复变函数

收敛半径是3，因为离z=1最近的奇点是z=-2，R=|1-（-2）|=3,根据定理

arg是幅角主值,-1为实数,在坐标系上为x负轴上,即逆时针旋转90度,arg(-1）=90度

arg为幅角主值.有的规定范围是[0，2π），此时arg(-i)=3π/2有的则规定范围是（-π，π],此时arg(-i)=-π/2

arg是幅角主值,-1为实数,在坐标系上为x负轴上,即逆时针旋转90度,arg(-1）=90度

arg是幅角主值，-1为实数，在坐标系上为x负轴上，即逆时针旋转90度，arg(-1）=90度

1=e的（2n*pi*i）次方所以就是那样子啊你在复平面画一个单位圆，实数1坐标是（1，0）幅角θ为2n*pi；所以1=e的（θ*i）次方同理虚数i坐标（0,1）幅角θ为(2n+1/2)*pi所以i=e的（θ*i）次方

看了你的问题，基本是不知道指数函数的导数怎么求是吧。 指数函数：e^x 求导就是 x e^x 把指数放前面，乘以原来的指数函数就好了。 另外还要看的是sin函数 和 cos函数的复指数表示。 即e^jwt 这个形式，可以表示cos 和 sin，这个网上很多，自己看看就好了。 这本书讲得很出，很多过程省去了，可以看下指数函数的求解详解，一个积分变成 原函数从下限到上限的积分，这样就知道这个是怎么来的。 j 是指-1的开根号，是个虚数的单位。

显然ln z是一个多值的函数，对于每个ln(z^2)都可以找到对应相等的2ln z但由于ln z^2和ln z周期不同，所以2lnz取值多于ln z^2.设z=|z|*e^(iφ)，则z^2=|z|^2*e^(2iφ)2lnz=2ln|z|+2i(φ+2kπ) k=0,1,2,…ln(z^2)=ln(|z|^2)+i(2φ+2kπ) =2ln|z|+2i(φ+kπ) k=0,1,2,…可以看出，ln z^2和ln z周期分别为π和2π.若只考虑k=0的情况：2lnz=2ln|z|+2*iφln(z^2)=ln(|z|^2)+i*2φ两者是相等的。结论嘛，不严格的说，两者是相等的。

如果函数y＝f(x) 是从定义域到值域上的一一映射,则它的逆映射所确定的函数y＝f^(-1)(x) 称为该函数的反函数。反函数是逆映射，逆映射不一定是反函数函数只是一种特别的映射。映射是指镜像，你照镜子你和镜子里的...

利用直尺直接可以测量出的长度,即为复数的模长

每一个复数都有三角表示式，z＝0 的三角式是： 0*[cos(θ)＋isin(θ)]，其中 θ 可以是任意实数(因为 0 方向不确定)

复变函数中的指数函数是周期函数所以相应的对数函数计算出来的还需要添加2kπi，这里仅对幅角[0,2π）内计算如下：

下面以*代表共轭：f(z*)=f(x, -y)=u(x, -y)+iv(x, -y)[f(z*)]*=u(x, -y)-iv(x, -y)

设复数z=re^(it)，那么z=rcost+irsint，它的共轭复数为z"=rcost-irsint=rcos(-t)+irsin(-t)=re^(-it)

　　复变函数：以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数 ，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　拉式变换：拉氏变换即拉普拉斯变换。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

数学分析按术语来讲是个大类，自然包含了实分析和复分析。国内很多名叫《数学分析》的教材其实是基础的微积分加上一些拓展。实分析是对实数域上的函数的分析（比如利用Lebesgue measure对函数进行积分等等）。同理复分析是在复数域上的函数的分析（比如函数是否analytic等等）。复变函数是自变量含有复变量／复数的函数（以上皆为粗略简介，深入会有很多内容，建议参考阅读 stein 的 complex analysis，还有Folland 的 Real analysis，都是实分析和复分析很好的入门教材）

