什么是向量空间,最好有例子

矢量空间(或称线性空间)是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。矢量空间是可以缩放和相加的对象的集合。 矢量空间是可以缩放和相加的对象的集合。矢量空间的一个直观模型是矢量几何，几何上的矢量及相关的运算即矢量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了"矢量空间"这个数学概念的直观形象。在现代数学中，"矢量"的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成矢量空间，研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。

空间矢量数据库是整个系统各种信息要素所依附的骨架，本次调查的矢量数据涉及地质背景、区域地球化学、遥感解译、农产品安全、非点源污染、特色农产品立地环境、社会经济、基础地理等，均要求以空间数据分层形式存储与管理。下面以地球化学数据子库建立为例简述矢量空间数据库建库工作流程（图4-4），其他矢量数据的建库过程基本类似于地球化学数据子库的建设。（1）收集数据资料资料收集主要是对入库数据的采集、分类，其内容包括野外采样记录、点位数据、测试分析数据、监控数据、统计单元划分图等。（2）数据预处理数据预处理就是在全面收集资料的基础上，对需入库的纸质图件进行扫描、校正、矢量化等处理，并检查采样点位、组合点位坐标数据的正确性，以保证其点位误差在允许范围之内。再对测试数据采用“速成等值线图”的方法分析研究、综合整理及筛选等，若不合理，则要反向检查测试分析数据的正确性。然后就可进行“扩边”处理，根据浙江省农业地质环境调查的实际情况，一般要求使用最外围的分析测试数据再往外填充8km。图4-4 地球化学数据建库流程图（3）数据网格化数据网格化是对离散的、随机采样的分析数据点进行网格化处理，将不规则的离散数据点网格化为规则的数据点。网格化模型算法有最近点、距离倒数加权、三角剖分插值及克里金插值（包含多种漂移方式）等。数据网格化时要根据实际选择恰当的模型，比较常用的是最近点位和克里格插值模型。如在GeoMDIS 2002中，网格化时先选择欲操作的数据对象，设置坐标字段和网格化的分析项元素并给定网格文件名称，然后选择网格化模型算法和相关参数，设置网格化的特征值后即可以进行数据网格化。（4）定色阶各种分析元素含量值差异性大，为使之有一个统一的尺度，使用0.1lg 含量间隔直接勾绘等值线，个别特殊元素单独处理。pH值等值线间隔按土壤酸碱度分级标准划分。为了便于追索等值线延伸情况，等值线被划分成若干个色区，划分时依据平均值和标准离差而定，生成相应元素的色阶文件（*.PAL），定色阶这一步骤是主要针对地球化学图的制作，其目的是达到色调显示的统一。（5）生成等值线在GeoMDIS 2000中，根据插值生成的网络数据文件，并设置上一步形成的色阶等参数，就可生成彩色等值线图件。（6）数理统计按行政区统计单元、不同土壤类型统计单元、不同地质背景统计单元进行相关地球化学参数统计，生成相应的专题图。（7）图形编辑对GeoMDIS 2000生成的等值线、极值点、注释等导入到编辑功能强大的编辑软件（如MapGIS）中根据需要进行编辑。处理等值线的“尖锐化”、“孤高点”等现象。要保证等值线自封闭、圆滑，然后对生成的等值线与水系图层（主要考虑较大范围水域边界线）一起重新造区，和第六步生成的统计专题图一起进行必要的图形整饰，最后形成合理的地球化学面色图件。（8）分层与检查按照浙江省农业地质环境信息系统属性数据格式、图层划分要求建立分层文件，并对建立的分层文件进行检查，主要检查是否丢失图元和内容，同时要对各图层进行拓扑错误检查，如果发现拓扑错误，则返回第七步进行修改。要确保数据质量合格才能转入下一步。（9）属性采集根据图面内容填写相应的属性采集表，做到属性表记录内容和图形上标注的编码一一对应。填好的属性采集表可在Excel、Dbase、Foxpro等软件录入，形成DBF格式的数据文件（蔡子华等，2002）。也可直接在GIS软件的属性管理库中完成，如利用参数赋属性或单独逐一赋值。输出属性数据表要进行系统检查、修改。（10）属性挂接先进行图元和属性的一致性检查。对原图和属性表及属性库进行一一对应检查，如果发现漏图元或属性紊乱则要进行返回到上一步重新处理。然后将属性数据文件和图形数据文件利用图元编号（ID号）或特殊标识意义的关键字段进行挂接，使空间图形和属性数据联系在一起。（11）投影变换根据《浙江省农业地质环境数据库图层及属性文件格式要求》对完成属性挂接的图层进行投影变换，转换至以度为单位的无投影地理坐标系。（12）格式转换因为AGEIS是矢量数据并以Arc/Info格式数据入库，所以MapGIS格式完成的数据，需转换成Arc/Info格式才能进行入库。转换成功的Arc/Info格式数据还需进行Clean拓扑重建操作，在Arc/Info中使用Clean命令时需注意下列2个容限参数（樊红，1999）的选取：第一个参数为Dangle Length（悬挂长度），用Clean命令使任何短于该长度的悬挂线段都被删掉，一般使用0.000 001。第二个参数为Fuzzy Tolerance（坐标距离），用Clean命令使间距小于坐标距离容差的2个或2个以上的坐标点就合并成一个，一般使用0.000 001。MapGIS格式向Arc/Info格式转换后，对可能出现的错误需进行全面检查。（13）数据入库利用AGEIS系统提供的数据导入功能进行数据入库，形成地球化学数据子库。

