傅里叶变换

对偶性是傅里叶变换理论中的一个重要性质，它可以通过交换时域和频域的角色，将一种信号的傅里叶变换转换为另一种信号的傅里叶变换。根据对偶性，我们可以利用已知函数的傅里叶变换求解另一个函数的傅里叶变换。下面分别对题目中的两个函数进行求解。(1) 由对偶性可知，函数的傅里叶变换为：F(ω) = 2πδ(ω/a) ，其中δ(ω)表示狄拉克δ函数。因此，该函数的傅里叶逆变换为：f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^jωt dω= (1/2π) ∫ 2πδ(ω/a) e^jωt dω= (1/a) e^(-jat/2) ，其中 j是虚数单位。(2) 对于函数f(t) = e^(-at^2) ，根据傅里叶变换的定义式，我们有：F(ω) = ∫ f(t) e^(-jωt) dt= ∫ e^(-at^2) e^(-jωt) dt根据高斯积分的结论，我们可以将上式化为一个新的高斯函数：F(ω) = (1/2√a) ∫ e^(-(t+jω/2√a)^2) dt= (1/2√a) √π e^(-ω^2/4a) ，其中π表示圆周率。因此，该函数的傅里叶逆变换为：f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^(jωt) dω= (1/2π) ∫ (1/2√a) √π e^(-ω^2/4a) e^(jωt) dω= (1/4√πa) ∫ e^(-(ω-2at)^2/4a) d(ω-2at)= (1/2√a) e^(-a^2t^2) ，其中π表示圆周率。因此，根据对偶性原理，函数f(t) = e^(-at^2) 的傅里叶变换为F(ω) = (1/2√a) e^(-ω^2/4a) ，而函数f(t) = x^2 + 10x + 32 的傅里叶变换则可以通过对偶性和线性性质等方法来求解

单位阶跃函数 u(t) 可以写成常数1和符号函数的和除以2。 （见图。）u(t)={1+ sgn(t)}/2常数1的傅里叶变换是纯实的， 等于2πδ（w）。符号函数的定义是：sgn(t)=1, 当 t>=0; =-1 当 t<0.它是一奇函数。奇函数的傅里叶变换是纯虚的， 等于2(1/jw) 。所以： u(t)={1+ sgn(t)}/2 的傅里叶变换 = (2πδ(w)+ 2(1/jw))/2 = πδ(w)+ (1/jw)

直接按照傅里叶变换的定义求解就行了，1的傅里叶变换等于负无穷到正无穷对e^(-iwt)关于t积分，e^(-iwt)=coswt+isinwt，因为虚部为奇函数，所以对称区间上积分结果为0，只剩下了对coswt在负无穷到正无穷关于t的积分的积分，这是经典的冲激函数的例子，结果等于2πδ(w)，所以3的傅里叶变换等于6πδ(w)

因为：在阶跃函数的傅里叶变换中存在πδ（ω）冲击函数，这个函数是由于阶跃函数中存在直流分量导致的。直流电的频率ω=0，恰好对应δ（ω）函数在频率ω=0处存在的脉冲。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：F（ω）=∫（∞，-∞）f（t）e^（-iωt）dtf（t）=（1/2π）∫（∞，-∞）F（ω）e^（iωt）dω。令：f（t）=δ（t）∫（∞，-∞）δ（t）e^（-iωt）dt=1而上式的反变换：（1/2π）∫（∞，-∞）1e^（iωt）dt=δ（t）//：Diracδ（t）函数；从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ（t）。从傅里叶积分变换角度看第二种定义来得更自然，它正好可以用“符号函数与1之和”再除2来定义，而且计算逆傅里叶变换时我们必须用到这个定义。如果考虑半域问题，例如Laplace积分变换，即可以采用第一种定义，也可以采用第三种定义或 H(x) = 1/2(1+sgn(x))。

1、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。 2、离散傅里叶变换的变换对：对于N点序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号表示这一变换，即离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：可以记为：实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成。

1，δ(t)函数的傅里叶变换等于常数；反过来常数的傅里叶变换等于δ(t)函数，它们之间的变换关系具有对称性。2，傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。3，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。定义介绍：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛。和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

