欧拉

欧拉图 h 欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图. 欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，且走过所有结点，就是所谓的一笔画. h欧拉图或通路的判定 (1) 无向连通图G是欧拉图ÛG不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)定理1) (2) 非平凡连通图G含有欧拉通路ÛG最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论) (3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)ÛD中每个结点的入度＝出度 连通有向图D含有有向欧拉通路ÛD中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝±1. (定理2)

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欧拉路径和欧拉回路判断方法如下：1、欧拉路径。无向图判断法，图连通，有且仅有两个奇点，一个点为起点，另一个点为终点；有向图判断法，有两个点的入度不等于出度，且其中一个点的入度比出度大1，另一个点的出度比入度大1。2、欧拉回路。无向图判断法，图连通，无奇点；有向图判断法，所有点的入度等于出度。判断图是否连通的方法：无向图用dfs访问，看看点是否全部被访问；有向图先转化为无向图，然后再用dfs判定。判断奇点数的方法：奇点数若为0则任意指定起点，奇点数若为2则指定起点为奇点。欧拉路径：从图中一个结点出发走出一条道路，每条边恰好经过一次。欧拉回路：从图中任意点出发，每条边恰好经过一次，最终回到起点。欧拉回路是数学家欧拉在研究著名的德国哥尼斯堡（Koenigsberg）七桥问题时发现的。具有欧拉回路的图称“欧拉图”，具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称“半欧拉图”。找出欧拉回路或欧拉路径可采用深度优先搜索。

若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次，则称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。 无向图存在欧拉回路的充要条件： 一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。 有向图存在欧拉回路的充要条件： 一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

欧拉回路不一定是初级回路，需要判定。1、无向图存在欧拉回路的充要条件一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。2、有向图存在欧拉回路的充要条件一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。3、混合图存在欧拉回路条件要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：假设有一张图有向图G"，在不论方向的情况下它与G同构。并且G"包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G"使得G"存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。扩展资料注意record中的点的排列是输出的倒序，因此，如果要输出欧拉路径，需要将record倒过来输出。求欧拉回路的思路：循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法不保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。

第一眼看见，比划一下，就知道，在所有桥都只能走一遍的前提下，不能把这个地方所有的桥都走遍。 也就是说，如果遍历这个图，必须要重复经过某些边。 为了纪念欧拉，在一个图G中包含G的所有结点和边的 回路 称为 欧拉回路 ,包含G的所有结点和边的 路径 称为 欧拉路径 也就是说，如果欧拉路径闭合，就成了欧拉回路 注意 回路 的概念：从v i 到v i 的、长度非0的、不存在 重复边 的路径 所以上文所说的科尼斯堡七桥并不是欧拉回路。 在图G中存在欧拉回路的前提条件为： 关于一个图中是否存在欧拉回路，需要先说明两个概念： 由于欧拉回路的性质：只能经过每条边一次，所以，对于每一个结点，至少需要有 2n 条边连接该结点（n = 0,1,2,...n），n = 0时，G中只含有一个结点v，则称路径(v)是G的欧拉回路。 也就是说，图G中存在欧拉回路的充要条件是G中每个结点都是偶结点。 设图G存在欧拉回路，则回路的起点和终点是同一结点，含有一条出边和一条入边，所以该结点为偶结点，以此类推，每个结点都连接有 2n (n = 0,1,2,...n) 条边。 图G中存在欧拉路径的充要条件和G中存在欧拉回路的充要条件有些相似： 若奇结点的个数为0，则图G中存在欧拉回路，欧拉回路也是欧拉路径的一种。 将两个奇结点相连，可知这是欧拉回路 (v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 3 ,v 1 ) 欧拉路径(v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 3 ),起点和终点分别是两个奇结点 关于欧拉回路和欧拉路径的介绍就到此了，谢谢大家！

无向图欧拉回路解法求欧拉回路的一种解法下面是无向图的欧拉回路输出代码：注意输出的前提是已经判断图确实是欧拉回路。C语言代码，不全，请不要直接粘贴。 intnum=0;//标记输出队列intmatch[MAX];//标志节点的度，无向图，不区分入度和出度voidsolve(intx){if(match[x]==0)Record[num++]=x;else{for(intk=0;k<=500;k++){if(Array[x][k]!=0){Array[x][k]--;Array[k][x]--;match[x]--;match[k]--;solve(k);}}Record[num++]=x;}}pascal代码:求无向图的欧拉回路（递归实现） programeuler;constmaxn=10000;{顶点数上限}maxm=100000;{边数上限}typetnode=^tr;tr=recordf,t:longint;{边的起始点和终止点}al:boolean;{访问标记}rev,next:tnode;{反向边和邻接表中的下一条边}end;varn,m,bl:longint;{顶点数，边数，基图的极大连通子图个数}tot:longint;g:array[1..maxn]oftnode;d:array[1..maxn]oflongint;{顶点的度}fa,rank:array[1..maxn]oflongint;{并查集中元素父结点和启发函数值}list:array[1..maxm]oftnode;{最终找到的欧拉回路}o:boolean;{原图中是否存在欧拉回路}procedurebuild(ta,tb:longint);{在邻接表中建立边(ta,tb)}vart1,t2:tnode;begint1:=new(tnode);t2:=new(tnode);t1^.f:=ta;t1^.t:=tb;t1^.al:=false;t1^.rev:=t2;t1^.next:=g[ta];g[ta]:=t1;t2^.f:=tb;t2^.t:=ta;t2^.al:=false;t2^.rev:=t1;t2^.next:=g[tb];g[tb]:=t2;end;proceduremerge(a,b:longint);{在并查集中将a,b两元素合并}varoa,ob:longint;beginoa:=a;whilefa[a]<>adoa:=fa[a];fa[oa]:=a;ob:=b;whilefa[b]<>bdob:=fa[b];fa[ob]:=b;ifa<>bthenbegindec(bl);{合并后，基图的极大连通子图个数减少1}ifrank[a]=rank[b]theninc(rank[a]);ifrank[a]>rank[b]thenfa[b]:=aelsefa[a]:=b;end;end;procedureinit;{初始化}vari,ta,tb:longint;beginfillchar(fa,sizeof(fa),0);fillchar(rank,sizeof(rank),0);fillchar(d,sizeof(d),0);readln(n,m);fori:=1tondofa[i]:=i;bl:=n;fori:=1tomdobeginreadln(ta,tb);build(ta,tb);inc(d[tb]);inc(d[ta]);merge(ta,tb);end;end;proceduresearch(i:longint);{以i为出发点寻找欧拉回路}varte:tnode;beginte:=g[i];whilete<>nildobeginifnotte^.althenbeginte^.al:=true;te^.rev^.al:=true;search(te^.t);list[tot]:=te;dec(tot);end;te:=te^.next;end;end;proceduremain;{主过程}vari:longint;begino:=false;fori:=1tondoifd[i]=0thendec(bl);{排除孤立点的影响}ifbl<>1thenexit;{原图不连通，无解}fori:=1tondoifodd(d[i])thenexit;{存在奇点，无解}o:=true;fori:=1tondoifd[i]<>0thenbreak;tot:=m;search(i);{从一个非孤立点开始寻找欧拉回路}end;procedureprint;{输出结果}vari:longint;beginifnotothenwriteln("Nosolution.")elsebeginwriteln(list[1]^.f);fori:=1tomdowriteln(list[i]^.t);end;end;begininit;main;print;end.注意record中的点的排列是输出的倒序，因此，如果要输出欧拉路径，需要将record倒过来输出。求欧拉回路的思路：循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法不保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。具体步骤：1。如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中2。如果该点有相连的点，那么就加入队列之中，遍历这些点，直到没有相连的点。3。处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并把删除的点加入到路径中去。4。这个其实是个递归过程。

