什么是复变函数的反函数或逆映射？

1、反函数释义：对于表示y依x而变的已知函数y=f（x）来说，表示x依y而变的函数x=g（y）就叫做它的反函数。如是y=x3的反函数。 2、函数与原函数的复合函数等于x，即：习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成 。

反函数的定义是把原函数的x当做反函数的y，把原函数的y当作反函数的x 所以根据这个就很容易求出该函数的反函数即x=2^y/(2^y+1),由于这个可能比较难算，可把2^y当作一个整体再经过计算得2^y=x/(x-1)，可把这个化为对数函数就是y=log2[x/(x-1)]就是以2为底x/(x-1)的对数所以该函数的反函数就是y=log2[x/(x-1)]

反函数指的就是某种计算的逆运算比如y=kx，其反函数为y=x/k而y=e^x反函数为y=lnx等等记住一定要更换其x和y

对于一个函数y=2x+4

反函数是对一个给定函数做逆运算的函数，一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数存在的条件为原函数的函数关系必须是一一对应的（不一定是整个数域内的），它的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域。

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"u22121"指的并不是幂。

反函数的定义域与原函数的值域一致；值域与原函数的定义域一样对于三角函数和反三角函数：反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1(x）。反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2）y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π）

如图所示：扩展资料：一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超过一个的值上去。（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线必对所有实数k，通过且只通过一次。定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。而由于f的严格单增性，对D中任一x"<x，都有y"<y；任一x"">x，都有y"">y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。若此时x1≥x2。根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。如果f在D上严格单减，证明类似。参考资料来源：百度百科-反函数

在定义域内单调的函数具有反函数。如该题，它所问的是在整个定义域内是否有反函数，当然是有；如果将问题改为在X＜0上时，则有反函数。反函数与原函数的关系：1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。反函数性质：（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。（6）反函数是相互的且具有唯一性。（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。（8）y=x的反函数是它本身。

反函数是对一个定函数做逆运算的函数。一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) ，反函数x=f^(-1)(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具代表性的反函数是对数函数与指数函数。

dy=(df/dx)dx。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f-1(x)。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。1、值域：因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。2、函数中，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域。例如Y=aX+bX+c中的定义域即是X的取值范围。3、反函数f（x）与他的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称，函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是映射；一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

简单的说 就是y等于什么什么x,你换算成x等于什么什么y ，换算后你在把x改成y,y改成x

反函数就是对应法则相反的函数例如y=x+3,法则是＋3，相反的法则是－3所以y＝x＋3的反函数是y＝x－3幂函数：就是x做自变量，指数一定的函数形式为y＝x的常数次方指数函数：底数为常数，自变量x做指数的函数，形式为y＝常数的x次方底数大于0对数函数：底数为常数，自变量x做真数的函数，形式为y＝log常数x

函数是表示变量和因变量关系的数学。如三角函数的表达式如下：y=sinx，通过已知变量x，就可以求出因变量y。反函数则是通过已知因变量y,来求变量x。例如反三角函数表达式如下：y=Arcsinx（或可写成：x=siny），通过已知因变量y,就可以求出变量x。

若： F = A + BC那么：F" = (A + BC)" = A"(BC)" = A"(B"+ C") = A"B" + A"C"式中 F" 为F的非(逆)，也就是F的反函数。总之一个逻辑代数的表达式F或称逻辑函数的反函数F"可用逻辑代数的定理、公式、真值表获得。扩展资料：在运用反演定理时还需注意遵守以下规则：(1)仍需遵守“先括号内，后括号外，先乘后加”的运算顺序；(2)不属于单个变量上的反号应保留不变。用反演定理可以很方便地求出逻辑函数的反函数。参考资料来源：百度百科-反演定理