在地球物理数据处理中，经常遇到处理二维实数据的情况。例如在地震勘探中，对面波勘探数据作频散分析解释时，要将时间－空间域的信息转换为频率－波数域频谱；在重磁异常的滤波或转换中，要将空间域的异常f（x，y）转换为波数域F（ω，υ）等。这些分析都需要进行二维的傅里叶变换（FFT）。根据傅里叶变换的定义，对于连续二维函数f（x，y），其傅里叶变换对为地球物理数据处理基础对于离散的二维序列fjk（j＝0，1，…，M－1；k＝0，1，…，N－1），其傅里叶变换为地球物理数据处理基础1.二维复序列的FFT算法对于M条测线，每条测线N个测点，构成复序列yjk（j＝0，1，…，M－1；k＝0，1，…，N－1），根据离散傅里叶公式（8－41），其傅里叶变换为地球物理数据处理基础于是，可以分两步套用一维复FFT完成二维复FFT的计算。（1）沿测线方向计算对于j＝0，1，…，M－1逐测线套用一维复FFT，执行式（8－43）。定义复数组 则算法为1）对于j＝0，1，…，M－1，作2）～7）；2）将yjk输入A1（k），即A1（k）＝yjk（k＝0，1，…，N－1）；3）计算Wr，存入W（r），即 4）q＝1，2，…，p（p＝log2N），若q为偶数执行6），否则执行5）；5）k＝0，1，2，…，（2p－q－1）和n＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作A2（k2q＋n）＝A1（k2q－1＋n）＋A1（k2q－1＋n＋2p－1）A2（k2q＋n＋2q－1）＝［A1（k2q－1＋n）－A1（k2q－1＋n＋2p－1）］·W（k2q－1）至k，n循环结束；6）k＝0，1，2，…，（2p－q－1）和n＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作A1（k2q＋n）＝A2（k2q－1＋n）＋A2（k2q－1＋n＋2p－1）A1（k2q＋n＋2q－1）＝［A2（k2q－1＋n）－A2（k2q－1＋n＋2p－1）］·W（k2q－1）至k，n循环结束；7）q循环结束，若p为偶数，将A1（n）输入到Yjn，否则将A2（n）输入到Yjn（n＝0，1，…，N－1）；8）j循环结束，得到Yjn（j＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）。（2）垂直测线方向计算对于n＝0，1，…，N－1逐一套用一维复FFT，执行式（8－44）。即1）对于n＝0，1，…，N－1，作2）～7）；2）将Yjn输入A1（j），即A1（j）＝Yjn（j＝0，1，…，M－1）；3）计算Wr存入W（r），即 4）q＝1，2，…，p（p＝log2M），若q为偶数执行6），否则执行5）；5）j＝0，1，2，…，（2p－q－1）和m＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作A2（j2q＋m）＝A1（j2q－1＋m）＋A1（j2q－1＋m＋2p－1）A2（j2q＋m＋2q－1）＝［A1（j2q－1＋m）－A1（j2q－1＋m＋2p－1）］·W（j2q－1）至j，m循环结束；6）j＝0，1，2，…，（2p－q－1）和m＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作 A1（j2q＋m）＝A2（j2q－1＋m）＋A2（j2q－1＋m＋2p－1） A1（j2q＋m＋2q－1）＝［A2（j2q－1＋m）－A2（j2q－1＋m＋2p－1）］·W（j2q－1）至j，m循环结束；7）q循环结束，若p为偶数，将A1（m）输入到Ymn，否则将A2（m）输入到Ymn（m＝0，1，…，M－1）；8）n循环结束，得到二维复序列的傅氏变换Ymn（m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1），所求得的Ymn是复数值，可以写为Ymn＝Rmn＋iImn （m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）其中，Rmn，Imn的值也是已知的。2.二维实序列的FFT算法对于二维的实序列，我们把其看作是虚部为零的复序列，套用上述的二维复序列FFT方法来求其频谱算法上也是可行的，但势必会增加大量的无功运算。因此，有必要研究二维实序列FFT的实用算法，同一维实序列FFT的实现思路一样，同样把二维实序列按一定的规律构造成二维复序列，调用二维复序列FFT，然后通过分离和加工得到原实序列的频谱。例如采样区域有2 M条测线，每条测线有N个点，并且M，N都是2的整数幂，需要计算实样本序列xjk（j＝0，1，2，…，2 M－1；k＝0，1，2，…，N－1）的傅氏变换：地球物理数据处理基础类似于一维实序列FFT的思想，直接建立下面的二维实序列FFT算法：（1）将一个二维实序列按偶、奇线号分为两个二维子实序列，分别作为实部和虚部组合为一个二维复序列。即令地球物理数据处理基础（2）调用二维复FFT过程，求出yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：地球物理数据处理基础式中：Rmn，Imn是Ymn的实部和虚部。（3）利用Rmn，Imn换算Xmn的值。前两步容易实现，下面分析第（3）步的实现。记hjk，gjk的傅氏变换为Hmn，Gmn。根据傅里叶变换的定义，我们导出Xmn与Hmn，Gmn的关系式：地球物理数据处理基础式中，Hmn，Gmn为复数，我们用上标r和i表示其实部和虚部，将上式右端实部、虚部分离地球物理数据处理基础其中：地球物理数据处理基础下面的任务是将Hmn，Gmn各分量与通过二维复FFT求出的Rmn，Imn值联系起来。为此先给出奇、偶分解性质和类似于一维情况的三个二维傅氏变换性质：（1）奇偶分解性任何一个正负对称区间定义的函数，均可唯一地分解为如下偶（even）、奇（odd）函数之和：地球物理数据处理基础（2）周期性地球物理数据处理基础（3）复共轭性地球物理数据处理基础现在我们来建立Rmn，Imn与Hmn，Gmn的关系。对Ymn作奇偶分解：地球物理数据处理基础根据线性性质地球物理数据处理基础对照式（8－54）和式（8－55），得地球物理数据处理基础由于hjk，gjk是实函数，根据复共轭性质，上面两式对应的奇偶函数相等。即地球物理数据处理基础再由奇偶分解性和周期性，得地球物理数据处理基础将式（8－57）代入式（8－50），得地球物理数据处理基础再利用Hmn，Gmn周期性及复共轭性，可以得到m＝M/2＋1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1的傅氏变换，即地球物理数据处理基础将式（8－50）中M，N改为M－m，N－n，并将上式代入，得地球物理数据处理基础由式（8－58）、式（8－59）和式（8－61）即可得到原始序列xjk（j＝0，1，…，2M－1；n＝0，1，…，N－1）在m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1区间的傅氏变换Xmn。具体二维实序列的FFT算法如下：（1）令hjk＝x2j，k，gjk＝x2j＋1，k，形成yjk＝hjk＋igjk （j＝0，1，…，2 M－1；n＝0，1，…，N－1）（2）调用二维复序列FFT过程，即从两个方向先后调用一维复FFT算法式（8－43）和式（8－44），求得yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：Ymn＝Rmn＋iImn （m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）（3）用下列公式由Rmn，Imn的值换算Xmn的值：地球物理数据处理基础地球物理数据处理基础