丘奇兰夫妇。在人工智能伦理学慕课试题库中可知，道德识别的矢量空间是丘奇兰夫妇提出的。矢量空间是由一组完备的线性无关的基矢的线性组合所生成的空间。

小盆友你这问题就是有严重问题的……我只能把全部概念说一遍你自己去判断吧：一个矢量空间是：一个集合满足8条线性性质，具体可以到高等代数书上去查，主要就是满足数乘和加法；矢量空间里的元素就叫矢量。所以矢量本身不是定义的关键，你要定义只需要把矢量空间定义了就可以。所以你说的（1）应该是说，对于矢量空间，加法数乘等8条性质成立，相应的就确定了矢量空间，矢量随之确定。至于你说的（2），我姑且认为说的是实数上的n维欧氏空间rn吧（复数域上的矢量空间叫酉变换，只有实数域上才有所谓的正交变换），然后把我敢打赌你这句话是有毛病的，你仔细看看什么叫矢量是一个变换关系？？？你还是搞清楚要问什么再说吧。

简述空间分析的主要步骤：一、 矢量空间分析矢量空间分析主要通过空间数据和空间模型的联合分析来挖掘空间目标的潜在信息，而这些空间目标的基本信息，无非是其空间位置、分布、形态、距离、方位、拓扑关系等，其中距离、方位、拓扑关系组成了空间目标的空间关系。它是地理实体之间的空间特性，可以作为数据组织、查询、分析和推理的基础。通过将地理空间目标划分为点、线、面不同的类型，可以获得这些不同类型目标的形态结构。将空间目标的空间数据和属性数据结合起来，可以进行许多特定任务的空间计算与分析。1，图元合并图元合并即矢量空间聚合，是根据空间邻接关系、分类属性字段，进行数据类型的合并或转换以实现空间地域的兼并（数据的综合）。空间聚合的结果往往将较复杂的类别转换为较简单的类别，当从地点、地区到大区域的制图综合变换时常需要使用这种分析处理方法。2，空间查询空间查询是将输入图层与查询图层的要素或是交互输入的查询范围进行空间拓扑判别（包含、相离、相交、外包矩形相交），从输入图层中提取出满足拓扑判别条件的图元。3，叠加分析覆盖叠加分析是将两层或多层地图要素进行叠加产生一个新要素层的操作，其结果将原来要素分割生成新的要素，新要素综合了原来两层或多层要素所具有的属性。也就是说，覆盖叠加分析不仅生成了新的空间关系，还将输入数据层的属性联系起来产生了新的属性关系。覆盖叠加分析是对新要素的属性按一定的数学模型进行计算分析，进而产生用户需要的结果或回答用户提出的问题。二、 栅格空间分析基于栅格数据的空间分析是GIS空间分析的基础，主要包括：距离制图、 密度制图、表面分析、统计分析、重分类、栅格计算、可视性分析，地形因子分析，水文分析等功能。1，距离制图距离制图即根据每一栅格相距其最邻近要素（也称为“源”）的距离来进行分析制图，从而反映出每一栅格与其最邻近源的相互关系。通过距离制图可以获得很多相关信息，指导人们进行资源的合理规划与利用。2，密度制图密度制图主要根据输入的已知点要素的数值及其分布，来计算整个区域的数据分布状况，从而产生一个连续的表面。它主要是基于点数据生成的，以每个待计算格网点为中心，进行环形区域的搜寻，进而来计算每个格网点的密度值。3，表面分析表面分析主要通过生成新数据集，诸如等值线、坡度、坡向、山体阴影等派生数据，获得更多的反映原始数据集中所暗含的空间特征、空间格局等信息。

矢量场主要指场，是一个矢量的平面，是二维的；矢量空间主要指空间，是一个三维的空间，是立体的空间。

简单的一句话就是要想在空间坐标系里表示一段线段，这段线段光有长度是不够的，还要有方向。这就是矢量

数据类型不同，数据分析。1、区别。三维场景数据是描述现实世界中三维场景的数据，包括建筑、地形、植被等，而矢量空间数据则是描述二维平面上的地理要素，如点、线、面等。2、联系。在GIS中，矢量空间数据和三维场景数据都可以进行各种分析操作，例如缓冲区分析、叠加分析等。

是CELP编码的一种类型。

猫咪的嘴巴，相当于笑0w0

四条竖线的数学符号表示向量范数，下面的数字表示向量的-范数，即表示向量元素绝对值的平方和再开方，上面的数字表示范数的平方。范数，是具有长度概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。空间范数，有限维空间上的范数具有良好的性质，对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数；有限维线性空间的所有范数都等价；实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

向量的范数内容如下：向量范数一般指范数。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。基本性质：有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数。性质2（Minkowski定理）：有限维线性空间的所有范数都等价。性质3（Cauchy收敛原理）：实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。

两个向量的话就是两者不成比例。多个向量的话，通俗一点，就是不存在其中某个向量能被其他向量线性表出。用数学上准确的定义就是：一组向量a1 ,a2 ,……，an线性无关 当且仅当k1*a1+k2*a2+……+kn*an=0只有在k1=k2=……=kn=0时成立

1、定义法令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。2、向量组的相关性质（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的

1、在线性代数里，向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关，反之称为线性相关。2、例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。3、在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。如何理解矩阵的线性相关和无关？1、线性相关性与向量的线性表示有关，刻画线性相关的定理: 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。2、 线性相关的向量组中有"多余"的向量, "多余"是指它可由其余向量表示，而向量组的极大无关组(线性无关)就可理解为向量组精减后的代表。

设k1X1+k2X2+k3X3=0。 ............（1）A(k1X1+k2X2+k3X3)=k1AX1+k2AX2+k3AX3=k1X1+k2(X1+X2)+k3(X2+X3)=(k1+k2)X1+(k2+k3)X2+k3X3=0。.......（2）联立方程（1）与方程（2），两个方程相减，得k2X1+k3X2=0。..........（3）A(k2X1+k3X2)=k2AX1+k3AX2=k2X1+k3(X1+X2)=(k2+k3)X1+k3X2=0。..............（4）联立方程（3）与方程（4），两个方程相减得k3X1=0，因为X1≠0，所以k3=0。把k3=0代入（3）得到k2X1=0，因为X1≠0，所以k2=0。把k2=k3=0代入（1）得到k1X1=0，因为X1≠0，所以k1=0。所以由（1）只能得到k1=k2=k3=0，所以X1,X2,X3线性无关。

