矩阵的秩

问题一：什么叫矩阵的秩 将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩 将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩 矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩 问题二：矩阵的秩是什么 麻烦讲得通俗易懂 10分 就他妈是方程的个数，你平常解方程怎么解的，是不是就把两个方程相互加减啊，有的时候你把方程相加减最后你会发现有一对甚至更多的方程是一样的，这些一样的方程就等价于一个方程，然后加上其他的那些乱七八糟的方程，就是秩 问题三：线性代数里的秩到底是什么 就是矩阵的一个数字特征！他是一个矩阵的固有属性！就是指最大的不为零的子式的行数或列数！ 问题四：请问矩阵的秩的性质4是什么意思啊？ 你说的是性质 若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A) 么 这里就是表示 对矩阵A左乘或右乘可逆矩阵， 其秩不变 即对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩 问题五：矩阵的秩是什么意思 你说的是性质若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A) 么 这里就是表示 对矩阵A左乘或右乘可逆矩阵， 其秩不变 即对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩

我们通过一个例子来学习：如何计算矩阵的秩 假设我们有这样的矩阵：第一步便是求 行阶梯形矩阵 ，求法就是把 经过一系列的初等变换以后我们得到 行阶梯形矩阵 ：由于特别像楼梯，所以我们叫做 行阶梯形矩阵 （并不要求，每个阶梯的第一个数必须是 1） 接下来我们把 行阶梯形矩阵 转换成 行最简形矩阵 行最简形矩阵 要求： 现在由于我们的 行阶梯形矩阵 ：阶梯上的第一个元素全为 1，所以我们只需将，第一个 阶梯元素 的其他行变为 0 就行了： 所以我们将 并且 得到：化到最简我们可以实现：可以将「行最简形矩阵」经过列变换以后，得到 标准型 矩阵 所谓 k 阶子式就是在原矩阵中，画 k 条横线 k 条竖线，然后取交界。 比如假设我们有这样的矩阵： 它的一阶子式就是： 也不说秩的定义了，直接上结论： 假设我们有矩阵 A，行最简形矩阵中非 0 行的个数叫做矩阵的秩，记做 如果矩阵 A 满秩： 假设矩阵 ，我们有以下结论：

矩阵的秩与特征向量的个数的关系：特征值的个数等于矩阵的秩，特征向量的个数至少等于矩阵的秩，（即大于等于矩阵的秩），小于等于矩阵的阶数，等于阶数时,矩阵可相似化为对角矩阵，小于矩阵的阶数时，矩阵可以相似化为对应的约旦标准形。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。相关定义方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。定义2.A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。扩展资料：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

矩阵特征值的个数等于其阶数，因此有4个特征值又有P-1AP=∧，A与∧具有相同的秩，其中∧=diag（λ1，λ2，λ3，λ4）R（A）=1，所以R（∧）=1，可以判断矩阵A有3个为零的重根∑λi=∑aii，a11+a22+a33+a44=30所以得到λ1=30

矩阵的秩和特征值的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。矩阵特征值的定义：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成（A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式｜A-λE|=0。

特征值的个数和矩阵的秩特征值的个数和矩阵的秩为什么rA=1三个特征值为0？而且为什么特征值有4个？

这个问题没有遇到过，正在努力学习中啊

设A的特征值为t 有A^2X=t^2X=AX=tX 解得t=0或1，再证明A可对角化成diag(1 1..0 0..0)的形式 因为r(E)=n=r(E-A+A)≤r(E-A)+r(A)又因为(E-A)A=O 得r(E-A)+r(A)≤n 解得r(E-A)+r(A)=n特征值为1相应的特征向量基础解系维数为n-r(E-A)特征值为0相应的特征向量基础解系维数为n-r(-A)=n-r(A)故一切特征向量的极大线性无关组的向量数是2n-r(E-A)-r(A)=n因此可以对角化成上述对角阵有r个特征值为1就有A的秩为r 同时tr(A)等于特征值之和，也等于r*1=r

由A^2=E可知A的特征值为x^2=1的根且A必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设A相似于B=diag｛Er，0｝（r（A）=r），从而tr（A）=tr（B）=r（相似矩阵迹相等）

设n阶幂等A特征值为t,对应特征向量为x,秩R(A)=r Ax=tx A^2x=tAx=t^2x=tx t^2-t=0 t=1或0 若r=n A有n个不为零的特征值 t=1 矩阵的迹=所有特征值之和=n*1=n=r 若r

写出二次型矩阵为：{1，-1，-1}{-1，1，1}{-1，1，3} r2+r1，r3+r1，r3/2，交换r2r3，r1+r2。{1，-1，0}{0，0，1}{0，0，0}显然二次型的秩为2。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。扩展资料：向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩。则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。矩阵的秩性质：如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。参考资料来源：百度百科-秩