第一，从定义式上看，积分号里含有复数，积分结果是复数；第二，从傅立叶变换的物理意义上看：FT变换是将一个信号分解为多个信号之和的形式，并且是正弦或余弦信号叠加的形式；我们知道，决定一个正弦波的是其振幅和相位，二者缺一不可；而实数只能表示振幅或者相位，而复数是二维平面上的，可以同时表示振幅和相位，所以用复数表示。频谱是复数形式，可以分解为振幅谱和相位谱，它们是实数形式。答题不易，望采纳！

设函数 f(x) 的傅里叶变换为 F(k)，则根据傅里叶变换的线性性质有：傅里叶变换 { (t-2) f(x) } = F ` (k)，其中 F ` (k) 表示 F(k) 的导函数。根据傅里叶变换的定义，函数 F(k) 的表达式为：F(k) = ∫ f(x) e^(-ikx) dx对 F(k) 求导，则有：F ` (k) = -i ∫ x f(x) e^(-ikx) dx将表达式 (t-2) f(x) 代入上式，得：F ` (k) = -i ∫ x (t-2) f(t) e^(-ikx) dx再将积分中的 t 替换为 x：F ` (k) = -i ∫ x (x-2) f(x) e^(-ikx) dx因此，(t-2) f(x) 的傅里叶变换为：F ` (k) = -i ∫ x (x-2) f(x) e^(-ikx) dx。

1，δ(t)函数的傅里叶变换等于常数；反过来常数的傅里叶变换等于δ(t)函数，它们之间的变换关系具有对称性。2，傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。3，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。定义介绍：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛。和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

好的，我来帮你解答这道傅里叶变换的题目。首先，题目给出的函数是：f(x) = [1/2 + (m/2)cos(2πfx)]rect(x/a)其中，rect(x/a)是矩形函数，表示在区间[-a/2, a/2]内的值为1，其他区间内的值为0。接下来，我们需要计算这个函数的傅里叶变换。根据傅里叶变换的定义，可以得到：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，ω是角频率，e^(-iωx)是欧拉公式中的指数项。将题目中给出的函数代入上式，可以得到：F(ω) = ∫[1/2 + (m/2)cos(2πfx)]rect(x/a) e^(-iωx)dx我们可以利用矩形函数的性质将积分范围缩小到[-a/2, a/2]，即：F(ω) = ∫(1/2 + (m/2)cos(2πfx))e^(-iωx)dx，积分范围从-a/2到a/2接下来，我们可以利用欧拉公式展开cosine项，得到：F(ω) = ∫[1/2 + (m/4)(e^(i2πfx) + e^(-i2πfx))]e^(-iωx)dx接下来，我们可以将积分拆分成三个部分，分别是1/2、(m/4)e^(i2πfx)和(m/4)e^(-i2πfx)对应的积分：F(ω) = 1/2 ∫e^(-iωx)dx + (m/4)∫e^(i(2πf-ω)x)dx + (m/4)∫e^(-i(2πf+ω)x)dx计算这三个积分，可以得到：F(ω) = (1/a) [sinc(ωa/2) + (m/4)[sinc((ω-2πfa)a/2) + sinc((ω+2πfa)a/2)]]其中sinc函数定义为sinc(x) = sin(x)/x。因此，这个函数的傅里叶变换为上述的式子。

冲激函数的傅里叶变换就是个常数，根据不同的傅里叶变换的定义可能是不同的常数(1或者1/2pi之类）

1的傅里叶变换是2πδ（t）。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对。即：F（ω）=∫（∞，-∞）f(t)e^(-iωt)dtf(t)=(1/2π)∫（∞，-∞）F（ω）e^(iωt)dω。令：f(t)=δ（t），那么：∫（∞，-∞）δ（t）e^(-iωt)dt=1。而上式的反变换：（1/2π）∫（∞，-∞）1e^(iωt)dt=δ（t）。从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ（t）。简介f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数。且在这些间断点上，函数是有限值，在一个周期内具有有限个极值点绝对可积，称为积分运算f(t)的傅立叶变换。