DIV，即散度（divergence）。 其运算公式为： 设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量。 而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 divA = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。其中，上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。 散度是矢量分析中的一个矢量算子，将矢量空间上的一个矢量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是矢量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的矢量是“向外”居多还是“向内”居多。 扩展资料 应用： 1、电磁学、电动力学中 静电场E的散度不为零、旋度为零，是有源无旋场。静磁场B的散度为零、旋度不为零，是有旋无源场。 2、气象学中 散度可以表示流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。散度值为负时为辐合，此时有利于气旋等对流天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于反气旋等天气系统的.发展。 往往，气象学中 应用最多的v是风速 的“水平散度”。水平散度的表达式是：div V=δu/δx + δv/δy，其中u是x轴方向的风速大小，v是y轴方向的风速大小。一般来说，x轴表示纬圈切线方向(自西向东为正)，y轴表示经圈切线方向(自南向北为正)。

没有这个东西。线性相关是对单个向量组来说的。两个向量组之间只有是否（行或列）等价的关系。谢谢。

矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。一般来说，在物理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。舍弃实际含义，就抽象为数学中的概念──向量。在电脑中，矢量图可以无限放大永不变形。矢量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的量，因常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的标量。在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。并采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进范数和内积的欧几里得空间。矢量对标量求导后结果为矢量。而标量对标量求导结果仍为标量。（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小（包括有关的单位），又要有方向才能完全确定。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。比如说位移这样的物理量叫作物理矢量。有些物理量，只具有数值大小（包括有关的单位），而不具有方向性。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。例如温度、质量这些物理量叫作物理标量。（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。即 A－B=A+(－B)。矢量的乘法。矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫数量积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢量积。例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标量积，W=F·s，P=F·v。力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F，F=qv×B。②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是研究物理学的有用工具。一般来说，矢量只有在同方向上才可比较大小，不同方向上的矢量一般不能比较大小。①矢量：力（包括力学和电磁学中的“力”），力矩、线速度、角速度、位移、加速度、动量、冲量、角动量、场强、速度等。②标量：质量、密度、温度、长度、功、功率、速率、体积、时间、热、电阻等。希望我能帮助你解疑释惑。

没什么区别。空间维数的定义是，该空间一组坐标基向量中向量的个数。

狄利克雷函数的性质　　1. 定义在整个数轴上。　　2. 无法画出图像。　　3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。　　4. 处处无极限、不连续、不可导。　　5. 在任何区间上不黎曼可积。　　6. 是偶函数。　　7.它在[0,1]上勒贝格可积

矩阵没有模 你所指的模其实是m*m矩阵的行列式化|A| (非m*m矩阵不能行列式化) 或矩阵为一列时的范数||A|| 当矩阵为一列时 范数可以看成矩阵的模（范数也称为长度）因此矩阵行列式化和范数是两个完全不同的概念 而单列矩阵的的范数可以理解称模来算