复变函数f(z)在区域d内可微(可导)的充要条件是f(z)在区域d内解析复变函数f(z)在点a处解析，不仅要求在该点处的导数存在，而且存在a的一个领域，该领域内所有的点处，f(z)都可导。由此可见，函数f(z)在一点a处解析的要求要比可导的要求严格得多。

　　拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 　　如果定义： 　　f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,； 　　s, 是一个复变量； 　　mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 　　则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出： 　　F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 　　拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。 　　拉普拉斯逆变换的公式是： 　　对于所有的t>0,； 　　f(t) 　　= mathcal ^ left 　　=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds 　　c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。 　　为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 　　用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定： 　　如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。 　　函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。 　　在工程学上的应用 　　应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

单变量和复变函数足够足够。客观来说是学习多元微积分需要用到傅里叶变换，而不是反过来偏微方程(PDE)在正负无穷值域上的解是必然需要傅里叶变换知识的。而PDE又是多元微积分的重要内容，因此傅里叶和多元微积分是紧密联系的，但单学傅里叶不需要多元微积分。

拉氏变换很重要的,好好学.....

这到是很复杂的 只要大概知道就行了 不 用弄的那么清楚 就象是 拉普拉丝变换 由时间变到空间的的 不用太研究

如果函数本身就是正弦或者余弦那么他的傅里叶分解就是他本身只需要将f(t)降次就可以了利用倍角公式和积化和差公式过程如下：

用三倍角公式化简

模拟电子技术非常难，不过以后用处非常大，主要是二极管，三极管，及场效应管的检测及应用，对以后维修各种电器设备非常有用，但是确实学习挺难的。复变函数与积分变换比较容易些，不过这部分的理论也有难度，但考题不会难，要记的东西比较多，只要记住，考题一定能做出来。 1、记住积分变换和积分逆变换的定义； 2、记住性质（线性性质、微分性质、平移性质这三条必须记，最好把相似性质、积分性质也记住）； 3、记住一些常见函数的拉普拉斯变换：正弦、余弦、指数函数，而且计算时要会运用微分性质。掌握这些应该就差不多了，基本上不需要理解，都是记。补充：傅里叶变换中的δ函数如果在考试范围内，其性质也需要记。至于学分，各学校规定不太一致，模拟电子技术一般4学分左右，复变函数与积分变换一般2学分左右.

基本上是转换成实数项级数来判别敛散性（1）（2）实部和虚部分别判断敛散性原级数条件收敛（3）比值判别法绝对收敛（4）化成实数项级数通项的极限不为0，级数发散。

n=1的时候，结果很显然，直接代入即可。n=2,3,4，……的时候，cos和sin函数里面的变量是(n-1)θ，函数的最小正周期是T=2π/(n-1)。因为积分范围是0到2π，当n≠1的时候，积分范围是函数周期的整数倍，也是函数的原函数的周期的整数倍，所以积分的结果为0

整函数(entire function)是：定义域为全复平面的全纯函数(holomorphic function).本题的结论应该有问题:比如 f(z)=z,就是一个反例，它显然满足不等式。在已知不等式下，可以得到f(z)＝az+b，即线性函数。具体方法是：使用0点的高阶(大于等于2)导数Cauchy formula.

复变函数是数学专业学的。复变函数是数学中的一个重要分支，主要研究复数域上的函数及其性质。复变函数的研究涉及到复数域、复平面、复数函数、解析函数、全纯函数、调和函数、亚纯函数、级数、积分等多个方面，是数学中的重要分支之一。复变函数的研究不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学等领域也有着重要的应用价值。复变函数是数学专业中的一个重要课程，通常在高等数学、数学分析、复变函数等课程中进行教学。在数学专业中，学生需要学习复数域、复平面、复数函数、解析函数、全纯函数、调和函数、亚纯函数、级数、积分等多个方面的知识，掌握复变函数的基本概念、性质和应用。学生需要通过理论学习和实践操作。掌握复变函数的基本理论和方法，能够独立进行复变函数的研究和应用。除了数学专业外，复变函数在物理、工程、计算机科学等领域也有着广泛的应用。在物理学中，复变函数被广泛应用于电磁场、量子力学、统计物理等领域。在工程学中，复变函数被广泛应用于信号处理、控制系统、通信系统等领域。