正弦函数的反函数为arcsinx。设y=sinx解出x=arcsiny然后再用x替换y，用y替换x。得y=arcsinx所以，sinx的正弦函数为arcsinx

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）。　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)　　【反函数的性质】　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； 　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； 　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； 　　（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 　　(5)一切隐函数具有反函数； 　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。　　（8）反函数是相互的　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）　　例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5　　y=2^x的反函数是y=log2 x　　例题：求函数3x-2的反函数　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.　　由y=3x-2解得 　　x=1/3(y+2) 　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是　　y=1/3(x+2)

这个答案都能有人赞？比如y＝-x＋k（k为任意常数），或者y＝k/x都是的

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f-1(x)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。在微积分里，f(n)(x)是用来指f的n次微分的。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。

y=tanx的反函数是y=arctanx

反正切函数：正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。反正切函数（inverse tangent）是数学术语，反三角函数之一，指函数y=tanx的反函数。计算方法：设两锐角分别为A，B，则有下列表示：若tanA=1.9/5，则 A=arctan1.9/5；若tanB=5/1.9，则B=arctan5/1.9。如果求具体的角度可以查表或使用计算机计算。由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。注意这里选取是正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的，因此，反正切函数是存在且唯一确定的。引进多值函数概念后，就可以在正切函数的整个定义域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上来考虑它的反函数，这时的反正切函数是多值的，记为 y=Arctan x，定义域是(-∞，+∞)，值域是 y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。于是，把 y=arctan x (x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2,π/2))称为反正切函数的主值，而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)称为反正切函数的通值。反正切函数在(-∞，+∞)上的图像可由区间(-π/2,π/2)上的正切曲线作关于直线 y=x 的对称变换而得到。

反函数指的是如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域，最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数，而存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

1、一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。 2、一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f-1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标 1 指的是函数幂，但不是指数幂。

反函数就相当于把y当x解

反函数定义：一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，通常为了与习惯一致，我们对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)。（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（6）反函数是相互的且具有唯一性；（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；扩展资料反函数求解步骤：①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域②由y=f(x)反解出x=f-1(y)，即把x用y表示出来③将x，y互换的：y=f-1(x)，并写出反函数的定义域例题：求f(x)=ex-1的反函数f-1(x)的解析式解：∵f(x)=ex-1，可知f(x)的值域为(-1，+∞)已知y=ex-1可得ex=y+1，即得：x=ln(y+1)∴f-1(x)=ln(x+1)，且x∈(-1，+∞)参考资料来源：百度百科-反函数

正切函数的反函数是y=arctanx，叫做反正切函数。反正切函数是反三角函数之一，指函数y=tanx的反函数。计算方法：设两锐角分别为A，B，则有下列表示：若tanA=1.9/5，则 A=arctan1.9/5；若tanB=5/1.9，则B=arctan5/1.9。如果求具体的角度可以查表或使用计算机计算。反正切函数性质：反正切函数arctanx的导数(arctanx)"=1/(1+x^2)。函数y=tanx,（x不等于kπ+π/2,k∈Z）的反函数，记作x=arctany，叫做反正切函数。其值域为（-π/2,π/2）。反正切函数是反三角函数的一种。(arcsinx)"=1/√(1-x^2)；(arccosx)"=-1/√(1-x^2)(arctanx)"=1/(1+x^2)(arccotx)"=-1/(1+x^2)。

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。例题：求y=arcsinx的导函数，反函数的导数就是原函数导数的倒数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin"y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。扩展资料：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。

反函数定义　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； 　　（2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； 　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； 　　（4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 　　(5)一切隐函数具有反函数； 　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； 　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 　　（8）反函数是相互的 　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） 　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 　　例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 　　y=2^x的反函数是y=log2 x 　　例题：求函数3x-2的反函数 　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 　　由y=3x-2解得 　　x=1/3(y+2) 　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 　　y=1/3(x+2)（x属于R） 　　（11）反函数的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F"（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]"=1F"（Y）。

一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）. 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数. (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】. （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆

反函数是y=loga^x

例如y=log a x 另y=x,x=y，就是把字母换一下位置反解，得到x=log a y，即y=a∧x，是反函数

反函数公式：y=f ^(-1)(x)。一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。反函数性质（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是｛0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是｛C}，值域为｛0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。（6）反函数是相互的且具有唯一性。（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。

