到底什么是复变函数?它到底有什么作用?

如下：复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复变函数是指定义在复数域上的函数，即将复数域映射到复数域上的函数。以下是一些常见的复变函数：1. $f(z) = z^2+1$：这是一个简单的二次函数，输入为复数，输出为复数。2. $f(z) = e^z$：这里的 $e$ 是自然对数的底数，$f(z)$ 为复数 $z$ 上的指数函数。3. $f(z) = sin z$：这是复数 $z$ 上的正弦函数，其定义方式类似于实数情况下的正弦函数。4. $f(z) = frac{1}{z}$：这是复数 $z$ 上的倒数函数，它对于 $z=0$ 的情况存在极点。以上只是一些常见的例子，实际上复变函数有各种形式，包括有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。

复变函数是指定义在复平面上的函数，也就是将复数作为自变量和函数值的函数。复变函数是一个复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数。复变函数在数学中有着广泛的应用，涉及到复数解析几何、调和分析、微分方程等领域。复变函数的一些特性和概念包括：1. 复变函数可以表示为实部和虚部的和，即f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是复平面上的一个点，u(x,y)和v(x,y)是实函数。2. 复变函数的导数称为复导数，也称为导数或者导数。如果一个函数f(z)在某个点z0处可导，那么它在这个点处的导数就是一个复数。3. 复变函数有很多基本函数，如指数函数、三角函数、双曲函数等等。4. 复变函数也有调和函数的概念，调和函数是指其实部和虚部的拉普拉斯算子的和为零的函数。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.

复变函数的作用为：物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。扩展资料：复变函数发展历史1、复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。2、到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。3、为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。4、二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。参考资料来源：百度百科-复变函数

可导性。事实上，复变函数可以看做二元函数。只不过要满足CR方程。想要证明它不可导，跟高数的二元函数一样，随便取两条轨迹。证明从这两条轨迹到同一点的导数不同即可。证明它可导，最好先证明一下解析性。也就是这个函数是否满足CR方程。如果满足，再证明它的可导性。需要证明它处处可导，或者某些地方可导某些不可导。就需要放大眼睛，灵活应变。可能需要用到不仅仅是复变函数，高数知识，尤其是二元函数的可导性也要用到了。

楼上的，不会可以不回答知道吗？复变是针对点泛函，泛函是针对线，面，体，泛函，大鱼吃小鱼小鱼吃虾米

复变函数就是以复数为研究对象的函数，可以看作是高数从实数域到复数域的扩充。它的部分内容，如函数可导和解析的判定、函数积分、幂级数的展开等，与高数相应部分内容是极为相似的。但也有部分内容与高数不同。至于作用，我想主要有两个方面：一是数学理论方面的研究，二是实际应用，主要在工科方面，如电工技术、力学、自动控制、通信技术等方面。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

解：复数z0=x0+iy0，既可以表示平面直角坐标系中的点(x0,y0),也可以表示复平面的向量z0(x0+iy0)。故，圆心为(x0,y0)、半径为R的圆的参数方程等价的复数形式为：z=z0+Re^(it)(t∈[0,2π])。供参考啊。

方法建议：（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与xy坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy积分公式。这个是复分析的第一个重要定理。（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和零点极点的性质。与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor级数和Laurent级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela定理。（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann映照定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究Mobius 变换的保角和交比之类的性质。（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass理论，是研究Weierstrass函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。

解：用欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx，有cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2，sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)。∴sini=[e^(-1)-e]/(2i)=i(e-1/e)/2=isinh1。同理，cosi=cosh1∴cos(1+i)=cos1cosi-sin1sini=cos1cosh1-isin1sinh1。供参考。

