函数

函数在某点可导说明函数在此点一定有函数极限。函数在某点有极限不一定在此点可导，比如说|x|函数在x=0处有极限，但是在此点不可导。

函数若有极限，则其导数趋于0。

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极限的导数是先求极限在对结果求导；导数的极限是先求导，然后对导函数求极限。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。连续必存在极限。极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。扩展资料极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：1、函数在点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。2、函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。3、函数在点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。4、数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。5、广义积分是定积分其中为，任意大于的实数当时的极限，等等。参考资料来源：百度百科-极限

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。 亦名纪数、微商，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。 如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数y＝f(x)在x0点的附近(x0－a，x0＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率)。若函数f在区间I的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f"，称之为f的导函数，简称为导数。函数y＝f（x）在x0点的导数f"（x0）的几何意义：表示曲线l在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x)在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f"（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的。。如果在（a，b）内，f"（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f"（x）=0时，y＝f(x)有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。 导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。 （1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： ①求函数的增量Δy=f(x0 Δx)-f(x0) ②求平均变化率 ③取极限，得导数。 （2）几种常见函数的导数公式： ①C"=0(C为常数函数)； ②(x^n)"=nx^(n-1)(n∈Q)； ③(sinx)"=cosx； ④(cosx)"=-sinx； ⑤(e^x)"=e^x； ⑥(a^x)"=a^xlna（ln为自然对数） ⑦(Inx)"=1/x（ln为自然对数） ⑧(logax)"=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) 补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 （3）导数的四则运算法则： ①(u±v)"=u"±v" ②(uv)"=u"v uv" ③(u/v)"=(u"v-uv")/v^2 （4）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！ 导数的应用 1．函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想． 一般地，在某个区间(a，b)内，如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 如果在某个区间内恒有=0，则f(x)是常函数． 注意：在某个区间内，＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在内是增函数，但． (2)求函数单调区间的步骤 ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围．当f"(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f"(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； ②如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值. 3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值 (1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在〔a，b〕的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题

导数与极限的关系：极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0)。而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

将xy看为整体，复合函数e^u的导数e^u*u"，所以求e^xy(xy)"，结果是e^xy*(y+xy")

复合函数的导数y"=(x^lnx)"=lnx*[x^(lnx-1)]*1/x=lnx*x^(lnx-2)

链式关系，公式呀

1.设u=g(x),对f(u)求导得:f"(x)=f"(u)*g"(x);2.设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x);设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为D_。M_∩Du≠_，那么对于M_∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(compositefunction)。

复合函数求导数，分清楚内层函数与外层函数，设外层函数为u外层函数对u求导数，乘以内层函数对x求导，然后把u还回去。如果是三层，最外层设为u，中间层设为v，外层对u求导数，乘以中间层对v乘以内层对x求导数。以此类推。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。函数相乘求导公式：(fg)=fg+fg，式中两个连续函数f，g及其导数f′，g′则它们的积。乘积法则也称莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

先对数求导x的lnx次求导 换成 e的lnx次*lnx次 再进行复合函数求导最后等于 e的lnx次*1/x*2lnx

要求三个函数复合成的函数的导数,首先你的判断出是哪三个函数复合!再运用复合函数法则.你的例题：函数y=x乘cos(x^2)的导数 判断：x^2=u,一个函数 cos（x^2）=cos（u）=K,第二个函数 x乘cos(x^2)=x*cos（u）=x*K=p,第三个函数 符合函数法则计算：（以下!为某个函数的导数,方便码字） ：y=x乘cos(x^2) !=u!* K!* p!=（2x）*（-sinu）*（cosu-xsinu） （把u=x^2,代入） =-xsin（2x^2）+2x^2sin^2（x^2） 在进行最后一步时,你要分别把 u!,K!,P!求出,用运算法则求!不懂欢迎追问!

法则当然可以用了、对于复合函数、先外再里，此题这样F"(f(g(x))*f"(g(x))*g"(x)、、、这样的题都是这样解的

高等数学第七版P70页，例8复合函数求导：δu/δx=(δu/δr)*(δr/δx)=-x/(r^3) -x/(r^3) 关于x的偏导数：(δu/δx)^2=δ[-x/(r^3)]/δx=-{ [(x)"r^3-x*(r^3)"]/(r^3)^2 }=-{ [r^3-x*3r^2(r)"]/(r^6) }=-{ [r^3-x*3r^2(x/r)]/(r^6) }=-{ [r^3-3x^2r]/(r^6) }=-1/r^3+3x^2/r^5

