向量

求曲面上一点的法向量方法如下：1、曲面由方程F（x，y，z）=0决定，相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了。2、由于法向量所在的是一条直线，所以方向来讲有两个，如果没有特别要求一般是可以随便选择的，如果是坐标的曲面积分什么的，需要注意一下和xyz正方向之间的夹角，因为这关系到面积投影的正负。 3、至于法向量的角度这个教材上有写明的，就是对F分别求出x，y，z的偏导数之后，Fx‘，Fy"，Fz‘，利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊。4、比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2其余的类似。法向量的主要应用如下：1、求斜线与平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行；2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；3、点到面的距离： 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

不一定平行。曲面的法向量全部都位于曲面的法平面内，通过一点的法向量在法平面内有无数个。所以如果两曲面相切，那他们法平面肯定平行，但是法平面上的法向量就不一定了，可能夹角是90度，不一定平行。

只需看法向量其中一个坐标的正负与曲面的内外是否一致

首先将曲面写成参数的形式：z=f(x,y)，再求它的偏导数：∂f/∂x和∂f/∂y，这两个向量构成了切平面的一组基，所以法向量=∂f/∂x×∂f/∂y/||∂f/∂x×∂f/∂y||.

不是冲要条件，可微的冲要条件如下:曲面由方程F（x,y,z）=0决定，相应的某一点M的法向量，只需要对应的求偏导数就可以了。如果曲面S用隐函数表示，点集合(x，y，z)满足F(x，y，z)=0，那么在点(x，y，z)处的曲面法线用梯度表示为▽F（x，y，z）。如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

设曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,z0)处有一个向上的法向量N，则N的三个分量分别为：N_x = -f_x(x0, y0)N_y = -f_y(x0, y0)N_z = 1其中，f_x表示f对x求偏导数，f_y表示f对y求偏导数。上述法向量N表示垂直于曲面在P点处的向上方向的单位向量，其长度为1。需要注意的是，在不同的文献中，可能对于曲面的法向量的定义会有所不同，因此具体问题具体分析，需要根据问题中的定义进行计算。

基本思想： 找出曲面某一点的两个切向量,然后切向量做外积（积叉乘积）就是法向量了（注意叉乘顺序,否则方向会相反） 所以 如果已经知道某一点的两个切向量,那就直接求就可以了 如果知道了曲面的表达式,那么按照两个方向求偏导数,再进行外积计算.（不一定非要是x、y这样的形式,看什么是自变量了）

纠正你的两处错误：1、曲面只有法向量，没有切向量；2、你的第二种方法实际是对的，第一种方法是错的。曲面的法向量有两种情况：①曲面由方程F(x,y,z)=0给出，则法向量n=（Fx，Fy，Fz）②曲面由方程z=f(x,y) 给出，则法向量n=（fx，fy，-1）觉得满意就敬请采纳我的解答。我是百度知道专家，你有问题也可以在这里向我提问：http://zhidao.baidu.com/prof/view/yq_whut

曲面方程为z=f(x,y)时，看作F(x,y,z)=f(x,y)-z，法向量为(F对x求偏导，F对y求偏导，-1)。若看作F(x,y,z)=z-f(x,y)，法向量为(-F对x求偏导，-F对y求偏导，1)。这里∑选择上侧，上侧法向量与z轴正半轴夹角不超过90°，所以上侧法向量的z坐标非负，所以这里上侧的法向量应该是(-αz/αx,-αz/αy,1)=(2x,2y,1)

设曲面的方程是：z=f(x,y), 则具体这里符号不好打，见图片。

用隐函数的导数法则。曲面的法向量。主要是求曲面的这点处的切平面。然后再有空间几何的基础知识知道它们2个是相互垂直的，就可以得到结果。

矢量都有方向，方向就是表示起点和终点，矢量都可以计算。方向一定和面积垂直，非闭合曲面正方向由你确定，闭合曲面只能取向外为正。法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。扩展资料：对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为：如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

曲面方程是Z(x,y)-z=0所以对z求偏导是-1

F=X^2/a^2+y^2/b^2+c^2/c^2-1分别求F的偏导数得到向量（x/a^2,y/b^2，z/c^2)

