概率

需要根据具体情况推导，不同的概率分布，原因是其随机变量实际上是受到某种因素影响而出现的，所以必须知道其影响因素本身，然后再考虑随机的因素才有实际的分布函数。没有一个包打天下的方法。离散型的数值主要是排列组合的方式推导，连续的则更为复杂。质量函数，分为概率质量函数和初始质量函数。在概率论中，概率质量函数 (Probability Mass Function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。注意这在所有实数上，包括那些X不可能等于的实数值上，都定义了 fX(x)。在那些X不可能等于的实数值上， fX(x)取值为0 ( x ∈ RS，取Pr(X = x) 为0)。离散随机变量概率质量函数的不连续性决定了其累积分布函数也不连续。假设X是抛硬币的结果，反面取值为0，正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个Bernoulli随机变量)中，X = x的概率是0.5，所以概率质量函数是：概率质量函数可以定义在任何离散随机变量上，包括常数分布, 二项分布 (包括Bernoulli分布), 反二项分布, Poisson分布, 几何分布以及超几何分布随机变量上。在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。probability density function，简称PDF。这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。密度函数f(x) 具有下列性质：对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是，如果存在可测函数 满足：  ,那么X是一个连续型随机变量，并且是它的概率密度函数。连续型随机变量的概率密度函数有如下性质：如果概率密度函数fX(x)在一点x上连续，那么累积分布函数可导，并且它的导数： 由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是：

连续型随机变量的概率密度f（x）一定满足条件∫（上正无穷，下负无穷）f（x）dx=1。连续型随机变量若随机变量x的分布函数f(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称x为连续型随机变量，f(x)称为x的概率密度函数（分布密度函数）。

X  ，Y是独立的，算出X=x的概率，Y=y的概率，直接相乘。联合概率分布简称联合分布，是两个及以上随机变量组成的随机变量的概率分布。根据随机变量的不同，联合概率分布的表示形式也不同。对于离散型随机变量，联合概率分布可以以列表的形式表示，也可以以函数的形式表示；对于连续型随机变量，联合概率分布通过非负函数的积分表示。随机变量：给定样本空间  ，其上的实值函数  称为（实值）随机变量。如果随机变量X的取值是有限的或者是可数无穷尽的值，则称X为离散随机变量。如果X是由全部实数或者由一部分区间组成，则称X为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量，当要求随机变量的概率分布的时候，要分别处理。1. 离散型联合概率分布：对于二维离散随机向量，设X和Y都是离散型随机变量，  和  分别是X和Y的一切可能的几何，则X和Y的联合概率分布可以表示为如右图的列联表，也可以表示为如下的函数形式其中多维随机变量的中，只包含部分变量的概率分布称为边缘分布：2. 连续型联合概率分布：对于二维连续随机向量，设X和Y为连续型随机变量，其联合概率分布，或连续型随机变的概率分布  通过一非负函数  的积分表示，称函数  为联合概率密度。两者的关系如下： 不但完全决定X和Y的联合概率分布，而且完全决定X的概率分布和Y的概率分布，以 和  分别表示X和Y的概率密度，则

只有常数的方差是0，其它都大于0

应该是吧。混合型的都是两个单个的（一离散一连续）再结合，而连续性随机变量的概率密度，一般都是连续函数，它不太可能是分段函数。 因为这就好比你等车，求0到5min时来车的概率，对于连续型的来说，P（x=k）=0，也就是说，x取任意某个具体的值时，概率都是零，那没有意义，必须得是取某段范围才行。这是其性质，也叫做规范性。

离散就是 事件 或 具体的个数 概率图中相当于一个长方形柱连续就是无数细化 相当无数的长方形柱 渐渐的边角变成了线 就是函数了无论如何 都符合 累计概率为1， 离散就是长方形柱面积为1，连续就是曲线图形为1.

离散型的直接列出取值和取到这个值的概率，比如两点分布p(x=1)=0.6，p(x=0)=0.4这样。连续型的取到一个特定值的概率是0，只有取值在一个区间里面有意义，所以用分布函数和概率密度函数描述。分布函数f(x)表示随机变量x≤x的概率，也就是f(x)=p(x≤x)。概率密度函数就是f(x)的导数，记为f(x)，满足p(a≤x≤b)=∫(a到b)f(x)dx。

离散型随机变量是指变量只能取离散的点，连续型随机变量指变量可以取值的范围为R中的一个子集。 离散型随机变量的分布只可用分布列来表示 连续型随机变量一般可用密度函数来表示，其分布是当随机变量在x<=a时的积分值来表示，即对密度函数进行积分得来的。

离散型是点对概率，而连续型是面积对应概率，所以离散型取一点对应相应的概率，而连续型任一点只能做一条线，线的面积为零。

当然不一定啊.连续型随机变量指的是连续取值的随机变量,比如在[0,1]上每个数都有可能取,就可以说是连续型随机变量,这和密度函数连续与否无关.另外真正有实际意义的是密度函数的积分,积分得到的是在某个区间的概率,因此要求密度函数可积,但是可积远远比连续宽泛的多,很多不连续的函数都是可积的.

应该是吧。混合型的都是两个单个的（一离散一连续）再结合，而连续性随机变量的概率密度，一般都是连续函数，它不太可能是分段函数。 因为这就好比你等车，求0到5min时来车的概率，对于连续型的来说，P（x=k）=0，也就是说，x取任意某个具体的值时，概率都是零，那没有意义，必须得是取某段范围才行。这是其性质，也叫做规范性。

应该是吧。混合型的都是两个单个的（一离散一连续）再结合，而连续性随机变量的概率密度，一般都是连续函数，它不太可能是分段函数。因为这就好比你等车，求0到5min时来车的概率，对于连续型的来说，p（x=k）=0，也就是说，x取任意某个具体的值时，概率都是零，那没有意义，必须得是取某段范围才行。这是其性质，也叫做规范性。

如果X、Y独立，则：E(XY)=E(X)*E(Y)。如果不独立，可以用定义计算：先求出X、Y的联合概率密度，再用定义。或者先求出Cov(x,y)再用公式 Cov(X,Y)=E(XY)--E(X)*E(Y)。D（X±Y）=D（X）+D(Y)±2*Cov(X,Y)。离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等，因而称这随机变量是连续型随机变量。

从随机现象说起，在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。 另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的不同点主要有：第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。

离散型场合的似然函数就是样本取给定的那组观测值的概率（可以由总体的分布列直接写出）连续型场合的似然函数就是样本的联合密度函数在给定的观测值（x_1，x_2，...，x_n）处的表达式。离散型场合：总体分布(实际上是分布列)：f(x, a)（=P{X=x}），只不过与参数a有关样本取给定的那组观测值（x_1，x_2，...，x_n）的概率 P{(X_1,X_2,...,X_n)=（x_1，x_2，...，x_n）}=P{X_1=x_1,X_2=x_2...,X_n=x_n}=P{X_1=x_1}P{X_2=x_2}...P{X_n=x_n}=f(x_1, a)f(x_2, a)...f(x_n, a)(因为样本的分量与总体同分布)=L(x,a)（似然函数）连续的就是联合密度利用独立性写成各分量密度的乘积。扩展资料：如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为X1，X2，……，Xn，……，记P=P{X=xn},n=1,2...称上式为X的概率函数，又称为X的概率分布，简称分布。离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：(1)Pn≥0 n=1,2,…(2)∑pn=1参考资料来源：百度百科-离散型随机变量