图G的一个回路,若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路. 具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）. 无向图存在欧拉回路的充要条件 一个无向图存在欧拉回路,当且仅当该图所有顶点度数都是偶数且该图是连通图. 有向图存在欧拉回路的充要条件 一个有向图存在欧拉回路,所有顶点的入度等于出度且该图是连通图,或者 一个顶点的度数为1,另一个度数为-1,其他顶点的度数为0. 混合图存在欧拉回路条件 要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图,方法如下： 假设有一张图有向图G",在不论方向的情况下它与G同构.并且G"包含了G的所有有向边.那么如果存在一个图G"使得G"存在欧拉回路,那么G就存在欧拉回路. 其思路就将混合图转换成有向图判断.实现的时候,我们使用网络流的模型.现任意构造一个G".用Ii表示第i个点的入度,Oi表示第i个点的出度.如果存在一个点k,|Ok-Ik|mod 2=1,那么G不存在欧拉回路.接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边,对于所有Ii<oi的点从i连到汇点一条容量为(oi-ii) 2,那么就存在欧拉回路. 编辑本段解法 无向图欧拉回路解法 求欧拉回路的一种解法 下面是无向图的欧拉回路输出代码：注意输出的前提是已经判断图确实是欧拉回路. C语言代码,不全,请不要直接粘贴. int num = 0;//标记输出队列 int match[MAX];//标志节点的度,无向图,不区分入度和出度 void solve(int x) { if(match[x] == 0) Record[num++] = x; else { for(int k =0;k<=500;k++) { if(Array[x][k] !=0 ) { Array[x][k]--; Array[k][x]--; match[x]--; match[k]--; solve(k); } } Record[num++] = x; } } pascal代码: 求无向图的欧拉回路（递归实现） program euler; const maxn=10000;{顶点数上限} maxm=100000;{边数上限} type tnode=^tr; tr=record f,t:longint;{边的起始点和终止点} al:boolean;{访问标记} rev,next:tnode;{反向边和邻接表中的下一条边} end; var n,m,bl:longint;{顶点数,边数,基图的极大连通子图个数} tot:longint; g:array[1..maxn] of tnode; d:array[1..maxn] of longint;{顶点的度} fa,rank:array[1..maxn] of longint;{并查集中元素父结点和启发函数值} list:array[1..maxm] of tnode;{最终找到的欧拉回路} o:boolean;{原图中是否存在欧拉回路} procedure build(ta,tb:longint);{在邻接表中建立边(ta, tb)} var t1,t2:tnode; begin t1:=new(tnode); t2:=new(tnode); t1^.f:=ta; t1^.t:=tb; t1^.al:=false; t1^.rev:=t2; t1^.next:=g[ta]; g[ta]:=t1; t2^.f:=tb; t2^.t:=ta; t2^.al:=false; t2^.rev:=t1; t2^.next:=g[tb]; g[tb]:=t2; end; procedure merge(a,b:longint);{在并查集中将a, b两元素合并} var oa,ob:longint; begin oa:=a; while fa[a]>a do a:=fa[a]; fa[oa]:=a; ob:=b; while fa[b]>b do b:=fa[b]; fa[ob]:=b; if a>b then begin dec(bl);{合并后,基图的极大连通子图个数减少1} if rank[a]=rank[b] then inc(rank[a]); if rank[a]>rank[b] then fa[b]:=a else fa[a]:=b; end; end; procedure init;{初始化} var i,ta,tb:longint; begin fillchar(fa,sizeof(fa),0); fillchar(rank,sizeof(rank),0); fillchar(d,sizeof(d),0); readln(n,m); for i:=1 to n do fa[i]:=i; bl:=n; for i:=1 to m do begin readln(ta,tb); build(ta,tb); inc(d[tb]); inc(d[ta]); merge(ta,tb); end; end; procedure search(i:longint);{以i为出发点寻找欧拉回路} var te:tnode; begin te:=g[i]; while te>nil do begin if not te^.al then begin te^.al:=true; te^.rev^.al:=true; search(te^.t); list[tot]:=te; dec(tot); end; te:=te^.next; end; end; procedure main;{主过程} var i:longint; begin o:=false; for i:=1 to n do if d[i]=0 then dec(bl);{排除孤立点的影响} if bl>1 then exit;{原图不连通,无解} for i:=1 to n do if odd(d[i]) then exit;{存在奇点,无解} o:=true; for i:=1 to n do if d[i]>0 then break; tot:=m; search(i);{从一个非孤立点开始寻找欧拉回路} end; procedure print;{输出结果} var i:longint; begin if not o then writeln("No solution.") else begin writeln(list[1]^.f); for i:=1 to m do writeln(list[i]^.t); end; end; begin init; main; print; end. 注意record中的点的排列是输出的倒序,因此,如果要输出欧拉路径,需要将record倒过来输出. 求欧拉回路的思路： 循环的找到出发点.从某个节点开始,然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径.这种方法不保证每个边都被遍历.如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点,这条边为起始边,把它和当前的环衔接上.这样直至所有的边都被遍历.这样,整个图就被连接到一起了. 具体步骤： 1.如果此时与该点无相连的点,那么就加入路径中 2.如果该点有相连的点,那么就加入队列之中,遍历这些点,直到没有相连的点. 3.处理当前的点,删除走过的这条边,并在其相邻的点上进行同样的操作,并把删除的点加入到路径中去. 4.这个其实是个递归过程.

欧拉回路是必须经过所有节点。根据查询相关资料信息显示，欧拉回路需要经过每个节点，并且需要记录每个节点的度数，依次来判断是否存在欧拉回路。欧拉回路是指若图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Eulerpath)。

欧拉路径包括欧拉路（不形成回路）和欧拉回路两种情况。连通无向图，当有零个奇数度节点，即没有奇数度节点，此时所有节点度数都是偶数，一定有欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。连通无向图，当只有两个奇数度节点，其他节点度数都为偶数时，一定有欧拉路。

欧拉回路是经过所有边一次然后回到原点，哈密顿是经过所有节点一次然后回到原点，tsp问题就是哈密顿回路

图 G 的一个回路,若它通过 G 中每条边一次且仅一次,则称为欧拉回路。而具有这种回路的图称为欧拉图(简称 E 图).或者：一副图，寻找一条只通过每条边一次的路径叫做欧拉路径．如果这条路径的起点和终点是同一点，那么这条路径叫做欧拉回路．有关的问题即是欧拉回路问题，建议参考哥尼斯堡七桥问题或一笔画问题。欧拉回路的判定规则：1.如果通奇数桥的地方多于两个，则不存在欧拉回路；2.如果只有两个地方通奇数桥，可以从这两个地方之一出发，找到欧拉回路；3.如果没有一个地方是通奇数桥的，则无论从哪里出发，都能找到欧拉回路。

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图可以用邻接矩阵或者邻接表，做一次DFS或者BFS访问各个节点判断入度出度就行

if (){ mov ax, 10 mov bx, 0 mov cx, 0 mov dx, 0 add bx, ax add cx, bx add dx, cx loop if}

