条件概率与无条件的概率有何区别

行列式的乘法公式其实是矩阵的乘法得来的，即 |A||B| = |AB|；其中 A.B 为同阶方阵，若记 A=(aij)，B=(bij)，则|A||B| = |(cij)|，cij = ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。行列式的乘法公式其实是矩阵的乘法得来的,即 |A||B| = |AB|其中 A.B 为同阶方阵若记 A=(aij), B=(bij), 则|A||B| = |(cij)|cij = ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义[1]。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。乘法结合律： (AB)C=A(BC)．[3]乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC[3]乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB[3]对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．转置 (AB)T=BTAT．矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。

aa和aa杂交，结果有四种，分别为aa、aa、aa、aa，其中出现aa的概率为1/2。由题，1/4aa和1/2aa，出现aa的概率为1/4*1/2*1/2=1/16,同理，出现bb的概率为1/16，所以1/4aabb和1/2aabb杂交，后代出现aabb的概率=1/16*1/16=1/256.例2,1/4aa和1/3aa杂交，后代出现aa的概率=1/4*1/3*1/2=1/24.像这样的题目你解答时就是要1对对分开来算，最后每对概率值再相乘就行了。就像例1的a和b拆开来求概率再相乘。还有就是求每对的概率的方法是题目给的两个概率乘以杂交后代出现这个遗传因子的概率。求杂交后代出现这个遗传因子的概率就是位跟位配在一起概率平分，比如说aa和aa杂交会出现四种情况，分别是aa、aa、aa、aa。这四种情况出现的概率是一样的所以每种是1/4,就是说杂交后代出现aa这个遗传因子的概率是1/4+1/4=1/2。

所以选A

分数乘法的法则：分子分母分别相乘，作为积的分子和分母，在相乘时，如果位于分子和分母的两个数有相同的因子，可以同时约去（即分子分母同除以一个相同的数）。

一分离规律的计算核心内容:1成对的遗传因子(基因)在形成配子时,分离,进入不同的配子如Aa会分离,进入不同的配子.既某配子含A或a的概率是50%2受精时,雌雄配子的结合是随机的如雄亲本的A配子,雄的a配子与雌亲本A配子a配子的结合是随机的,概率是雄亲本的A配子+雌亲本A配子,雄亲本的A配子+雌亲本a配子,雄的a配子+雌亲本A配子,雄的a配子+雌亲本a配子.各占25%(即都是50%*50%)的概率二自用组合规律的计算核心内容1遵循分离规律概率(分离,受精随机)2两对遗传因子(基因)在形成配子时(减数分裂1)分离的方向是随机的,产生配子的概率是AB,Ab,aB,ab各占25%3如三对以上遗传因子(基因)在形成配子时则可类推.群体遗传的计算1基因频率与基因型频率的概念(书上有P117页)2遵循遗传平衡定律:AA=A基因频率的平方,Aa=2*A基因频率*a基因频率,aa=a基因频率的平方,且三者之合为一(这个比较常用,你可以找几个题练练手)伴性遗传的计算1同样遵守分离,自由组合规律,也遵守遗传平衡定律2特殊情况要注意:Y染色体上的显性遗传基因只用男性有,X染色体上的显性遗传基因女患者多于男性,Y染色体上的隐性遗传基因无表达机会,X染色体上的隐性遗传基因交叉遗传(外公通过女儿传给外孙)X染色体上的基因频率,与外染色体的基因频率计算与常染色提有所不同.上述说的只是基因概率的计算,考试的时候经常考表现型的概率计算,它是以基因概率为基础的,这方面要在练习中摸索自己的经验.最后遗传概率计算能力的提高,依赖于做题,如这方面欠缺,建议你每天做几道,可以先从自由组合开始,然后再做伴性遗传的,基因频率的,还有综合的.相信一星期后你会有顿悟的感觉,且遗传是高考必考的,现在补,来的及!

首先，得知道行列式的两个计算公式其次，通过构造矩阵来证明||用分块矩阵的方法来证明：| A 0||-E B|＝[按前n行展开]＝|A||B| ①（E为单位矩阵）注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值，第二块行左乘A加到第一块行| A 0||-E B|＝| 0 AB||-E B|＝[按前n行展开]＝（-1）^t|AB||-E|②t＝1+2+……+n+（n+1）+（n+2）+……+（n+n）＝n（2n+1）|-E|＝（-1）^n,注意n（2n+1）+n＝2（n²+n）是偶数.∴（-1）^t|AB||-E|＝|AB|③对照①②③,得到：|A||B|＝|AB|扩展资料：设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。定理3 令A为n×n矩阵。(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。这些结论容易利用余子式展开加以证明。参考资料来源：百度百科-矩阵行列式

余数三大定理有余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18+21=39除以5的余数等于4，即是两个余数的和1+3. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c所得的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18×21=378除以5的余数等于3，即是两个余数的积1×3. 当余数的积比除数大时，所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a、b除以同一个数m，得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。 例：18，33除以5的余数都是3，则33－18=15一定能被5整除。 论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为mx+a，设第二个商为n（n＜m），余数为a，则第二个被除数为nx+a，两个被除数的差为：（m－n）x，（m+n）x是x的倍数，所以，两个被除数的差一定能被x整除。

被除数=除数×商+余数三大余数定理:1.余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。2.余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余。3.同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为:a?b(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作:a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。

举个例子,一个家系中有A病和B病的遗传史,给你一定的条件,问你①其中一对夫妻生的孩子至少患一种病的概率②两种病都患的概率。你可以求出此孩子分别患A和B的概率，那么第一个问题,应该是用患A病的概率加患B病的概率,因为有两种情况达到此孩子至少患一种病的条件,即患A或者患B,这两种情况有其一即可,所以用加法.第二个问题就用乘法,因为必须是既患A又患B,两者同时发生才满足条件,这种情况概率相乘.

