极值

稳定点和极值点的关系如下：极值点和驻点的关系：驻点是f"(x)=0的点是极值点。原函数在x=0点导数不为0，不是驻点。因此极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点。极值点既可导也可不导，极值点可导的情况是驻点，不可导的情况可以是尖点或角点。而驻点根据其概念，只要一阶导数为0就可以了，也不是说一定是极值点。极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题：函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定会达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，那么这个内点就一定是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。在微积分，驻点又称为平稳点、稳定点或临界点是函数的一阶导数为零，即在这一点，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。

极值点一定不是拐点吗?答：不对的，是不一定是。极值点一定是拐点。极值点大部分时候都不是拐点,或者说很少有极值点是拐点的情况。极值是一个函数的极大值或极小值。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径r1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径r2，用r1与r2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△p=p1-p2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：　　上面的方程常常简写作：　　或　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：　　其中δ称为拉普拉斯算子.　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。　　如果等号右边是一个给定的函数f(x,y,z)，即：　　则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是laplaceoperator或简称作laplacian。　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域d内定义的函数φ，使得在d的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域d边界处的温度函数φ本身，而是φ沿d的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。　　在流场中的应用　　设u、v分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x和y方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：　　无旋条件为：　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：　　无旋条件即令ψ满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。柯西-黎曼方程要求　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

驻点极值点是x轴上的点，拐点是曲线上的点。驻点 是使一阶导为0的点，驻点及一阶导不存在的点有可能是极值点，二阶导为0的点及二阶导不存在的点有可能是拐点。

一、位置不同：驻点极值点是x轴上的点，拐点是曲线上的点。驻点及一阶导不存在的点有可能是极值点。二阶导为0的点及二阶导不存在的点有可能是拐点。二、作用不同：拐点可能是二阶导数为0或二阶导数不存在的点。求出所有二阶导数为0或不存在点，再进一步分析。极值点可能是一阶导数为0的点，也可能是一阶导数不存在的点。所以求极值点的时候，找出所有一阶导数为0的点和不可导点。对这些点进行进一步的分析。驻点是f"(x)=0的点是极值点；原函数在x=0点导数不为0，不是驻点。算法：单变量函数的极值求法a. 求导数f"(x);b. 求方程的根f"(x)=0的根；c. 检查f"(x)在函数图象左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。特别注意：f"(x)无意义的点也要讨论，即可先求出f"(x)=0的根和f"(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。 例如：f(x)=|X|在x=0 在的导数是不存在的。以上内容参考来源：百度百科-极值点

极值点偏移，就是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。如果极值点左侧的增减速度快于右侧，则极值点左偏，反之，则极值点右偏。极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题当中，这类题往往思维要求较高，过程较为繁琐，计算量较大，具有相当的难度，因此常常令考生望而生畏。解决极值点偏移问题，构造对称函数和利用对数平均不等式是两种典型的方法，二者各有千秋，独具特色。对数平均不等式：我们已经学习过算术平均数，几何平均数，调和平均数和平方平均数，由这些平均数之间构成的大小关系称之为均值不等式，而今天我们介绍的对数平均数不外乎是一种新的平均数，它是均值不等式中的一环而已。对数平均不等式也称之为”A-L-G“不等式，它是均值不等式的加强版，其放缩功能更加精细，因此在高考压轴题中具有强大功效。

拉格朗日乘数法一般用于条件极值问题…… 课本上说：它可以推广到自变量多于两个及等式约束条件多于一个的情况 其实四元完全是可能的也就是列出4个关于自变量的方程,和3个关于拉格朗日乘数的方程,理论上是绝对可以求出的,只是过程繁琐些罢了（当然在实际问题中很少见4元的,因为一般三维的空间里要有抽象变量才会出现4元……）

步骤如下：1、首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件。2、然后列出拉格朗日辅助函数 。3、求出拉格朗日辅助函数对的偏导数，并使之为零。4、然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点。5、最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值。在“拉格朗日求极值”的已知条件中设置附加条件，寻找附加条件下的可能极值点；由附加条件下的可能极值点推算出极值点的偏导数；联立偏导数构成的方程组，解出驻点即可。“拉格朗日求极值”也叫“拉格朗日乘数法”，它是一个变量的方程组的求极值方法。技巧是死的，人是活的，在解题中要灵活的运用技巧。选择合适的技巧和方法尤为重要，而如何合适选择，则要根据自己的经验来确定。因此如果这块比较薄弱，那么建议多做这块的题，然后结合本篇文章再进行归纳和总结，生成自己的经验与技巧。解题时，有可能会出现增解的情况，例如技巧一中的情况。所以平时解出极值点之后，建议再带点到每个方程中演算一下。这样也能检查自己的结果是否正确，是一个比较好的习惯。暑假接近尾声。后半程的复习，就不光是要求速度，还要要求质量，做好针对基础和题目的查漏补缺工作，才是解题能力提升的最坚实阶梯。