离散型随机变量是指变量只能取离散的点，连续型随机变量指变量可以取值的范围为R中的一个子集。离散型随机变量的分布只可用分布列来表示连续型随机变量一般可用密度函数来表示，其分布是当随机变量在x<=a时的积分值来表示，即对密度函数进行积分得来的。

简单分析一下，详情如图所示

数学期望在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。扩展资料：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等，因而称这随机变量是连续型随机变量。参考资料来源：百度百科-数学期望参考资料来源：百度百科-均值

a+0.2=0.3,故a=0.1;0.3+0.4+0.1+b=1，故b=0.2. P(X=-1)=0.3,P(X=0)=0.4,P(X=2)=0.3;P(Y=1)=0.5,P(Y=3)=0.5令；a+1/6+1/12++1/6+1/6+1/6++1/12+1/6+b=1,得：a+b+1=1，即：a+b=0。因为a>=0, b>=0,故知道必有：a=0，b=0。所求概率P=0+1/6+1/12++1/6+1/6+1/6=3/4。扩展资料：当随机变量的可取值全体为一离散集时称其为离散型随机变量，否则称其为非离散型随机变量，这是很大的一个类，其中有一类是极其常见的，随机变量的取值为一(n)维连续空间，称其为连续型随机变量。 能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定，变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。 参考资料来源：百度百科-离散型随机变量

X  ，Y是独立的，算出X=x的概率，Y=y的概率，直接相乘。联合概率分布简称联合分布，是两个及以上随机变量组成的随机变量的概率分布。根据随机变量的不同，联合概率分布的表示形式也不同。对于离散型随机变量，联合概率分布可以以列表的形式表示，也可以以函数的形式表示；对于连续型随机变量，联合概率分布通过非负函数的积分表示。随机变量：给定样本空间  ，其上的实值函数  称为（实值）随机变量。如果随机变量X的取值是有限的或者是可数无穷尽的值，则称X为离散随机变量。如果X是由全部实数或者由一部分区间组成，则称X为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量，当要求随机变量的概率分布的时候，要分别处理。1. 离散型联合概率分布：对于二维离散随机向量，设X和Y都是离散型随机变量，  和  分别是X和Y的一切可能的几何，则X和Y的联合概率分布可以表示为如右图的列联表，也可以表示为如下的函数形式其中多维随机变量的中，只包含部分变量的概率分布称为边缘分布：2. 连续型联合概率分布：对于二维连续随机向量，设X和Y为连续型随机变量，其联合概率分布，或连续型随机变的概率分布  通过一非负函数  的积分表示，称函数  为联合概率密度。两者的关系如下： 不但完全决定X和Y的联合概率分布，而且完全决定X的概率分布和Y的概率分布，以 和  分别表示X和Y的概率密度，则

概率积分=1

离散型是点对概率,而连续型是面积对应概率,所以离散型取一点对应相应的概率,而连续型任一点只能做一条线,线的面积为零.

离散型随机变量是指变量只能取离散的点，连续型随机变量指变量可以取值的范围为R中的一个子集。离散型随机变量的分布只可用分布列来表示连续型随机变量一般可用密度函数来表示，其分布是当随机变量在x<=a时的积分值来表示，即对密度函数进行积分得来的。

ABC三个事件不都发生，和ABC同时都发生是对立事件。ABC三个事件同时发生为 P(ABC)，所以ABC三事件不都同时发生为 1-P(ABC)。扩展资料概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。定理1互补法则。与A互补事件的概率始终是1-P(A)。定理2不可能事件的概率为零。定理3如果A1...An事件不能同时发生（为互斥事件），而且若干事件A1，A2，...An∈S每两两之间是空集关系，那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和。定理4如果事件A，B是差集关系，则有 定理5任意事件加法法则：对于事件空间S中的任意两个事件A和B，有如下定理： 概率定理6乘法法则：事件A，B同时发生的概率是：  前提为事件A,B有一定关联。定理7无关事件乘法法则：两个不相关联的事件A，B同时发生的概率是：注意到这个定理实际上是定理6(乘法法则)的特殊情况，如果事件A，B没有联系，则有P(A|B)=P(A)，以及P(B|A)=P(B)。观察一下轮盘游戏中两次连续的旋转过程，P(A)代表第一次出现红色的概率，P(B)代表第二次出现红色的概率，可以看出，A与B没有关联，利用上面提到的公式，连续两次出现红色的概率为： 忽视这一定理是造成许多玩家失败的根源，普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系，因为球本身并没有"记忆"，它并不"知道"以前都发生了什么。所以，连续10次至少有1次出现红色的概率为  。参考资料：百度百科——概率论

感觉概率论简单多了

看看书好了，这个东东我也快考了。。。

其实你只要在网上搜索一下就有的了

加法原则一般用于互斥事件（指是A后就不可能是B)中,例如一个人是男的可能性是0.5,是女的可能性也为0.5,那么他是男或女的可能性就是0.5+0.5=1而乘法原则一般用于独立事件的计算,(指是A不影响是B）,例如一个人是男的可能性是0.5,他是中国人的可能性是0.1,那么他是一个中国男性的可能性就是0.5*0.1=0.05

抽签并不是「独立」的, 而是「公平」的。非形式化地说, 先抽的人如果抽中了, 那么之后抽签的人就不可能再抽中, 前后是有影响的, 所以抽签并不是「独立」的, 形式化的说, 以两个事件为例(我们将事件分别记为 A 和 B), 事件 A 与事件 B 独立的定义是根据概率的乘法定理(假设 P(A) > 0),那么事件 A 与 B 独立必须要满足下面这个式子而对于抽签来说, 我们记第一个抽签的人抽中为事件 A, 那么当事件 A 发生后, 后面的人都无法抽中, 所以于是, 抽签不是独立的。而抽签是「公平」的, 即无论先抽还是后抽, 抽中的概率都是相等的, 这可以通过简单的条件概率公式计算, 此处从略

概率乘法定理(multiplication theorem of probability)，亦称概率乘法规则，即两事件积的概率，概率论的重要定理之一，等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生时的条件概率的乘积。所以，乘法公式的前面和后面是有联系的，不是同一条件

在独立遗传的情况下，将多对性状，分解为单一的相对性状，然后按基因的分离定律来单独分析，最后将各对相对性状的分析结果相乘，它的理论依据是概率理论中的乘法定理。乘法定理是指：如果某一事件的发生，不影响另一事件发生，则这两个事件同时发生的概率，等于它们单独发生的概率的乘积。基因的自由组合定律涉及的多对基因各自独立遗传，因此，依据概率理论中的乘法定理，对多对基因共同遗传的表现，是其中各对等基因单独遗传时所表现的乘积。生物遗传概率的六种计算方法。