方法如下，请作参考：若有帮助，请采纳。

y=f(u),u=g(x)y"=f"(u)u"=f"[g(x)]g"(x)

复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。法则1：设u=g(x)f"(x)=f"(u)*g"(x)法则2：设u=g(x),a=p(u)f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)例如：1、求：函数f(x)=(3x+2)^3+3的导数设u=g(x)=3x+2f(u)=u^3+3f"(u)=3u^2=3(3x+2)^2g"(x)=3f"(x)=f"(u)*g"(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^22、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的导数设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25f(a)=√af"(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}p"(u)=2u=2(x-4)g"(x)=1f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]

这是个复合函数她的导数是y=e的x次方的导数与y=-0.05x+1的导数相乘的结果（可以不用证明的）结果是-0.05乘（e^x)

复合函数怎么求导如下：总的公式f「g（x）」=f（g）×g"（x）。比如说：求1n（x+2）的导函数「1n（x+2）」"=「1/（x+2）」（注：此时将（x+2）看成一个整体的未知数x）×1（注：1即为（x+2）的导数）。规则：1、设u=g（x），对f（u）求导得：f（x）=f（u）×g"（x）。2、设u=g（x）,a=p（u）,对f（a）求导得：f（x）=f（a）×p"（u）×g"（x）。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。复合函数性质是什么：复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：1、单调性规律。如果函数u=g（x）在区间「m，n」上是单调函数，且函数y=f（u）在区间「g（m），g（n）」（或「g（n），g（m）」）上也是单调函数，那么若u=g（x），y=f（u）增减性相同，则复合函数y=f「g（x）」为增函数；若u=g（x），y= f（u）增减性不同，则y=f「g（x）」为减函数。2、奇偶性规律。若函数g（x），f（x），f「g（x）」的定义域都是关于原点对称的，则u=g（x），y=f（u）都是奇函数y=f「g（x）」是奇函数；u=g（x），y=f（w）都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f「g（x）」是偶函数。

复合函数的导数是什么？复合函数的导数是指复合函数的一阶偏导数，它用来表示复合函数的变化率。例如：如果函数f(x)=x^2 2x 3，那么它的导数是f"(x)=2x 2。

1.设u=g(x),对f(u)求导得:f"(x)=f"(u)*g"(x);2.设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x);设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为D_。M_∩Du≠_，那么对于M_∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(compositefunction)。

　　复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。下面是由我为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　　 复合函数求导公式有哪些 　　链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。 　　链式法则(chain rule) 　　若h(a)=f[g(x)] 　　则h"(a)=f"[g(x)]g"(x) 　　链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。" 　　 拓展阅读：复合函数的奇偶性 　　复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶; 　　若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。 　　1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。 　　奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。 　　奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。 　　2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。 　　函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。 　　函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。 　　函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。 　　 复合函数的单调性的判断方法 　　复合函数单调性就2句话： 　　2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数 　　2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数 　　简单记法：负负得正,正在得正,负正得负

[f(g(x))]"=f"(g(x))g"(x)，先对外层函数求导再依次往里推，举例求f(x)=sin(cosx)的导数，外层是sinx,内层是cosx,先对外层求导就是cos(cosx)，此时应注意内层函数不动。再乘以内层函数导数-sinx,因此结果是f"(x)=cos(cosx)(-sinx)

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

复合函数求导的方法如下：总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x" ×1注：1即为（x+2)的导数。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。复合函数证明方法如下：先证明个引理：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f"(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f"(u)或Δy/Δu=f"(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f"(u)Δu+αΔu但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f"(u)Δu+αΔu]/Δx=f"(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

复合函数如何求导？复合函数在微积分中是经常用到的概念，它是将多个函数进行组合所得到的结果。当求复合函数的导数时，可以使用链式法则，即假设函数f(x)和g(x)已知，求h(x)的导数，其中h(x)=f(g(x))，则：h"(x)=f"(g(x))*g"(x)

y=f(g(x))dy/dx = g"(x) .f"(g(x))

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

复合函数求导，遵守链式法则，即由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数，(f(g(x)))"=f"(g(x))*g"(x)。

复合函数导数公式:①设u=g(x)， 对f(u)求导得: f" (x)=f" (u)*g" (x) ;②设u=g(x), a=p(u)，对f(a)求导得: f" (x)=f" (a)*p"(u)*g" (x);设函数y=f (u)的定义域为Du,值域为Mu, 函数u=g(x)的定义域为Dx， 值域为Mx，如果Mx∩Du≠0，那么对于IMx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一 确定的y值与之 对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