本书遵循普通高等学校工科本科《复变函数课程教学基本要求》，按照新形势下教材改革精神，结合编者长期的教学改革实践编写而成，较全面、系统地介绍了复变函数的基础知识．全书共7章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、留数及其应用和共形映射等，最后一章是复变函数实验，讨论怎样用计算机软件去解决复变函数中的问题．每章配有适量习题和补充题供读者选用，书末附有习题答案与提示．本书可作为普通高等学校工科本科各专业的复变函数课程的教材，也可供工程技术人员、报考研究生的读者参考．

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

四者的都通过指数函数e^z来定义的。e^z=f(x,y)=e^x*(cosy+isiny)。这里面x和y分别为z的实部和虚部。这样一来就通过实指数函数和实三角函数定义了复指数函数。接下来就用复指数函数定义这四个函数。cos z=[e^(iz)+e^(-iz)]/2;sin z=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i;ch z=[e^z+e^(-z)]/2;sh z=[e^(z)-e^(-z)]/2

根据v的表达式得到其对y的偏导数为vy=-2；根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。上式对y求导，得到uy=C"(y)；另外，根据v的表达式，对x的偏导数为vx=4x+1，根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即C"(y)=4x+1.这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

前一个积分可化为（用z（z共轭）=|z|²=4）这个积分在n=0时=8πi，在n≠0时=0后一个积分即当n=2时，=2πi，当n≠2时=0，所以要让他们相等n≠0且n≠2

　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[编辑本段]复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

如图所示

与实变函数的定义完全相同。首先具有奇偶性的函数，它的定义域一定是关于原点中心对称的。在此基础上，如果f(-z)=-f(z),那么称f(z)为奇函数。如果f(-z)=f(z)，那么称f(z)为偶函数。

用留数定理，tanz=sinz/cosz 在 IzI=2内有两个一级极点 z=π/2 和 z=-π/2，则积分结果为-4πi。

所谓的“像”就是函数值或者值域 w=u+iv=z^2+iz=(x^2-y^2)+2xyi+i(x+iy)=(x^2-y^2-y)+i(2xy+x) u=x^2-y^2-y,v=2xy+x (1)对于z=2-i,有w=4-2i (2)对于曲线z=t^2+2it(其中t是实数)，有x=Re(z)=y^2/4=Im(z)^2/4 所以w=(y^4/16-y^2-y)+i(y^3/2+y^2/4) 那么u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4 所以曲线在W的像为{(u,v)|u=y^4/16-y^2-y,v=y^3/2+y^2/4,y∈R} [注：其实把u写成v的函数或者倒过来，在这个题是不可行的，因为u和v都是关于y的高次函数(方程)，而且函数不是单调的，所以用u或者v来表示y都是不可行的] (3)闭区域D={x+yi|0≤y≤sqrt(1-x^2),x∈R}={re^it|0≤r≤1,0≤t≤π} 所以其在W中的像为 {x+yi|x=r^2*cos2t-rsint,y=r^2*sin2t+rcost,0≤r≤1,0≤t≤π} 目测也不能再化简了

复变函数中求积分的方法有哪些1、柯西积分定理；2、柯西积分公式；3、高阶导数公式；4、复合闭路定理；5、留数定理（留数的计算可以用定理或洛朗展开），这个方法是最重要的，柯西积分公式和高阶导数公式其实都是留数定理的特例。 希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

区间变换不对，指数化成三角函数，涉及到虚数，在(-2,2)内单调性并不好判断，你试试以角度作为被积参数用三角函数代替试试看

根据分式线性变换保对称点性f（-i）=∞，可将f（z）表为：代入z=0，得|f（z）|=2，由于f（z）将边界变为边界，且z=0是上半平面边界上的点，故R=|f（z）|=2