曲面在某点的法向量等于偏导是因为每一点处的梯度，也就是值的变化最大的方向，直观上就是该等值面的法向方向。但是普通方程和参数方程是不同的描述方式，不能一概而论。曲面可以看作是一条动线(直线或曲线)在空间连续运动所形成的轨迹，形成曲面的动线称为母线。母线在曲面中的任一位置称为曲面的素线，用来控制母线运动的面、线和点称为导面、导线和导点。

方法如下：1、曲面由方程F（x，y，z）=0决定，相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了。2、由于法向量所在的是一条直线，所以方向来讲有两个，如果没有特别要求一般是可以随便选择的，如果是坐标的曲面积分什么的，需要注意一下和xyz正方向之间的夹角，因为这关系到面积投影的正负。 3、至于法向量的角度这个教材上有写明的，就是对F分别求出x，y，z的偏导数之后，Fx‘，Fy"，Fz‘，利用各自的分量除以对应的长度就可以了。4、比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2。相关内容解释：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。 向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v）；手写体在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。 在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

法向量的求法如下：1、建立恰当的直角坐标系；2、设平面法向量n=（x，y，z）；3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）；4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0；5、解方程组，取其中一组解即可。关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.对应的，计算法向量的方式分别为：（1）grad(F). 即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F) 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。

错了请指正，谢谢。

令 F = x^2 + y^2 + z^2 - xy - 3Fx = 2x-y, Fy = 2y-x, Fz = 2z曲面上点 (x0, y0, z0) 处的法向量是 (2x0-y0, 2y0-x0, 2z0)其中点 (x0, y0, z0) 满足 x^2 + y^2 + z^2 - xy - 3 = 0

曲面由方程F（x,y,z）=0决定，相应的某一点M的法向量，只需要对应的求偏导数就可以了。如果曲面S用隐函数表示，点集合(x，y，z)满足F(x，y，z)=0，那么在点(x，y，z)处的曲面法线用梯度表示为▽F（x，y，z）。如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。 扩展资料 　　偏导数：在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 　　法向量的`定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面的向量。 　　法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。 　　如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。 　　垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

曲面在某点处的法向量是F(x，y，z)=0决定，曲面可以看作是一条动线在空间连续运动所形成的轨迹，形成曲面的动线称为母线，母线在曲面中的任一位置称为曲面的素线，用来控制母线运动的面、线和点称为导面、导线和导点。当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面，当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面，由曲线运动形成的曲面则称为曲线面。直线面的连续两直素线彼此平行或相交，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。如连续两直素线彼此交叉的曲面，则属于不可展曲面。

法向量有无数个.你说的这两个法向量是两个代表.一个是外法向量,一个是内法向量.正1表示向上,负1表示向下.外和内由被积分曲面的弯曲确定.这都是常识啊,这里面好几个小朋友瞎说...

把曲面方程改写为：x^2-y^2 -z=0F(x,y,z)=x^2-y^2 -zFx=2xFy=-2yFz=-1

曲面方程f(x,y,z)=0的一个法向量可以为n={∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z}特别的,若曲面方程能表示成f(x,y,z)=z-z(x,y)=0那么法向量可以为n=±{∂z/∂x,∂z/∂y,1},+表示法向量向上,-表示法向量向下

曲面由方程F（x,y,z）=0决定,相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了 由于法向量所在的是一条直线,所以方向来讲有两个,如果没有特别要求一般是可以随便选择的,如果是坐标的曲面积分什么的,需要注意一下和xyz正方向之间的夹角,因为这关系到面积投影的正负 至于法向量的角度这个教材上有写明的,就是对F分别求出x,y,z的偏导数之后,Fx‘,Fy",Fz‘,利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊. 比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy"^2+Fz"^2)^1/2 其余的类似,8,如何求曲面法向量,如何确定法向量的方向? 怎么知道坐标轴与法向量的角度呢

外法线指向曲面外侧，内法线指向内侧。所以考虑切点P处的法线，可以在曲面内侧取一点Q，那么，如果法线方向和向量PQ的夹角大于90°，可以判定其为外法线，反之为内法线。当然，也可以取曲面区域外侧的点进行判断，道理一样。法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

曲面法向量方向余弦前两个cosA与cosB的正负号与第三个cosr相反。曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)。那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。曲面积分平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。对于yoz面，dydz = cosα dS。对于zox面，dzdx = cosβ dS。对于xoy面，dxdy = cosγ dS。其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域。考虑在xoy面上，γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角。