链式法则，就是若h(x)=f(g(x))，则h"(x)=f"(g(x))g"(x)即由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数

求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行： 　　（1）适当选定中间变量,正确分解复合关系； 　　（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； 　　（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数. 　　也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(μ),μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导 ,中间变量对自变量求导 ；最后求 ,并将中间变量代回为自变量的函数.整个过程可简记为分解——求导——回代.熟练以后,可以省略中间过程.若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量. f(x)=(1-x)^5+(1+x)^5的导数 (1-x)的导数为-1,(1+x)的导数为1 f"(x)=-1*5(1-x)^4+1*5(1+x)^4 = 5(1+x)^4-5(1-x)^4

复合函数导数公式如下：含义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠0，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。论证说明：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f"(x0)=H(x0)。证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U"(x0)(x0去心邻域);H(x)=f"(x0),x=x0。因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f"(x0)=H(x0)。所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f"(x)=H(x0)。所以f(x)在点x0可导，且f"(x0)=H(x0)。引理证毕。延伸论证说明：设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f"(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ"(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F"(x0)=f"(u0)φ"(x0)=f"(φ(x0))φ"(x0)。

举例说明： 设有复合函数：u(x) = u[v(x)] (1) 其中：u(v) = v^2 (2) v(x) = e^x (3) 实际上 u(x) = e^(2x) (4) 复合函数求导：du(x)/dx = (du/dv)(dv/dx) = (2v)(e^x) = (2e^x)(e^x) 即：du(x)/dx = 2e^(2x) (5) 那么已知复合函数的导数u"(x) ,可以通过 对(5)式积分的方法求出它的原函数u(x),只是多出一个积分常数C： u(x) = ∫ 2e^(2x)dx = ∫ e^(2x)d(2x) = e^(2x) + C = (e^x)^2 +C //:采用变量替换：v(x)=e^x u(v)=v^2,回代 = u[v(x)]+C (1) = e^(2x)+C (4) (是这个意思吗?）

对于函数f[g(x)]，其导数是：{f"[g(x)]}g"(x)例如对于函数f(x)=sin(2x^2)，看成：g(x)=2x^2，f(g(x))=sin(g(x))[f(g(x))]"=f"(g(x))g"(x)=[cos(2x^2)](4x)=4xcos(2x^2)补充答案：楼主举的例子，实际上不能算是复合函数。我上面举了例子的。如果一定要回答楼主举的例子，那就是：[f(g(x))]"=[f"(g(x))]g"(x)=1×(1/x)"=-1/(x^2)

如果不熟悉，可以先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量，就求出了该复合函数的导数。

最简单的函数为“正反三角幂指对”,即一次函数,二次函数,三次函数…………,常函数,正余弦三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,这些函数都是在定义域R上连续可导的,他们的组合也都是连续可导的…即复合函数呗!比如对（2x＋1）＾2求导（＾2是平方的意思）,就是（2×2X）×2,最后括号外面的那个×2是因为X的系数为二.g"(f(X))=g"(X)×f"(X),复合函数的导数很复杂,而且易混,高三复习必须要好好温习!

按复合函数的求导法则求有加法法则、乘法法则、除法法则

导数的定义是用极限定义的，求极限的法则是允许dy/dx=(dy/du)(du/dv)(dv/dx)这样的，dy/dx 这只是一个记号而已。

3cos(3x+π/4)

先求内层函数的导数,再求外层的导数.举个简单的例子吧!比如要求sin（2x+8）的导数,我们就要先求2x+8的导数,很显然是2.然后再求外层函数的导数,也就是把2x+8设为t,求sint的导数,也就是cost.那么整个函数的导数就是2cost,也就是2cos（2x+8）.

例如求复合对数函数y=In(x^2+1)的一阶和二阶导数。∵y=ln(x^2+1)；∴y＇=(x^2+1)＇/(x^2+1)=2x/(x^2+1)；再用函数商的求导法则得:y″=[(2x)＇(x^2+1)-2x(x^2+1)′]/(x^2+1)^2=[2(x^2+1)-2x*2x]/(x^2+1)^2=(2x^2+2-4x^2)/(x^2+1)^2=(2-2x^2)/(x^2+1)^2=2(1-x^2)/(x^2+1)^2。其图片回答如下图所示:

复合函数求导法则 y=f(u(x)) 对x求导 y " = u(x)" * f(u(x))"，f(u(x))‘ 要把括号里的u(x)看做整体求导，你问的等式中2就是（2x+3）对x求导的结果，再把（2x+3）看做一个整体对其5次方进行求导。y=【（2x+5）的5次方】" =2[（2x+5）的5次方]=2*5*[（2x+5）的4次方]。