怎么判断是不是欧拉图？相关内容如下：欧拉图是指通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路，相应的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（Euler Graph），具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。对欧拉图的一个现代扩展是蜘蛛图，它向欧拉图增加了可以连接的存在点。这给予欧拉图析取特征。欧拉图已经有了合取特征(就是说区定义了有着与起来的那些性质的对象在区中的存在)。所以蜘蛛图允许使用欧拉图建模逻辑或的条件。从相关定理判断：1.无向连通图 G 是欧拉图，当且仅当 G 不含奇数度结点( G 的所有结点度数为偶数)；2.无向连通图G 含有欧拉通路，当且仅当 G 有零个或两个奇数度的结点；3.有向连通图 D 是欧拉图，当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度；4.有向连通图 D 含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且 D 中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足 deg-(u)-deg+(v)=±1 。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）；5.一个非平凡连通图是欧拉图当且仅当它的每条边属于奇数个环；6.如果图G是欧拉图且 H = G-uv，则 H 有奇数个 u,v-迹仅在最后访问 v ；同时，在这一序列的 u,v-迹中，不是路径的迹的条数是偶数。

先设置一个判断迷宫能否被破坏的过程或函数，再用广搜对每一个位置的一切可能性进行试验，每试一次就判断一次，如果条件成立，就保存这一种方法的能量耗损和破坏的路径，每个位置的每一个可能性都检查完后，找出最佳方案

我只知道欧拉图这是数学家欧拉提出的.用几个圆圈表示几个概念的外延关系.下面是一个欧拉图，图片点击可以放大

不一定。欧拉图是指一张图中存在一条经过所有边恰好一次的回路，而有割点的无向图则是指如果去掉某个点后，图不再连通，那么这个点就是割点，因此，有割点的无向图可能存在欧拉回路，也可能不存在欧拉回路。一个无向图是欧拉图的充分必要条件是所有顶点的度数均为偶数。

不一定。欧拉图是指一张图中存在一条经过所有边恰好一次的回路，有割点的无向图则是指如果去掉某个点后图不再连通，点就属于是割点，有割点的无向图可存在欧拉回路，也可不存在欧拉回路。

n个节点的无向完全图Kn的边数为（n *（n-1）/ 2），并且欧拉图的充要条件是（至多两个奇数度为5的节点）。顶点为n，每个点可以连接到其他n-1个点，总计n *（n-1），但是每条线计算两次（例如，从A到B与从B相同）到A），然后除以2，即n *（n-1）/ 2。欧拉电路要求所有顶点都是偶数度，即存在入口和出口。欧拉路径不是环，起点和终点可能不一致，因此对于起点，出站度数比进入度大1，而终点则相反。至于其他顶点，所有顶点都是中间节点，并且必须有输入和输出。无向图是偶数度，有向图的输入度等于其输出度。扩展资料：1、无向边的表示无向图中的边是顶点的无序对，无序对通常用括号表示。[示例]无序对（vi，vj）和（vj，vi）表示同一条边。2、无向图的表示[示例]（b）中的G2和（c）中的G3是无向图，它们的顶点集和边集是：V（G2）= {v1，v2，v3，v4}E（G2）= {（vl，v2），（v1，v3），（v1，v4），（v2，v3），（v2，v4），（v3，v4）}

关于欧拉图的定理　　1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；　　2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；　　3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当D中每个结点的入度＝出度　　4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当D中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝±1。（起始点s的入读=出度+1，结束点t的出度=入度+1 或两个点的入读=出度）

1、含义上的区别拉格朗日法，又称随体法，跟随流体质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律。欧拉法，又称流场法，是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。2、特性上的区别拉格朗日法基本特点是追踪流体质点，以某一起始时刻每个质点的坐标位置，作为该质点的标志。欧拉法的特点是单步，显式，一阶求导精度，截断误差为二阶。基本思想是迭代，逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。3、作用上的区别拉格朗日法可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率，改进欧拉法的精度。参考资料来源：百度百科-拉格朗日法参考资料来源：百度百科-欧拉法

1、含义上的区别拉格朗日法，又称随体法，跟随流体质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律。欧拉法，又称流场法，是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。2、特性上的区别拉格朗日法基本特点是追踪流体质点，以某一起始时刻每个质点的坐标位置，作为该质点的标志。欧拉法的特点是单步，显式，一阶求导精度，截断误差为二阶。基本思想是迭代，逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。3、作用上的区别拉格朗日法可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率，改进欧拉法的精度。参考资料来源：百度百科-拉格朗日法参考资料来源：百度百科-欧拉法

1、含义上的区别拉格朗日法，又称随体法，跟随流体质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律。欧拉法，又称流场法，是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。2、特性上的区别拉格朗日法基本特点是追踪流体质点，以某一起始时刻每个质点的坐标位置，作为该质点的标志。欧拉法的特点是单步，显式，一阶求导精度，截断误差为二阶。基本思想是迭代，逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。3、作用上的区别拉格朗日法可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率，改进欧拉法的精度。参考资料来源：百度百科-拉格朗日法参考资料来源：百度百科-欧拉法

主要指的是定义描述上的不同。具体解释如下：一、定义1、拉格朗日法是随体法，跟随某个流体质点一起运动，了解该质点的各项参数随时间的变化情况，然后综合流场中的所有流体质点得到整个流场的流动情况。①、用流体质点在T=t0时流体质点的坐标是（a，b，c），其中a，b，c可以是直角坐标的（x0、y0，z0），也可以是曲线坐标（q1.q2，q3），不同的a，b，c代表不同的质点。②、流体质点的运动规律数学上可表为下式：F=F（a，b，c，t），其中（a，b，c，t）称为拉格朗日变数。2、欧拉分析法是局部法，研究流场中某一固定点的各项参数随时间的变化情况，然后综合流场中的所有的固定点得到整个流场的流动情况。二、速度和空间坐标的关系不同1、用拉格朗日法研究速度和空间坐标的关系，得到的是迹线；2、用欧拉法研究速度和空间坐标的关系，得到的是流线。三、性质不同在拉格朗日法中，描述的是质点的位置坐标，进而得到速度；而的欧拉法中则是直接描述空间点上流体质点的速度向量。扩展资料：拉格朗日法和欧拉法各自的优缺点：1、拉格朗日方法虽然很自然，也很直观，但实现起来却非常困难，无法对成干上万的流体质点进行跟踪。实际所关心的往往是空间固定区域内的物体与流体的作用，实验测量的也往往是空间固定点的参数。2、欧拉法中某时刻位于一个空间点上的流体质点的密度、压力、温度就是流场对应点、对应时刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场性质是相同的。3、欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，通常在气象观测中广泛使用欧拉法。在世界各地（间点）设立星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气象图，据此做出天气预报。参考资料来源：百度百科—拉格朗日法百度百科—欧拉法

那分走人

欧拉、阿基米德、牛顿、高斯等四位被称为有史以来贡献最大的四位数学家。那么，既然大家都是数学界的龙头老大，牛顿、高斯、欧拉、阿基米德这四人中谁的数学更厉害点？欧拉的数学成就 欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。他从19岁开始发表论文，直到76岁，一生写下了浩如烟海的书籍和论文.可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他共写下了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。 到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清.他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"。 19世纪伟大数学家高斯(Gauss，1777-1855年)曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。"著名数学家拉普拉斯(Laplace)曾说过："读读欧拉、读读欧拉，它是我们大家的老师!“ 高斯的数学成就 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。与其他数学家一道开创了近代数学。 （1）1801年，他创立三次观测决定小行星轨道的计算方法 （2）1809年发表其计算方法。此后 ，几乎都用这个方法推算小行星轨道。在星历表计算中，他引进一组辅助量(又称为高斯常数)，使求日心赤道直角坐标计算大大简化。 （3）高斯定理是物理学静电场的基本方程之一 。 （4）他还利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。结合实验数据的推算，发展了概率统计理论和误差理论，发明最小二乘法，引入高斯误差曲线。 牛顿的数学成就 在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。 阿基米德的数学成就 阿基米德在数学上也有着极为光辉灿烂的成就，特别是在几何学方面。他的数学思想中蕴涵着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。 其实这四人在当时被称为数学四杰，可见大家对于他们几个的成就都是相当认可的，因此无论四人中谁在数学界更厉害似乎已经不是大家关心的问题，总而言之，不管谁厉害，这其中的任何一个人都给我们的数学发展带来了巨大的贡献，尤其是欧拉和高斯两人。 想要了解更多关于科学家的故事，详情可见： 牛顿、高斯、欧拉、阿基米德谁的数学更厉害 ，可以持续关注科学高分网哦。