数学为很多自然科学提供了工具四元数在物理中的应用：简单的说四元数应该应用在电磁物理学中，下文有讲(1) 广义相对论是一副绝世名画,当很多人欣赏这个画的时候,有的人看不太懂。以为这个是凡高的画，你横直看不懂的时候，除了赞美之外只能保持缄默不语。而当代还活着的广义相对论画家中，彭罗斯却一意孤行，有了很高的见地。从他的旋量手法出发，他几乎一个人做出了扭量（twistor），这是一个曲高和寡的计划。在扭量计划中，一直以来物理学家习惯的时空点不再是最基本的。也就是说，时空点不是最基本的。这确实是疯狂了，凡高因为他的疯狂割掉了自己的耳朵，最后还饮弹自戕。这是一种艺术的疯狂，而彭罗斯浑身充满了科学的理性的色彩，他生活在优美的世界里，有美丽的妻子，安静的日子。 会画画的人多数知道射影几何。当一个画家站在野外写生的时候，画板竖立在面前，画家看到一对平行的铁路线，当在画在纸上的时候，所有跟铁路一起平行的线应该是交于一个点的。这背后的数学就是射影几何。 如果时空点不是最基本的，那么什么是最基本的呢？彭罗斯的答案是光线。 这个答案确实让人感觉深刻地懵懂。但光线是世界上最重要的因素。在前面我们已经看到，上帝说要有光，于是就有了光。同时，人类是有眼睛的生物，眼睛是最伟大的生物器官之一。上帝对多数人足够仁慈，他不曾考验多数男人，出过二难绝境：如果让你失去眼睛，或者失去男根，二选一，你将做何选择？ 人的眼睛是很重要的，这是审美的工具，也是这个世界有意义的大部分理由。一条光线从远处跑来，它一路经过了很多时空点，但在视网膜上仅仅是同一点。 在扭量计划中，通俗地讲，视网膜相当于扭量空间。所以，眼睛是心灵的窗户，这句话背后完全有数学的基础。人类通过讲废话达到相互确认，但心灵上总是感觉空虚，这原因在于，多数废话背后没有数学的基础。 什么是一个扭量呢？？（这个问题的答案很长，读者请漫漫往下读，读到最后就明白了。） 最简单的说，一个时空点R，需要（t，x，y，z）四个实数来刻画。而这个点的四个实数相对于一个原点,构成了一个四维矢量。这个四矢量背后，有一个美丽的故事。 对于三维矢量，人们可以谈论叉乘。也就是矢量乘法，但这不是一件平庸的事情。也仅仅在三维中，一个矢量和另外一个矢量的叉乘，得到的还是一个三维矢量。 （2）威廉.哈密顿,历史上最伟大的数学家之一。 1805年8月3日出生于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。14岁时就学会了12种欧洲语言。13岁就开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17岁时掌握了微积分，并在光学中有所发现。22岁时大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授，同时获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号。哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作而酷爱真理的人。他和妻子在一起散步的桥头，已经有一个纪念碑。 四元数是由哈密尔顿在 1843年爱尔兰发现的。爱尔兰有一个很多人熟悉的英雄，威廉.华莱士。在电影《勇敢的心》中，有一柄长剑，叮地插在大地之上，长剑在风中微颤，你仿佛听见爱尔兰的英雄在高呼：Freedom！！ 在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲，它就是pauli矩阵，有了pauli矩阵，就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应，而有了pauli矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。 当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密尔顿记述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河散步,突然灵感扑面而来,他在桥上写下乘法表:i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。这是一个普通的桥,它以前的名字叫布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。 哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。 