傅里叶变换定义为:ω=e_2πi/n 是 n 个复单位根之一，其中 i 是虚数单位。对于 x 和 y，索引 j 和 k 的范围为 0 到 n_1。

用定义式做，若用频移性质的话，把πδ(w)那部分丢掉

先说一下三个变换的定义，写一下公式（包括逆变换）然后说关系：傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πfZ变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ，单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.*****************************************************考试题目看分数多少，压轴大题的话，就多写点，自己再展开细化一下，我上面也只是点到为止，但内容基本上就是这些。

x就是x 没有很复杂的我们通常都是吧 指数 对数化成x的幂次方

你百度傅立叶变换公式吧

这是完全两个东西：卷积是一种运算方式，针对线性时不变系统。最基础的应用就是：在时域中，一个输入，卷积上单位冲激响应，就可以得到输出。傅立叶变换的主要作用就是让函数在时域和频域可以相互转化。最显而易见的应用就是：当输入函数和单位冲激响应函数都被转化为频域函数后，两个频域函数直接做乘法（相对于上面说的时域函数的卷积），就可以得到输出的频域函数。最后再反变换回时域，就可以得到输出的时域函数。

时间函数被“积分”，不是“导数”，所以不需要连续性

1,简单的用的话，输入参数为一系列的数据点，例如在MATLAB中，先定义t=0:0.01:1;y=sin(t);dft(y);即输入参数其实是100个数据点值，要求稍微高点的，可以用dft（y，n），n代表采样频率，即采样点数，按照采样定理，采样频率须大于2倍的样本的频率，一般去5倍，根据离散傅里叶的原理，n一般取2的整数立方，可以取256，512，1024等。即便你不取这些数，在系统内部计算时，它也是按照这些数进行采样计算的。2.傅里叶变换就是频谱分析，输出的是对应不同频率该函数的幅值是多少。

我似乎记得听老师说过，傅里叶变换的形式可以有多种，只要正变换和逆变换前面的系数乘起来等于1/2π．我估计那软件用的是，两个变换前面的系数都是1/(√(2π))．我书上的形式，就是两个变换的系数都是根号2π分之一．

①正弦函数傅氏变换成δ函数，即k[ ＋δ(ω＋ωo)－δ(ω－ωo)] 。对应图像第一项令ω＋ω₀＝0，得ω＝-ω₀，-ω₀<0 位于负侧，且＋δ表示向上↑；第二项令ω－ω₀＝0，得ω＝＋ω₀，ω₀>0位于正侧，且－δ表示向下↓，笔者认为这样的图像为正确。但有教材δ式与图像有矛盾:  ω负轴方向δ＝＋δ(ω＋ωo)，但冲激图居然向下；ω正轴方向δ＝－δ(ω－ωo)，但冲激图居然向上。什么缘故？《爱课程》有老师将 F(jω) 取模丨F(jω)丨，二个δ冲激全向上，与余弦函数的傅氏变换相同，这种处理方法亦很好。② 令人欣慰的是:  MMA软件傅氏变换的δ式＋－号与图像是统一的，无逻辑矛盾。δ式振幅是 (左负、右正)，δ图像也是(左↓、右↑)。有兴趣的网友可用MMA试试。

傅立叶变换中的u(t)是单位阶跃函数。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。中的u(t)是单位阶跃函数。单位阶跃函数的应用单位阶跃函数目前有三种定义，共同之处是自变量取值大于0时，函数值为1；自变量取值小于0时，函数值为0，不同之处是，自变量为0时函数值各不相同。在对梁的弯曲进行研究时，经常要用到弯矩方程。常用的弯矩方程表达式通常是一个分段函数表达式，这给理论研究带来了许多冗繁的工作。通过单位阶跃函数，可以把在集中载荷作用下的分段函数的弯矩方程表达式用一个整体方程表示出来。极大的简化了求弯曲变形的计算工作量，同时还具有一定的理论价值。利用单位阶跃函数可以将多分段函数表示成形式上的单一函数，而且更方便求导数。

1的傅里叶变换是2πδ（t）。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换，最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。定义：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数。且在这些间断点上，函数是有限值，在一个周期内具有有限个极值点绝对可积，称为积分运算f(t)的傅立叶变换。

傅里叶变换的导数定理可以被证明是成立的。1、傅里叶变换与傅里叶级数展开傅里叶变换和傅里叶级数展开都可以用于描述信号在频域的特性。其中，傅里叶级数展开适用于周期信号，而傅里叶变换适用于双边无限长的非周期信号。傅里叶变换和傅里叶级数展开之间的关系是傅里叶变换可以看作是傅里叶级数展开的极限情况。2、傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义是一个积分式，将时域信号转化为复数的频域表示。傅里叶变换的复数结果中，实部表示信号的幅度，虚部表示信号的相位。傅里叶变换可以将一个信号从时域域转换到频域域。3、导数定理的定义傅里叶变换的导数定理是说，在时域中求一个函数的导数，等价于在频域中对函数进行傅里叶变换并对其进行一些操作。导数定理被用来计算信号在频域中的斜率，这个对于滤波器的设计等很重要。4、导数定理的证明为了证明导数定理成立，我们需要对傅里叶变换的定义式进行求导，然后用分部积分对结果进行简化。最终的结果将展示出在时域利用函数的导数等价于在频域中进行傅里叶变换的结论。详细的证明过程可以参考相关信号与系统的教材。5、总结傅里叶变换是一个非常重要的工具，在信号处理中起着至关重要的作用。导数定理则是傅里叶变换理论中的一个基本定理，适用于计算信号的斜率。了解这些知识有助于我们更好地理解信号与系统，也有助于我们进行更精细的信号处理与控制。6、应用导数定理在信号处理中的应用非常广泛，比如在信号滤波、进一步的微分和积分以及信号估算中都有应用。例如，我们可以根据导数定理来计算信号的斜率，得到更好的信号特性描述，并利用滤波器进行信号去噪。7、注意事项在使用导数定理进行信号处理时需要注意，由于计算导数会引入高频项，会产生一些奇异情况，因此如果不适当处理，可能会导致误差和失真。此外，在实际应用中，需要根据具体问题选择最合适的方法和工具，避免误解和错误。8、拓展知识除了导数定理之外，傅里叶变换还有其他类似的基本定理，比如积分定理和平移定理。这些定理有助于进一步理解和应用傅里叶变换，在信号处理、通信、控制系统等领域都有很广泛的应用。此外，了解快速傅里叶变换(FFT)技术对提高信号处理效率也会有帮助。