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n 这个数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个近似的求解方法： 1+1/2+1/3+......+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 to GXQ: 假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n 当 n很大时 sqrt(n+1) = sqrt(n*(1+1/n)) = sqrt(n)*sqrt(1+1/2n) ≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n)) = sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n)) 设 s(n)=sqrt(n), 因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n)) 所以： s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n)) 即求得s(n)的上限 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

E=2.71828183PI=3.14159265

如图所示：

　　欧拉　　欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．　　欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．　　欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．　　欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"　　欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．　　1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．　　沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．　　欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．　　欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．　　欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．〔欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年）等．　　欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。　　1707年4月15日，欧拉诞生于瑞士的巴塞尔。小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学。这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。　　欧拉大学毕业后到了俄国的首都彼得堡。在他26岁时，担任了彼得堡科学院的数学教授。1735年，年仅28岁的欧拉，由于要计算一个彗星的轨道，奋战了三天三夜，最后用他自己发明的新方法圆满地解决了这个难题。过度的工作，使欧拉得了眼病，就在那一年他右眼失明了。疾病没有吓倒他，他更加勤奋地工作，写出了几百篇论文，大量出色的研究成果，使他在欧洲科学界享有很高的声望。在他59岁时，仅剩的一只左眼视力衰退，只能模糊地看到物体，最后双目失明。但是工作就是他的生命，他决心用加倍的努力，来回答命运对他的挑战。眼睛看不见，他就口述，由他的儿子记录，继续写作。欧拉凭着他惊人的记忆力和心算能力，在黑暗中整整工作了17年。　　1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。

公元1707～公元1783 十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。总计起来，他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。 早在上一个世纪，艾萨克·牛顿就提出了力学的基本定律。欧拉特别擅长论证如何把这些定律运用到一些常见的物理现象中。例如，他把牛顿定律运用到流体运动，建立了流体力学方程。同样他通过认真分析刚体的可能运动并应用牛顿定律建立了一个可以完全确定刚体运动的方程组。当然在实际中没有物体是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了贡献，弹性力学是研究在外力的作用下固体怎样发生形变的学说。 欧拉的天才还在于他用数学来分析天文学问题，特别是三体问题，即太阳、月亮和地球在相互引力作用下怎样运动的问题。这个问题──二十一世纪仍要面临的一个问题──尚未得到完全解决。顺便提一下，欧拉是十八世纪独一无二的杰出科学家。他支持光波学说，结果证明他是正确的。 欧拉丰富的头脑常常为他人做出成名　的发现开拓前进的道路。例如，法国数学家和物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日创建一方程组，叫做“拉格朗日方程”。此方程在理论上非常重要，而且可以用来解决许多力学问题。但是由于基本方程是由欧拉首先提出的，因而通常称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家琼·巴普蒂斯特·傅里叶创造了一种重要的数学方法，叫做傅里叶分析法，其基本方程也是由伦哈特·欧拉最初创立的，因而叫做欧拉—傅里时方程。这套方程在物理学的许多不同的领域都有着广泛的应用，其中包括声学和电磁学。 在数学方面他对微积分的两个领域──微分方程和无穷级数──特别感兴趣。他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太强不便在此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了基础。这两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广泛的应用。欧拉公式eiQ＝cosθ十isinθ表明了三角函数和虚数之间的关系，可以用来求负数的对数，是所有数学领域中应用最广泛的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何做出了有意义的贡献。 欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此叙述。欧拉也是数学的一个分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。 最后要提到的一点也很重要，欧拉对目前使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号，现在的数学中经常使用这些符号。 　欧拉于1707年出生在瑞士巴塞尔。1720他十三岁时就考入了巴塞尔大学，起初他学习神学，不久改学数学。他十七岁在巴塞尔大学获得硕士学位，二十岁受凯瑟林一世的邀请加入圣彼得斯堡科学院。他二十三岁成为该院物理学教授，二十六岁就接任著名数学家但尼尔·伯努利的职务，成为数学所所长。两年后，他有一只眼睛失明，但仍以极大的热情继续工作，写出了许多杰出的论文。欧拉简介1741年普鲁士弗雷德里克大帝把欧拉从俄国引诱出来，让他加入了柏林科学院。他在柏林呆了二十五年后于1766年返回俄国。不久他的另一只眼睛也失去了光明。即使这样的灾祸降临，他也没有停止研究工作。欧拉具有惊人的心算才能，他不断地发表第一流的数学论文，直到生命的最后一息。1783年他在圣彼得斯堡去逝，终年七十六岁。欧拉结过两次婚，有十三个孩子，但是其中有八个在襁褓中就死去了。 即使没有欧拉其人，他的一切发现最终也会有人做出。但是我认为做为衡量这种情况的尺度应该提出这样的问题：要是根本就没有人能做出他的发现，科学和现代世界会有什么不同呢？就伦哈特·欧拉的情况而言，答案看来很明确：假如没有欧拉的公式、方程和方法，现代科学技术的进展就会滞后不前，实际上看来是不可想象的。浏览一下数学和物理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法），这里举的仅仅是最重要的例子。 从所有这一切来看，读者可能要问为什么在本书中没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把威廉·康拉德，伦琴和格雷戈尔·孟德尔这样的人物排在他前面的原因。他们每个人主要是发现了新的科学现象或定律。尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的。