根据上述乘法表，四元数显然是复数的扩充，它将复数作为特殊形式包含在自身之中，它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中,乘法是交换的,比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1x2=2x1,但这背后其实埋藏无穷秘密。哈密顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。 我们知道，s0（n）群中，只有so（4）不是单李群。也只有在4维之上，霍奇算子能把曲率映为曲率。也只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。loop量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是4维的，但上帝用数学来回答。 在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了厚厚的《电子论》，Lorentz的《The Theory of Electrons》总共三百多页，当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑次力公式 f=qE+vX B 出现了点乘与叉乘。 这个是一个经典电动力学里的假设,但可以相信,这个假设说明,在四元数中,结合方法必须既有点乘又有叉乘.这个假设是实验证实的,所以洛仑次是伟大的. 电磁理论与四元数的结合是自然的，天然的，同时是微妙的。因为电磁场在4维时空才是天然的。 我们知道一个3矢量与一个3矢量的叉乘，但不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢？？ Grasmann（1809-1877)生于德国Stettin（今属波兰），曾经在柏林大学攻读神学，哥廷根大学没落之后,柏林大学似乎已经成为德国最出色的大学.格拉斯曼大学毕业后长期在家乡中学任教，业余从事科学研究，成为梵文权威和数学家。1844年他了发表《线性扩张论》。建立了所谓的“扩张的量”（即有n个分量的超复数）的概念和运算法则，其中包括了非交换乘法和n维空间的重要思想，形成了张量理论的初步思想。 grassmann代数又叫外代数，超对称代数就是由poincare代数与外代数组成的。 clifford代数当然是数学家讲旋量必须的出发点之一，数学家不讲这个而谈旋量显得有点脱离潮流。 一个很直接的看法是，n维矢量空间上的外代数和n维矢量空间（含内积）上面的clifford代数具有相同维数，全部是2的n次方维。这样的话，作为有限维的矢量空间，它们是同构的。但作为代数，它们不是一样的事情。clifford比外代数复杂一点，或者说，前者是后者的量子化或者畸变。 总的来说，外代数很重要，因为外微分很重要。clifford代数很重要，因为我们有复数，有四元数，我们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了8元数就终结了，要找新的代数，只能去发现clifford代数了。因为它作用在旋量之上，所以在下面的章节可以漫漫谈来。 旋量由此产生，最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但也可以说与clifford代数关系密切。比如物理学家比如咯兴林的《高等量子力学》把dirac矩阵乘起来的16个矩阵叫做dirac群，其实这就是一个clifford代数。 旋量具体来说就是N维度规空间上的正交群的表示。大家最熟悉的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了，其最低维的双值表示便是二维的旋量表示，这个是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间。其结果是：最低维旋量的表示维数是：2^{n/2-1} 当n是偶数的时候；2^{n/2-1/2} 当n是奇数的时候。 当维数为六时，SO(2,4) 的表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？？对于的关键在于，我们把四矢量（t，x，y，z）用pauli 矩阵写出来，或者说，用四元数写出来。写出来后是一个矩阵。这个矩阵，记做N。那么，一个扭量（z1，z2，z3，z4）满足如下扭量方程。z1 N N Z3 z2 = N N Z4这个方程非常专业，跟爱因斯坦方程一样是一副名画。但不专业的读者们可以暂时忘却它，不能忘却的是，扭量理论中最重要的是光线，光线最重要。对于多数人来说，光线意味着光明。对相对论来说，光明意味着光线，也意味着扭量。