如图所示：

Arg(z)表示复数z的幅角，它有无穷多个值，任两个值的差是2π的整数倍。arg(z)则表示复数z幅角的主值，复数幅角主值的范围的规定各种书上不尽一致，有的规定是[0，2π）。必须指出，只要是复数z的某一个幅角值（即使不是主值）也可以用arg(z)表示。arg(z)与Arg(z)之间的关系是：Arg(z)=arg(z)+2kπ（k为整数）。 z=x+iy 复数的指数函数定义为e^z=e^x(cosy+isiny），|e^z|它是求复数的模的问题，可以证明出来的是|e^z|=|e^(x+iy)|=|e^x(cosy+isiny)|=|e^x|*|cosy+isiny|=e^x*1=e^x。其中乘号右边复数的模|cosy+isiny|=√(cosy^2+siny^2)=1

如果f(z)可导，那么f(z)就是"解析函数"所以判断一个复变函数是否解析当然就是用复变函数导数的定义去判断这个函数是否可导。还有一种方法，就是根据解析函数的充分必要条件:设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)，那么f(z)解析的充分必要条件为:1.u和v可微。2.u和v满足柯西黎曼关系。

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分(1)这是形式上的变换向左转|向右转上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程向左转|向右转那么上式就可以化为定积分向左转|向右转当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导另外当然第二型曲线积分可以化为第一形曲线积分，这一点不作深入讨论如果要问积分的意义是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运动的物体所做的功把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解(2)向左转|向右转向左转|向右转这里△zk可以看作曲线C的一个小段，那么f(zk)是该段曲线上一点的“复线密度”，因此积分的结果可以看作整段曲线的“复质量”(3)如果积分是平面积分或者多重积分，那么通常是关于实变量的积分，这时就可以看作实部虚部分别积分即可

cr方程是复变函数可导的条件：一阶偏导数存在且连续且满足柯西黎曼条件。设f（x），g（x）是两个可导的函数，来证明f（g（x））可导。有lim［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δx=lim{［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δt}（Δt/Δx）［就是分子分母同时乘以Δt］。limΔt/Δx=lim［g（x+Δx）-g（x）］/Δx=g"（x），lim{［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δt}=f"（t），其中t=g（x）。上述两个极限存在，所以极限lim［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δx=lim{［f（g（x+Δx）-f（g（x））］/Δt}（Δt/Δx）存在，也就是f（g（x））可导，且按上述推导过程可知［f（g（x））］"=f"（t）g"（x）=f"（g（x））g"（x），即复合函数的求导法则。内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