概率的性质如下：在一定条件下可能出现也可能不出现，可能这样出现也可能那样出现的现象叫做随机现象，又称随机事件。表明随机事件出现可能性大小的客观指标就是概率。概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。概率的性质：(1)概率的公理系统。①任何一个随机事件A的概率都是非负的。②在一定条件下必然发生的必然事件的概率为1。③在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0。概率值在0和1之间，0≤P(A)≤1，概率接近1的事件其发生的可能性较大，而概率接近0的事件其发生的可能性较小。公式(2)和公式(3)的逆定理不成立。(2)概率的加法定理。加法定理是指两个互不相容事件A.B之和的概率，等于两个事件概率之和，写作P(A+B)=P(A)+P(B)。互不相容事件是指在一次实验或调查中，若事件A发生则事件B就一定不发生。无论互不相容事件有多少，其总和的概率永远不会大于1。(3)概率的乘法定理。乘法定理适用于几种情况组合的概率，即几种事件同时发生的情况，公式写作P(AB)=P(A)×P(B)。乘法定理指出：两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率的乘积。独立事件是指一个事件的出现对另一个事件的出现不发生影响。    

三个事件ABC为例，已知两两独立充要条件为P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，若ABC相互独立充要条件为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，且P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，故两两独立只是相互独立的必要条件。

那个不该是p(b)么

那是定义

乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法. 加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。 双亲性状为ABc 则F1中与亲本表现一致的基因型为 A_B_cc 所以其概率为（3/4）*(3/4)*1=9/16故不同于双亲的概率为1-（9/16）=7/16

叠加用乘法比如说扔一枚硬币，是正面的概率是1/2，那么连扔两次是正面的概率就是1/4，三次则是1/8，依此类推。这个在数学上叫做乘法定理，就是多个事件同时发生，用乘法如果是准备两件，我们可以算两件都失败的概率，是两个70%相乘，为49%，于是成功概率为51%。如果是准备三件，那三件都失败的概率是三个70%相乘，为34%，于是成功概率为66%——来自“生命科学”团队的高中一线教师，希望能帮到你