需要搞清楚的是基因的来源是常染色体还是性染色体或者是细胞质遗传物质性染色体上还需要分是同源部分还是非同源部分细胞质上的遗传物质一般和母体有关 因为受精卵的细胞质大多是来源于卵细胞如果基因常染色体上那么就符合孟德尔遗传定律要是研究多对基因的遗传还要分是否在同一对染色体上 要是没有就符合自由组合原理当然实际问题不会那么简单 因为可能会出现多对基因的相互影响

ABC三个事件不都发生，和ABC同时都发生是对立事件。ABC三个事件同时发生为 P(ABC)，所以ABC三事件不都同时发生为 1-P(ABC)。扩展资料概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。定理1互补法则。与A互补事件的概率始终是1-P(A)。定理2不可能事件的概率为零。定理3如果A1...An事件不能同时发生（为互斥事件），而且若干事件A1，A2，...An∈S每两两之间是空集关系，那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和。定理4如果事件A，B是差集关系，则有 定理5任意事件加法法则：对于事件空间S中的任意两个事件A和B，有如下定理： 概率定理6乘法法则：事件A，B同时发生的概率是：  前提为事件A,B有一定关联。定理7无关事件乘法法则：两个不相关联的事件A，B同时发生的概率是：注意到这个定理实际上是定理6(乘法法则)的特殊情况，如果事件A，B没有联系，则有P(A|B)=P(A)，以及P(B|A)=P(B)。观察一下轮盘游戏中两次连续的旋转过程，P(A)代表第一次出现红色的概率，P(B)代表第二次出现红色的概率，可以看出，A与B没有关联，利用上面提到的公式，连续两次出现红色的概率为： 忽视这一定理是造成许多玩家失败的根源，普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系，因为球本身并没有"记忆"，它并不"知道"以前都发生了什么。所以，连续10次至少有1次出现红色的概率为  。参考资料：百度百科——概率论

举个例子,一个家系中有A病和B病的遗传史,给你一定的条件,问你①其中一对夫妻生的孩子至少患一种病的概率②两种病都患的概率。你可以求出此孩子分别患A和B的概率，那么第一个问题,应该是用患A病的概率加患B病的概率,因为有两种情况达到此孩子至少患一种病的条件,即患A或者患B,这两种情况有其一即可,所以用加法.第二个问题就用乘法,因为必须是既患A又患B,两者同时发生才满足条件,这种情况概率相乘.

概率的性质如下：在一定条件下可能出现也可能不出现，可能这样出现也可能那样出现的现象叫做随机现象，又称随机事件。表明随机事件出现可能性大小的客观指标就是概率。概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。概率的性质：(1)概率的公理系统。①任何一个随机事件A的概率都是非负的。②在一定条件下必然发生的必然事件的概率为1。③在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0。概率值在0和1之间，0≤P(A)≤1，概率接近1的事件其发生的可能性较大，而概率接近0的事件其发生的可能性较小。公式(2)和公式(3)的逆定理不成立。(2)概率的加法定理。加法定理是指两个互不相容事件A.B之和的概率，等于两个事件概率之和，写作P(A+B)=P(A)+P(B)。互不相容事件是指在一次实验或调查中，若事件A发生则事件B就一定不发生。无论互不相容事件有多少，其总和的概率永远不会大于1。(3)概率的乘法定理。乘法定理适用于几种情况组合的概率，即几种事件同时发生的情况，公式写作P(AB)=P(A)×P(B)。乘法定理指出：两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率的乘积。独立事件是指一个事件的出现对另一个事件的出现不发生影响。    

三个事件ABC为例，已知两两独立充要条件为P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，若ABC相互独立充要条件为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，且P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，故两两独立只是相互独立的必要条件。

那个不该是p(b)么

叠加用乘法比如说扔一枚硬币，是正面的概率是1/2，那么连扔两次是正面的概率就是1/4，三次则是1/8，依此类推。这个在数学上叫做乘法定理，就是多个事件同时发生，用乘法如果是准备两件，我们可以算两件都失败的概率，是两个70%相乘，为49%，于是成功概率为51%。如果是准备三件，那三件都失败的概率是三个70%相乘，为34%，于是成功概率为66%——来自“生命科学”团队的高中一线教师，希望能帮到你