一般将单变量复变函数简称为复变函数，而多变量复变函数称为多复变函数，复变函数常用的记号是w＝f（z）。从几何的角度看，复变函数是复平面上的

不知道是多少次去看这书了，可惜每一次都不得不暂时放手，不能坚持看完。 复变函数是很神奇的一个领域，总有人说它很简单，那估计是为了考试吧，因为相比于实数域内的函数及其微积分，复数域确实十分的神秘而微妙。 通常的数系的拓展不过是将点取得更密一些，从自然数，到整数，比例数，实数，它们的发展逃脱不出这个实数线，并没有本质的变化，但是，复数需要一个平面来表示，将数的维度由一维升为了二维，这是非常奇怪的事，但是又合情合理，既然实数可以把数从孤立的点拓展为连续的线，那复数将这条线给拓展为一个面又有什么不合适的呢？ 然后是复数的代表运算，加法和乘法，加法是独立分量的运算，乘法也是独立分量的运算，但是它们采用的独立分量是不一致的，加法对应的是笛卡尔坐标的虚实轴，乘法对应的是极坐标的半径和角度，这两种坐标之间又具有联系，所以各自的独立性却导致了相互的联系性。这里，我感觉加法和乘法恐怕不是复数的本质运算，应该有某一种或几种更加精妙的运算可以实现真正的独立运算。就像张量之于具体坐标，一个是本质，一个是表象。显然，目前的加与乘是表象。 其实，上面这个问题可能是比较深刻的，即使在整数范围内，加法和乘法是否就是真的独立的呢？这个问题与世界难题abc猜想有关。 不过，这里更多的是关于二维数的问题，二维就应该可以表示为两个独立分量，就像向量一般，泾渭分明，互不干扰，但是，复数的乘法却在破坏这种独立性。虽然有人将复数的代数结构同构于二维对称矩阵的代数结构，不过，这真的是复数的本质吗？因为我并没有看相关的研究，所以也不能评价它的对错。假如真的是这样的同构，那估计也是局限在代数上，对于分析上的结果可能是无法继承的，不然的话，就产生了一个新的研究领域了。 什么是解析函数，如何判断，这些问题看书就能知道了。但是，解析函数是什么呢？我们都知道，实变函数是一个图像，总可以实际的或者示意的画出来，称之为函数的图像。看到一个图像，可以很容易的得到很多信息，这个函数的许多性质都可以从图中不费力的得到。 可是，复变函数画不出来，或者说很难在一幅图中画出来，有人采用模值与幅角的方法，模值为数值，幅角为颜色。实话说，这并不高明，而且很难去理解，颜色已经被附加上了特定含义，也就是等高线，用它去表示角度，实在是让人费解。但是把幅角作为数值就更让人难以理解了，因为它是一个周期量，表示在直线轴上更加难以理解了。 就因为图像画不出来，就导致复变函数的许多性质变得难以理解。像是处处不解析的函数，这就像处处不可导的函数一样难以想象。甚至更加难以想象，即使是性质良好的解析函数，也有许多看起来很古怪的性质，平均值定理，解析函数在某点的值等于以他为圆心，任意圆周上的值的平均值，由此得到最大模定理，函数模值的最大值不会出现在区域中，而应该在区域的边界上。对于解析区域为整个复平面的整函数而言，意味着函数的最大模值一定出现在无穷远处。 如果解析函数的图像可以画出，对于平均值定理而言，围绕任一点所做的一组同心圆看起来总是相对于圆心的值而振荡，对于圆心值的一个微小的修改都将导致无穷多的点随之变化。这是很神奇的事情，说明解析函数不可能对局部连续形变而其余部分保持不变，似乎暗示了解析函数保解析变换的依赖性和不连续性，就像量子化假设一般，只能取整体的某些分立值。 最大模定理姑且还是可以画出的，因为只涉及到了模值，可以画成三维空间的曲面，也就是二元函数的图像。指数函数与正弦函数，都是整函数，所以模值最大点在无穷远。单奇点的解析函数，模值最大出现在奇点处，也就是解析域的边界上。 至少在模值性质方面还是可以直观的看到。也算是一些安慰。 为什么图像无法画出？复平面也不过是一个平面而已，即使再怎么弯曲，扭转，拉伸至少在三维空间中还是可以表示的。可惜，这样表示出的曲面只依赖于单个参数，复数有着两个参数，于是，就不得不加入时间维度，变为随时间变化的二维曲面。 这其实也反映了复数强大的应用场景，表示一个时变的二维场。不管它是流场，电场，还是温度场。可是，总是还是让人遗憾的，如果现实是四维的就好了，那将会是多么精彩的世界。 微积分互相联系是已经广为人知，所谓的牛顿莱布尼兹公式，高斯公式，斯托克斯定理或者说是外微分的斯托克斯公式，表现在物理中是区域无源漏的连续性方程。 但是，解析函数给出了另一种联系，围绕某点的奇点积分，与该点的导数值的关系，这是更进一步的联系，毕竟前面的那些定理公式是绝不允许内部有奇点存在的。 零点与奇点本身就是复变函数中占比极重的内容，失去了奇点，那整个理论就变得干瘪而无聊。无非就是实数理论的平凡推广罢了。正是奇点的存在使得它变得神秘而微妙。奇点是不符合定义的点，是无视规则的点，是规则的边界，也就是解析函数的边界。许许多多的定理都表明了，解析函数内部其实空空如也，没有什么出彩的定理，是一个完美而无趣的天堂。反而是边界上有些各种奇妙性质。像之前提及的平均值定理，最大模定理，还有柯西积分公式，洛朗级数。绕奇点转一圈和转很多圈可能有些本质区别，也可能没有区别，这就导致了奇点的分类。虚假的奇点，极点和本质奇点。 奇点，在我看来就是平整表面上的凹坑，光线照到凹坑之外的地方，得到的是完美的反射光，然而，一旦接近这些凹坑，反射光就变得弯曲起来，性质变得十分的奇怪，随着进一步接近，甚至于包围了这个凹坑，形成了一个光圈，解析函数和光毕竟还是有所差别的，但是当积分路径靠近奇点时就不得不避开他，变得弯曲，假使不小心包住了，那麻烦就大了，积分值就变得很奇怪，要么是增加了某个特定值的整数倍，要么直接变成了发散的结果。 尽管，这些结果都可以通过理论得到一个数值上的原因，但这是远远不够的，数学如果不能应用于现实中，也只是一种美学，因人而异，而如果可以用来解释现实世界，就成为了强有力的逻辑支撑，以至于所有人都应该去理解它。 现实中的奇点，最出名的就是宇宙中的黑洞，它破坏了整个宇宙的平整，还有许多其他的奇点，比如，水池中的漏孔，光滑表面上的凹坑，围绕着奇点总会出现旋转的现象，似乎有什么东西在源源不断的被吸入奇点中。这种说法也是很有道理的，一般来说，这个点总可以将东西全部吸入，然后随着物质的消失而隐匿起来，不过，如果物质在不断的得到补充，那就能维持着微妙的平衡，复变函数中的奇点就是这种维持着的奇点，它不会把函数值吸进去，而仅仅保持着自身的存在。 从这个角度看的话，奇点就是一个漏孔，围绕这个漏孔会导致一个旋量，这个旋量才是导致积分值变化的元凶。不过，这样一来奇点就变得不够神秘了，变成了一个随处可见的存在，就像随处可见的漩涡一样。不过，本来就是一个普遍存在的东西，不过人们总是忽略它罢了。