自由组合定律中有关规律及常用的解题方法解题技巧之一：一 、解题思路：将自由组合问题转化为若干个分离定律问题：（即：单独处理、彼此相乘）在独立遗传的情况下，将多对性状，分解为单一的相对性状然后按基因的分离定律来单独分析，最后将各对相对性状的分析结果相乘，其理论依据是概率理论中的乘法定理。乘法定理是指：如某一事件的发生，不影响另一事件发生，则这两个事件同时发生的概率等于它们单独发生的概率的乘积。基因的自由组合定律涉及的多对基因各自独立遗传，因此依据概率理论中的乘法定理，对多对基因共同遗传的表现就是其中各对等基因单独遗传时所表现的乘积。二 、题型：（一）正推：1、已知亲本基因型，求产生的配子种类数、求配子的类型、求配子比例、求个别配子所占的比例。例1：基因型为AaBbDd（各对基因独立遗传）的个体（1）产生配子的种类数：解题思路：分解：AaBbDd→Aa、Bb、Dd,单独处理：Aa→2种配子；Bb→2种配子；Dd→2种配子。彼此相乘：AaBbDd→2×2×2=8种。（2）配子的类型：解题思路：单独处理、彼此相乘——用分枝法书写迅速准确求出。D——AB DBA d——AB d D——A b D bd——A b dD——aB DB d——aB da D——a b D b d——a b d（3）配子的类型及比例：解题思路：分解：AaBbDd→Aa、Bb、Dd,单独处理：Aa→（A：a）=（1：1）；Bb→（B：b）=（1：1）；Dd→（D：d）=（1：1）。彼此相乘：AaBbCc→（A：a）×（B：b）×（D：d）=（1：1）×（1：1）×（1：1）。ABD：Abd：AbD：aBD：abD：aBd：abd ：Abd=1：1：1：1：1：1：1：1（4）其中ABD配子出现的概率：解题思路：分解：AaBbCc —→ Aa、Bb、Dd, 单独处理：Aa→1/2A，Bb→1/2B，Dd→1/2D, 彼此相乘：ABD→1/2×1/2×1/2=8。2、已知亲本基因型，求子代基因型种类数、种类和比例及某种基因型体出现的概率。例2：基因型为AaBb的个体和基因型为AaBb的个体杂交（两对基因独立遗传）后代能产生多少种基因型？基因型的类型有哪些？其中基因型为AABB的几率为多少？（1）基因型的种类数：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→3种基因型，Bb×Bb→3种基因型，彼此相乘：(Aa×Aa)×(Bb×Bb)=3×3＝9种基因型。（2）基因型的类型：解题思路：单独处理，彼此相乘——用分枝法书写迅速准确求出。 ↗BB→AABB ↗BB→AaBB ↗BB→aaBB AA →Bb→AABb Aa→ Bb→AaBb aa→ Bb→aaBb ↘bb→AAbb ↘ bb→Aabb ↘ bb→aabb （3）基因型的比例：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→（AA： Aa：aa）=（1：2：1），Bb×Bb→（BB：Bb：bb）=（1：2：1）彼此相乘：(Aa×Aa)×(Bb×Bb)= = 1：2：1：2：4：2：1：2：1（4）其中基因型为AABB个体出现的几率：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理:Aa×Aa→1/4AA，Bb×Bb→1/4BB, 彼此相乘：AABB=1/4×1/4=1/16。3、已知亲本基因型，求子代表现型种类数、种类和比例例3：基因型为AaBb的个体与基因型为AaBb的个体杂交（各对基因独立遗传），后代能产生多少种表现型？表现型的类型有哪些？其中表现型为A B 的个体出现的几率为多少？（1）表现型的种类：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→2种表现型；Bb×Bb→2种表现型，彼此相乘（Aa×Aa）×(Bb×Bb)→2种×2种＝4种表现型。（2）表现型的类型：单独处理、彼此相乘：--------用分枝法书写迅速准确求出。 ↗B →A B (双显) ↗B →aaB (一隐一显)A__ aa ↘bb→A bb(一显一隐) ↘bb→aabb(双隐)（3）表现型的比例：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb), 单独处理：Aa×Aa→(显：隐)=（3：1）；Bb×Bb→(显：隐)=（3：1），彼此相乘（Aa×Aa）×(Bb×Bb)→（3：1）×（3：1）=9：3：3：1。（4）其中表现型为A B 的个体出现的几率：解题思路：分解：AaBb×AaBb→(Aa×Aa)、(Bb×Bb)；单独处理：Aa×Aa→3/4A ；Bb×Bb→3/4B ；彼此相乘：A B →3/4×3/4=9/16（二）逆推1、已知子代表现型及比例，求亲代的基因型：例4：两亲本豌豆杂交，所得种子中，黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=9：3：3：1、求两亲本的基因型。解题思路：分解：黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=9：3：3：1为（黄色：绿色）×（圆粒：皱粒）=（3：1）×（3：1）。第一步：由（黄色：绿色）=（3：1），判断，两亲本的基因型为Yy和Yy；由（圆粒：皱粒）=（3：1），判断，两亲本的基因型为Rr和Rr 。第二步：将两对相关基因相乘，即得两亲本的基因型YyRr和YyRr。思考：黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=1：1：1：1，两亲本的基因型为：思考：黄色圆粒：绿色圆粒：黄色皱粒：绿色皱粒=3：3：1：1，两亲本的基因型为：例1：番茄红果（A ）对黄果（a）为显性，子房二室（B）对多室（b）为显性。两对基因独立遗传。① 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=9:3:3:1，则两个亲本的基因型？AaBb×AaBb② 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=3:3:1:1，则两个亲本的基因型？AaBb×Aabb③ 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=3:1:3:1，则两个亲本的基因型？AaBb×aaBb④ 若F1代植株中红果二室：红果多室：黄果二室：黄果多室=1:1:1:1，则两个亲本的基因型？AaBb×aabb或Aabb×aaBb2、已知子代基因型及比例，求亲代的基因型：例5：已知AABB：AABb： AAbb：AaBB：AaBb：Aabb： aaBB：aaBb：aabb=1：2：1：2：4：2：1：2：1，求亲本基因型。解题思路：分解：AABB：AABb： AAbb：AaBB：AaBb：Aabb： aaBB：aaBb：aabb=1：2：1：2：4：2：1：2：1为（AA： Aa：aa）×（BB：Bb：bb）=（1：2：1）×（1：2：1）。第一步：由（AA：Aa：aa）=（1：2：1），判断，两亲本的基因型为Aa和Aa；由（BB：Bb：bb）=（1：2：1），判断，两亲本的基因型为Bb和Bb。第二步：将两对相关基因相乘，即得两亲本的基因型AaBb和AaBb。解题技巧之二：隐性性状突破法，又叫填空法。1．前提：已知双亲的表现型和子代表现型及数量，推知双亲基因型，这是遗传习题中的常见类型。2．解题思路：按基因的分离定律单独处理，再彼此相乘。（1）列出基因式①凡双亲中属于隐性性状的，其基因型可直接写出。②几双亲中属于显性性状的，则至少含有一个显性基因，即至少写出基因型的一半。（2）根据后代出现的隐性性状推出亲本未知基因型。解题技巧之三：利用自由组合定律预测遗传病的概率（当两种遗传病独立遗传时）序号 类型 推断公式1 患甲病的概率为m 不患甲病的概率=1﹣m2 患乙病的概率为n 不患乙病的概率=1﹣n3 只患甲病的概率 m﹣mn4 只患乙病的概率 n﹣mn5 两种病都换的概率 mn6 只患一种病的概率 m﹢n﹣2mn或m（1﹣n）﹢n（1﹣m）7 不患病的概率 （1﹣m）（1﹣n）8 患病概率 m﹢n﹣mn或1﹣不患病概率例6人类并指(T)对正常(t)为显性，白化病(a)对正常(A)是隐性，都在常染色体上，而且都是独立遗传。一个家庭中，父亲并指，母亲正常，他们有一个白化病但手指正常的孩子，如果他们再生一个孩子，则：（1）这个孩子不患并指的概率？___________（2）这个孩子不患白化病的概率？___________（3）这个孩子患并指的概率？___________（4）这个孩子患白化病的概率？___________（5）这个孩子只患一种病的概率？___________（6）这个孩子同时患有两种病的概率？___________（7）这个孩子患病的概率？___________（8）这个孩子为患病男孩的概率？___________（9）这个孩子正常的概率？___________二、伴性遗传病的类型和特点1、伴Y遗传（1）特点：①患者全为男性；②遗传规律是父传子，子传孙。（全男）（2）实例：人类外耳道多毛症2、伴X显性遗传（1）特点：①女性患者多于男性；②具有时代连续几代代都有患者的现象；③难患者的母亲和女儿一定是患者。（2）实例：抗维生素D佝偻病3、伴X隐性遗传（1）特点：①男性多于女性。②交叉遗传。即男性（色盲）→女性（色盲基因携带者，男性的女儿）→男性（色盲，男性的外孙，女性的儿子）。③一般为隔代遗传。即第一代和第三代有病，第二代一般为色盲基因携带者。④女性患者的父亲和儿子一定是患者。(2)实例：人类红绿色盲症、血友病三、系谱图中遗传病、遗传方式的判断方法1、先确定是否为伴Y遗传（1）若系谱图中患者全为男性，而且男性全为患者，女性都正常，则为伴Y遗传（2）若系谱图中，患者有男有女，则不是伴Y遗传2、确定是否为母系遗传（1）若系谱图中，女患者的子女全都患病，正常的女性的子女全正常，则为母系遗传（2）若系谱图中，出现母亲患病，子女有正常的情况，或子女患病母亲正常，则不是母系遗传3、确定致病基因的显性还是隐性，确定致病基因在常染色体还是X染色体上：（1）无中生有为隐性，隐性遗传看女病，父子都病是伴性；否则为常染色体上隐性遗传。（2）有中生无为显性，显性遗传看男病，母女都病是伴性；否则为常染色体上隐性遗传。（1）在（2）在，父亲患病女儿正常或母亲正常儿子患病，为常染色体显性遗传。5、人类遗传病的判定口诀：父子相传为伴Y,子女同母为母系；无中生有为隐性，有中生无为显性；隐性看女病，女病男正非伴性； 显性看男病，男病女正非伴性。例：现有基因型为AaBbCc和aaBbCC的两种个体，已知三对基因分别位于三对同源染色体上，回答下列问题：（1）若AaBbCc的个体为动物，则：a.该个体经减数分裂可能产生_________种精子或卵细胞b.一个精原细胞经减数分裂，实际产生________个_________种精子c.一个卵原细胞经减数分裂，可产生______个卵细胞d.自交后代表现型有___种，新出现的表现型有________种e.自交后代新出现的基因型有_____________种（2）AaBbCc的个体自交，则：a.后代出现AaBbcc的几率是_________；b.后代出现新基因型的几率是_________。c.后代出现纯合子的几率是_________；d.后代全显性的个体中，杂合子的几率是_______。e. 后代中出现新表现型的几率是______； f.后代中表现型为A__B__cc 的几率是______。（3）AaBbCc×aaBbCC，其后代：a.基因型为为AAbbCC 的几率是_____ b. 与亲代具有相同基因型的 个体的几率是_______；c. 与亲代具有相同性状的个体的几率是___________。d.杂合子的几率是_________；达标：1.基因型为AAbbCC与aaBBcc的小麦进行杂交，这三对等位基因分别位于非同源染色体上，F1杂种形成的配子种类数和F2的基因型种类数分别是 （ ） A．4和9 B．4和27 C．8和27 D．32和812．在完全显性且三对基因各自独立遗传的条件下，ddEeFF与DdEeff杂交，其子代表现型不同于双亲的个体占全部子代的( )A．5/8 B．3／8 C．3/4 D．1/43.如果已知子代基因型及比例为1YYRR：1Yyrr：1YyRR：1Yyrr：2YYRr:2YyRr，并且也知道上述结果是按自由组合定律产生的，那么双亲的基因型是（　　）A.YYRR×YYRr B.YYRr×YyRr C.YyRr×YyRr D.YyRR×YyRr4.人类的多指是由显性基因（A）控制的一种遗传病，，白化病是由隐性基因（b）控制的另一种遗传病，由一对夫妇，男性为多指患者，女性表现型正常，他们生了一个白化病（aabb）的男孩，由此可知这对夫妇的基因型为（　　）A.AaBb和aaBb B.AaBb和aaBB C.AABB和aaBB D.AaBB和aaBb5.人类的多指是一种显性遗传病，白化病是一种隐性遗传病。已知控制这两种疾病的等位基因都在常染色体上，而且都是独立遗传的。在一个家庭中，父亲多指，母亲正常，他们有一个患白化病但手指正常的孩子，则下一个孩子正常和同时患有两种疾病的概率分别为（ ）A、3/4、1/8 B、3/8、1/8 C、1/4、1/4 D、1/4、1/87.人类中男人的秃头(S)对非秃头(s)是显性，女人在S基因纯合时才秃头。褐眼(B)对蓝眼(b)为显性，现有秃头褐眼的男人和蓝眼非秃头的女人婚配，生下一蓝眼秃头的女儿和一个非秃头的褐眼的儿子，请回答：（1）这对夫妇的基因型分别是________、_________。（2）他们若生下一个非秃头褐眼的女儿，基因型可能是__________。(3)他们所生的儿子与父亲、女儿与母亲具有相同基因型的几率分别是_______、______。