针对曲面，一般情况下，我们不研究它的切线，因为它如果在点可微的话，那么它就存在切平面，故可以看做是有无数条的切线，因为它的切线向量无法考虑。所以只研究它的切平面以及切平面的法向量。写出了曲面的切平面的方程，那么就能写出它的法线方向数，即法向量的方向，当然可以取两个中任一个，一般取正。写出之后，正好就是曲面方程对自变量的偏导数。其中曲面的方程是显函数还是隐函数稍微注意一下，其实情况是相同的，只是形式不同

那个曲面外侧就是垂直于曲面所包围的区域，然后指向外边。这是相对于封闭曲面来说的。如果是不封闭的曲面，一般都说曲面上侧或者下侧

基本思想：找出曲面某一点的两个切向量，然后切向量做外积（积叉乘积）就是法向量了（注意叉乘顺序，否则方向会相反）所以如果已经知道某一点的两个切向量，那就直接求就可以了如果知道了曲面的表达式，那么按照两个方向求偏导数，再进行外积计算。（不一定非要是x、y这样的形式，看什么是自变量了）

曲面法向量不是都指向原点的。曲面法向量是垂直于曲面上的一点处的切线的向量，由此可知曲面法向量的指向取决于切线所在的位置，切线所在的位置取决于切线与曲面相交的所得的切点的位置。 曲面法向量的指向有二：曲面法向量向上时，曲面法向量指向曲面凸的一侧，曲面法向量向下时，曲面法向量指向曲面凹的一侧。下面以球面为例来说明什么是曲面凸的一侧和曲面凹的一侧。 在球面上任意一点作球面的切线，然后过切点作球面的法向量，球面的法向量垂直于切线，当球面的法向量向上时，球面的法向量指向球面凸的一侧（即球面的外侧），当球面的法向量向下时，球面的法向量指向球面凹的一侧（即球面的内侧，内侧即球面所围区域含球心的一侧）。 对坐标的曲面积分曲面的投影，以三维笛卡尔坐标系为例：对坐标的曲面积分曲面在xOy面上投影时，曲面上点的x,y坐标不变，z坐标为0，在xOz面上投影时，曲面上点的x,z坐标不变，y坐标为0,在yOz面上投影时，曲面上点的z,y坐标不变，x坐标为0。对坐标的曲面积分曲面的投影即把曲面上的点投影在平面上，使平面上的投影与曲面上的点的连线与平面垂直。

1、曲面法向量不都是指向原点的（这个问题就像是问平面上每条曲线的法向量都指向原点一样，很显然，这是不正确的，所以在空间中的曲面法向量也不都是指向原点的）2、对坐标的曲面积分曲面：按垂直投影在XoY平面上。

对于曲线的切向量，如果由参数方程给出，则变量分别对参数求导即可，如果是由方程组给出，一般可以其他变量对某个变量的隐函数存在，因而此时把其他变量都看做这个变量的函数对方程组的各方程对这个变量求导，解出其他变量对这个变量的函数的导数，由于其他变量都以这个变量做参数，因而可按参数方程的方法给出切向量方程，再将该点坐标带入即可得到切向量。对于曲面方程的法向量，只需将方程分别对各变量求导，再将该点坐标带入即可的法向量。说的可能比较抽象，你只需找几个例子结合我的理解，应该可以了，我也在复习这些东西相互学习，不懂的互相交流。

向量积的定义中有，c=a×b则c垂直于a，b所在的平面，(即c平行于平面的法向量)所以，我们常用向量积来求与两个向量同时垂直的向量(主要是法向量和直线的方向向量)

就是垂直向量.比如在空间直角坐标系中,xoy平面（既z=0）的法向量就是z轴以及与z轴平行的所有向量.

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。

法向量应该指与一个平面正交的向量

1、不能直接判断两个A、B是相等的，也可能是成倍数关系；能确定的是A与B的比例是相同的，因为同一直线斜率（-A/B）不可能变；2、什么是什么不怎么容易解释的清楚，就像M（Ax+By+C）=0一样（M不等于0），有无数种方程表达，但就是同一直线，建议楼主将这些形式都化成“点斜式” y=kx+b,k为斜率，b为截距，再去理解；3、已知两点（a，b）（c，d），方向向量为（c-a,d-b），（不知道你们要不要求化成单位向量，我们当年好像没有这个要求，以你们老师为准吧），法向量的话，直接将方向向量的横纵坐标换个位置，然后随便在横或者纵坐标上加个负号（注意！是“或者”，只能加一个负号！）