要写成指数的形式，就要先把模和辐角算出来：r=sqrt([-sqrt(24)]^2+(-2)^2)=sqrt(28)=2*sqrt(7)，辐角Θ=arctan((-2)/(-sqrt(24)))=arctan(1/sqrt(6))，所以指数形式为re^iΘ=2*sqrt(7)*exp(i*arctan(1/sqrt(6)))。

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如下：复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

1、以复数作为自变量的函数就叫做复变函数。 2、复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 3、复变数复值函数的简称.设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z,通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应,就说在复数集A上定义了一个复变函数,记为w=?(z).这个记号表示,?(z)是z通过规则?而确定的复数.如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=?(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=?(z)就对应着一对两个实变数的实值函数.除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z,有且仅有一个w与之对应。

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w＝u+iv,那么复变函数w＝ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=�0�6(z)。这个记号表示,�0�6(z)是z通过规则�0�6而确定的复数。如果记z=x+iy,w＝u+iv,那么复变函数w＝�0�6(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=�0�6(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=??(z)。这个记号表示,??(z)是z通过规则??而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=??(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=??(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。

复变函数是定义域为复数集合的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，自2002年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。2002年，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

自变量是复数，并且对应的函数值也是复数的函数，就是复变函数。常用的初等函数（一次函数、二次函数、……等等）都是一样的，别的就不然了。例如，三角函数sin(ix)=(i/2)[e^x-e^(-x)],……复变函数在日常生活、工作、生产上没有什么用处，但是在电学、流体力学上有重要的应用。