加法：一个事件的不想相交的子事件乘法：两个独立事件例如：一共三个球，红黄蓝，现在要拿一个，那么拿一个球不是蓝色的概率：不是蓝色，那么不是红色就是黄色，这是一个事件的不相交的两个子事件，所以用加法，即结果为1/3+1/3=2/3但是如果问：两个框，每个框里放了红黄蓝球各一个，从两个框里各拿一个球，都是红色的概率：从两个框拿球是相互独立的，所以用乘法，所以结果是1/3*1/3=1/9

乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2m3…mn种不同的方法.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法

实数集包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。完备公理：(1)、任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。(2)、设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x<y，那么必存在c属于R，使得对任何x属于A，y属于B，都有x<c<y。符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集，实数集的元素称为实数。

看看书好了，这个东东我也快考了。。。

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A与B独立，即成立P(AB)=P(A)P(B)。欲证A逆与B独立，只要证P(A逆*B)=P(A逆)P(B)。因为B=全集*B=(A逆+A)*B=A逆*B+AB，并且A逆*B与AB互斥，所以P(B)=P(A逆*B)+P(AB)=P(A逆*B)+P(A)P(B)则P(A逆*B)=P(B)-P(A)P(B)=【1-P(A)】P(B)=P(A逆)P(B)。

加法原则一般用于互斥事件（指是A后就不可能是B)中,例如一个人是男的可能性是0.5,是女的可能性也为0.5,那么他是男或女的可能性就是0.5+0.5=1而乘法原则一般用于独立事件的计算,(指是A不影响是B）,例如一个人是男的可能性是0.5,他是中国人的可能性是0.1,那么他是一个中国男性的可能性就是0.5*0.1=0.05

抽签并不是「独立」的, 而是「公平」的。非形式化地说, 先抽的人如果抽中了, 那么之后抽签的人就不可能再抽中, 前后是有影响的, 所以抽签并不是「独立」的, 形式化的说, 以两个事件为例(我们将事件分别记为 A 和 B), 事件 A 与事件 B 独立的定义是根据概率的乘法定理(假设 P(A) > 0),那么事件 A 与 B 独立必须要满足下面这个式子而对于抽签来说, 我们记第一个抽签的人抽中为事件 A, 那么当事件 A 发生后, 后面的人都无法抽中, 所以于是, 抽签不是独立的。而抽签是「公平」的, 即无论先抽还是后抽, 抽中的概率都是相等的, 这可以通过简单的条件概率公式计算, 此处从略