自由组合定律中有关规律及常用的解题方法解题技巧之一：一 、解题思路：将自由组合问题转化为若干个分离定律问题：（即：单独处理、彼此相乘）在独立遗传的情况下，将多对性状，分解为单一的相对性状然后按基因的分离定律来单独分析，最后将各对相对性状的分析结果相乘，其理论依据是概率理论中的乘法定理。乘法定理是指：如某一事件的发生，不影响另一事件发生，则这两个事件同时发生的概率等于它们单独发生的概率的乘积。基因的自由组合定律涉及的多对基因各自独立遗传，因此依据概率理论中的乘法定理，对多对基因共同遗传的表现就是其中各对等基因单独遗传时所表现的乘积。二 、题型：（一）正推：1、已知亲本基因型，求产生的配子种类数、求配子的类型、求配子比例、求个别配子所占的比例。例1：基因型为AaBbDd（各对基因独立遗传）的个体（1）产生配子的种类数：解题思路：分解：AaBbDd→Aa、Bb、Dd,单独处理：Aa→2种配子；Bb→2种配子；Dd→2种配子。彼此相乘：AaBbDd→2×2×2=8种。（2）配子的类型：解题思路：单独处理、彼此相乘——用分枝法书写迅速准确求出。D——AB DBA d——AB d D——A b D bd——A b dD——aB DB d——aB da D——a b D b d——a b d（3）配子的类型及比例：解题思路：分解：AaBbDd→Aa、Bb、Dd,单独处理：Aa→（A：a）=（1：1）；Bb→（B：b）=（1：1）；Dd→（D：d）=（1：1）。彼此相乘：AaBbCc→（A：a）×（B：b）×（D：d）=（1：1）×（1：1）×（1：1）。ABD：Abd：AbD：aBD：abD：aBd：abd ：Abd=1：1：1：1：1：1：1：1（4）其中ABD配子出现的概率：解题思路：分解：AaBbCc —→ Aa、Bb、Dd, 单独处理：Aa→1/2A，Bb→1/2B，Dd→1/2D, 彼此相乘：ABD→1/2×1/2×1/2=8。2、已知亲本基因型，求子代基因型种类数、种类和比例及某种基因型体出现的概率。例2：基因型为AaBb的个体和基因型为AaBb的个体杂交（两对基因独立遗传）后代能产生多少种基因型？基因型的类型有哪些？其中基因型为AABB的几率为多少？（1）基因型的种类数：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→3种基因型，Bb×Bb→3种基因型，彼此相乘：(Aa×Aa)×(Bb×Bb)=3×3＝9种基因型。（2）基因型的类型：解题思路：单独处理，彼此相乘——用分枝法书写迅速准确求出。 ↗BB→AABB ↗BB→AaBB ↗BB→aaBB AA →Bb→AABb Aa→ Bb→AaBb aa→ Bb→aaBb ↘bb→AAbb ↘ bb→Aabb ↘ bb→aabb （3）基因型的比例：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→（AA： Aa：aa）=（1：2：1），Bb×Bb→（BB：Bb：bb）=（1：2：1）彼此相乘：(Aa×Aa)×(Bb×Bb)= = 1：2：1：2：4：2：1：2：1（4）其中基因型为AABB个体出现的几率：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理:Aa×Aa→1/4AA，Bb×Bb→1/4BB, 彼此相乘：AABB=1/4×1/4=1/16。3、已知亲本基因型，求子代表现型种类数、种类和比例例3：基因型为AaBb的个体与基因型为AaBb的个体杂交（各对基因独立遗传），后代能产生多少种表现型？表现型的类型有哪些？其中表现型为A B 的个体出现的几率为多少？（1）表现型的种类：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→2种表现型；Bb×Bb→2种表现型，彼此相乘（Aa×Aa）×(Bb×Bb)→2种×2种＝4种表现型。（2）表现型的类型：单独处理、彼此相乘：--------用分枝法书写迅速准确求出。 ↗B →A B (双显) ↗B →aaB (一隐一显)A__ aa ↘bb→A bb(一显一隐) ↘bb→aabb(双隐)（3）表现型的比例：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→(显：隐)=（3：1）；Bb×Bb→(显：隐)=（3：1），彼此相乘（Aa×Aa）×(Bb×Bb)→（3：1）×（3：1）=9：3：3：1。（4）其中表现型为A B 的个体出现的几率：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb)；单独处理：Aa×Aa→3/4A ；Bb×Bb→3/4B ；彼此相乘：A B →3/4×3/4=9/16（二）逆推1、已知子代表现型及比例，求亲代的基因型：例4：两亲本豌豆杂交，所得种子中，黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=9：3：3：1、求两亲本的基因型。解题思路：分解：黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=9：3：3：1为（黄色：绿色）×（圆粒：皱粒）=（3：1）×（3：1）。第一步：由（黄色：绿色）=（3：1），判断，两亲本的基因型为Yy和Yy；由（圆粒：皱粒）=（3：1），判断，两亲本的基因型为Rr和Rr 。第二步：将两对相关基因相乘，即得两亲本的基因型YyRr和YyRr。思考：黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=1：1：1：1，两亲本的基因型为：思考：黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=3：3：1：1，两亲本的基因型为：例1：番茄红果（A ）对黄果（a）为显性，子房二室（B）对多室（b）为显性。两对基因独立遗传。① 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=9:3:3:1，则两个亲本的基因型？AaBb×AaBb② 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=3:3:1:1，则两个亲本的基因型？AaBb×Aabb③ 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=3:1:3:1，则两个亲本的基因型？AaBb×aaBb④ 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=1:1:1:1，则两个亲本的基因型？AaBb×aabb或Aabb×aaBb2、已知子代基因型及比例，求亲代的基因型：例5：已知AABB：AABb： AAbb：AaBB：AaBb：Aabb： aaBB：aaBb：aabb=1：2：1：2：4：2：1：2：1，求亲本基因型。解题思路：分解：AABB：AABb： AAbb：AaBB：AaBb：Aabb： aaBB：aaBb：aabb=1：2：1：2：4：2：1：2：1为（AA： Aa：aa）×（BB：Bb：bb）=（1：2：1）×（1：2：1）。第一步：由（AA：Aa：aa）=（1：2：1），判断，两亲本的基因型为Aa和Aa；由（BB：Bb：bb）=（1：2：1），判断，两亲本的基因型为Bb和Bb。第二步：将两对相关基因相乘，即得两亲本的基因型AaBb和AaBb。解题技巧之二：隐性性状突破法，又叫填空法。1．前提：已知双亲的表现型和子代表现型及数量，推知双亲基因型，这是遗传习题中的常见类型。2．解题思路：按基因的分离定律单独处理，再彼此相乘。（1）列出基因式①凡双亲中属于隐性性状的，其基因型可直接写出。②几双亲中属于显性性状的，则至少含有一个显性基因，即至少写出基因型的一半。（2）根据后代出现的隐性性状推出亲本未知基因型。解题技巧之三：利用自由组合定律预测遗传病的概率（当两种遗传病独立遗传时）序号 类型 推断公式1 患甲病的概率为m 不患甲病的概率=1﹣m2 患乙病的概率为n 不患乙病的概率=1﹣n3 只患甲病的概率 m﹣mn4 只患乙病的概率 n﹣mn5 两种病都换的概率 mn6 只患一种病的概率 m﹢n﹣2mn或m（1﹣n）﹢n（1﹣m）7 不患病的概率 （1﹣m）（1﹣n）8 患病概率 m﹢n﹣mn或1﹣不患病概率例6人类并指(T)对正常(t)为显性，白化病(a)对正常(A)是隐性，都在常染色体上，而且都是独立遗传。一个家庭中，父亲并指，母亲正常，他们有一个白化病但手指正常的孩子，如果他们再生一个孩子，则：（1）这个孩子不患并指的概率？___________（2）这个孩子不患白化病的概率？___________（3）这个孩子患并指的概率？___________（4）这个孩子患白化病的概率？___________（5）这个孩子只患一种病的概率？___________（6）这个孩子同时患有两种病的概率？___________（7）这个孩子患病的概率？___________（8）这个孩子为患病男孩的概率？___________（9）这个孩子正常的概率？___________二、伴性遗传病的类型和特点1、伴Y遗传（1）特点：①患者全为男性；②遗传规律是父传子，子传孙。（全男）（2）实例：人类外耳道多毛症2、伴X显性遗传（1）特点：①女性患者多于男性；②具有时代连续几代代都有患者的现象；③难患者的母亲和女儿一定是患者。（2）实例：抗维生素D佝偻病3、伴X隐性遗传（1）特点：①男性多于女性。②交叉遗传。即男性（色盲）→女性（色盲基因携带者，男性的女儿）→男性（色盲，男性的外孙，女性的儿子）。③一般为隔代遗传。即第一代和第三代有病，第二代一般为色盲基因携带者。④女性患者的父亲和儿子一定是患者。(2)实例：人类红绿色盲症、血友病三、系谱图中遗传病、遗传方式的判断方法1、先确定是否为伴Y遗传（1）若系谱图中患者全为男性，而且男性全为患者，女性都正常，则为伴Y遗传（2）若系谱图中，患者有男有女，则不是伴Y遗传2、确定是否为母系遗传（1）若系谱图中，女患者的子女全都患病，正常的女性的子女全正常，则为母系遗传（2）若系谱图中，出现母亲患病，子女有正常的情况，或子女患病母亲正常，则不是母系遗传3、确定致病基因的显性还是隐性，确定致病基因在常染色体还是X染色体上：（1）无中生有为隐性，隐性遗传看女病，父子都病是伴性；否则为常染色体上隐性遗传。（2）有中生无为显性，显性遗传看男病，母女都病是伴性；否则为常染色体上隐性遗传。（1）在（2）在，父亲患病女儿正常或母亲正常儿子患病，为常染色体显性遗传。5、人类遗传病的判定口诀：父子相传为伴Y,子女同母为母系；无中生有为隐性，有中生无为显性；隐性看女病，女病男正非伴性； 显性看男病，男病女正非伴性。例：现有基因型为AaBbCc和aaBbCC的两种个体，已知三对基因分别位于三对同源染色体上，回答下列问题：（1）若AaBbCc的个体为动物，则：a.该个体经减数分裂可能产生_________种精子或卵细胞b.一个精原细胞经减数分裂，实际产生________个_________种精子c.一个卵原细胞经减数分裂，可产生______个卵细胞d.自交后代表现型有___种，新出现的表现型有________种e.自交后代新出现的基因型有_____________种（2）AaBbCc的个体自交，则：a.后代出现AaBbcc的几率是_________；b.后代出现新基因型的几率是_________。c.后代出现纯合子的几率是_________；d.后代全显性的个体中，杂合子的几率是_______。e. 后代中出现新表现型的几率是______； f.后代中表现型为A__B__cc 的几率是______。（3）AaBbCc×aaBbCC，其后代：a.基因型为为AAbbCC 的几率是_____ b. 与亲代具有相同基因型的 个体的几率是_______；c. 与亲代具有相同性状的个体的几率是___________。d.杂合子的几率是_________；达标：1.基因型为AAbbCC与aaBBcc的小麦进行杂交，这三对等位基因分别位于非同源染色体上，F1杂种形成的配子种类数和F2的基因型种类数分别是 （ ） A．4和9 B．4和27 C．8和27 D．32和812．在完全显性且三对基因各自独立遗传的条件下，ddEeFF与DdEeff杂交，其子代表现型不同于双亲的个体占全部子代的( )A．5/8 B．3／8 C．3/4 D．1/43.如果已知子代基因型及比例为1YYRR：1Yyrr：1YyRR：1Yyrr：2YYRr:2YyRr，并且也知道上述结果是按自由组合定律产生的，那么双亲的基因型是（　　）A.YYRR×YYRr B.YYRr×YyRr C.YyRr×YyRr D.YyRR×YyRr4.人类的多指是由显性基因（A）控制的一种遗传病，，白化病是由隐性基因（b）控制的另一种遗传病，由一对夫妇，男性为多指患者，女性表现型正常，他们生了一个白化病（aabb）的男孩，由此可知这对夫妇的基因型为（　　）A.AaBb和aaBb B.AaBb和aaBB C.AABB和aaBB D.AaBB和aaBb5.人类的多指是一种显性遗传病，白化病是一种隐性遗传病。已知控制这两种疾病的等位基因都在常染色体上，而且都是独立遗传的。在一个家庭中，父亲多指，母亲正常，他们有一个患白化病但手指正常的孩子，则下一个孩子正常和同时患有两种疾病的概率分别为（ ）A、3/4、1/8 B、3/8、1/8 C、1/4、1/4 D、1/4、1/87.人类中男人的秃头(S)对非秃头(s)是显性，女人在S基因纯合时才秃头。褐眼(B)对蓝眼(b)为显性，现有秃头褐眼的男人和蓝眼非秃头的女人婚配，生下一蓝眼秃头的女儿和一个非秃头的褐眼的儿子，请回答：（1）这对夫妇的基因型分别是________、_________。（2）他们若生下一个非秃头褐眼的女儿，基因型可能是__________。(3)他们所生的儿子与父亲、女儿与母亲具有相同基因型的几率分别是_______、______。