线性无关就是指在一组数据中没有一个量可以被其余量表示，和线性相关对应，在线性代数中，若是矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关。反之称为线性相关。扩展资料：线性无关的性质如下：1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关;，若a≠0, 则说A线性无关。3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。4、含有相同向量的向量组必线性相关。5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。参考资料：百度百科-线性相关

有两零元素O1，O2有向量空间的定义知，O1=O1+O2=O2+O1=O2所以有O1=O2，即零元素是唯一的

有限维空间。3维的基为（1 0 0），（0 1 0），（0 0 1）。依次类推

双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α，β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 　　中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处

1范数为：所有1阶导数和原来函数的平方和再积分俩的表达式为

我们假设磁性体为均匀磁化且不考虑退磁和剩磁，磁化强度矢量M的空间分布如图3-5-1。图中M为总磁化强度矢量，MS为M在XOZ面（即观测剖面）的投影（分量），称为有效磁化强度矢量；MH为M在XOY面的投影，叫水平磁化强度矢量；I表示M的倾角，即磁化倾角；iS为MS的倾角，即MS与OX轴间夹角，称为有效磁化倾角；A′为Mx与MH间的夹角，A为磁性体走向与磁北的夹角。图3-5-1 磁化强度矢量空间分布图由上图可以看出：地球物理勘探概论由上式可知：地球物理勘探概论地球物理勘探概论以上关系式表明，磁性体的磁化强度与磁性体的走向或剖面方向有关。走向不同，被磁化的情况也不同。这是因为在一个局部地区，地磁场的方向是一定的；而磁性体的走向，可能有不同的方向。不同走向的磁性体，地磁场对它的磁化特点也不相同，即表面磁荷分布不同。由以上讨论可知，在前述假设条件下，磁性体被磁化不仅与当地地磁场的大小和方向有关、与其自身磁化率有关，还与磁性体的走向或剖面方向有关。在影响磁性体磁场特征的诸因素中，当形体确定后，磁化强度的方向是决定磁场特征的重要（或主要）因素。因为磁化强度的方向决定了磁性体磁荷的分布特征，磁荷的分布与磁性体磁场的分布特征直接有关。图3-5-2 ΔT与Ta关系图