有些是，有些不是~~

概率当然有大小。比如抛硬币，正面朝上的概率是2分之1比如一个袋子里有红黄蓝色球各一个，你摸一次得到红球的概率就是3分之1

第1篇 概率与统计第1章 概率论的基础知识1.1 随机试验、样本空间、随机事件1.2频率与概率1.3 古典概型1.4 几何概型1.5 概率的公理化定义1.6 计数基础小结习题1第2章 条件概率与事件的独立性2.1 条件概率2.2 全概率公式和Bayes公式2.3 事件的独立性2.4伯努利试验概型和二项概率小结习题2第3章 随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布函数3.2离散型随机变量3.3连续型随机变量小结习题3第4章 二维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 二维离散型随机变量4.3 二维连续型随机变量4.4 边缘分布4.5 随机变量的独立性4.6 条件分布小结习题4第5章 随机变量的函数及其分布5.1 一维随机变量的函数及其分布5.2 二维随机变量的函数及其分布小结习题5第6章 随机变量的数字特征6.1 数学期望6.2 方差和标准差6.3 协方差和相关系数6.4切比雪夫不等式及大数律6.5中心极限定理小结习题6第7章 统计基础7.1 统计的研究对象7.2 总体和样本7.3 什么是统计学7.4 统计方法的特点及统计思想第8章 统计量和抽样分布8.1 统计量8.2 抽样分布小结习题8第9章 参数估计第10章 假设检验第2篇 离散数学符号表第11章 数理逻辑第12章 集合第13章 关系与函数第14章 代数系统第15章 图论

可列可加性与有限可加性是等价的！

C就是组合，不考虑顺序。比如从一个袋子有一个红球一个蓝球，一个黄球，现在要从中摸两个球出来，可能的情况有哪些：如果是C的话：那就是一红一蓝，一红一黄，一蓝一黄三种情况。这个就没考虑顺序。如果是A的话：那就是先红后蓝，后红先蓝，先红后黄，后红先黄，先蓝后黄，后蓝先黄，就变成6种情况了。扩展资料：概率亦称“或然率”。它反映随机事件出现的可能性大小的量度。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数。该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示，与“几率”不同，一个事件的几率（odds）是指该事件发生的概率与该事件不发生的概率的比值。柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合{（1，1）}表示，“点数之和为4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1）3个基本事件组成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。P(不可能事件)=0。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在试验中此事件一定发生，称为必然事件。P(必然事件)=1。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究 。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。对立事件：即必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。参考资料：百度百科-概率

地球上77亿人，204个国家，809个岛屿，两个人相遇的概率是，1/29200000

在学习，要认真，仔细地规划每一分钟。认真投入到学习中。曾经有一位老师说，态度决定一切，要以良好的态度去面对学习。挑战自己，相信自己。人一生的时间的有限的，时间不等人。以下是我给大家整理的 高二数学 必修二的知识点 总结 ，希望能帮助到你! 高二数学必修二的知识点总结1 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 ②过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：()直线两点， ④截矩式： 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。 ⑤一般式：(A，B不全为0) 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数); (5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (二)垂直直线系 垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (三)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点; (ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为 (为参数)，其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当，时，; 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解。 方程组无解;方程组有无数解与重合 (8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点， 则 (9)点到直线距离公式：一点到直线的距离 (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程，圆心，半径为r; (2)一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的 方法 ： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： (1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;; (2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条; 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线; 当时，两圆内含;当时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底 面相 似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4)球体的表面积和体积公式：V=;S= 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1： 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β=a。 符号语言： 公理2的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线_公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用： ①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间直线与直线之间的位置关系 ①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ②异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 高二数学必修二的知识点总结2 一、直线与圆： 1、直线的倾斜角的范围是 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0; 2、斜率：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα. 过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，另外切线的斜率用求导的方法。 3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为, ⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为 4、直线与直线的位置关系： (1)平行A1/A2=B1/B2注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=0 5、点到直线的距离公式; 两条平行线与的距离是 6、圆的标准方程：.⑵圆的一般方程： 注意能将标准方程化为一般方程 7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线. 8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交 9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形)直线与圆相交所得弦长 二、圆锥曲线方程： 1、椭圆：①方程(a>b>0)注意还有一个;②定义:|PF1|+|PF2|=2a>2c;③e=④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c;a2=b2+c2; 2、双曲线：①方程(a,b>0)注意还有一个;②定义:||PF1|-|PF2||=2a<2c;③e=;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或c2=a2+b2 3、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向;②定义:|PF|=d焦点F(,0),准线x=-;③焦半径;焦点弦=x1+x2+p; 4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式： 5、注意解析几何与向量结合问题：1、,.(1);(2). 2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即 3、模的计算：|a|=.算模可以先算向量的平方 4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用： 三、直线、平面、简单几何体： 1、学会三视图的分析： 2、斜二测画法应注意的地方： (1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴o"x"、o"y"、使∠x"o"y"=45°(或135°);(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度. 3、表(侧)面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h： ⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧= ⑷球体：①表面积：S=;②体积：V= 4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写 (1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。 (2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。 (3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线 5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形; ⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角 高二数学必修二的知识点总结3 一、随机事件 主要掌握好(三四五) (1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。 (2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 (3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。 二、概率定义 (1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率; (3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算; (4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。 三、概率性质与公式 (1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); (2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B); (3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); (4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因; 如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式. (5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式. 高二数学必修二的知识点总结相关 文章 ： ★ 高中数学必修二知识点总结 ★ 高二数学必修二知识点总结 ★ 高中数学必修2空间几何体知识点归纳总结 ★ 高中数学必修二知识点总结2020 ★ 高中必修二数学知识点总结 ★ 高一数学必修二所有公式总结 ★ 高一数学必修二知识点总结 ★ 高二数学知识点总结选修2 ★ 高中数学填空题的常用解题方法与必修二知识点全面总结