加法：一个事件的不想相交的子事件乘法：两个独立事件例如：一共三个球，红黄蓝，现在要拿一个，那么拿一个球不是蓝色的概率：不是蓝色，那么不是红色就是黄色，这是一个事件的不相交的两个子事件，所以用加法，即结果为1/3+1/3=2/3但是如果问：两个框，每个框里放了红黄蓝球各一个，从两个框里各拿一个球，都是红色的概率：从两个框拿球是相互独立的，所以用乘法，所以结果是1/3*1/3=1/9

所以选A

一分离规律的计算核心内容:1成对的遗传因子(基因)在形成配子时,分离,进入不同的配子如Aa会分离,进入不同的配子.既某配子含A或a的概率是50%2受精时,雌雄配子的结合是随机的如雄亲本的A配子,雄的a配子与雌亲本A配子a配子的结合是随机的,概率是雄亲本的A配子+雌亲本A配子,雄亲本的A配子+雌亲本a配子,雄的a配子+雌亲本A配子,雄的a配子+雌亲本a配子.各占25%(即都是50%*50%)的概率二自用组合规律的计算核心内容1遵循分离规律概率(分离,受精随机)2两对遗传因子(基因)在形成配子时(减数分裂1)分离的方向是随机的,产生配子的概率是AB,Ab,aB,ab各占25%3如三对以上遗传因子(基因)在形成配子时则可类推.群体遗传的计算1基因频率与基因型频率的概念(书上有P117页)2遵循遗传平衡定律:AA=A基因频率的平方,Aa=2*A基因频率*a基因频率,aa=a基因频率的平方,且三者之合为一(这个比较常用,你可以找几个题练练手)伴性遗传的计算1同样遵守分离,自由组合规律,也遵守遗传平衡定律2特殊情况要注意:Y染色体上的显性遗传基因只用男性有,X染色体上的显性遗传基因女患者多于男性,Y染色体上的隐性遗传基因无表达机会,X染色体上的隐性遗传基因交叉遗传(外公通过女儿传给外孙)X染色体上的基因频率,与外染色体的基因频率计算与常染色提有所不同.上述说的只是基因概率的计算,考试的时候经常考表现型的概率计算,它是以基因概率为基础的,这方面要在练习中摸索自己的经验.最后遗传概率计算能力的提高,依赖于做题,如这方面欠缺,建议你每天做几道,可以先从自由组合开始,然后再做伴性遗传的,基因频率的,还有综合的.相信一星期后你会有顿悟的感觉,且遗传是高考必考的,现在补,来的及!

地球上77亿人，204个国家，809个岛屿，两个人相遇的概率是，1/29200000

C就是组合，不考虑顺序。比如从一个袋子有一个红球一个蓝球，一个黄球，现在要从中摸两个球出来，可能的情况有哪些：如果是C的话：那就是一红一蓝，一红一黄，一蓝一黄三种情况。这个就没考虑顺序。如果是A的话：那就是先红后蓝，后红先蓝，先红后黄，后红先黄，先蓝后黄，后蓝先黄，就变成6种情况了。扩展资料：概率亦称“或然率”。它反映随机事件出现的可能性大小的量度。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数。该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示，与“几率”不同，一个事件的几率（odds）是指该事件发生的概率与该事件不发生的概率的比值。柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合{（1，1）}表示，“点数之和为4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1）3个基本事件组成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。P(不可能事件)=0。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在试验中此事件一定发生，称为必然事件。P(必然事件)=1。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究 。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。对立事件：即必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。参考资料：百度百科-概率