δ(t)是单位冲激响应，当a趋于0时，F(jw)在w=0时为无穷大，在w≠0时为0，但不是单位冲激响应。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：F(ω)=∫(∞,-∞) f(t)e^(-iωt)dtf(t) = (1/2π) ∫(∞,-∞) F(ω)e^(iωt)dω令： f(t)=δ(t)，那么： ∫(∞,-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1而上式的反变换：(1/2π) ∫(∞,-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) //：Dirac δ(t) 函数；从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)扩展资料；f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。参考资料来源：百度百科-傅立叶变换

傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 为什么偏偏选择三角函数而不用其他函数进行分解？我们从物理系统的特征信号角度来解释。我们知道：大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究，无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。线性时不变系统可以这样理解：输入输出信号满足线性关系，而且系统参数不随时间变换。对于大自然界的很多系统，一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量！当然，指数信号也是系统的特征向量，表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的，或者既有波动又有指数衰减（复指数 形式），因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是，如果输入是方波、三角波或者其他什么波形，那输出就不一定是什么样子了。所以，除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是线性系统的特征信号。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于：正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理，这时是离散系统的“特征向量”。这里没有区分特征函数和特征向量的概念，主要想表达二者的思想是相同的，只不过一个是有限维向量，一个是无限维函数。傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式；为什么方波或者三角波如此“简单”，我们非要展开的如此“麻烦”；为什么对于一个没有什么规律的“非周期”信号，我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(或复指数)是特征向量。 什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。什么是频域？频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。 时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一，就是传说中的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)。 根据原信号的不同类型，我们可以把傅里叶变换分为四种类别：1非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅里叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅里叶变换(real DFT)，再去理解复数傅里叶就更容易了，所以我们先把复数的傅里叶放到一边去，先来理解实数傅里叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。如 上图所示，实信号四种变换在时域和频域的表现形式。还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。图像傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅里叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。另外说明以下几点：1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。 将其发展延伸，构造出了其他形式的积分变换: 从数学的角度理解积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数。也可以理解成是算内积，然后就变成一个函数向另一个函数的投影：K（s，t）积分变换的核(Kernel)。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。学术一点的说法是：向核空间投影，将原问题转化到核空间。所谓核空间，就是这个空间里面装的是核函数。下表列出常见的变换及其核函数： 当然，选取什么样的核主要看你面对的问题有什么特征。不同问题的特征不同，就会对应特定的核函数。把核函数作为基函数。将现在的坐标投影到核空间里面去，问题就会得到简化。之所以叫核，是因为这是最核心的地方。为什么其他变换你都没怎么听说过而只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换呢？因为复指数信号才是描述这个世界的特征函数！