0.577215,66490,15328,60606,51209,00824,02431,04215,93359,39923,59880,57672,34884,86772,67776,64670,93694,70632,91746,74951,46314,47249,80708,24809,60504,01448,65428,36224,17399,76449,23536,25350,03337,42937,33773,76739,42792,59525,82470,94916,00873,52039,48165,67085,32331,51776,61152,86211,99501,50798,47937,45085,70574,00299,21354,78614,66940,29604,32542,15190,58775,53526,73313,99254,01296,74205,13754,13954,91116,85102,80798,42348,77587,20503,84310,93997,36137,25530,60889,33126,76001,72479,53783,67592,71351,57722,61027,34929,13940,79843,01034,17771,77808,81549,57066,10750,10161,91663,34015,22789,35867,96549,72520,36212,87922,65559,53669,62817,63887,92726,80132,43101,04765,05963,70394,73949,57638,90657,29679,29601,00901,51251,95950,92224,35014,09349,87122,82479,49747,19564,69763,18506,67612,90638,11051,82419,74448,67836,38086,17494,55169,89279,23018,77391,07294,57815,54316,00500,21828,44096,05377,24342,03285,47836,70151,77394,39870,03023,70339,51832,86900,01558,19398,80427,07411,54222,78197,16523,01107,35658,33967,34871,76504,91941,81230,00406,54693,14299,92977,79569,30310,05030,86303,41856,98032,31083,69164,00258,92970,89098,54868,25777,36428,82539,54925,87362,95961,33298,57473,93023,73438,84707,03702,84412,92016,64178,50248,73337,90805,62754,99843,45907,61643,16710,31467,10722,37002,18107,45044,41866,47591,34803,66902,55324,58625,44222,53451,81387,91243,45735,01361,29778,22782,88148,94590,98638,46006,29316,94718,87149,58752,54923,66493,52047,32436,41097,26827,61608,77595,08809,51262,08404,54447,79922,99157,24829,25162,51278,42765,96570,83214,61029,82146,17951,95795,90959,22704,20898,96279,71255,36321,79488,73764,21066,06070,65982,56199,01028,80756,12519,91375,11678,21764,36190,57058,44078,35735,01580,05607,74579,34213,14498,85007,86415,17161,51945,65706,17043,24507,50081,68705,23078,90937,04614,30668,48179,16496,84254,91504,96724,31218,37838,75356,48949,50868,45410,23406,01622,50851,55838,67234,94418,78804,40940,77010,68837,95111,30787,20234,26395,22692,09716,08856,90838,25113,78712,83682,04911,78925,94478,48619,91185,29391,02930,99059,25526,69172,74468,92044,38697,11147,17457,15745,73203,93520,91223,16085,08682,75588,90109,45168,11810,16874,97547,09693,66671,21020,63048,27165,89504,93273,14860,87494,02070,06742,59091,82487,59621,37384,23114,42653,13502,92303,17517,22572,21628,32488,38112,45895,74386,23987,03757,66285,51303,31439,29995,40185,31341,41586,21278,86480,76110,03015,21196,57800,68117,77376,35016,81838,97338,96639,86895,79329,91456,38864,43103,70608,07817,44899,57958,32457,94189,62026,04984,10439,22507,86046,03625,27726,02291,96829,95860,98833,90137,87171,42269,17883,81952,98445,60791,60519,72797,36047,59102,51099,57791,33515,79177,22515,02549,29324,63250,28747,67794,84215,84050,75992,90401,85576,45990,18626,92677,64372,66057,11768,13365,59088,15548,10747,00006,23363,72528,89495,54636,97143,30120,07913,08555,26395,95497,82302,31440,39149,74049,47468,25947,32084,61852,46058,77669,48828,79530,10406,34917,22921,85800,87067,70690,42792,67432,84446,96851,49718,25678,09584,16544,91851,45753,31964,06331,19937,38215,73450,87498,83255,60888,87352,80190,19155,08968,85546,82592,45444,52772,81730,57301,08060,61770,11363,77318,24629,24660,08127,71621,01867,74468,49595,14281,79014,51119,48934,22883,44825,30753,11870,18609,76122,46231,76749,77556,41246,19838,56401,48412,35871,77249,55422,48201,61517,65799,40806,29683,42428,90572,59473,92696,38633,83874,38054,71319,67642,92683,72490,76087,50737,85283,70230,46865,03490,51203,42272,17436,68979,28486,29729,08892,67897,77032,62462,39122,61888,76530,05778,62743,60609,44436,03928,09770,81338,36934,23550,85839,41126,70921,87344,14512,18780,32761,50509,47805,54663,00586,84556,31524,54605,31511,32528,18891,07923,14913,11032,34430,24509,33450,00307,65586,48742,22971,77003,31784,53915,05669,40159,98849,29160,91140,02948,69020,88485,38169,70095,51566,34705,54452,21764,03586,29398,28658,13123,87013,25358,80062,56866,26926,99776,77377,30683,22690,09160,85104,51500,22610,71802,55465,92849,38949,27759,58975,40761,55993,37826,48241,97950,64186,81437,88171,85088,54080,36799,63142,39540,09196,43887,50078,90000,06279,97942,80988,63729,92591,97776,50404,09922,03794,04276,16817,83715,66865,30669,39830,91652,43227,05955,30417,66736,64011,67929,59012,93053,74497,18308,00427,58486,35083,80804,24667,35093,55983,23241,16969,21486,06498,92763,62443,29588,54873,78970,14897,13343,53844,80028,90466,65090,28453,76896,22398,30488,14062,73054,08795,91189,67057,49385,44324,78691,48085,33770,26406,77580,81275,45873,11176,36478,78743,07392,06642,01125,13527,27499,61754,50530,85582,35668,30683,22917,67667,70410,35231,53503,25101,24656,38615,67064,49847,13269,59693,30167,86613,83333,33441,65790,06058,67497,10364,68951,74569,59718,15537,64078,37765,01842,78345,99184,20159,95431,44904,77255,52306,14767,01659,93416,39066,09120,54005,32215,89020,91340,80278,22515,33852,89951,16654,52245,86918,59936,71220,13215,01448,01424,23098,62546,04488,67256,93431,48870,49159,30446,40189,16450,20224,05495,38629,18475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中英文对照太难了英文的维基百科Leonhard Euler Leonhard Euler (pronounced Oiler; IPA [ˈɔʏlɐ]) (April 15, 1707 – September 18 [O.S. September 7] 1783) was a pioneering Swiss mathematician and physicist, who spent most of his life in Russia and Germany. He published more papers than any other mathematician in history.[1]Euler made important discoveries in fields as diverse as calculus and topology. He also introduced much of the modern mathematical terminology and notation, particularly for mathematical analysis, such as the notion of a mathematical function.[2] He is also renowned for his work in mechanics, optics, and astronomy.Euler is considered to be the preeminent mathematician of the 18th century and one of the greatest of all time. He is also one of the most prolific; his collected works fill 60–80 quarto volumes.[3] A statement attributed to Pierre-Simon Laplace expresses Euler"s influence on mathematics: "Read Euler, read Euler, he is a master for us all".[4]Euler was featured on the sixth series of the Swiss 10-franc banknote[5] and on numerous Swiss, German, and Russian postage stamps. The asteroid 2002 Euler was named in his honor. He is also commemorated by the Lutheran Church on their Calendar of Saints on May 24.Contents [hide]1 Biography 1.1 Childhood 1.2 St. Petersburg 1.3 Berlin 1.4 Eyesight deterioration 1.5 Last stage of life 2 Contributions to mathematics 2.1 Mathematical notation 2.2 Analysis 2.3 Number theory 2.4 Graph theory 2.5 Applied mathematics 2.6 Physics and astronomy 2.7 Logic 3 Philosophy and religious beliefs 4 Selected bibliography 5 See also 6 Notes 7 Further reading 8 External links [edit] Biography[edit] Childhood Swiss 10 Franc banknote honoring Euler, the most successful Swiss mathematician in history.Euler was born in Basel to Paul Euler, a pastor of the Reformed Church, and Marguerite Brucker, a pastor"s daughter. He had two younger sisters named Anna Maria and Maria Magdalena. Soon after the birth of Leonhard, the Eulers moved from Basel to the town of Riehen, where Euler spent most of his childhood. Paul Euler was a family friend of the Bernoullis, and Johann Bernoulli, who was then regarded as Europe"s foremost mathematician, would eventually be an important influence on the young Leonhard. His early formal education started in Basel, where he was sent to live with his maternal grandmother. At the age of thirteen he matriculated at the University of Basel, and in 1723, received a masters of philosophy degree with a dissertation that compared the philosophies of Descartes and Newton. At this time, he was receiving Saturday afternoon lessons from Johann Bernoulli, who quickly discovered his new pupil"s incredible talent for mathematics.[6]Euler was at this point studying theology, Greek, and Hebrew at his father"s urging, in order to become a pastor. Johann Bernoulli intervened, and convinced Paul Euler that Leonhard was destined to become a great mathematician. In 1726, Euler completed his Ph.D. dissertation on the propagation of sound with the title De Sono[7] and in 1727, he entered the Paris Academy Prize Problem competition, where the problem that year was to find the best way to place the masts on a ship. He won second place, losing only to Pierre Bouguer—a man now known as "the father of naval architecture". Euler, however, would eventually win the coveted annual prize twelve times in his career.[8][edit] St. PetersburgAround this time Johann Bernoulli"s two sons, Daniel and Nicolas, were working at the Imperial Russian Academy of Sciences in St Petersburg. In July 1726, Nicolas died of appendicitis after spending a year in Russia, and when Daniel assumed his brother"s position in the mathematics/physics division, he recommended that the post in physiology that he had vacated be filled by his friend Euler. In November 1726 Euler eagerly accepted the offer, but delayed making the trip to St Petersburg. In the interim he unsuccessfully applied for a physics professorship at the University of Basel.