特征值

■ 举例: A为(3×3)矩阵，故有3个特征值。对λ1(单根) → 求出特征向量p1；对λ2＝λ3(二重根)，设代数重数2﹥几何重数1，∴特征向量矩阵有一列0向量，由此判定该特征向量矩阵不可逆，矩阵相似变换等式(P逆)AP＝Λ不成立，A不可能化简为对角阵Λ。我们退一步而求其次，A不能化简为对角阵，但可求出简单程度仅次于Λ的Jordan矩阵。现求特征向量p2及广义特征向量ξ3，令相似变换矩阵 G＝( p1、p2、ξ3 ) 。于是有 (G逆).A.G＝J ( J是Jordan矩阵 )。一般将对角阵Λ视为若当阵J之特例。这些知识在《线性系统理论》求解电路一阶线性微分方程组有实际应用。■ 广义特征向量怎么求？答: ①求对应λ2(＝λ3)齐次方程组通解 ，设通解 (即特征向量) 为p2。②将特征向量视为常数项写入原方程组，求非齐次方程组之解，现令解为ξ3，ξ3 即所谓广义特征向量。MMA求解方法: 写出增广矩阵，用RowReduce命令化为行最简形，化简后常数项即变为方程组之解 ξ3。

若尔当矩阵特征值很小。在线性代数中，若尔当标准型或称若尔当正规型是某个线性映射在有限维向量空间上的特别的矩阵表达形式，称作若尔当矩阵，这矩阵接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其余都是零且主对角线上方的对角线的系数若不为零只能为1，且这1左方和下方的系数（都在主对角线上）有相同的值。矩阵的对角化使得研究其性质变为研究相应的对角矩阵的性质，而后者显然简单得多。由于不是所有矩阵都满足上述三个条件之一，有的矩阵是不可对角化的！

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。据此可得第三个特征值。

搜一下：求埃尔米特（Hermitian）矩阵的特征值和特征向量的C语言程序

这里给出对称矩阵的特征值均为实数且不同特征值的特征向量正交的证明。厄密矩阵证明相同，把转置变成共轭转置即可。厄米特矩阵（Hermitian Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。由定义得知，厄米特矩阵的对角线上各元素必为实数。通常厄米特矩阵并不对称，除非所有元素均为实数。厄米特矩阵的特殊性质是其本征值一定是实数。在物理系统中，其可观察的物理量(例如坐标、动量、能量等等)，在量子力学中可视为一算符，此算符有对应的本征向量和本征值，算符所对应的本征向量代表物理系统的状态，物理量发的结果就是本征值。因此，如用矩阵表示算符，则一定是厄米特矩阵，因为厄米特矩阵的本征值为实数，所以也是可观察的量。函数特征：显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。若A和B是埃尔米特矩阵，那么它们的和A+B也是埃尔米特矩阵；而只有在A和B满足交换性（即AB=BA）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。