概率的频率定义　　随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。 概率的严格定义　　设E是随机试验，Ω是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件： 　　（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; 　　（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; 　　（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+…… 　　随机事件的发生与否是带有偶然性的，但是随机事件发生的可能性还是有大小之别的，是可以度量的。实际上在生活、生产和经济活动中，人们常关心一个随机事件发生的可能性大小。 　　例如： 　　（1）抛一枚均匀的硬币，出现正面与方面的可能性各为1/2。 　　（2）购买彩票的中奖机会有多少呢？ 　　上述正面出现的机会，以及彩票中奖的机会或者命中率都是用来度量随机事件发生可能性大小。一个随机事件A发生可能性的大小称为这个事件的概率，并用P（A）表示。 　　概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生可能性就越大；概率越小，事件发生的可能性也就就越小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即: 　　P(Φ)=0，p（Ω）=1 概率的古典定义　　如果一个试验满足两条： 　　（1）试验只有有限个基本结果 　　（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 　　这样的试验，成为古典试验。 　　对于古典试验中的事件A，它的概率定义为： 　　P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 概率的统计定义　　在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。 　　在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，公元1654年～1705年）。 　　从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。 　　由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。 　　Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。 历史　　第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。 　　Cardano的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、《为什么亚里斯多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》等。 　　然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金应分配问题。 两大类别古典概率相关　　古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。 几何概率相关　　几何概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。 　　在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示，其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的，其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。并且假定这种度量具有如长度一样的各种性质，如度量的非负性、可加性等。 　　◆几何概率的严格定义 　　设某一事件A（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为μ(A)，若以P(A)表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P(A)=μ(A)/μ(S)，这样计算的概率称为几何概率。 　　◆若Φ是不可能事件，即Φ为Ω中的空的区域，其量度大小为0，故其概率P(Φ)=0。 独立试验序列　　假如一串试验具备下列三条： 　　（1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，P{成功}=p，P{失败}=1-p=q 　　（2）成功的概率p在每次试验中保持不变 　　（3）试验与试验之间是相互独立的。 　　则这一串试验称为独立试验序列，也称为bernoulli概型。 必然事件与不可能事件　　在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合{（1，1）}表示，“点数之和为4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3个基本事件组成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在试验中此事件一定发生，所以称为必然事件。若A是一事件，则“事件A不发生”也是一个事件，称为事件A的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究 　　举个例子：小明要在4个抽屉中放入5个球，其中有一个抽屉会有2个球，这就是必然事件 　　再举个例子：小明要在5个抽屉中放入3个球，如果说其中每个抽屉都有球，那么，这就是不可能事件 　　【随机事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，对立事件】 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 　　一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 　　通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。 　　不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 　　必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。 　　即P（必然事件）=1 　　P（可能事件）=(0-1)（可以用分数） 　　P（不可能事件）=0 性质　　性质1．P(Φ)=0. 　　性质2（有限可加性）．当n个事件A1，…，An两两互不相容时：　P(A1∪。。.∪An)=P(A1)+...+P(An)． 　　性质3．对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)． 　　性质4．当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)． 　　性质5．对于任意一个事件A，P(A)≤1． 　　性质6．对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)． 　　性质7（加法公式）．对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)． 　　（注：A后的数字1，2，．．．，n都表示下标．） 频率与概率　　对事件发生可能性大小的量化引入“概率”． 　　“统计规律性” 　　独立重复试验总次数n,事件A发生的频数μ， 　　事件A发生的频率Fn(A)=μ/n,A的频率Fn(A)有没有稳定值？ 　　如前人做过的掷硬币的试验(P.44下面表) 　　如果有就称频率μn的稳定值p为事件A发生的概率记作P(A)=p[概率的统计定义] 　　P(A)是客观的，而Fn(A)是依赖经验的。 　　统计中有时也用n很大的时候的Fn(A)值当概率的近似值。 三个基本属性　　1．[非负性]：任何事件A，P(A)≥0 　　2．[完备性]：P(Ω)=1 　　3．[加法法则]如事件A与B不相容，即如果AB=φ，则P(A+B)=P(A)+P(B) 加法法则　　如事件A与B不相容，A+B发生的时候，A与B两者之中必定而且只能发生其中之一。独立重复地做n次实验，如记事件A发生的频数为μA、频率为Fn(A) ，记事件B发生的频数为μB 、频率为Fn(B) ，事件A+B发生的频数为μA+B 、频率为Fn(A+B) ，易知：μA+B =μA +μB，∴Fn(A+B) = Fn(A) + Fn(B) ,它们的稳定值也应有：P(A+B)=P(A)+P(B)[加法法则]如事件A与B不相容，即如果AB=φ，则 P(A+B)=P(A)+P(B)即：两个互斥事件的和的概率等于它们的概率之和。请想一下：如A与B不是不相容，即相容的时候呢？进一步的研究得： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被人称为：“多退少补”！

排列符号

符号 A(n,m) ----------即 字母A右下角n 右上角m表示n取m的排列数, ----------从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数A和P没有区别 过去曾用P表示排列数, P是Permut首字母，现在多用A表示排列数, A是Arrangement首字母 就像 过去曾用tg表示正切, 现在多用tan表示正切一样

当你分情况讨论问题时相加；当你分步骤讨论问题时相乘当你比如一个人从甲城市去乙城市有3条路可选，从乙城市去丙城市有4条路可选问：此人从甲城市去丙城市有几种走法（必须经过乙城市）？我们分析：此人从甲城市去丙城市分两个步骤——先从甲到乙，再从乙到丙，那么就应该相乘从甲城市到乙城市可分三种情况去（3条路）所以这三条路应该相加得3同理从乙城市去丙城市应该分四种情况去（4条路）所以应该相加；综上从甲城市去丙城市应该有3*4种方法。还有这计算的相当于排列组合，不是概率