可列可加性与有限可加性是等价的！

概率当然有大小。比如抛硬币，正面朝上的概率是2分之1比如一个袋子里有红黄蓝色球各一个，你摸一次得到红球的概率就是3分之1

有些是，有些不是~~

条件概率与无条件概率之间的区别可以用一个“顺序”来解释。你举的这个例子就是一个条件概率，因为是先一，二两次是次品，然后第三次是正品。所以就是求在一二两次是次品的条件下，第三次是正品的概率。倘若题目是求第三次是正品的概率，那么就不是条件概率了。 

aa和aa杂交，结果有四种，分别为aa、aa、aa、aa，其中出现aa的概率为1/2。由题，1/4aa和1/2aa，出现aa的概率为1/4*1/2*1/2=1/16,同理，出现bb的概率为1/16，所以1/4aabb和1/2aabb杂交，后代出现aabb的概率=1/16*1/16=1/256.例2,1/4aa和1/3aa杂交，后代出现aa的概率=1/4*1/3*1/2=1/24.像这样的题目你解答时就是要1对对分开来算，最后每对概率值再相乘就行了。就像例1的a和b拆开来求概率再相乘。还有就是求每对的概率的方法是题目给的两个概率乘以杂交后代出现这个遗传因子的概率。求杂交后代出现这个遗传因子的概率就是位跟位配在一起概率平分，比如说aa和aa杂交会出现四种情况，分别是aa、aa、aa、aa。这四种情况出现的概率是一样的所以每种是1/4,就是说杂交后代出现aa这个遗传因子的概率是1/4+1/4=1/2。

在简单随机试验中，记一个事件为A。独立重复地将简单随机试验做n次，如果事件A发生了k次。则称在n次试验中，事件A发生的频数为k，发生的频率为k/n。概率是事件A发生可能性的大小，这是概率的描述性定义。如果存在一个实数p，当n很大时，频率稳定在p附近摆动，称频率的这个稳定值p为概率。这是概率的统计性定义。概率还有公理化定义，太抽象，繁琐，不再叙述，有兴趣的朋友可以参考概率统计教材。可以用中心极限定理证明概率的统计性定义。

想问下题主的课本是什么名字，急用

定理大全第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率： ， （7）概率的公理化定义 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件 的概率。（8）古典概型 1° ，2° 。设任一事件 ，它是由 组成的，则有P(A)= = （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P( )=1- P(B)（12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式： 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 … …… … 。（14）独立性 ①两个事件的独立性设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式 设事件 满足1° 两两互不相容， ，2° ，则有 。（16）贝叶斯公式 设事件 ， ，…， 及 满足1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，2° ， ，则 ，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。 ，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， ， 。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 ，则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1° 。2° 。（3）离散与连续型随机变量的关系 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数 设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1° ；2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；3° ， ；4° ，即 是右连续的；5° 。对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。 ， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 的分布律为 ， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 ，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布 设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即 其他，则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为 。 指数分布 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：正态分布 设随机变量 的密度函数为 ， ，其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。 具有如下性质：1° 的图形是关于 对称的；2° 当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为 。。参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为 ， ，分布函数为 。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。如果 ~ ，则 ~ 。 。（6）分位数 下分位表： ；上分位表： 。（7）函数分布 离散型 已知 的分布列为 ， 的分布列（ 互不相等）如下： ，若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YX y1 y2 … yj …x1 p11 p12 … p1j …x2 p21 p22 … p2j …xi pi1 … …这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2） 连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)≥0;（2） （2）二维随机变量的本质 （3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1） （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4） （5）对于 .（4）离散型与连续型的关系 （5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 ；Y的边缘分布为 。 连续型 X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 ；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O 1 x图3.1y1O 2 x图3.2ydcO a b x图3.3（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（ 但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ， Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设则t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。F分布 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，标准差 ，矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)= , k=1,2, ….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, …. ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)= k=1,2, ….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质 （1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布 p 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n 2n t分布 0 (n>2)（5）二维随机变量的数字特征 期望 函数的期望 ＝ ＝方差 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。| |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当 时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：① ；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关 （i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）～N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有（2）中心极限定理列维－林德伯格定理 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量 为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有（3）二项定理 若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当 ，则其中k=0，1，2，…，n，…。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设 为总体的一个样本，称 （ ）为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩样本k阶中心矩 ， ， ， ,其中 ，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数t分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示自由度为n-1的 分布。 F分布 设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。（3）正态总体下分布的性质 与 独立。第七章 参数估计（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。（2）估计量的评选标准 无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X） 有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。 一致性 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。 单正态总体的期望和方差的区间估计 设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；（iii）导出置信区间 。 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计 （i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出 的置信区间第八章 假设检验基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤 假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设H0；(ii) 选择统计量K；(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ；(iv) 由样本值 计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P{否定H0|H0为真}= ；此处的α恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即P{接受H0|H1为真}= 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件 零假设 统计量 对应样本函数分布 否定域已知 N（0，1） 未知 未知

本题主要考查了两个知识点：线性规划、几何概型

第一章 事件与概率1.1 随机事件与随机变量1.1.1 随机现象及其样本空间1.1.2 随机事件与随机变量的定义1.1.3 事件间的关系与运算习题1.11.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义1.2.2 频率方法1.2.3 古典方法1.2.4 概率分布1.2.5 主观方法习题1.21.3 概率的性质1.3.1 对立事件的概率1.3.2 概率的单调性1.3.3 概率的加法公式习题1.31.4 独立性1.4.1 事件间的独立性1.4.2 n重伯努利试验习题1.41.5 条件概率1.5.1 条件概率的定义1.5.2 条件概率的性质1.5.3 全概率公式1.5.4 贝叶斯公式习题1.5第二章 随机变量的分布及其特征数2.1 随机变量及其概率分布2.1.1 随机变量的定义2.1.2 离散分布2.1.3 连续分布习题2.12.2 分布函数2.2.1 分布函数的定义与性质2.2.2 正态分布的计算2.2.3 随机变量函数的分布习题2.22.3 数学期望2.3.1 离散分布的数学期望2.3.2 连续分布的数学期望2.3.3 随机变量函数的数学期望习题2.32.4 方差与标准差2.4.1 方差与标准差的定义2.4.2 方差的性质2.4.3 切比雪夫不等式2.4.4 伯努利大数定律习题2.42.5 分布的其他特征数2.5.1 矩2.5.2 变异系数2.5.3 偏度2.5.4 峰度2.5.5 中位数2.5.6 分位数2.5.7 众数习题2.53.1.1 多维随机变量3.1.2 联合分布3.1.3 随机变量间的独立性3.1.4 多维离散随机变量3.1.5 多维连续随机变量习题3.13.2 多维随机变量函数的分布与期望3.2.1 最大值与最小值的分布3.2.2 卷积公式3.2.3 多维随机变量函数的数学期望3.2.4 Delta方法习题3.23.3 多维随机变量间的相依性3.3.1 协方差3.3.2 相关系数3.3.3 条件分布3.3.4 条件期望习题3.33.4 中心极限定理3.4.1 一个重要现象3.4.2 独立同分布下的中心极限定理3.4.3 二项分布的正态近似3.4.4 独立不同分布下的中心极限定理习题3.4第四章 统计量与估计量4.1 总体与样本4.1.1 总体与个体4.1.2 样本4.1.3 从样本去认识总体的图表方法4.1.4 正态概率图习题4.14.2 统计量、估计量与抽样分布4.2.1 统计量与估计量4.2.2 抽样分布4.2.3 点估计的评价标准习题1.24.3 点估计方法4.3.1 样本的经验分布函数与样本矩4.3.2 矩法估计4.3.3 极大似然估计习题4.34.4 次序统计量4.4.1 次序统计量概念4.4.2 次序统计量的分布4.4.3 样本极差4.4.4 样本中位数与样本p分位数4.4.5 五数概括及其箱线图4.4.6 用随机模拟法寻找统计量的近似分布习题4.4第五章 单样本推断5.1 假设检验的概念与步骤5.1.1 假设检验问题5.1.2 假设检验的步骤5.1.3 标准差在假设检验中的作用习题5.15.2 正态均值的检验5.2.1 正态均值u的u检验（a已知）5.2.2 正态均值u的t检验（a未知）5.2.3 用p值作判断5.2.4 假设检验的一些解释习题5.25.3 正态均值的区间估计5.3.1 置信区间5.3.2 枢轴量法5.3.3 假设检验与置信区间的联系5.3.4 正态均值u的置信区间习题5.35.4 样本量的确定……第六章 双样本推断第七章 方差分析习题答案参考文献附录