[9]1957 stamp of the former Soviet Union commemorating the 250th birthday of Euler. The text says: 250 years from the birth of the great mathematician and academician, Leonhard Euler.Euler arrived in the Russian capital on May 17, 1727. He was promoted from his junior post in the medical department of the academy to a position in the mathematics department. He lodged with Daniel Bernoulli with whom he often worked in close collaboration. Euler mastered Russian and settled into life in St Petersburg. He also took on an additional job as a medic in the Russian Navy.[10]The Academy at St. Petersburg, established by Peter the Great, was intended to improve education in Russia and to close the scientific gap with Western Europe. As a result, it was made especially attractive to foreign scholars like Euler: the academy possessed ample financial resources and a comprehensive library drawn from the private libraries of Peter himself and of the nobility. Very few students were enrolled in the academy so as to lessen the faculty"s teaching burden, and the academy emphasized research and offered to its faculty both the time and the freedom to pursue scientific questions.[8]However, the Academy"s benefactress, Catherine I, who had attempted to continue the progressive policies of her late husband, died the day of Euler"s arrival. The Russian nobility then gained power upon the ascension of the twelve-year-old Peter II. The nobility were suspicious of the academy"s foreign scientists, and thus cut funding and caused numerous other difficulties for Euler and his colleagues.Conditions improved slightly upon the death of Peter II, and Euler swiftly rose through the ranks in the academy and was made professor of physics in 1731. Two years later, Daniel Bernoulli, who was fed up with the censorship and hostility he faced at St. Petersburg, left for Basel. Euler succeeded him as the head of the mathematics department.[11]On January 7, 1734, he married Katharina Gsell, daughter of a painter from the Academy Gymnasium. The young couple bought a house by the Neva River, and had thirteen children, of whom only five survived childhood.[12][edit] Berlin Stamp of the former German Democratic Republic honoring Euler on the 200th anniversary of his death. In the middle, it is showing his polyhedral formula.Concerned about continuing turmoil in Russia, Euler debated whether to stay in St. Petersburg or not. Frederick the Great of Prussia offered him a post at the Berlin Academy, which he accepted. He left St. Petersburg on June 19, 1741 and lived twenty-five years in Berlin, where he wrote over 380 articles. In Berlin, he published the two works which he would be most renowned for: the Introductio in analysin infinitorum, a text on functions published in 1748 and the Institutiones calculi differentialis, a work on differential calculus.[13]In addition, Euler was asked to tutor the Princess of Anhalt-Dessau, Frederick"s niece. He wrote over 200 letters to her, which were later compiled into a best-selling volume, titled the Letters of Euler on different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess. This work contained Euler"s exposition on various subjects pertaining to physics and mathematics, as well as offering valuable insight on Euler"s personality and religious beliefs. This book ended up being more widely read than any of his mathematical works, and was published all across Europe and in the United States. The popularity of the Letters testifies to Euler"s ability to communicate scientific matters effectively to a lay audience, a rare ability for a dedicated research scientist.[13]Despite Euler"s immense contribution to the Academy"s prestige, he was eventually forced to leave Berlin. This was caused in part by a personality conflict with Frederick. Frederick came to regard him as unsophisticated especially in comparison to the circle of philosophers the German king brought to the Academy. Voltaire was among those in Frederick"s employ, and the Frenchman enjoyed a favored position in the king"s social circle. Euler, a simple religious man and a hard worker, was very conventional in his beliefs and tastes. He was in many ways the direct opposite of Voltaire. Euler had very limited training in rhetoric and tended to debate matters that he knew little about, making him a frequent target of Voltaire"s wit.[13] Frederick also expressed disappointment with Euler"s practical engineering abilities:I wanted to have a water jet in my garden: Euler calculated the force of the wheels necessary to raise the water to a reservoir, from where it should fall back through channels, finally spurting out in Sanssouci. My mill was carried out geometrically and could not raise a mouthful of water closer than fifty paces to the reservoir. Vanity of vanities! Vanity of geometry![14][edit] Eyesight deterioration A 1753 portrait by Emanuel Handmann. This portrayal suggests problems of the right eyelid and that Euler is perhaps suffering from strabismus. The left eye appears healthy, as it was a later cataract that destroyed it.[15]Euler"s eyesight worsened throughout his mathematical career. Three years after suffering a near-fatal fever in 1735 he became nearly blind in his right eye, but Euler rather blamed his condition on the painstaking work on cartography he performed for the St. Petersburg Academy. Euler"s sight in that eye worsened throughout his stay in Germany, so much so that Frederick referred to him as "Cyclops". Euler later suffered a cataract in his good left eye, rendering him almost totally blind a few weeks after its discovery. Even so, his condition appeared to have little effect on his productivity, as he compensated for it with his mental calculation skills and photographic memory. For example, Euler could repeat the Aeneid of Virgil from beginning to end without hesitation, and for every page in the edition he could indicate which line was the first and which the last.[3][edit] Last stage of life Euler"s grave at the Alexander Nevsky Laura.The situation in Russia had improved greatly since the ascension of Catherine the Great, and in 1766 Euler accepted an invitation to return to the St. Petersburg Academy and spent the rest of his life in Russia. His second stay in the country was marred by tragedy. A 1771 fire in St. Petersburg cost him his home and almost his life. In 1773, he lost his wife of 40 years. Euler would remarry three years later.On September 18, 1783, Euler passed away in St. Petersburg after suffering a brain hemorrhage and was buried in the Alexander Nevsky Laura. His eulogy was written for the French Academy by the French mathematician and philosopher Marquis de Condorcet, and an account of his life, with a list of his works, by Nikolaus von Fuss, Euler"s son-in-law and the secretary of the Imperial Academy of St. Petersburg. Condorcet commented,"...il cessa de calculer et de vivre," (he ceased to calculate and to live).[16] [edit] Contributions to mathematicsEuler worked in almost all areas of mathematics: geometry, calculus, trigonometry, algebra, and number theory, not to mention continuum physics, lunar theory and other areas of physics. His importance in the history of mathematics cannot be overstated: if printed, his works, many of which are of fundamental interest, would occupy between 60 and 80 quarto volumes[3] and Euler"s name is associated with an impressive number of topics. The 20th century Hungarian mathematician Paul Erdős is perhaps the only other mathematician who could be considered to be as prolific.[edit] Mathematical notationEuler introduced and popularized several notational conventions through his numerous and widely circulated textbooks. Most notably, he introduced the concept of a function[2] and was the first to write f(x) to denote the function f applied to the argument x. He also introduced the modern notation for the trigonometric functions, the letter e for the base of the natural logarithm (now also known as Euler"s number), the Greek letter ∑ for summations and the letter i to denote the imaginary unit.[17] The use of the Greek letter π to denote the ratio of a circle"s circumference to its diameter was also popularized by Euler, although it did not originate with him.[18] Euler also contributed to the development of the the history of complex numbers system (the notation system of defining negative roots with a + bi).[19][edit] AnalysisThe development of calculus was at the forefront of 18th century mathematical research, and the Bernoullis—family friends of Euler—were responsible for much of the early progress in the field. Thanks to their influence, studying calculus naturally became the major focus of Euler"s work. While some of Euler"s proofs may not have been acceptable under modern standards of rigour,[20] his ideas led to many great advances.He is well known in analysis for his frequent use and development of power series: that is, the expression of functions as sums of infinitely many terms, such asNotably, Euler discovered the power series expansions for e and the inverse tangent function. His daring (and, by modern standards, technically incorrect) use of power series enabled him to solve the famous Basel problem in 1735:[20]A geometric interpretation of Euler"s formulaEuler introduced the use of the exponential function and logarithms in analytic proofs. He discovered ways to express various logarithmic functions in terms of power series, and successfully defi