概率用大小形容。概率是反映某一事件发生的可能性大小的量。常用符号P表示，范围在0与1之间。所以概率用大小形容。概率也叫几率、或然率。它表示某一随机事件可能发生的程度的一个数，不同的概型有各自不同的定义，现代概率论是建立在“概率公理化定义”的基础上。概率表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。随机事件出现的可能性的量度。

1.高二下册数学必修四知识点整理 　　一、随机事件 　　主要掌握好(三四五) 　　(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。 　　(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 　　(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。 　　二、概率定义 　　(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率; 　　(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率; 　　(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算; 　　(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。 　　三、概率性质与公式 　　(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); 　　(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B); 　　(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); 　　(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 　　贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因; 　　如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式. 　　(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式. 2.高二下册数学必修四知识点整理 　　函数的单调性、奇偶性、周期性 　　单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 　　判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 　　导数法(适用于多项式函数) 　　复合函数法和图像法。 　　应用:比较大小，证明不等式，解不等式。 　　奇偶性: 　　定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数; 　　f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。 　　判别方法:定义法，图像法，复合函数法 　　应用:把函数值进行转化求解。 　　周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 　　其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期. 　　应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 　　图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 　　常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考) 　　平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 　　注意:(ⅰ)有系数，要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象。 　　(ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意义。 　　对称变换y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称 　　y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称 　　y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 　　y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数) 　　伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx), 　　y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 　　一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称; 3.高二下册数学必修四知识点整理 　　(1)算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 　　(2)算法的特点: 　　①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. 　　②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. 　　③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. 　　④不性：求解某一个问题的解法不一定是的，对于一个问题可以有不同的算法. 　　⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 4.高二下册数学必修四知识点整理 　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 　　x=-b/2a。 　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。 　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为 　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。 　　|a|越大，则抛物线的开口越小。 　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。 　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 　　抛物线与y轴交于(0，c) 　　6.抛物线与x轴交点个数 　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 5.高二下册数学必修四知识点整理 　　1.椭圆 　　椭圆的定义是椭圆章节的基础内容，高考对本节内容的考查可能仍然将以求椭圆的方程和研究椭圆的性质为主，两种题型均有可能出现.椭圆方面的知识与向量等知识的综合考查命题趋势较强。 　　2.双曲线 　　标准方程的求法：双曲线标准方程最常用的两种方法是定义法和待定系数法.利用定义法求解，首先要熟悉双曲线的定义，只要知道双曲线的焦点和双曲线上的任意一点的坐标都可以运用定义法求解其标准方程;解法二是利用待定系数法求解，是求双曲线方程的根本方法之一，其思想是根据题目中的条件确定双曲线方程中的系数a,b，主要是解方程组;解法三是利用共焦点曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线系方程，再根据另外一个条件求出这个参数. 　　3.抛物线 　　1)利用已知条件求抛物线方程，一般有两种方法：待定系数法和轨迹法。 　　2)韦达定理的熟练运用，可以防止运算复杂的焦点坐标，巧妙利用抛物线的性质进行解题。 　　3)焦点弦的几何性质是答题中容易忽略的问题，在复杂的求解抛物线方程中，运用好这方面的知识能够少走很多弯路。

给你个提示,用定义直接证明.我想别无他法

目前世界人口60多亿。一生有：80*365=29200（天）。平均每天可以遇到1000个人左右。一辈子遇到人的总数：29200*1000=29200000（人）。相遇的几率：29200000/6000000000=0.00487。柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+。

俄罗斯大转盘 就是两个人赌命的一种方式 把左轮手枪六颗子弹都取下来 只剩下一颗子弹在弹匣里 将弹匣用大力旋转之后 两个人轮流用枪打自己的脑袋 每人打一枪 如果撞针撞在空弹仓上 手枪不会击发 这时将枪交给另一个人 如此循环 直到有一个人被自己打死为止！

定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An) 推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1推论3： 为事件A的对立事件。推论4：若B包含A，则P(B－A)= P(B)－P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) 条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B) P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 　　 设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。全概率公式的形式如下：以上公式就被称为全概率公式。

根据概率公理化定义,所有随机变量取值的概率加起来应该是1,上面那个X可以去n个值,则a+2a+3a+.+na=1,即a*n(n+1)/2=1;所以可得a=2/n(n+1）

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集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF)。实际上，这个名称经常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。外延公理: 两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。 空集公理: 存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{}。 配对公理: 假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的谨有元素。 并集公理: 每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。 无穷公理: 存在着一个集合x，空集{}为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。 分类公理（或子集公理）：给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。 替代公理 幂集公理: 每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。 正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空集合x，总包含着一些元素y，使x与y为不交集。 选择公理: (Zermelo"s version) 给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的谨谨一个元素。 【概率的定义】随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。■概率的频率定义 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。■概率的严格定义设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1;（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+…… ■概率的古典定义如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验，成为古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。■概率的统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。

2/(n-1) 解法一：不管甲坐在什么位置，剩下n-1个位置里，乙有两个可选位置，所以是2/(n-1) 这应该是最简便的解法了解法二：总共n个人围一圈，有 (n-1)! 个坐法甲乙要坐在一起，那么就让他们坐一起，他们谁在左谁在右，有2种。其他n-2个人，(n-2)! 个坐法。所以是 2*(n-2)! 故概率围 2/(n-1)。扩展资料：公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;（2）规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;（3）可列可加性：设A1，A2??是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2??），则有P(A1∪A2∪??)=P(A1)+P(A2)+??