离散信号傅里叶变换的公式如下所示： 离散傅里叶变换的原理是将原本非周期的信号复制扩展为周期信号，在实际的数字电路处理中，处理的信号是有限长的，取长度为N，即N为信号 的周期，对于有限长周期信号，其离散傅里叶变换有如下性质： 其中 为周期信号的傅里叶级数，而 表示当且仅当 时有 ，因此可以将傅里叶变换转为离散表达，如下所示： 考虑 以N为周期，因此仅需要计算k从0到N-1即可，取 此公式写成矩阵乘法模式如下所示： W为一个 的方阵，该计算的复杂度为 对于系数矩阵中的元素 ，其公式如下所示： 考虑 ，推导公式如下所示： 再考虑 和 的情况： 再考虑 和 的情况： 最后考虑 且 或 的情况： 根据上述推导，可以得出系数W具有以下四条性质，这三条性质会在后续推导中用到： 基n快速傅里叶变换用于一个长度N为 的序列，例如基2快速傅里叶作用在 的序列上，基4快速傅里叶作用在 的序列上。现在考虑基2FFT的推导（硬件实现一般使用基4或基8FFT实现），首先写出有限长离散序列的傅里叶变换，记一个信号 的FFT变换为 ： 快速傅里叶变换的核心思想为 分而治之 ，即 分治法 ，该思想的核心是将一个长度为N的问题，分级为两个长度为 的问题，应用在这里即是需要将一个序列长度为N的FFT变换问题分解为两个序列长度为 的FFT变换。首先进行如下变换： 矩阵的形式如下所示： 根据W的性质 ，代入后有： 矩阵形式的表达如下所示，现在的矩阵为两个个高度为N，长度为N/2的矩阵。 代入 ，根据W的性质 有： 矩阵表达如下所示： 代入 ，根据W的性质 有： 矩阵表达如下所示： 根据上述推导，一个长度为N点的离散傅里叶变换被变为一个长度为 的离散傅里叶变换，取 公式如下所示： 根据频域抽取基2FFT的算法，除了按前后分类外，还可以直接按奇偶进行分类，公式如下所示： 对应的矩阵表示为： 取序列 ， 代入上述表达式，取 再代入W的变换性质可得： 其对应的矩阵为： 即将对F[k]的上半部分结果分解为两个FFT结果的和，即： 现在考虑F[k]的下半部分，公式如下所示： 取 ，代入有： 代入W的性质 和 ，有： 将变量i更换为k，其矩阵形式为： 最终可以将结果汇总为： 蝶形运算的公式如下，蝶形运算输入为 和 ，输出为 和 ，系数为 ： 其转换为矩阵表达为： 蝶形公式对应着2点FFT的计算，2点FFT的计算如下所示： 转换为矩阵表达为： 对应到蝶形运算有： 首先列出基2频域抽取FFT的分治公式： 以一个8点FFT为例，输入序列为： 进行第一次分治，分为两个4点FFT，序列为： 示意图如下所示，偶数标号的结果由第一个FFT生成，奇数标号的结果由第二个FFT生成： 随后进行第二次分治，将每个4点FFT分解为两个2点FFT，每个序列为： 示意图如下所示： 最终通过2点FFT计算出结果，但如上图所示，计算出的结果位置与标号并不对应，例如计算输出的标号为2的数据（Y10[1]）应当位于输出序列（X）的标号4（X[4]）。其变换规律为计算输出的标号为n的数据（第n+1个数据）对应到输出序列标号为m的数据，n为m的二进制反序。以计算输出标号为6（第七个数据）的数据Y13[0]为例，6的二进制为110，反序为011，对应十进制数为3，即有 。 首先列出时域抽取FFT的分治公式：

傅里叶变换（法语：Transformation de Fourier、英语：Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。应用傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中，傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

冲激函数的傅里叶变换就是个常数，根据不同的傅里叶变换的定义可能是不同的常数(1或者1/2pi之类）

关于傅里叶变换和冲击函数δ(t) 1）根据定义可求得 e^(-αt)ε(t)→1/(α jω) 但是由于 ε(t)→πδ(ω) +1/(jω) 根据频移特性就有 e^(-αt)ε(t)→πδ(ω-αj) +1/(j(ω-αj))=πδ(ω-αj) +1/(α+ jω) 为什么会多出一项呢？ 2） δ(t)的偶次导数是偶函数，奇次导数是奇函数，那么似乎就该有 δ"(t)=-δ"(-t)，于是δ"(0)=0。显然是不对的。有人说奇异函数其实不能算作函数但是我实在弄不明白什么时候它是函数，什么时候又不是。比如δ"(t)，它在t=0处的值是多少呢？还是根本就没有意义？如果它的值没有意义那么为什么这个函数是有用的...

一些物理系统内，各种信号自身的频率是不变的，但是这种固有频率的特征在时间序列或时间域里是很难被特征化的（通俗点就是很难被确定）。但是傅立叶变换可以通过分离系统内不同频率正余弦信号来获取将这种系统内固有的波频或光谱。理论上讲，就是以正余弦基函数作为微分运算的特征函数，将时间上的线性微分方程的解转化为这些特征函数的线性组合，再从这个线性组合中系数非零的特征函数了解这个系统的信号组成。我只是从数学和物理的角度解释了一下，对信号处理和通信中更深层次的应用不是太了解。但是原理是源于数学的。

是矩形函数。傅里叶变换具有对称性，矩形函数与Sa函数在时域和频域是相互对应的。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：F(ω)=∫(∞,-∞) f(t)e^(-iωt)dtf(t) = (1/2π) ∫(∞,-∞) F(ω)e^(iωt)dω令： f(t)=δ(t)，那么： ∫(∞,-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1而上式的反变换：(1/2π) ∫(∞,-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) //：Dirac δ(t) 函数；从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)f(t)是t的周期函数如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换。

自己做

傅里叶变换时在频域对信号进行分析，我的理解是可以把时域的信号看做是若干正弦波的叠加，傅里叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位，有限的时域信号可以分解为傅里叶级数的形式，傅里叶变换和求傅里叶级数是一回事。既然固定的时域信号是若干固定正弦信号的叠加，在不改变幅值的情况下，在时间轴上移动信号，也就相当于同时移动若干正弦信号，这些正弦信号的相位改变幅值不变，在频域的作用也就是傅里叶的模不变 相位改变。信号初级入门者，理解的不对欢迎指正，共同学习。

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 * 傅里叶变换属于谐波分析。* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).