柯西定理逆定理，证明用

从直观和严谨两个角度来证明：1.直观。|Z1|=|Z2|=|Z3|=1说明Z1,Z2,Z3都在单位圆上。而(Z1+Z2+Z3)/3代表着由Z1,Z2,Z3组成的三角形的重心坐标。所以题目告诉你该重心就在原点。由几何知识知道，一个三角形的外心和重心重合，那么这个三角形就是正三角形2.严谨。不难证明|Z1+Z2|^2+|Z1-Z2|^2=2(|Z1|^2+|Z2|^2)=4。而|Z1+Z2|^2=|-Z3|^2=1。所以|Z1-Z2|^2=3.|Z1-Z2|=根号3.同理可证.|Z1-Z3|=根号3..|Z3-Z2|=根号3.所以是等边三角形

《复变函数与积分变换》是工科学生的一门必修课，同其他数学课程一样，其学习也是为后续课程打好数学的基础。如《数学物理方程与特殊函数》、《电路理论》、《信号与线性系统》等都广泛涉及了《复变函数》中有关留数、傅氏变换、拉氏变换等知识，而这后面几门课程又都是专业基础课，因此，学好《复变函数》对后续课程的学习有很大的好处。不过，《复变函数》是一门纯理论课，在某种程度上而言，比前几门数学课，如《高数》、《线性代数》、《概率论》都要枯燥一些，理论上的推导似乎漫无目标，因此，在学习的过程中，把握重点，看准目标尤为重要。在学习《复变函数》的过程中，我认为了解复变函数的用途是十分必要的，这门课程主要分为两部分，一是复变函数，二是积分变换。学习复变函数的目的就在于学会用留数法积分以及零、极点展开（类泰勒展开），学习积分变换的目的在于用他来解微分方程（就本课程而言），在学习中，循着这些目标，自然就不会觉得《复变》是玄而又玄，空而又空的东西了。作为工科的学生，大家都明白，学习不作题目是不行的。看课本时总有这种感觉，书中的论证、举例都能看懂，但就是不明白论证的目的是什么。这时，很重要的一个环节就是作题目，不会做的，到图书馆查资料，向老师同学请教，只要是完完全全的弄懂了，一章作上五六道有代表性的题目也就够了。等到期末，再将作过的题目拿出来复习一下，就应该不会有大问题了。

今天教务老师给大家收集整理了自考教材复变函数答案的相关问题解答，还有免费的自考历年真题及自考复习重点资料下载哦，以下是全国我们为自考生们整理的一些回答，希望对你考试有帮助！求四川自考工程数学的往年试题及答案对增广矩阵进行初等行变换：(不同的人做法可能不同，这是其中一种)①、第一行乘以-2加到第二行，第一行加到第三行②、第二行提5，第三行提-1③、第三行乘以-1加到第二行，第三行乘以2加到第一行④、第二行加到第一行，第二行提-1，完毕，出答案。复变函数第五版余家荣答案？复变函数在闭区域解析，意指其在包含该闭区域的一个更大的区域内解析P21），而原本的闭区域的边界也包含在这个更大的区域内，因此该函数在原本闭区域的边界解析复变函数与积分变换课后答案求科学出版社冯复科主编的复变函数与积 要注册复变函数怎么学？求答案…不过，《复变函数》是一门纯理论课，在某种程度上而言，比前几门数学课，如《高数》、《线性代数》、《概率论》都要枯燥一些，理论上的推导似乎漫无目标，因此，在学习的过程中，把握重点，看准目标尤为重要。在学习《复变函数》的过程中，我认为了解复变函数的用途是十分必要的，这门课程主要分为两部分，一是复变函数，二是积分变换。自考/成考有疑问、不知道自考/成考考点内容、不清楚当地自考/成考政策，点击底部咨询官网老师，免费领取复习资料：https://www.87dh.com/xl/