第一章 事件与概率1.1 随机事件与随机变量1.1.1 随机现象及其样本空间1.1.2 随机事件与随机变量的定义1.1.3 事件间的关系与运算习题1.11.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义1.2.2 频率方法1.2.3 古典方法1.2.4 概率分布1.2.5 主观方法习题1.21.3 概率的性质1.3.1 对立事件的概率1.3.2 概率的单调性1.3.3 概率的加法公式习题1.31.4 独立性1.4.1 事件间的独立性1.4.2 n重伯努利试验习题1.41.5 条件概率1.5.1 条件概率的定义1.5.2 条件概率的性质1.5.3 全概率公式1.5.4 贝叶斯公式习题1.5第二章 随机变量的分布及其特征数2.1 随机变量及其概率分布2.1.1 随机变量的定义2.1.2 离散分布2.1.3 连续分布习题2.12.2 分布函数2.2.1 分布函数的定义与性质2.2.2 正态分布的计算2.2.3 随机变量函数的分布习题2.22.3 数学期望2.3.1 离散分布的数学期望2.3.2 连续分布的数学期望2.3.3 随机变量函数的数学期望习题2.32.4 方差与标准差2.4.1 方差与标准差的定义2.4.2 方差的性质2.4.3 切比雪夫不等式2.4.4 伯努利大数定律习题2.42.5 分布的其他特征数2.5.1 矩2.5.2 变异系数2.5.3 偏度2.5.4 峰度2.5.5 中位数2.5.6 分位数2.5.7 众数习题2.53.1.1 多维随机变量3.1.2 联合分布3.1.3 随机变量间的独立性3.1.4 多维离散随机变量3.1.5 多维连续随机变量习题3.13.2 多维随机变量函数的分布与期望3.2.1 最大值与最小值的分布3.2.2 卷积公式3.2.3 多维随机变量函数的数学期望3.2.4 Delta方法习题3.23.3 多维随机变量间的相依性3.3.1 协方差3.3.2 相关系数3.3.3 条件分布3.3.4 条件期望习题3.33.4 中心极限定理3.4.1 一个重要现象3.4.2 独立同分布下的中心极限定理3.4.3 二项分布的正态近似3.4.4 独立不同分布下的中心极限定理习题3.4第四章 统计量与估计量4.1 总体与样本4.1.1 总体与个体4.1.2 样本4.1.3 从样本去认识总体的图表方法4.1.4 正态概率图习题4.14.2 统计量、估计量与抽样分布4.2.1 统计量与估计量4.2.2 抽样分布4.2.3 点估计的评价标准习题1.24.3 点估计方法4.3.1 样本的经验分布函数与样本矩4.3.2 矩法估计4.3.3 极大似然估计习题4.34.4 次序统计量4.4.1 次序统计量概念4.4.2 次序统计量的分布4.4.3 样本极差4.4.4 样本中位数与样本p分位数4.4.5 五数概括及其箱线图4.4.6 用随机模拟法寻找统计量的近似分布习题4.4第五章 单样本推断5.1 假设检验的概念与步骤5.1.1 假设检验问题5.1.2 假设检验的步骤5.1.3 标准差在假设检验中的作用习题5.15.2 正态均值的检验5.2.1 正态均值u的u检验（a已知）5.2.2 正态均值u的t检验（a未知）5.2.3 用p值作判断5.2.4 假设检验的一些解释习题5.25.3 正态均值的区间估计5.3.1 置信区间5.3.2 枢轴量法5.3.3 假设检验与置信区间的联系5.3.4 正态均值u的置信区间习题5.35.4 样本量的确定……第六章 双样本推断第七章 方差分析习题答案参考文献附录

本题主要考查了两个知识点：线性规划、几何概型

定理大全第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率： ， （7）概率的公理化定义 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件 的概率。（8）古典概型 1° ，2° 。设任一事件 ，它是由 组成的，则有P(A)= = （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P( )=1- P(B)（12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式： 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 … …… … 。（14）独立性 ①两个事件的独立性设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式 设事件 满足1° 两两互不相容， ，2° ，则有 。（16）贝叶斯公式 设事件 ， ，…， 及 满足1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，2° ， ，则 ，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。 ，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， ， 。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 ，则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1° 。2° 。（3）离散与连续型随机变量的关系 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数 设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1° ；2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；3° ， ；4° ，即 是右连续的；5° 。对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。 ， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 的分布律为 ， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 ，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布 设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即 其他，则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为 。 指数分布 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：正态分布 设随机变量 的密度函数为 ， ，其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。 具有如下性质：1° 的图形是关于 对称的；2° 当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为 。。参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为 ， ，分布函数为 。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。如果 ~ ，则 ~ 。 。（6）分位数 下分位表： ；上分位表： 。（7）函数分布 离散型 已知 的分布列为 ， 的分布列（ 互不相等）如下： ，若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YX y1 y2 … yj …x1 p11 p12 … p1j …x2 p21 p22 … p2j …xi pi1 … …这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2） 连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)≥0;（2） （2）二维随机变量的本质 （3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1） （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4） （5）对于 .（4）离散型与连续型的关系 （5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 ；Y的边缘分布为 。 连续型 X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 ；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O 1 x图3.1y1O 2 x图3.2ydcO a b x图3.3（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（ 但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ， Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设则t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。F分布 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，标准差 ，矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)= , k=1,2, ….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, …. ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)= k=1,2, ….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质 （1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布 p 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n 2n t分布 0 (n>2)（5）二维随机变量的数字特征 期望 函数的期望 ＝ ＝方差 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。| |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当 时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：① ；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关 （i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）～N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有（2）中心极限定理列维－林德伯格定理 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量 为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有（3）二项定理 若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当 ，则其中k=0，1，2，…，n，…。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设 为总体的一个样本，称 （ ）为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩样本k阶中心矩 ， ， ， ,其中 ，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数t分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示自由度为n-1的 分布。 F分布 设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。（3）正态总体下分布的性质 与 独立。第七章 参数估计（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。（2）估计量的评选标准 无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X） 有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。 一致性 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。 单正态总体的期望和方差的区间估计 设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；（iii）导出置信区间 。 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计 （i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出 的置信区间第八章 假设检验基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤 假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设H0；(ii) 选择统计量K；(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ；(iv) 由样本值 计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P{否定H0|H0为真}= ；此处的α恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即P{接受H0|H1为真}= 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件 零假设 统计量 对应样本函数分布 否定域已知 N（0，1） 未知 未知