（一）谐波及其合成物理上所说的谐波是指如下的三角函数：反射波地震勘探原理和资料解释其中A称为振幅，φ称为初相，ω＝2πf称为角（圆）频率，f称为频率， 称为周期（见附图A-1）。利用三角公式可将（附A-1）式改写为S＝Acosφcosωt-Asinφsinωt若记反射波地震勘探原理和资料解释则得：反射波地震勘探原理和资料解释而反射波地震勘探原理和资料解释由此可知，若已知（附A-1）式可由（附A-2）式计算出a、b；反之，若已知（附A-3）式，可由（附A-4）式解出A和φ，故两种谐波表达式等价。附图A-1谐波是极其简单的波形，但利用谐波的合成可以得到比较复杂的波形。例如考虑三个谐波的合成：S＝sint+ 。其图形见附图A-2，它与原谐波图形已有很大差异了。下面将会看到满足一定条件的周期函数均可用谐波合成出来。附图A-2 谐波的合成（二）周期函数的傅里叶级数数学上可以证明，当一个周期为T的函数f（t）满足一个比较宽的条件时可以表示为反射波地震勘探原理和资料解释其中Akcos（kω0t+φk）称为f（t）的角频率为kω0的谐波分量。换句话说，即当f（t）满足一定条件时可分解为直流成分（常数项 ）和一系列谐波成分之和。这一系列谐波成分以 为基频，其余的角频率皆为基频的整数倍。利用（附A-2）式可将（附A-5）式改写为反射波地震勘探原理和资料解释可以证明其系数为反射波地震勘探原理和资料解释（附A-5）式和（附A-6）式右端的级数即是周期函数f（t）的傅里叶级数。Ak＝ 是f（t）的谐波分量（对应于角频率kω0）的振幅，φk是其初相。可以将傅里叶级数（附A-6）式和（附A-7）式改写为复数形式：反射波地震勘探原理和资料解释式中 是f（t）简谐分量的复数表示法，ck是个复数即 ，显然反射波地震勘探原理和资料解释也就是说，∣ck∣为简谐分量的振幅，φk为初相。将振幅∣ck∣与频率kω0的函数关系称为f（t）的振幅谱，相应地将φk与频率kω0的函数关系称为f（t）的相位谱。周期函数可以表示为傅里叶级数这一事实说明周期函数的振幅谱和相位谱都是离散的，即由一条条谱线所组成，称为线状谱。附图A-3即为附图A-2波形的线状谱。附图A-3 合成波的线状谱（三）傅里叶变换和频谱实际反射波地震资料处理中遇到的信号大多是非周期的。非周期函数在一定条件下可以利用周期函数进行研究。可将非周期函数看成是周期T为无穷大的周期函数。由前述可知基频ω0等于 ，频率间隔Δωk＝（k+1）ω0-kω0＝ω0＝ ，周期T越大时Δωk越小；当时T➝∞时，Δωk➝dω，离散的线性谱的端点逐渐连成一条曲线，离散谱逐渐变成连续谱。此时数学上傅里叶级数就变成了形式上十分类似的傅里叶积分：反射波地震勘探原理和资料解释式中F（ω）是ω的复变函数（复变谱），它可以写成F（ω）＝A（ω）eiφ（ω）。其中A（ω）和φ（ω）均为ω的实变函数，前者称为f（t）的振幅谱，后者称为f（t）的相位谱。对于一个确定的频率ω而言，A（ω）和φ（ω）是确定的实数，它们分别表示频率为ω的谐波分量的振幅值和相位。（附A-9）式的物理意义是说任何一个非周期函数f（t）均可认为是无穷多个不同频率、不同振幅和不同起始相位的谐波之和。傅里叶级数将一个周期信号分解为无穷多个谐波的离散和。这些谐波有一个基频ω0，所有谐波的频率皆是ω0的整倍数，故它们有一个共同的周期 ，叠加结果为一个周期是T的函数。傅里叶积分则把一个非周期信号分解为无穷多个谐波的连续叠加。这些谐波的频率ω可以取任意实数，虽然每一项F（ω）iωtdω都是一个周期函数，但它们之间不存在共同的周期，故叠加结果为一个非周期函数。由（附A-9）式可知，已知信号f（t）可以唯一地计算出它的复变谱F（ω）。已知信号的复变谱F（ω）也可以唯一地确定其波形f（t）。数学上是唯一的、一一对应的关系。F（ω）称为f（t）的傅里叶变换，而f（t）则称为F（ω）的反傅里叶变换。物理上将由信号f（t）求其傅里叶变换F（ω）的过程称为信号的频谱分析，附图A 4是傅里叶变换的一例。附图A-4 非周期函数（a）及其振幅谱（b）作为时间函数的地震波形与作为频率函数的振幅谱、相位谱（或复变谱）之间可以互换且一一对应，故任何复杂的波形既可以作为时间函数研究也可以作为频率函数研究。作为时间函数研究时称为时间域中的函数，作为频率函数研究时称为频率域中的函数。（四）傅里叶变换的几个基本性质（1）叠加定理（线性性质）。设信号f1（t）的频谱为F1（ω），f2（t）的频谱为F2（ω）。若f（t）＝af1（t）+bf2（t），其中a、b为任意常数，则f（t）的频谱为F（ω）＝aF1（ω）+bF2（ω）。（2）时延定理。设信号f（t）的频谱为F（ω），则延迟一段时间后τ的信号f（t-τ）的频谱为F（ω）e-iωτ。说明一个波形经延迟一段时间后，振幅谱不变，相位谱的变化与延迟时τ有关。（3）频移定理。设信号f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴移动ω0得F（ω-ω0），则与之对应的时间信号变为f（t）eiω0t。（4）时间尺度展缩定理。设f（t）的频谱为F（ω），将波形沿时间轴压缩到原来的 倍（即将时间坐标尺度扩展a倍）后的波形f（at）的频谱为 F（ ）。（5）频率尺度展缩定理。设f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴压缩到原来的 倍后F（αω）所对应的时间信号为 （ ）。（6）褶积定理。设时间函数x（t）和h（t）的频谱分别为X（ω）和H（ω），则它们褶积y（t）＝x（t）*h（t）的谱Y（ω）等于X（ω）和H（ω）之积，即Y（ω）＝X（ω）·H（ω）。