正比例函数,是形如y=kx k不等于0 y比上x是定值 反比例函数. 是xy=k k不等于0

如图所示：扩展资料：一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超过一个的值上去。（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线必对所有实数k，通过且只通过一次。定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。而由于f的严格单增性，对D中任一x"<x，都有y"<y；任一x"">x，都有y"">y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。若此时x1≥x2。根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。如果f在D上严格单减，证明类似。参考资料来源：百度百科-反函数

反函数公式是x=f ^(-1)(y)。反函数求法：首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。例如y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。反函数性质（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是｛0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是｛C}，值域为｛0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

反函数定义：设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。反函数存在定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。由于f的严格单增性，对D中任一x"<x，都有y"x，都有y"">y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。反函数性质：1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；3、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

反函数 一般地,如果确定函数y=f(x)的对应f是从函数的定义域到值域上的一一对应,那么由f的“逆”对应f-1所确定的函数就叫做函数的反函数,反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域.

函数与反函数的关系：函数与反函数关于关于y=x对称。如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。反函数的性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称。（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。（7）反函数是相互的且具有唯一性。（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f"(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I}内也可导。

反函数的性质主要有：函数的定义域与值域是一一映射的；一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致等。下面我就带领大家详细盘点一下，供各位考生参考。 反函数的定义 一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。 反函数的性质 函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射等。反函数性质：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射的。 反函数和原函数之间的关系 1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。 2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。 3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。 4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。 5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。

则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）。　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)　　【反函数的性质】　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；　　（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。　　(5)一切隐函数具有反函数；　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。　　（8）反函数是相互的　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）

即1/y=(2^x+1)/2^x=1+1/2^x1/2^x=1/y-1=(1-y)/y2^x=y/(1-y)x=log2[y/(1-y)]所以反函数是y=log2[x/(1-x)]