平面的法向量是指与这个平面垂直的向量。一个平面的法向量有无数多个。通常，我们取位于平面的一条垂线上的向量作为这个平面的法向量。法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normalvector）。在电脑图学（computergraphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（lightsource）的浓淡处理（FlatShading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

与平面垂直的向量

法线向量应该包含在法向量里的，法向量可以跟法线向量垂直，可以说是该法线向量的法向量

不好意思图片没能传上去，你可以点下面这个网址下载这个word文件自己看吧adamljw.blogbus.com/files/1165078499.doc 法向量在立体几何中的应用向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。1 法向量的定义1.1 定义1 如果一个非零向量 与平面 垂直，则称向量 为平面 的法向量。1.2 定义2 任意一个三元一次方程： ， 都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中 为其一个法向量。 事实上，设点 是平面 上的一个定点， 是平面 的法向量，设点 是平面 上任一点，则总有 。∴ ， 故 ，即 ，∴ ，……①设 ， 则 ① 式可化为 ，即为点P的轨迹方程。从而，任意一个三元一次方程： ，都表示一个平面的方程，其法向量为 。2 法向量在立体几何中的应用2.1 利用法向量可处理线面角问题设 为直线 与平面 所成的角， 为直线 的方向向量 与平面 的法向量 之间的夹角，则有 （图1）或 （图2）图1 图2特别地 时， ， ； 时， ， 或 例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）如图3，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，D，E分别是 与 的中点，点E在平面ABD上的射影是 的重心G。求 与平面ABD所成角的大小。（结果用反三角函数表示）解 以C为坐标原点，CA所在直线为 轴，CB所在直线为轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系， 设 ， 图3则 ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∵ 点E在平面ABD上的射影是 的重心G， ∴ 平面ABD， ∴ ，解得 。∴ ， ，∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量。由 得 ，∴ 与平面ABD所成的角为 ，即 。评析 因规定直线与平面所成角 ，两向量所成角 ，所以用此法向量求出的线面角应满足 。2.2 利用法向量可处理二面角问题设 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 的夹角为 ，则有 （图4）或 （图5）图4 图5例2 （2003年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱 的底面边长为3，侧棱 ，D是CB延长线上一点，且 。求二面角 的大小。（略去了该题的①，③问）解 取BC的中点O，连AO。由题意 平面 平面 ， ，∴ 平面 ，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6则 ， ， ， ， ∴ ， ， ，由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量。设 平面 的法向量为 ，则 ， ∴ ， ∴ ，即 。 ∴ 不妨设 ，由 ，得 。 故所求二面角 的大小为 。评析　（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 时，会算得 ，从而所求二面角为 ，但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例3（2002年，上海春季高考题）如图7，三棱柱 ，平面 平面 ，， ，且 ，求二面角 的大小。（略去了该题的②问） 图7解 以O点为原点，分别以OA，OB所在直线为 轴， 轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为 轴，建立直角坐标系（如图7所示），则 ， ， ， ， ∵ 平面AOB， ∴ 不妨设平面AOB的法向量为 ， 设 平面 在此坐标系内的方程为： ， 由点A，B， 均在此平面内，得 解得 ， ， ，∴ 平面 的方程为： ，从而平面 的法向量为 ，∴ ， ∴ ，即 二面角 的大小为 ，评析 在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程，从而直接得到其法向量。2.3 可利用法向量处理点面距离问题设 为平面 的法向量，A，B分别为平面 内，外的点，则点B到平面 的距离 （如图8）。 略证： 图8 例4 （2003年，全国高考题）如图9，已知正四棱柱 ，点E为 中点，点F为 中点。求点 到平面BDE的距离。（略去了该题的①问）解 以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，∴ ， ， ，设 平面BDE的法向量为 ，则 ， ， 图9 ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ 不妨设 ，则点 到平面BDE的距离为， 即为所求。例5 （2003年，北京春季高考题）如图10，正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点， 。求三棱锥 的体积V。（略去了该题的①②问）解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则 ， ，， ，∴ ， ，， 图10∴ ，∴ ，所以 ，设 平面 的方程为： ，将点 代入得， ∴ ，∴ 平面 的方程为： ，其法向量为， ∴点 到平面 的距离 ，∴ 即为所求。评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式　 计算得到。（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视。