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼引入了作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义.欧拉曾经使用C作为它的符号,并计算出了它的前6位小数.1761年他又将该值计算到了16位小数. 欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数.它的定义是调和级数与自然对数的差值. 在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2.

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义.欧拉曾经使用C作为它的符号,并计算出了它的前6位小数.1761年他又将该值计算到了16位小数. 欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数.它的定义是调和级数与自然对数的差值. 在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2.

欧拉初始即欧拉常数，其来历如下：学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在，调和级数发散。但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明， 存在极限。由不等式 可得 故 有下界。而 再一次根据不等式 ，取 ，即可得 所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即 存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

欧拉常数＝lim(n→∞）（1+1/2+1/3+1/4+....+1/n-lnn）

欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在,调和级数发散.但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1计算过程：Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

欧拉常数（euler-mascheroniconstant)欧拉-马歇罗尼常数(euler-mascheroniconstant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数是发散的。但可以证明，存在极限。由不等式可得故有下界。而再一次根据不等式，取，即可得所以单调递减。由单调有界数列极限定理，可知必有极限，即存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明， 存在极限。由不等式 可得 故 有下界。而 再一次根据不等式 ，取 ，即可得 所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即 存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

当n无穷大时级数{∑1/k-lnn}是收敛数列（单调有界）,收敛值就定义为欧拉常数r r是一个非常神秘的常数,现在还不知它是否是无理数

利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，(C为欧拉常数)Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)扩展资料：欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。参考资料：百度百科-欧拉常数

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1计算过程：Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

ln（2n+1）-ln√n+r/2-1计算过程：Sn=1+1/2+1/3+...+1/（2n+1）-1-（1/2+1/4+...+1/2n）=ln（2n+1）+r-1-（lnn+r）/2=ln（2n+1）-ln√n+r/2-1欧拉常数简介欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

pi是怎么得到的？

因为lim(n→∞)∑1/n-lnn=欧拉常数

这两个人都是近代最伟大的数学家。欧拉去世时高斯6岁。他们对数学的贡献是全方面的，涉及纯粹数学和应用数学的广泛领域。一般认为，高斯比欧拉还要伟大，因为欧拉没有开创全新的分支。另一方面，欧拉是完全属于18世纪的数学家，因此严谨性上做的很不够。但欧拉的计算能力是如此之强，技巧如此之熟练，其他人是望尘莫及的。高斯的很多工作都可以看成欧拉的继承，特别是数论、分析、天文学、微分几何等。他在深刻性和系统性上超过了欧拉，他的很多著作都被看做是那个学科标志性的里程碑，非欧几何更是深刻地影响了数学发展的进程。

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数

呵呵楼上的说的用洛比打法则到底能不能做，我不知道，我觉得可能有点麻烦的，毕竟洛必达法则的条件要求导函数之比极限存在的。我没去想那个。楼主我不知道你怎么证明的这个数列单调增加！我记得我证明的时候是先证明单调递减，再证明有下界0！这个也可以用积分中值定理证，或者构造一个级数来证明，我个人觉得构造级数最简单。大概是这样v(n)=a(n)-a(n-1)=1/n+ln(1-1/n)=1/n+[-1/n-1/2n^2+o(1/n^2)]=-1/2n^2+o(1/n^2)级数v收敛所以它的部分和a收敛。

对式子【1+1/2+1/3+…+1/n=lnn+0.57721…+无穷小量】应该这样理解：首先有了【lim(n→∞)[(1+1/2+1/3+…+1/n)-lnn]=0.57721…】，才有【1+1/2+1/3+…+1/n=lnn+0.57721…+无穷小量】的。那么，计算欧拉常数的方法也就清楚了吧。【注】数列An=(1+1/2+1/3+…+1/n)-lnn的收敛性，可以根据【{An}单调增加，且有上界】来证明，其极限就是【欧拉常数】。

e是欧拉常数不对吧。

不确定，没被证明，虽然现在算出好多好多位

　　欧拉常数是无理数。

您好，海涅定理证明不了欧拉常数。什么是欧拉常数？调和级数的部分和1+1/2+1/3+…+1/n＝ln n＋an＋C，其中｛an｝是无穷小量，C≈0.57721566…称为“欧拉常数。即∑₁ⁿ1／k-ln n≈c（k＝1→n），当n充分大时，1+1/2+1/3＋…＋1／n和ln n的比值接近于1。现在人们猜想欧拉常数是超越数，但至今还不知道它是不是无理数。海涅定理是关于三角级数的定理，如果两个三角级数在【-π，π】内收敛于同一个函数f，那么这两个级数恒等。祝学习愉快！

伽马分布与欧拉常数关系欧拉常数与伽马函数的关系欧拉常数和伽马函数是数学之间具有重要关联的两个重要概念，这篇文章将简要介绍它们之间的关系。欧拉常数是一种自然数的标准，它的定义为：“用归纳法考虑一切无穷小的正整数的和的属性的极限。”在数学上，欧拉常数可以被表示为：e=limn→∞(1+(1/n))^n，其中，n是某自然数。它也被认为是“自然指数”，它是无限级数构成的自然数的极限。伽马函数，也被称为指数函数，是由伽玛函数定义的，表达为y=ex，其中x是某个变量，e是欧拉常数。因此，欧拉常数e与伽马函数之间的关联作为一个重要的参数，也是伽马函数的关键参数。伽马函数既可以作为实数自变量的函数使用，也可以作为实数值对函数应用。它的定义如下：当自变量x增加时，它的值也增加，而改变的值是固定的，这个增加量是与自变量的增量均匀的。例如：当x值从x1增加到x2时，伽马函数的值也从f(x1)增加到f(x2)。因此，e与x的关系，是作为伽马函数增加量的常量，以实现伽马函数从一点增加到另一点的量级。伽马函数还可以作为复数自变量的函数使用，用来表示复数变量。它定义为：以复数x为自变量时，伽马函数可以用来表示复数y中的指数量。用简单的说，也就是说，当复数x的模增加某个值时，指数y也会随之增加该值的欧拉常数的量级。换句话说，有e为模增量的量级，使得复数x从一点增加到另一点。总之，欧拉常数e与伽马函数之间具有重要的联系，它们都在许多数学领域有其重要的作用，特别是在描述自然数和复数变量的增加量时，它们的关系尤为重要。￥5百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取欧拉常数与伽马函数的关系欧拉常数与伽马函数的关系欧拉常数和伽马函数是数学之间具有重要关联的两个重要概念，这篇文章将简要介绍它们之间的关系。欧拉常数是一种自然数的标准，它的定义为：“用归纳法考虑一切无穷小的正整数的和的属性的极限。”在数学上，欧拉常数可以被表示为：e=limn→∞(1+(1/n))^n，其中，n是某自然数。它也被认为是“自然指数”，它是无限级数构成的自然数的极限。伽马函数，也被称为指数函数，是由伽玛函数定义的，表达为y=ex，其中x是某个变量，e是欧拉常数。因此，欧拉常数e与伽马函数之间的关联作为一个重要的参数，也是伽马函数的关键参数。第 1 页伽马函数既可以作为实数自变量的函数使用，也可以作为实数值对函数应用。它的定义如下：当自变量x增加时，它的值也增加，而改变的值是固定的，这个增加量是与自变量的增量均匀的。例如：当x值从x1增加到x2时，伽马函数的值也从f(x1)增加到f(x2)。因此，e与x的关系，是作为伽马函数增加量的常量，以实现伽马函数从一点增加到另一点的量级。伽马函数还可以作为复数自变量的函数使用，用来表示复数变量。它定义为：以复数x为自变量时，伽马函数可以用来表示复数y中的指数量。用简单的说，也就是说，当复数x的模增加某个值时，指数y也会随之增加该值的欧拉常数的量级。换句话说，有e为模增量的量级，使得复数x从一点增加到另一点。