《三十年来的苏联数学 1917-1947 复变函数论》（А·Ф·卞尔曼脱）电子书网盘下载免费在线阅读链接: https://pan.baidu.com/s/1HPvpKe7u5KRWKRI3_2yBDQ 提取码: 69f7     书名：三十年来的苏联数学 1917-1947 复变函数论作者：А·Ф·卞尔曼脱译者：陈建功出版社：科学出版社出版年份：1957页数：146内容简介：本书系统介绍了全纯函数的Cauchy积分理论及其应用、Weierstrass级数理论及其应用、Riemann共形映射以及函数空间等，主体内容特别是几何函数论精练清楚，可视化较好便于理解，同时面向现代化的后续研究特别是侧重于解析函数函数空间及其对信号处理的应用。

所谓奇点，就是出问题的点。问题中提到的三类奇点，前提必须是孤立的。换言之函数f在去心圆盘B(a,r){a}中全纯（保证a的孤立性）：若f(z)在a附近有界,称a为f的可去奇点。因为根据Riemann的奇点定理可以知道此时f(z)在a处的极限存在,因此可增加定义a点的函数值为极限值，利用Morera可证f全纯。可去之意由此而来！若f(z)在a处的极限为∞,则称之为极点。因为此时a是1/f的可去奇点！若极限不存在，称之为本性奇点

利用Morera定理即可。设f的不全纯集合为线段L.任取D内一条闭曲线γ,如果线段γ与L五公共点，直接用Cauchy积分定理即可f在γ上积分为零；如果γ与L有交点，仅需添加割线即可由L将γ内部一份为二；而在两部分上分别满足Cauchy积分定理的条件，因而积分为零。根据Morera定理，f全纯

全纯函数（holomorphicfunction）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。-------在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。------------我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊....恩，要求在每点上皆复可微

全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。-------在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。------------我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊....恩，要求在每点上皆复可微

判断复变函数是整函数还是亚纯函数：复平面上的全纯或亚纯函数都是无界函数，其他函数就分实部虚部讨论。在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。复变函数是复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，设为w=f(z)。如果设z=x+iy，w=u+iv，那么复变函数w=f(z)可分解为w=u(x，y)+iv(x，y)，所以一个复变函数w=f(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。一些实际问题推动着复变函数理论的产生和发展。

在某一点解析，意义为在这一点存在一个邻域，在这个邻域内处处可导。这是因为复解析函数具有特殊性质“无穷阶可微性”，即在它的解析域内（这里的解析当然是针对复变函数的解析概念来说的），具有任意阶导数。而实函数却没有这样的性质。故复变函数解析的概念同样等价于拉格朗日的表述。定义：若函数在某点z以及z的临域处处可导，则称函数解析。特点：可导不一定解析，解析一定可导。临域的概念比较复杂，要有微积分比较基础的知识，判别方法，对于二元实函数，需要满足柯西黎曼方程即C-R方程。例：1、设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)点z=x+iy∈D可微的充要条件是在点z=x+iy,u(x,y)及v(x,y)可微,并且əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx。2、设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)在区域D内解析的充要条件是：u(x,y)及v(x,y)在D内可微,而且在D内成立əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx。

，φ（z）可能的奇点是g（z）的零点，但由于|f（z）|≤|g（z）|，g（z）的零点必是φ（z）的可去奇点，否则设g（z）的零点a，a是φ（z）的极点，有，于是存在a的一个去心邻域内有|φ（z）|＞1，则在该去心邻域内|f（z）|>|g（z）|，与题设矛盾，所以适当定义后φ（z）也在复平面解析，且所以φ（z）是有界整函数，根据刘维尔定理，φ（z）必为常数λ，所以f（z）=λg（z）

