个幂零子空间可以继续分解，分解成循环子空间的直和，于是每一个根子空间也可以对应地分解。我们可以证明循环子空间已经是最细的分解，不可再分了。最后，从每个“最细的”子空间里选出一组“适当的”基，线性变换A在这组基下对应的矩阵就是Jordan标准型。以上就是复数域上有限维线性空间Jordan标准型存在性的几何证明的大概思路。If you want to learn more details about it, please refer to "Basic Algebra" (written by N.Jacobson).

在一般的向量空间上定义内积后就成了内积空间，特别，对实数域R上的向量空间定义内积称为欧氏空间。欧氏空间是特殊的内积空间，当然也是向量空间。向量空间上不一定有内积。