直线的法向量是与方向向量相垂直的向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。法向量快速算法：1、建立恰当的直角坐标系。2、设平面法向量n=（x，y，z）。3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）。4、根据法向量的定义建立方程组n·a=0；n·b=0。

简单的说 法向量就是和一个平面垂直的向量 方向向量就是和一个直线平行的向量,也可以共线

法向量的求法如下：1、建立恰当的直角坐标系；2、设平面法向量n=（x，y，z）；3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）；4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0；5、解方程组，取其中一组解即可。关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.对应的，计算法向量的方式分别为：（1）grad(F). 即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F) 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。

1、设法向量为n＝(x,y,z)2、然后利用这个向量与目标平面内的两条直线上的向量（方向向量）垂直，每一个垂直可以获得一个关于x,y,z的方程，这样你就获得了两个方程组成的方程组，这个方程组有无数组解（事实上，平面的法向量是不确定的，就其方向来说，也有两大类，再加上模不确定），那么这些，可以由上面的方程组里，目测一下，哪个量的绝对值较小，便取这个量为1（当然2等等也可以，这样就可以确定出所有的坐标了）如：得到2x+3y-z=0,x-2y=0这样的方程组后，可以发现x是y的两倍，便设y＝1，这样x＝2，则z＝9，于是便可取法向量n＝（2，1，9），事实上，所有与这个向量共线的向量均为法向量，如（1，1/2,9/2）等

首先要知道形如直线方程Ax+By+C=0它的直线方向向量可表示为(B,-A)(这个可从向量(1,k),而推得)其中,k表示斜率.则与它垂直的向量(法向量)可表示为(A,B)原因可用数量积来解释:因为(B,-A)?(A,B)=BA-AB=0,所以证明了两向量是互相垂直的.法向量是不是和直线垂直的向量(是的)举例:如直线方程2x-3y+1=0则直线的法向量可表示为(2,-3).

一个具体的法向量不是没有长度的，或者说是一定是有长度的，因为法向量是非零向量嘛。只要一个非零向量垂直于一个平面，那这个非零向量就可以称作这个平面法向量了。

法相当于垂直意思法向量垂直于原直线(或向量或平面等)向量法平面垂直于原直线(或向量或平面等)平面

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。概念　　垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一个平面都存在无数个法向量。编辑本段计算方法　　从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。 　　如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。 　　平面法向量的具体步骤：（待定系数法） 　　1、建立恰当的直角坐标系 　　2、设平面法向量n=（x，y，z） 　　3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3） 　　4、根据法向量的定义建立方程组①n*a=0 ②n*b=0 　　5、解方程组，取其中一组解即可。 　　关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为： 　　1).隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0; 　　2).（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k. 　　对应的，计算法向量的方式分别为： 　　1). grad(F). 即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F) 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。 　　2).偏导的叉乘给出法向量

1)首先从简单开始,如果是平面F(x,y)=0一般形式是Ax+By+C=0法向量是(A,B).因为任意一点(x0,y0)在平面上,A*x0+B*y0+C=0那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=02)对于一般曲面 F(x,y,z,……)=0两边微分(偏导用大写D),有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0那么向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) * (dx ,dy ,dz,……)=0其中向量(dx ,dy ,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小变化量)所以向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) 是曲面的法向量

单位向量中的一种，垂直于某个面的单位向量就是单位法向量，与之对应的是单位切向量（与某个面相切或平行的单位向量）

法向量公式是设a=（x,y）,b=(x",y")。平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。法向量的定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

比如直线的一般式方程为AX+BY+C=0，那么它的法向量就是（A,B）,(法线就是垂直的意思)