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：对给定的 ，计算：则有其中， = 4.970625759544232... 满足方程 。对给定的，此方法可以得到接近 位的十进制小数精度。

如何用matlab求欧拉常数？1、首先我们根据欧拉常数的定义，写出其表达式，如下图所示。2、从表达式我们看到，求和部分可以用symsum函数来求解3、然后再用limit函数，求其n一﹥∞的极限4、完整的代码如下>>syms k n>>S = symsum(1/k,k,1,n) - log(n)>>vpa(limit(S,n,Inf),20)5、也可以直接用下列命令来求解>>-psi(1)6、执行结果

答：圆周率∏,自然对数的底数e,欧拉常数y,都是无理数,但其中最有名的两个就是圆周率π和自然对数的底数e.自然对数的底数是指无理数e=2.718281828459045.e是一个奇妙有趣的无理数,它取自数学家欧拉Euler的英文字头.欧拉首先发现此数并称之为自然数 .但这里所说的自然数与常见的自然数：1,2,3,4……是不同的.确切地讲,e应称为“自然对数lnN的底数”.e与圆周率π被认为是数学中最重要的两个超越数（不满足任何整系数代数方程的数,称超越数）.而且e、π与虚数i三者之间有一个相当有名的关系式：e^(iπ)=-1.e的近似值可以用以下的计算公式求得： e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/(n-1)!+1/n!,n是正整数. n!是阶乘的意思,n!=n*(n-1)*(n-2)*.*3*2*1. 另外,还有一个不常见的无理数：欧拉常数γ=0.5772156649015328.它同时也是一个超越数. e、圆周率π、欧拉常数γ,这是最有名的无限不循环小数,即无理数. 圆周率π的前几千或前几万位比较常见,但自然对数的底数e的前几百位或千位就比较少见了,所以也一起发给你,以便日后有用. 无理数e的前1000位如下： e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354. 您不妨试下能否背下来?就像有许多的人在背数万位的圆周率一样.

由于欧拉是一个很多产的数学家兼天文学家兼物理学家兼天才，所以以欧拉命名的数什么的到处都是，从物理学到数学都有：http://baike.baidu.com/view/405180.htm?fr=ala0_1_1http://zhidao.baidu.com/question/661767.html?fr=ala0这是我搜的两个例子，大概你还可以搜到其他五花八门各种不一样的答案。但是，欧拉常数只有一个。设Xn=1+（1/2）+（1/3）+…+（1/n）-ln(n)，则当n趋于无穷的时候，Xn的极限就是欧拉常数。

利用“欧拉公式”1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C，(C为欧拉常数)Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)扩展资料：欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。参考资料：百度百科-欧拉常数

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n) 0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209; return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );}一个可以计算欧拉常数的递推公式的euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)其中|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

（1） 求解欧拉常数（也称为自然对数的底或Euler"s number）有多种方法。以下是两种常见的方法：数值法：使用数值方法计算调和级数的前n项和，并观察其趋势。调和级数的前n项和定义为H（n） = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。通过计算H(n)并观察其随着n的增大而趋近于一个特定的值，我们可以逼近欧拉常数。符号法：通过数学推导和证明，可以使用数学公式和关系得到欧拉常数的表达式。欧拉常数可以表示为e = lim（n->∞） （1 + 1/1！ + 1/2！ + 1/3！ + ... + 1/n！），其中n！表示n的阶乘。通过数值法计算调和级数的前n项和，可以得到欧拉数列的近似值，进而通过调和级数实验来研究欧拉常数的性质。(2) 欧拉常数在数学和科学中有广泛的应用。以下是一些应用的例子：概率和统计：欧拉常数出现在统计学和概率论中的各种公式和分布中，例如正态分布、指数分布和泊松分布的概率密度函数。复利计算：欧拉常数与复利计算密切相关。复利是指利息在每个计息周期内都会增加并与本金一起计算利息的过程。欧拉常数出现在复利计算的公式中，用于计算复利的增长率。微积分：欧拉常数在微积分中扮演重要角色。它与指数函数和对数函数之间有特殊的关系，以及与三角函数之间的关系，这在微积分的各个分支中都有应用。下面是一个使用垫子function eulerConstant = computeEulerConstant(n)eulerSum = 0;for k = 1:neulerSum = eulerSum + 1/k;endeulerConstant = eulerSum;end% 示例调用n = 1000; % 计算调和级数的前n项和eulerApproximation = computeEulerConstant(n);disp(eulerApproximation);这个程序使用数值法计算调和级数的前n项和，并返回近似的欧拉常数。你可以根据需要调整n的值来控制近似的精度。

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明，存在极限。由不等式 可得故 有下界。而再一次根据不等式 ，取 ，即可得所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。向左转|向右转

调和级数∞∑(1/n)n=1是发散的,而极限nlim[∑(1/k)-lnn]n→∞k=1却是收敛的,将该极限值称为欧拉（EULER）常数γ，近似计算γ=0.5772156.......（人家问的是欧拉常数，不是欧拉数啊）

调和级数∞∑(1/n)n=1是发散的,而极限 nlim [∑ (1/k)-ln n]n→∞ k=1却是收敛的,将该极限值称为欧拉（EULER）常数γ，近似计算γ=0.5772156.......（人家问的是欧拉常数，不是欧拉数啊）

欧拉常数约为 0.57721566490153286060651209。目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10242080。 日期 位数 计算者 1734年 6 莱昂哈德·欧拉 1736年 15 莱昂哈德·欧拉 1790年 19 Lorenzo Mascheroni 1809年 24 Johann G. von Soldner 1812年 40 F.B.G. Nicolai 1861年 41 Oettinger 1869年 59 William Shanks 1871年 110 William Shanks 1878年 263 约翰·柯西·亚当斯 1962年 1,271 高德纳 1962年 3,566 D.W. Sweeney 1977年 20,700 Richard P. Brent 1980年 30,100 Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦 1993年 172,000 Jonathan Borwein 1997年 1,000,000 Thomas Papanikolaou 1998年12月 7,286,255 Xavier Gourdon 1999年10月 108,000,000 Xavier Gourdon和Patrick Demichel 2006年7月16日 2,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2006年12月8日 116,580,041 Alexander J. Yee 2007年7月15日 5,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2008年1月1日 1,001,262,777 Richard B. Kreckel 2008年1月3日 131,151,000 Nicholas D. Farrer 2008年6月30日 10,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo 2009年1月18日 14,922,244,771 Alexander J. Yee和Raymond Chan 2009年3月13日 29,844,489,545 Alexander J. Yee和Raymond Chan

费马小定理，欧拉定理，中国剩余定理等相关数论定理是小学生学的。在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

费马小定理是欧拉定理在模为质数情况下的特殊形式，反过来是没法推导的。