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

用三维的来说，有个西瓜，分为西瓜皮和西瓜瓤。当然假设西瓜皮是没有厚度的。西瓜瓤是内点，西瓜皮是边界点，这个西瓜是聚点。如果有个外面的西瓜子也是属于这个西瓜的，西瓜子叫做孤立点。有个虫子，在西瓜上吃西瓜，它不爬出西瓜就可以吃遍整个西瓜，这个西瓜叫做连通的。如果你将西瓜切成两半了，这个虫子就不能吃遍整个西瓜，顶多吃一半，西瓜就是不连通的。凡是没有皮的西瓜都是开集。从西瓜内部挖出一勺子瓤来(球形的)叫做邻域。当然复平面是二维的，西瓜是三维的，但是基于拓扑的概念，这二者都是一致的，你想想将西瓜变成一个饼就好了。

你什么专业的，在我看来这两个都挺重要，不过对于搞计算机的离散数学用到的更多吧

3、取z＝0为圆心，|z|<1为半径做圆C则，f(z)在C内没有奇点利用高阶导数公式变形得到结果＝0过程如下：

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　复变函数论的发展简况　　复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。　　复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

起点是1，终点是i，就可以设 z=1+（i-1）t，t∈【0，1】，也就是你看到的把起点和终点换成a、b也是同理

自从复变函数的理论被广泛应用于数学的各个分支后,人们自然想把复分析推广到任何多个自变量,以及任何多个因变量的复向量值函数上. 　　多复变函数就是研究这类推广的复变函数. 　　一开始,人们认为这种推广只不过是形式上的照搬而已,但是很快人们就发现多复变函数与单复变函数有着许多差异. 　　首先,多复变函数什么时候是全纯函数?Hartoges 花了很大的力气才证明：多复变函数全纯当且仅当它对每个自变量都是全纯的.这个结论看似简单,实则难矣.迄今为止,人们都没有找到一个简化的证明. 　　其次,关于函数的延拓也存在着极大的差异.我们知道,复平面上任何单连通的开集上都存在一个单复变函数,它不能延拓到这个开集之外--满足这种性质的开集叫做全纯域.但是在多复变函数里却发生了奇特的现象：有一些开邻域,它们上面的任何全纯函数都可以延拓到外面去.这种现象称为Hartoges现象.如果一个开邻域不能发生Hartoges现象,我们就成这个领域为全纯域.

周线就是复平面内的闭曲线，复变函数的积分类似于高等数学中对坐标的曲线积分，最一般的方法是对于复变函数f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，则复变函数积分∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，从而转化为两个对坐标。

复变函数中，横坐标为实数，纵坐标为复数，你把那个i先去掉，就是z=acost+bsint，它表示的是一个椭圆，只是画图的时候，纵坐标是复数单位i,而不是y轴。

首先利用基本的不等关系得｜z²-zˊ²｜≤｜z²| + |zˊ²｜=｜z|² + |zˊ|² = 2｜z|²然后再利用复数的基本性质得 2zzˊ = 2|z|²显然就知道答案是 ｜z²-zˊ²｜≤2zzˊ 啦。

搞电力系统、电学研究方向的人员用途非常大。其他方面就知道的不多了。

(1)因为任何一个复数都是有模的，所以w的定义域是整个复平面。对于连续性，因为w=|z|=sqrt(x^2+y^2)+0*i，所以实部和虚部都是连续函数，因此w是连续函数。 (2)这是一个分式函数。根据分式函数的特殊性，函数有意义的充要条件是分母不为0，这也是分式函数连续的充要条件。要使得分母不为0，当且仅当

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分以下是形式上的变换由上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程那么上式就可以化为定积分。当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导。另外当然第二型曲线积分可以化为第一型曲线积分，这一点不作深入讨论。如果要问积分的意义是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运动的物体所做的功。把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功。实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解。而复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。以上内容参考 百度百科-复变函数