曲面由方程F（x,y,z）＝0决定，相应的某一点M的法向量，只需要对应的求偏导数就可以了。如果曲面S用隐函数表示，点集合（x，y，z)满足F(x，y，z)=0，那么在点（x，y，z)处的曲面法线用梯度表示为▽F（x，y，z）。如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。详细介绍：曲面方程F(x，y，z)=0的一个法向量可以为n={∂F/∂x，∂F/∂y，∂F/∂z｝，特别的，若曲面方程能表示成F(x，y，z)=z-z(x，y)=0，那么法向量可以为n=±{∂z/∂x，∂z/∂y，1｝，＋表示法向量向上，－表示法向量向下。法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量. 如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和 CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的. 法向量的主要应用如下： 1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行； 2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补； 3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离 法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候. （一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 . 例题 (2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心, （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离. （Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 设,则, , , , , , ∴ , , ∴ , , 由 得, , ∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得, ,令 得, , ∴平面 的一个法向量为 , ∴ 与的夹角的余弦值是 , ∴ 与平面所成角为 . 当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行. （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行. 例题 （2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 , （I）证明： ； （II）求以为棱, 与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论. （Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, , ∴ , , 设平面的法向量为,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 设点是棱上的点,则 , 由 得, ∴ , ∴当是棱的中点时, . 同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直. （三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, . 例题 2004年高考湖南（理）19题： （Ⅱ）由题意可知, , , ∵ ∴ 为平面的一个法向量, 设平面的法向量为 ,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令 得, , ∴平面的一个法向量为, ∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ , 由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角, ∴所求二面角的大小为 . 我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直. （四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直. 例题 （1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 . 证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则 , , , , ∴ , , 设平面的法向量为 ,则由题意可知, 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 , 由题意可知,平面的一个法向量为 ∴ ∴平面平面 （五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 . 我们再来看2003年全国（理）18题： （Ⅱ）设 ,则 , , , , ∴ , , 设平面 的法向量为 ,则 , , 由 , 得, ,令 得, , ∴平面的一个法向量为 ,而 , ∴点 到平面的距离 . 我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离. （六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即. 例题 （1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离. 以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 , 连结交于 ,连结 ,则就是 面 与底面所成的角的平面角, ∴= ,∴ 又∵截面 ,为的中点, ∴ 为的中点,∴ , 则 , , , ∴ , , 设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得, ∴ ,∴ , ∴异面直线与之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.

垂直于平面的一个向量叫做法向量。

空间中平面方程的一般形式为: Ax+By+Cz=0.其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量的一组方向数，平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. （0，B,C）是它的一个法向量。因为X轴垂直于YOZ平面，则YOZ平面内的任何一条过原点的直线L，它的方向向量为（0，B,C），都有一个平面α与之垂直，而这个平面α就平行于X轴。（0，B,C）是α的一个法向量。

方向向量就是用直线上任意两点坐标相减得到的向量，法向量是与方向向量相垂直的向量。譬如一直线有两点(1，2)(3，4)则方向向量为(2，1)，设法向量为(a，x)则2a+x=0→x=-2a，即法向量为(a，-2a)

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。　　如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。　　法向量的主要应用如下：　　1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行；　　2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；　　3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离　　法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。　　（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。　　例题　　(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，　　（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；　　（Ⅱ）求点到平面的距离。　　（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，　　设，则， ， ，　　， ， ，　　∴ , ， 　　∴ ， ，　　由 得， ，　　∴ ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，　　，令 得， ，　　∴平面 的一个法向量为 ，　　∴ 与的夹角的余弦值是 ，　　∴ 与平面所成角为 。　　当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。　　（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。　　例题　　（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，，点在上，且 ，　　（I）证明： ；　　（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；　　（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。　　（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ，　　∴ ， ，　　设平面的法向量为，则由题意可知， ，　　由 得， 　　∴ 令得， ，　　∴平面的一个法向量为 　　设点是棱上的点，，则　　，　　由 得， 　　∴ ， ∴当是棱的中点时， 。　　同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。　　（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。　　例题　　2004年高考湖南（理）19题：　　（Ⅱ）解：由题意可知， , ,　　∵ ∴ 为平面的一个法向量，　　设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,　　由 得， 　　∴ 令 得， ，　　∴平面的一个法向量为，　　∴向量与夹角的余弦值是 ， ∴ ，　　由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，　　∴所求二面角的大小为 。　　我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。　　（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。　　例题　　（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。　　证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，　　则 ， ， ，， ，　　∴ ， ，　　设平面的法向量为 ，则由题意可知，，　　由 得， 　　∴ 令得， ，　　∴平面的一个法向量为 ，　　由题意可知，平面的一个法向量为 　　∴ ∴平面平面 　　（五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即 。　　我们再来看2003年全国（理）18题：　　（Ⅱ）解：设 ，则 ， ， ， ， 　　∴ ， ，　　设平面 的法向量为 ，则 ， ，　　由 ， 得，　　，令 得， ，　　∴平面的一个法向量为 ，而 ，　　∴点 到平面的距离 。　　我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。　　（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，即。　　例题　　（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面 ，且面与底面所成的角为 ，，求异面直线与之间的距离。　　解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系 ，　　连结交于 ，连结 ，则就是　　面 与底面所成的角的平面角，　　∴= ，∴ 　　又∵截面 ，为的中点，　　∴ 为的中点，∴ ，　　则 ， ， ，，　　∴ ， ，　　设向量 与两异面直线都垂直，由 ，得，　　∴ ，∴ ，　　∴异面直线与之间的距离 　　前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。