2/(n-1) 解法一：不管甲坐在什么位置，剩下n-1个位置里，乙有两个可选位置，所以是2/(n-1) 这应该是最简便的解法了解法二：总共n个人围一圈，有 (n-1)! 个坐法甲乙要坐在一起，那么就让他们坐一起，他们谁在左谁在右，有2种。其他n-2个人，(n-2)! 个坐法。所以是 2*(n-2)! 故概率围 2/(n-1)。扩展资料：公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2??是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2??），则有P(A1∪A2∪??)=P(A1)+P(A2)+??

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定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An) 推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1推论3： 为事件A的对立事件。推论4：若B包含A，则P(B－A)= P(B)－P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) 条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B) P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 　　 设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。全概率公式的形式如下：以上公式就被称为全概率公式。

俄罗斯大转盘 就是两个人赌命的一种方式 把左轮手枪六颗子弹都取下来 只剩下一颗子弹在弹匣里 将弹匣用大力旋转之后 两个人轮流用枪打自己的脑袋 每人打一枪 如果撞针撞在空弹仓上 手枪不会击发 这时将枪交给另一个人 如此循环 直到有一个人被自己打死为止！

目前世界人口60多亿。一生有：80*365=29200（天）。平均每天可以遇到1000个人左右。一辈子遇到人的总数：29200*1000=29200000（人）。相遇的几率：29200000/6000000000=0.00487。柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+。

给你个提示,用定义直接证明.我想别无他法

概率用大小形容。概率是反映某一事件发生的可能性大小的量。常用符号P表示，范围在0与1之间。所以概率用大小形容。概率也叫几率、或然率。它表示某一随机事件可能发生的程度的一个数，不同的概型有各自不同的定义，现代概率论是建立在“概率公理化定义”的基础上。概率表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。随机事件出现的可能性的量度。

当你分情况讨论问题时相加；当你分步骤讨论问题时相乘当你比如一个人从甲城市去乙城市有3条路可选，从乙城市去丙城市有4条路可选问：此人从甲城市去丙城市有几种走法（必须经过乙城市）？我们分析：此人从甲城市去丙城市分两个步骤——先从甲到乙，再从乙到丙，那么就应该相乘从甲城市到乙城市可分三种情况去（3条路）所以这三条路应该相加得3同理从乙城市去丙城市应该分四种情况去（4条路）所以应该相加；综上从甲城市去丙城市应该有3*4种方法。还有这计算的相当于排列组合，不是概率

符号 A(n,m) ----------即 字母A右下角n 右上角m表示n取m的排列数, ----------从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数A和P没有区别 过去曾用P表示排列数, P是Permut首字母，现在多用A表示排列数, A是Arrangement首字母 就像 过去曾用tg表示正切, 现在多用tan表示正切一样

排列符号

概率的频率定义　　随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。 概率的严格定义　　设E是随机试验，Ω是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件： 　　（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; 　　（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; 　　（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+…… 　　随机事件的发生与否是带有偶然性的，但是随机事件发生的可能性还是有大小之别的，是可以度量的。实际上在生活、生产和经济活动中，人们常关心一个随机事件发生的可能性大小。 　　例如： 　　（1）抛一枚均匀的硬币，出现正面与方面的可能性各为1/2。 　　（2）购买彩票的中奖机会有多少呢？ 　　上述正面出现的机会，以及彩票中奖的机会或者命中率都是用来度量随机事件发生可能性大小。一个随机事件A发生可能性的大小称为这个事件的概率，并用P（A）表示。 　　概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生可能性就越大；概率越小，事件发生的可能性也就就越小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即: 　　P(Φ)=0，p（Ω）=1 概率的古典定义　　如果一个试验满足两条： 　　（1）试验只有有限个基本结果 　　（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 　　这样的试验，成为古典试验。 　　对于古典试验中的事件A，它的概率定义为： 　　P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 概率的统计定义　　在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。 　　在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，公元1654年～1705年）。 　　从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。 　　由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。 　　Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。 历史　　第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。 　　Cardano的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、《为什么亚里斯多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》等。 　　然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金应分配问题。 两大类别古典概率相关　　古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。 几何概率相关　　几何概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。 　　在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示，其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的，其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。并且假定这种度量具有如长度一样的各种性质，如度量的非负性、可加性等。 　　◆几何概率的严格定义 　　设某一事件A（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为μ(A)，若以P(A)表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P(A)=μ(A)/μ(S)，这样计算的概率称为几何概率。 　　◆若Φ是不可能事件，即Φ为Ω中的空的区域，其量度大小为0，故其概率P(Φ)=0。 独立试验序列　　假如一串试验具备下列三条： 　　（1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，P{成功}=p，P{失败}=1-p=q 　　（2）成功的概率p在每次试验中保持不变 　　（3）试验与试验之间是相互独立的。 　　则这一串试验称为独立试验序列，也称为bernoulli概型。 必然事件与不可能事件　　在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合{（1，1）}表示，“点数之和为4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3个基本事件组成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在试验中此事件一定发生，所以称为必然事件。若A是一事件，则“事件A不发生”也是一个事件，称为事件A的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究 　　举个例子：小明要在4个抽屉中放入5个球，其中有一个抽屉会有2个球，这就是必然事件 　　再举个例子：小明要在5个抽屉中放入3个球，如果说其中每个抽屉都有球，那么，这就是不可能事件 　　【随机事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，对立事件】 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 　　一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 　　通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。 　　不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 　　必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。 　　即P（必然事件）=1 　　P（可能事件）=(0-1)（可以用分数） 　　P（不可能事件）=0 性质　　性质1．P(Φ)=0. 　　性质2（有限可加性）．当n个事件A1，…，An两两互不相容时：　P(A1∪。。.∪An)=P(A1)+...+P(An)． 　　性质3．对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)． 　　性质4．当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)． 　　性质5．对于任意一个事件A，P(A)≤1． 　　性质6．对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)． 　　性质7（加法公式）．对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)． 　　（注：A后的数字1，2，．．．，n都表示下标．） 频率与概率　　对事件发生可能性大小的量化引入“概率”． 　　“统计规律性” 　　独立重复试验总次数n,事件A发生的频数μ， 　　事件A发生的频率Fn(A)=μ/n,A的频率Fn(A)有没有稳定值？ 　　如前人做过的掷硬币的试验(P.44下面表) 　　如果有就称频率μn的稳定值p为事件A发生的概率记作P(A)=p[概率的统计定义] 　　P(A)是客观的，而Fn(A)是依赖经验的。 　　统计中有时也用n很大的时候的Fn(A)值当概率的近似值。 三个基本属性　　1．[非负性]：任何事件A，P(A)≥0 　　2．[完备性]：P(Ω)=1 　　3．[加法法则]如事件A与B不相容，即如果AB=φ，则P(A+B)=P(A)+P(B) 加法法则　　如事件A与B不相容，A+B发生的时候，A与B两者之中必定而且只能发生其中之一。独立重复地做n次实验，如记事件A发生的频数为μA、频率为Fn(A) ，记事件B发生的频数为μB 、频率为Fn(B) ，事件A+B发生的频数为μA+B 、频率为Fn(A+B) ，易知：μA+B =μA +μB，∴Fn(A+B) = Fn(A) + Fn(B) ,它们的稳定值也应有：P(A+B)=P(A)+P(B)[加法法则]如事件A与B不相容，即如果AB=φ，则 P(A+B)=P(A)+P(B)即：两个互斥事件的和的概率等于它们的概率之和。请想一下：如A与B不是不相容，即相容的时候呢？进一步的研究得： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被人称为：“多退少补”！