1、成立2、利用柯西－黎曼方程（3）欧拉公式

黎曼面，如图

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1] ，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z)=是复平面上的复变函数。但f(z)=在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为z=ƒ-1(w)设(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|(z)-(α)|<ε恒成立，则称(z)在α处是连续的，如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。设是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|(z1)-(z2)|<ε恒成立。这个性质称为(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。设(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D，如果极限存在且有限，则称(z)在z处是可导的，此极限值称为(z)在z处的导数，记为"(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数，而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。希望我能帮助你解疑释惑。

(1+i)^i=e^[iLn(1+i)]=e^{i[ln|1+i|+iarg(1+i)+i2kπ]}=e^{i[ln√2+iπ/4+i2kπ]}=e^(iln√2-π/4-2kπ)，其主值=e^(iln√2-π/4)。定义复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z)=是复平面上的复变函数。但f(z)= 在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为z=ƒ-1(w)以上内容参考：百度百科-复变函数

复变函数一般是四维空间内的图像，人脑想象不了的。

设z＝x+iy。第一个用欧拉公式。第二个，直接把z³＝（x+iy）³拆开来即可。

1、利用单位圆映射为单位圆的通式代入已知条件求参数2、映射区域为w平面上的单位圆讨论模和辐角

(1+i)^i=e^[iLn(1+i)]=e^{i[ln|1+i|+iarg(1+i)+i2kπ]}=e^{i[ln√2+iπ/4+i2kπ]}=e^(iln√2-π/4-2kπ)，其主值=e^(iln√2-π/4)。定义复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z)=是复平面上的复变函数。但f(z)= 在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为z=ƒ-1(w)以上内容参考：百度百科-复变函数

根据v的表达式得到其对y的偏导数为vy=-2；根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。上式对y求导，得到uy=C"(y)；另外，根据v的表达式，对x的偏导数为vx=4x+1，根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即C"(y)=4x+1.这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

大多数的物理问题在实函数的范围内可以得到准确的描述了。但是如果使用复变函数。问题会变得简单。你如果知道复变函数中的留数定理就明白了。实函数下一个积分需要计算半天。使用留数定理只需要你看一眼就可以了。复变函数在描述波动，描述交流电。描述原子结构中都具有很大的优越性。

复变函数就是以复数为研究对象的函数，可以看作是高数从实数域到复数域的扩充。它的部分内容，如函数可导和解析的判定、函数积分、幂级数的展开等，与高数相应部分内容是极为相似的。但也有部分内容与高数不同。至于作用，我想主要有两个方面：一是数学理论方面的研究，二是实际应用，主要在工科方面，如电工技术、力学、自动控制、通信技术等方面。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，这些年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。复变函数的主要研究对象是解析函数，包括单值函数、多值函数以及几何理论三大部分。在悠久的历史进程中，经过许多学者的努力，使得复变函数论获得了巨大发展，并且形成了一些专门的研究领域。单值函数中最基本的两类函数是整函数和亚纯函数，它们分别是多项式和有理函数的发展。外尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推广到整函数，而G.米塔-列夫勒则将有理函数分解为部分分式的定理推广到亚纯函数。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-) é.波莱尔等进一步发现了整函数的取值与多项式的取值之间有着很大的相似性。在此基础上，1925年R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响。它和复变函数论的其他领域也存在着密切联系。例如，1973年A.伯恩斯坦应用实变函数的思想引进T^*函数，它在值分布论的亏量问题、整函数的最小模问题以及单叶函数的研究中都发挥了显著效用。关于多值函数的研究主要是围绕着黎曼曲面及单值化的问题来进行的。1913年（C.H.）H.外尔在其经典著作《黎曼曲面概念》中首先给出了抽象黎曼曲面的定义，它是流形这个现代数学基本概念的雏形。黎曼曲面的研究不仅使自身形成了完美的理论，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型。在复变函数的应用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通过共形映射研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中，常常要借助近似方法具体地构造出映射函数。这方面有不少研究工作。当然，有时并不需要知道具体的映射函数，只是应用其几何性质。这就推动了复变函数几何理论的发展。单叶函数的研究是复变函数几何理论的一个重要组成部分，特别是1916年L.比伯巴赫提出的单位圆内形如式(4)的单叶解析函数应有 |αn|≤n的猜测引起了许多学者的注意。近70年来，围绕着比伯巴赫猜想曾有不少研究工作，但是直到1984年，布朗基才完全证实了这个猜想。证明中主要应用了莱伯德－米林的工作，C.勒夫纳的参数表示法以及关于雅可比多项式的结果。柯西－黎曼方程表明了解析函数与椭圆型偏微分方程组之间的联系，20世纪50年代以来L.伯斯，И.Η.韦夸等考虑较为一般的椭圆型偏微分方程组，并引入广义解析函数的概念。解析函数决定的映射为共形映射，它把无穷小圆映为无穷小圆；而广义解析函数则决定了拟共形映射，它把无穷小圆映为无穷小椭圆。L.V.阿尔福斯，М.Α.拉夫连季耶夫为拟共形映射的理论奠定了基础。解析函数虽然在区域内部有很好的性质，但是当自变量z趋向于边界时，函数的变化情况常常十分复杂。关于这方面的研究就形成了一个专门的领域，称为解析函数边界性质。经典的结果有法图定理，Η.Η.卢津和И.И.普里瓦洛夫在这方面也有系统的研究。出现了聚集合的概念，进一步将研究引向深入。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