法向量公式是设a=（x,y）,b=(x",y")。平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。法向量的定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

法向量求法如下：1、建立恰当的直角坐标系。2、设平面法向量n=（x，y，z）。3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）。4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。5、解方程组，取其中一组解即可。关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0。（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k。对应的，计算法向量的方式分别为：（1）grad(F)。即隐函数F(x,y,z)的梯度。（2）grad(F)。 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。

不是。根据查询零二七艺考网显示，法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。方向向量是一个数学概念，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

相当于单位向量在坐标上！用来表示在该空间上任何向量的方向和长度！

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。平面的法线是垂直于该平面的空间向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向向量确定的------(（x0,y0）为直线上一点，{u,v}为直线的法向向量)。高中数学中直线方程之一。u(x-x0)+v(y-y0)=0且u,v不全为零的方程，称为点向式方程。可以表示所有直线。希望我能帮助你解疑释惑。

操作简单啊

设c（h,i,j）先取h=0时计算CA，CB是否可能等于0，可能的话直接得出法向量（h,i,j）否则使h=1计算得出i，j这样法向量就是（1，i，j）

法向量的求法如下：1、建立恰当的直角坐标系；2、设平面法向量n=（x，y，z）；3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）；4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0；5、解方程组，取其中一组解即可。关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.对应的，计算法向量的方式分别为：（1）grad(F). 即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F) 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。

方向向量是任意沿着这个向量的单位向量,而法向量是垂直这个向量的单位向量

参考c=a×b的定义，易知，假如a与b不共线，则c垂直于a与b所在的平面，那么，c难道不是a与b所在的平面的法向量吗？

与平面垂直的向量

平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。 扩展资料 　　定义： 　　三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面的向量。 　　法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的.浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。 　　如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

空间中平面方程的一般形式为: Ax+By+Cz=0.其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量的一组方向数，平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. （0，B,C）是它的一个法向量。因为X轴垂直于YOZ平面，则YOZ平面内的任何一条过原点的直线L，它的方向向量为（0，B,C），都有一个平面α与之垂直，而这个平面α就平行于X轴。（0，B,C）是α的一个法向量。

方向向量就是用直线上任意两点坐标相减得到的向量，法向量是与方向向量相垂直的向量。譬如一直线有两点(1，2)(3，4)则方向向量为(2，1)，设法向量为(a，x)则2a+x=0→x=-2a，即法向量为(a，-2a)

点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的------(（x0,y0）为直线上一点，{u,v}为直线的法向向量)。(x-x0)·u=(y-y0)·v，且u,v不全为零的方程，称为点法向式方程。该方程可以表示所有直线。注意直线一般方程可理解为两个平面方程的交线，可以分别写出两平面的法向量n1、n2，根据法向量的定义，n1和n2垂直于本平面的所有直线。待求直线为两平面交线，所以必然垂直于n1和n2；根据向量叉乘的几何意义，直线的方向向量L必然平行于n1×n2，可直接令L=n1×n2。再从方程中求出直线上的任意一点（例如可令z=0，直线方程变成二元一次方程组，解出x和y，就得到一个点坐标）。

直线的方向向量一般可以写成(1,k)k为直线斜率法向量就可以写成(1,-1/k)两直线平行方向向量共线，垂直方向向量共线乘积=0

设A是曲线上的一点,过A点作曲线的切线,再通过A点做切线的垂线,那么与该垂线平行,且指向曲线内部或外部的向量就是法向量,有正负之分 方向向量至于某一直线平行的非零向量,有正负之分

法向量乘积等于0就是垂直 法向力乘积等于负一就是平行 其余是相交

就是证明平面的任意一个向量与它点乘的结果都为0 你可以设这个平面是X-Y平面 任意向量坐标都可以写成（x,y）

法向量的定义1,如果向量垂直于平面,那么向量叫做平面的法向量.2,如果向量垂直于异面直线与,那么向量叫做异面直线的法向量.