概率的加法法则：定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）推论1：设A1、 A2、?、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+ P(An)推论2：设A1、 A2、?、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1推论3： 为事件A的对立事件。推论4：若B包含A，则P(B－A)= P(B)－P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)扩展资料柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2??是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2??），则有P(A1∪A2∪??)=P(A1)+P(A2)+??参考资料：百度百科-概率计算

s^2是方差的意思，第一个没看出来是什么字符！

不对，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。 统计定义 在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义称为概率的统计定义。 在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。 从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。 由于频率 总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。 公理化定义 柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下： 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; （2）规范性：对于必然事件，有P(Ω)=1; （3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

概率，又称或然率、机率或可能性，它是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。来源概率（Probability）一词来源于拉丁语“probabilitas”，又可以解释为 probity.Probity的意思是“正直、诚实”，在欧洲probity用来表示法庭案例中证人证词的权威性，且通常与证人的声誉相关。总之与现代意义上的概率“可能性”含义不同。古典定义如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验便是古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=  ，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）  。从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。由于频率 总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……性质：概率具有以下7个不同的性质：性质1：P(Φ)=0；性质2：（有限可加性）当n个事件A1,…,An两两互不相容时：　P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)；性质3：对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)；性质4：当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)；性质5：对于任意一个事件A，P(A)≤1；性质6：对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)；性质7：（加法公式）对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

这哥们是奇葩。。。膜拜

其实你这个问题的条件应该是不完整的，这个公式应该在B属于A时才成立。当B属于A时，你做图可以发现，此时B就是A与B的交集，即B=AB，因此P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

我是 xtimz 的小号，我早已回答了这题，百度不给我通过，上来抱怨一下！

什么问题

都属于古典概型从10个中选3个,共有C（10,3）=10*9*8/(1*2*3)=120种（1）最小号码为5先选5,然后从6,7,8,9,10中选两个,共有C（5,2）=10种所以P=10/120=1/12（2）最大号码为5先选5,然后从1,2,3,4中选两个,共有C（4,2）=6种所以P=6/120=1/20拓展资料折叠古典定义如果一个试验满足两条:(1)试验只有有限个基本结果;(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验便是古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义为:P(A)=m/n，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。折叠频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。折叠统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。在历史上，第一个对"当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上"这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)。折叠公理化定义柯尔莫哥洛夫（kolmogorov）于1933年给出了概率的公理化定义，如下:设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A，有P(A)≥0;(2)规范性:对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;(3)可列可加性:设A1，A2??是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，(i,j=1,2??)，则有概率应用之一——骰子P(A1∪A2∪??)=P(A1)+P(A2)+??

有难度啊。随然我也学《概率论与数理统计》，不过我也不懂

∵ABC⊂AB∴0≤P（ABC）≤P（AB）=0，故P（ABC）=0A,B,C中至少有一个发生的概率：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)把数字带进去即可！

在x,y都属于(0,1)内,它们所形成的区域是正方形的内部,四个顶点是（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）,其面积是1,在x+y＜5/6的区域面积是以（0,0）（0,5/6）（5/6,0）为顶点的三角形面积,等于25/72所以在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于5/6的概率是（25/72）/1=25/72扩展资料柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2??是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2??），则有P(A1∪A2∪??)=P(A1)+P(A2)+??

加法原理、乘法原理、组合与排列 确定性现象 ：在一定条件下必然发生。 随机现象 ：事先无法预知出现哪个结果 统计规律性 ：随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性。 观察的过程叫做 随机试验 。 随机试验一切可能结果组成的集合称为 样本空间 ，记为 ，其中 表示试验的每一个可能结果，又称为 样本点 。 当我们通过随机试验来研究随机对象时，每一次试验都只能出现样本空间中的某一个样本点。各个可能结果 是否在一次试验中出现是随机的。 在随机试验中，常常关心其中的某一些结果是否会出现，如抛一枚骰子，掷出点数是否为奇数等。这些在一次试验中可能出现也可能不出现的一类结果称为 随机事件 ，简称为 事件 ，通常用大写字母A,B,C来表示。 从集合的角度说，样本空间的 部分样本点组成的集合 称为随机事件。 因为集合之间有各种关系，是可以进行运算的，因此在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算。 由此可推出： 频率 ：在 次试验中事件A出现了 次，则称比值 为这 次试验中事件A出现的频率，记为 ， 称为事件A发生的频数。 概率的统计定义 为：随着试验次数 的增大，频率值逐步 “稳定” 到一个实数，这个实数称为事件A发生的概率。 概念的公理化定义： 由概率的三条公理，可以得到一些重要的基本性质： 古典概型的基本思路： (1) 只有 有限个样本点 (2) 每个 基本事件发生的可能性相等 几何概型是古典概型的推广，保留样本点的等可能性，但 去掉了包含有限个样本点的限制 。 经典问题：碰面问题，蒲丰投针问题。 根据蒲丰投针问题可以近似地计算 一般地，条件概率是指在某随机事件A发生的条件下，另一随机事件B发生的概率，记为 条件概率的定义： 可以验证条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质。 概率的乘法公式 ： 事件的独立性定义： 由此引出定理： 可以将相互独立性推广到三个事件、……、n个事件 将一些较为复杂的随机事件的概率计算问题分解为一些较容易计算的情况分别进行考虑。 完备事件组 ： 定理1 全概率公式 ： 定理2 贝叶斯公式 ： 由条件概率的定义及全概率公式得到。 已知结果，寻找原因 。 先验概率 和 后验概率 ： 贝叶斯派和经典统计学学派为现代统计学的两大分支，差别在于是否使用先验信息。