（1）曲线积分的上下限表示了曲线的方向α是起点，β是终点颠倒的话，曲线方向相反得到的结果与上面互为相反数（2）复函数的积分是曲线积分（3）

是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数起源： 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。 内容： 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

这个非常重要，对孩子影响特别大，所以必须重|视|起来。复变函数也研究多值函数，L曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做L曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值支和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的L曲面，那么，函数在L曲面上就变成单值函数。L曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于L曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

z=(1+i)/(1-i)=i，z^{100}+z^{75}+z^{50}=-if(z)=z^2ln z，f"(z)=2zln z+z，f"(0)=01-e^{-z}=0，-z=i2kpi，z=-2ikpi曲线参数方程为：x=t^2，y=t，0<=t<=1int_Czdz=int_0^1(t^2+it)d(t^2+it)=int_0^1(t^2+it)(2t+i)dt=int_0^1(2t^3-t+3t^2i)dt=i

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

复积分和第二类曲线积分有类似之处，即积分是按着有方向的曲线求解。讨论积分路径，积分区域。利用被积函数的解析性，积分区域的奇点，留数定理，复合闭路定理求解。 实数积分定积分是所有的积分的基础，包括曲线积分，曲面积分，二重积分，三重...

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1] ，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z)=是复平面上的复变函数。但f(z)=在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为z=ƒ-1(w)设(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|(z)-(α)|<ε恒成立，则称(z)在α处是连续的，如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。设是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|(z1)-(z2)|<ε恒成立。这个性质称为(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。设(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D，如果极限存在且有限，则称(z)在z处是可导的，此极限值称为(z)在z处的导数，记为"(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数，而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。希望我能帮助你解疑释惑。

因为当z=0时，f(z)的极限为2，所以z=0为可去极点；而当z=kπ，分子不为0，分母为0，故z=kπ为极点。

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1]，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。中文名复变函数外文名complex function产生时间十八世纪又名解析函数论定义以复数作为自变量和因变量的函数快速导航发展简况内容定义极限与连续性复变函数的导数起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。[1]发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[1]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算

定义与实函数的连续定义一样，一点的极限等于函数值。当然距离是复平面的距离。有时验证定义比较困难，可以借用实函数时的结论：如初等函数在其定义域内（不取无穷值）连续。连续函数的复合函数一般也连续，只要不取无穷。以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。