是范数符号。范数是是数学中的一种基本概念，是具有“长度”概念的函数，用“║║”来表示。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。在泛函分析中，范数定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。范数常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。内积、度量、拓扑和范数的关系：(1)范数——度量——拓扑：d（x,y） =║x-y║，因此赋范线性空间是度量空间；但是由度量不一定可以得到范数。(2)如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量d（x,y） =║x-y║的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。(3)如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数（seminorm或者叫准范数），相应的线性空间称为赋准范线性空间。

复内积：在数学里面，内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。

矢量是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。一般来说，在物理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。舍弃实际含义，就抽象为数学中的概念──向量。在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。并采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义。模为1的矢量为单位矢量。方向不随空间坐标变化的矢量为常矢量。直角坐标系中的单位矢量为常矢量，而圆柱、球坐标系中的除z方向单位矢量都不是常矢量。

矢量空间（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。矢量空间的一个直观模型是矢量几何，几何上的矢量及相关的运算即矢量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“矢量空间”这个数学概念的直观形象。在现代数学中，“矢量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成矢量空间，研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。

有大小 ，有方向的一类量，比如速度，

f范数的是一种矩阵范数。Frobenius范数，简称F-范数，是一种矩阵范数，记为｜｜·||F。矩阵A的Frobenius范数定义为矩阵A各项元素的绝对值平方的总和。可用于利用低秩矩阵来近似单一数据矩阵。用数学表示就是去找一个秩为k的矩阵B，使得矩阵B与原始数据矩阵A的差的F范数尽可能地小。范数介绍：范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。在二维的欧氏几何空间R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

没有区别, 同一个概念的两种名字而已

相互推算出

在线性代数中，列向量是一个n×1的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成。列向量的转置是一个行向量，反之亦然。所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间。单位列向量，即向量的长度为1，其向量所有元素的平方和为1。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关。

具体如下：以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n。(矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个)。所以 r(A)<=n。所以 A 的列向量组的秩 <= n。即 n+1个n维向量 的秩 <=n。故线性相关。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 [1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。定理1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。5、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】。

1、在线性代数里，向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关，反之称为线性相关。2、例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。3、在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。如何理解矩阵的线性相关和无关？1、线性相关性与向量的线性表示有关，刻画线性相关的定理: 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。2、 线性相关的向量组中有"多余"的向量, "多余"是指它可由其余向量表示，而向量组的极大无关组(线性无关)就可理解为向量组精减后的代表。

因为无穷大算子范数就是行和范数，就是行上的元素模的累加和的最大者。‖A‖∞·‖=max{|1|+|1|+|1|，|1|+|10|+|10^2|，|1|+|10^2|+|10^3|}=1000101cond∞（A）=‖A‖∞·‖A^-1‖∞=1000101*1.22241=1222533.463输入矩阵：A=［17，0，1，0，15；23，5，7，14，16；4，0，13，0，22；10，12，19，21，3；11，18，25，2，19］；命令：cond（A，1）结果：ans=92。1325命令：cond（A，2）结果：ans=48。3117命令：cond（A，inf）结果：ans=68。范数范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