正比例函数,是形如y=kxk不等于0y比上x是定值反比例函数.是xy=kk不等于0

反函数中原值域是现在的定义域

一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数.(板书：反函数 1.反函数的概念)二、讲解新课三、师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数中，如果当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数.师：为什么是个函数呢？生：在y允许取值范围内的任一值，按照法则→都有唯一的x与之相应.师；根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数是存在反函数的.这个反函数的解析式是怎样的呢？生：应该是.师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以写成这样改动之后，带来这样一个问题，即和是不是同一函数呢？生：是.师：能具体解释一下吗？生：从函数三要素的角度看，和具有相同的定义域和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数.师：既然是相同的，我们就把称作函数的反函数，同样，函数y=x-1 2有没有反函呢？生：有.就是.师：对.也就是说函数与函数是互为反函数的.那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数.师：能举个例子说明吗？生：如函数，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1则x=±1，因此不能构成函数，说明它没反函数.师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图１，从图中可看出给出一个y能对应两个x．缺图１通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x＋１的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义．由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容．（板书：（１）反函数的定义）（要求学生打开书第６０页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容．）为帮助学生理解定义中的描述，教师可以再以一上具体函数为例解释y=f(x)和x=j(y)之间的关系，同时应指出定义中＂如果＂二字的含义表示不是所有函数都有反函数．） 对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究．（板书：（２）对概念的理解．）师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它们之间有什么关呢？不妨以刚才的两个函数y=2x+1和为例加以研究．生：对应法则不同．师：能否说得再具体点，怎么不同？生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位．（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢．）师：还有什么联系吗？生：当的定义域和值域分别是y=2x+1的值域和定义域．师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”．把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”．在这“三反”中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”．（板书：a.“三定”，b.“三反”）师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关．由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面．当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法．师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目．例１ 求的反函数．生：（板书）解 由， 得 所以，所求反函数为（在表述上不规范之处，先暂时不追究，待例２解完之后再一起讲评．）例２ 求的反函数．生：（板书）解 由y=得又所以故 ．师：下面请同学对两个例题的表述作个评价．生：例２所求的反函数是错误的，应为 (x≥2)师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2，所以是不同的两个函数．师：为什么是(x≥2)呢？生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f(x)的值域，而f(x)的值域应为y≥2，故所求反函数应为 (x≥2)．师：说得很好．根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域．所以，要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域．那么例２的求解过程应当怎样调整呢？生：由得，又x≥1,所以．因为的值域为，所以 (x≥2)．师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例２反函数的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性．除此之外，还有什么问题吗？生：为什么没有在例１中求原来所给函数的值域呢？师：请同学们针对这个问题讨论一下．生：因为原来所给的函数的值域是y≠0，这和所求出的反函数的定义域是x≠0为结论是一致的，所以没有出错．师：此题出现的这种结论的一致性，应当说是一种偶然，而不是必然．因此，在求反函数的过程中，必须要求出原来所给函数的值域，并且在最后结果中注明反函数的定义域．那么，例１的规范书写过程应如何调整呢？生：（板书）解 由，所以，所求反函数为师：通过刚才对两个具体例子的讨论，能否总结一下求用解析式表达的函数的反函数的基本步骤呢？（板书：２．求反函数的步骤）生：首先从解析式中解出x，其次求出所给函数的值域，最后再改写为习惯的表示形式．师：把这几步用简单的几个字来概括一下：１．反解：即把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式；２．互换：既求出所给函数的值域并把它改换为反函数的定义域；３．改写：将函数写成的形式．（板书：１．反解 ２．互换 ３．改写．）师：下面通过几个练习来看看同学们是否真正理解这三个基本步骤．三、巩固练习练习 求下列函数的反函数１． （由一个学生在黑板上完成．）解 由 x=3 2y-2.又f(x)=23x+3,x∈(-∞,3)的值域为 f(x)∈(-∞,4),所以f-1(x)=32x-2,x∈(-∞,4).2.y=x2-x+1(x≥12)（由一个学生在黑板上完成，两题同时进行，其余学生在笔记本上完成，教师巡视．）解 由 y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以 x=1±4y-32,又 y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,所以，f-1(x)1±4x-32(x≥34).（待全体学生完成之后，结合黑板上学生的表述及其它学生解答中出现的问题进行讲评．）师：先看黑板上同学的表述有没有问题，请加以纠正．（一学生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以x=1±4y-32 又x≥12,所以 x=1+4y-32 又y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,故所求反函数为y=1+4x-32 (x≥34). 师：经过改正，两个题目在表述上已经没有问题了．下面结合其它同学求解中出现的一些问题，谈几点注意．（１） 求反函数的过程中必有一步是求出原来所给函数的值域．求值域的方法有很多，如果所给函数是常见函数如一次函数、二次函数等，不妨从“形”的角度求值域会比较方便直观.（２） 解关于x的一元二次方程有两个根，必须根据题目所给条件对x进行取舍，保留符合条件的唯一解.（３） 这两个题目在反函数符号的使用上是有区别的，题目给出f(x)这个符号，则反函数可以用f-1(x)来表示，否则只能用文字叙述的形式.四、小结1.反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，因此认识它应从三要素角度进行研究.2.一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的，且反函数的性质也是由原来给出的函数性质决定的.3.求反函数实际上就是办两件事，一是解一个关于自变量x的方程，二是求 一个函数的值域.

反演规则。 将原函数的的与（·）换成（＋），或（＋）换成与（·）；将原变量换为非变量（a→ā），非变量换为原变量；并将1换为0，0换为1。既得反函数。

单调行为一就行！

反函数的定义域与原函数的值域一致；值域与原函数的定义域一样对于三角函数和反三角函数：反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1(x）。反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2）y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π）

反余弦函数反余弦函数是数学上的术语。函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫做反余弦函数。记作y=arccosx。假设：y=cosx。则：x=arccosy。一般来说设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

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