大多数的物理问题在实函数的范围内可以得到准确的描述了。但是如果使用复变函数。问题会变得简单。你如果知道复变函数中的留数定理就明白了。实函数下一个积分需要计算半天。使用留数定理只需要你看一眼就可以了。复变函数在描述波动，描述交流电。描述原子结构中都具有很大的优越性。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，这些年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。复变函数的主要研究对象是解析函数，包括单值函数、多值函数以及几何理论三大部分。在悠久的历史进程中，经过许多学者的努力，使得复变函数论获得了巨大发展，并且形成了一些专门的研究领域。单值函数中最基本的两类函数是整函数和亚纯函数，它们分别是多项式和有理函数的发展。外尔斯特拉斯将多项式的因式分解定理推广到整函数，而G.米塔-列夫勒则将有理函数分解为部分分式的定理推广到亚纯函数。(C.-)é.皮卡、(F.-é.-J.-) é.波莱尔等进一步发现了整函数的取值与多项式的取值之间有着很大的相似性。在此基础上，1925年R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响。它和复变函数论的其他领域也存在着密切联系。例如，1973年A.伯恩斯坦应用实变函数的思想引进T^*函数，它在值分布论的亏量问题、整函数的最小模问题以及单叶函数的研究中都发挥了显著效用。关于多值函数的研究主要是围绕着黎曼曲面及单值化的问题来进行的。1913年（C.H.）H.外尔在其经典著作《黎曼曲面概念》中首先给出了抽象黎曼曲面的定义，它是流形这个现代数学基本概念的雏形。黎曼曲面的研究不仅使自身形成了完美的理论，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单、明了的模型。在复变函数的应用上，共形映射具有重要的地位。H.E.茹科夫斯基通过共形映射研究绕机翼的流动便是著名的例子。实际应用中，常常要借助近似方法具体地构造出映射函数。这方面有不少研究工作。当然，有时并不需要知道具体的映射函数，只是应用其几何性质。这就推动了复变函数几何理论的发展。单叶函数的研究是复变函数几何理论的一个重要组成部分，特别是1916年L.比伯巴赫提出的单位圆内形如式(4)的单叶解析函数应有 |αn|≤n的猜测引起了许多学者的注意。近70年来，围绕着比伯巴赫猜想曾有不少研究工作，但是直到1984年，布朗基才完全证实了这个猜想。证明中主要应用了莱伯德－米林的工作，C.勒夫纳的参数表示法以及关于雅可比多项式的结果。柯西－黎曼方程表明了解析函数与椭圆型偏微分方程组之间的联系，20世纪50年代以来L.伯斯，И.Η.韦夸等考虑较为一般的椭圆型偏微分方程组，并引入广义解析函数的概念。解析函数决定的映射为共形映射，它把无穷小圆映为无穷小圆；而广义解析函数则决定了拟共形映射，它把无穷小圆映为无穷小椭圆。L.V.阿尔福斯，М.Α.拉夫连季耶夫为拟共形映射的理论奠定了基础。解析函数虽然在区域内部有很好的性质，但是当自变量z趋向于边界时，函数的变化情况常常十分复杂。关于这方面的研究就形成了一个专门的领域，称为解析函数边界性质。经典的结果有法图定理，Η.Η.卢津和И.И.普里瓦洛夫在这方面也有系统的研究。出现了聚集合的概念，进一步将研究引向深入。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

（1）曲线积分的上下限表示了曲线的方向α是起点，β是终点颠倒的话，曲线方向相反得到的结果与上面互为相反数（2）复函数的积分是曲线积分（3）

是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数起源： 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。 内容： 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

这个非常重要，对孩子影响特别大，所以必须重|视|起来。复变函数也研究多值函数，L曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做L曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值支和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的L曲面，那么，函数在L曲面上就变成单值函数。L曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于L曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

z=(1+i)/(1-i)=i，z^{100}+z^{75}+z^{50}=-if(z)=z^2ln z，f"(z)=2zln z+z，f"(0)=01-e^{-z}=0，-z=i2kpi，z=-2ikpi曲线参数方程为：x=t^2，y=t，0<=t<=1int_Czdz=int_0^1(t^2+it)d(t^2+it)=int_0^1(t^2+it)(2t+i)dt=int_0^1(2t^3-t+3t^2i)dt=i

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。