设有n个向量a1，a2，an（都是m维），如果他们线性无关，那么n个向量组成的向量组的秩就是n。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。“点基于点是0维、点基于直线是1维、点基于平面是2维、点基于体是3维”。再进一步解释，在点上描述（定位）一个点就是点本身，不需要参数；在直线上描述（定位）一个点，需要1个参数（坐标值）。扩展资料：通常的理解是：“点是0维、直线是1维、平面是2维、体是3维”。实际上这种说法中提到的概念是“前提”而不是“被描述对象”，被描述对象均是“点”。故其完整表述应为“点基于点是0维、点基于直线是1维、点基于平面是2维、点基于体是3维”。再进一步解释，在点上描述（定位）一个点就是点本身，不需要参数；在直线上描述（定位）一个点，需要1个参数（坐标值）；在平面上描述（定位）一个点，需要2个参数（坐标值）；在体上描述（定位）一个点，需要3个参数（坐标值）。参考资料来源：百度百科-维度

L2 norm欧几里德距离。L1 norm绝对值相加，又称曼哈顿距离。L0 norm向量中非零元素的个数。一个测度空间上的平方可积函数（实值或复值）构成的函数空间上可以定义L2范数，范数定义为函数的绝对值的平方的积分的平方根。此外该空间还可以定义内积，f,g的内积为两者的乘积再积分，该内积诱导本来定义的范数。范数是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

如图，欢迎追问

向量空间的基底就是线性空间的基，所谓基就是一组向量，满足以下两个条件：1、这组向量线性无关；2、向量空间中任何向量均可有这组向量线性表示出。书上有定义啊

你的题目是："设向量组a1,a2,........ar线性相关，而其中任意r-1个向量都线性无关，证明要使k1a1+k2a2+....+krar=0成立,k1,k1,.....,kr必全不为0或全为0"对吧？ 第一步：k1,k1,.....,kr全为0，这很容易验证，k1,k1,.....,kr全为0，k1a1+k2a2+....+krar=0成立的。 第二步：因为向量组a1,a2,........ar线性相关，其中任意r-1个向量都线性无关。采用反证法，不失一般性，设ki=0，当ki等于0时，剩下k1a1+k2a2+....+ki-1ar-1+ki+1ar+1+krar=0，任一r-1个向量线性无关，则k1,k1,.....,kr全为0。向量组a1,a2,........ar线性相关，必存在系数不为0的情况。假设矛盾。故结论成立。不知道你懂我意思没？希望能帮助到你！

矩阵f范数f范数的是一种矩阵范数。Frobenius范数，简称F-范数，是一种矩阵范数，记为｜｜·||F。矩阵A的Frobenius范数定义为矩阵A各项元素的绝对值平方的总和。可用于利用低秩矩阵来近似单一数据矩阵。用数学表示就是去找一个秩为k的矩阵B，使得矩阵B与原始数据矩阵A的差的F范数尽可能地小。范数介绍：范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。在二维的欧氏几何空间R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。￥5.9百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取矩阵f范数矩阵f范数f范数的是一种矩阵范数。Frobenius范数，简称F-范数，是一种矩阵范数，记为｜｜·||F。矩阵A的Frobenius范数定义为矩阵A各项元素的绝对值平方的总和。可用于利用低秩矩阵来近似单一数据矩阵。用数学表示就是去找一个秩为k的矩阵B，使得矩阵B与原始数据矩阵A的差的F范数尽可能地小。第 1 页范数介绍：范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。在二维的欧氏几何空间R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

判断是不是向量范数：那么向量的范数，就是表示这个原有集合的大小。而矩阵的范数，就是表示这个变化过程的大小的一个度量，而0范数则指向量中非0的元素的个数。-范数║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│-范数║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2∞-范数║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞范数是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

关于向量组线性相关的性质如下：对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的。 向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。 包含零向量的任何向量组是线性相关的。 含有相同向量的向量组必线性相关。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1](linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。在向量空间V的一组向量A: ，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使则称向量组A是线性相关的 ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。由此定义看出 是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即看这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而 线性相关。注意对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。