如图所示：

[f(g(x))]"=f"(g(x))g"(x)，先对外层函数求导再依次往里推，举例求f(x)=sin(cosx)的导数，外层是sinx,内层是cosx,先对外层求导就是cos(cosx)，此时应注意内层函数不动。再乘以内层函数导数-sinx,因此结果是f"(x)=cos(cosx)(-sinx)

链式法则（英文chain rule）是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9链式法则(chain rule)若h(x)=f(g(x))则h‘(x)=f"(g(x))g"(x)链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数。"

复合函数求导法则：两个函数导函数的乘积。例如：f(x)=2x+1,f"(x)=2,g(x)=x^2+4x+4,g"(x)=2x+4那么复合函数：g(f(x))=(2x+1)^2+4(2x+1)+4把（2x+1）看做整体，则g"=2(2x+1)+4然后再求（2x+1）的导函数，为：2于是最后的结果为：2(2(2x+1)+4)=8x+12还有什么不明白的吗？

复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f(g(x)).复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y"=u"*x"即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

一般是复合函数，在链式法则求导时会这么写 f1，f2指的是指的是函数f 里自变量的位置按顺序排即可比如z=f(u,v)，u即u(x,y)，v即v(x,y) 那么对x求偏导数时，1指的就是u，2则是v 就首先z"x=f1" *?u/?x+f2"*?v/?x 即可

如何求复合函数的导数？要计算复合函数的导数，需要使用链式法则：链式法则指出，在连续函数和其他函数之间将该函数作为参数的情况下，复合函数的导数就是各自导数的乘积。因此，复合函数的导数可以表示为原函数和其他函数的乘积的导数。

复合函数求导法则如下：一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。总的公式f"[g(x)]=f"(g)×g"(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]"=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x"】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】复合函数求导的步骤:1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。3、相乘：把上述求导的结果相乘。4、变量回代：把中间变量回代。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。求复合函数的导数注意:1、分解的函数通常为基本初等函数。2、求导时分清是对哪个变量求导。3、计算结果尽量简单。4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

导函数单调与原函数单调没有必然联系。原函数的单调性和导函数的正负有关。如果导函数值为正，则原函数单调递增；如果导函数值为负，则原函数单调递减。举个反例：原函数为f(x)=x^2，则导函数为f(x)=2x。二次函数是常见函数，二次函数开口向上，在定义域内不单调，在对称轴（y轴）左侧单调递减，y轴右侧单调递增。导函数f(x)=2x是一次函数，一次函数是单调的，斜率为2，单调递增。导函数某种程度上反应的是原函数的斜率，其正负才关系到原函数的单调性。所以，原函数与导函数的单调性直接没有必然联系。

判断导数大于零小于零，其实就是正切值的，与函数每个点相切的点，这是物理意义。大于零单调曾

求导之后,导数大于0的范围就是原函数的增区间,导数小于0的部分就是原函数的减区间但是也有可能是只增或者只减你需要看一下导函数与x轴交点两边的符号如果符号相同便会出现单调性相同的情况如果不同的话便是最开始的情况加入理解的话请采纳有不懂的可以继续问

导数能够确实原函数的单调性，如果导数大于0，则原函数递增，如果导数小于0，则原函数递减，如果导数为0，则原函数保持不变依此理，想知道函数导数的单调性，则需知道函数导数的导数以y=x^2(y等于x的平方)为例其导数是y=2x导数的导数是y=2故，y=x^2的导数是单调递增的

导数大于零,函数单调递增.导数小于零,函数单调递减,对于等于零的情况,只要在一个区间内不恒为零,要把等于零,考虑进去!

利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点：导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。1．与为增函数的关系。由前知，能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。2．时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。3．与为增函数的关系。由前分析，为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，特别是研究以下问题时。二．函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。【例】用导数求函数（）的单调区间。解：（用第一种关系及单调区间的合并），当，即或时，∴在，上为增函数，又∵在处连续，且相邻区间的单调性又相同，∴在上为增函数。旧教材很少提到函数单调区间的合并，原因在于教师很难讲，学生很难把握，但是新教材引进函数的连续性和导数之后就很容易说明，也很容易理解了。综之，用导数证明划分函数的单调性是导数最常用、也是最基本的应用，其它重要性如极值、最值等都必须用到单调性。它比用单调性的定义证明要简单许多，划分也容易理解得多。讨论可导函数得单调性可按如下步骤进行：确定的定义域；（2）求，令，解方程求分界点；（3）用分届点将定义域分成若干个开区间；（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性。以下是前几年高考用导数证明、求单调性的题目，举例说明如下：例1设，是上的偶函数。（i）求的值；（ii）证明在上是增函数。（2001年天津卷）解：（i）依题意，对一切有，即，∴对一切成立，由此得到，，又∵，∴。（ii）证明：由，得，当时，有，此时。∴在上是增函数。

求导后为3aX2-a=a（3X2-1）3X2-1>0递增，反之递减，

这里不用想太多在函数可导的情况下某区域内如果导数大于等于0那么函数单调递增反之如果导数小于等于0函数就单调递减

两边取自然对数，sinxlny=yln(sinx)两边对x求导，cosxlny+ 1/y sinx*y" =y"*ln(sinx)+ 1/(sinx)* y*cosxy"(1/y* sinx- ln(sinx))= 1/(sinx)* y*cosx- cosxlnyy"=[1/(sinx)* y*cosx- cosxlny]/ (1/y* sinx- ln(sinx))y"=[ y ctgx - cosxlny]/ (1/y* sinx- ln(sinx))望采纳

不对。你可以随手画一条曲线，一开始增长很快（导函数的值大），然后增长平缓（导函数的值小），然后增长又很快（导函数的值大）。可以看出这条曲线一直是增的，但是导函数并不是单调的，而是一会儿大一会儿小。

比如说,对于函数f(x)的导数f"(x),如果f"(x)在某一定义域内恒大于或等于零（且不恒为零）,则f(x)在此定义域内单调递增；如果f"(x)在某一定义域内恒小于或等于零（且不恒为零）,则f(x)在此定义域内单调递减.

f"(x)=0时求的是极值点.当极值点左增右减时,极值点为极大值.当极值点左减右增时,极值点为极小值.极值点不一定为最值点,当函数所在定义域内端点值不大于极值时极大值变为最大值.(最小值同理)f"(x)=0求的是点不考虑单调性,因为一个点是没有单调性的.



该函数是可导函数f"(x)=0在该区间上至多有1个孤立解此时f(x)在该区间上为增函数的充要条件是f"(x)>=0；f(x)为减函数的充要条件是f"(x)<=0

y=x^3-2x-3y"=3x^2-2当y">0时3x^2-2>0x^2>2/3x>√6/3或 x<-√6/3 时函数单调递增当y"<0时3x^2-2<0x^2<2/3-√6/3<x<√6/3 时函数单调递减

函数的单调性与导数的关系：已知函数f(x)在某个区间内可导，则①如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；②如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数．

f"(x)=0时求的是极值点.当极值点左增右减时,极值点为极大值.当极值点左减右增时,极值点为极小值.极值点不一定为最值点,当函数所在定义域内端点值不大于极值时极大值变为最大值.(最小值同理)f"(x)=0求的是点不考虑单调性,因为一个点是没有单调性的.

了一先生讲函数讲得很好，解题方法解题技巧可以拿来学习一下。

函数的单调性与导数的关系：已知函数f(x)在某个区间内可导，则①如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；②如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数．

二次求导的零点,只能说可能是原函数的拐点.不知道LZ是大学生还是高中生 高中生的话要求不高 如果要求原函数单调性,一般先观察二次导数在定义域内的取值.若观察发现,可证二次导数恒大于零或者恒小于零.则一阶导数单调递增或递减.再考虑一阶导数的最大值和最小值,若一阶导数单调递增且最小值大于0 则原函数递增 若一阶导数单调递减且最大值小于零,则原函数递减

记住同增异减法则，将复合函数分解，若分函数单调性都是相同则为复合函数增函数。若分函数单调性的相反，则复合函数为减函数。其中要注意定义域。

利用导数判断函数单调性的步骤如下： 先求出原函数的定义域；对原函数求导；令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数的自变量在其定义区间内增大或减小时，函数值也随着增大或减小，则称该函数为在该区间上具有单调性，即单调增加或单调减少。

函数增减性判断口诀：同增异减。增+增=增。减+减=减。增-减=增。减-增=减。导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间。（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

导数大于0 单调增 小于0 单调减 这是定义

如果要求原函数单调性,一般先观察二次导数在定义域内的取值.若观察发现,可证二次导数恒大于零或者恒小于零.则一阶导数单调递增或递减.再考虑一阶导数的最大值和最小值,若一阶导数单调递增且最小值大于0，则原函数递增。若一阶导数单调递减且最大值小于零,则原函数递减.