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

傅里叶级数和傅里叶变换是用来描述信号在频域上的表示方式。傅里叶级数表示离散周期序列信号：傅里叶级数可以将周期性的离散信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够表示周期性信号的频域特性。傅里叶变换表示非周期信号：傅里叶变换是将时间域上的信号在连续频谱下进行表示，它可以表示所有的信号，因此也被称为傅里叶积分变换。它能够将任意信号在频域中高精度地表示出来。联系：傅里叶变换和傅里叶级数都是将时域中的信号转化到频域中，进一步研究信号的频域性质。傅里叶级数只对周期性信号适用，而傅里叶变换适用于所有信号，包括非周期性信号。在傅里叶级数中，信号在频域上的表示是通过一组基函数的线性组合来实现的；而在傅里叶变换中，信号在频域上的表示则是通过将信号在单位圆上的连续谱分解为一系列的正弦和余弦函数的组合来实现的。

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间。则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

首先一个信号，比如X(t)是一个奇形怪状的函数。我们很难对他进行分析。但是X(t)=很多有规律的函数叠加。。。于是我们就寻找这些有规律的函数来代表X(t)，这就是对X(t)进行分解。分解有很多种类，其中非常牛b的一种是正交分解。三角函数族恰好就是一个正交函数族。周期为T 2T 3T...nT的三角函数能够通过叠加组合出所有周期为T的连续函数。就是说X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n (其中基n是周期为T/n的三角函数...)。为什么会这样呢？数学分析上是使用：黎曼勒贝格引理+局部收敛+狄里赫雷核积分推出的。泛函上证明要简洁些。不过这些你都不需要太过于专注（就连傅立叶都没有证明出来的），你只需要记住周期nT三角函数叠加能表示周期为T的连续函数。X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n。那么前面的系数ai怎么求呢，这时函数正交的作用就体现出来了。直接用(x,基n)内积 ，就可以得出系数an。至于为什么，你可以自己算下，利用(基i，基j)=δij就可推出结果。当X(t)没有明确的周期的时候，我们假定他的周期是无穷大，再用复数来表示各个正交基，在系数上乘以T(这时的T是无穷大，如果不乘以T的话，L1L2空间的函数的傅立叶变变换就是无穷小了)，这样就成了傅立叶变换了。傅立叶变换难很多。因为傅立叶变换的定义域大大超过了L1L2空间。有些函数广义积分不存在，但是傅立叶变换存在。所以在处理这些积分的时候，必须要利用某些特殊函数的性质，比如冲击函数，阶跃函数等，进行反向的推导。

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.190 - p.212回想我们在连续时间周期信号的傅里叶级数线性性质中，强调了 和 需要具有相等的周期 ，这里，在非周期信号的傅里叶变换中，不需要这个条件。信号在时间上的移位，并不改变它的傅里叶变换的模，只是在其变换中引入相移 ，相移与频率 成线性关系。推导过程：对 取共轭得到，用 代替 ，可得上式就是 的傅里叶变换分析公式。 如果 为实函数，那么 ，就得到了共轭对称性，这也就是说，如果 为实函数，那么其傅里叶变换 的实部是频率的偶函数，虚部是频率的奇函数。也可以推导出， 是频率的偶函数， 是频率的奇函数。积分性质中，项 反映了由积分所产生的的直流或平均值。在时间上反转一个信号，其傅里叶变换也反转。 如果一个时间函数有某些特性，而这些特性在其傅里叶变换中隐含着一些别的什么东西，那么与频率函数有关的同一特性也会在时域中隐含着对偶的特性。常被称为信号 的能量谱密度。 帕斯瓦尔定理指出，信号 的总能量既可以用单位时间内的能量 在整个时间内积分得到，也可以用单位频率内的能量 在整个频率范围内积分得到。这个性质将两个信号时域里的卷积映射到了频域里傅里叶变换的乘积。 我们在傅里叶变换推导的那篇笔记中学习过，傅里叶变换的收敛需要能量可积和狄利赫里条件才能得以保证，这也就是说并不是所有的LTI系统都能定义出频率响应 。 然而，如果这个系统是稳定的，那么其单位冲激响应一定满足绝对可积条件，即上式就是三个狄利赫里条件之一，而只有三个狄利赫里条件全部满足才能保证 的傅里叶变换 存在。因此，假设 也满足另外两个狄利赫里条件，事实上，所有物理上或者实际上有意义的信号都是满足的，那么一个稳定的LTI系统就有一个频率响应 。 根据傅里叶变换的对偶性，既然时域的卷积可以映射到频域里傅里叶变换的相乘，那么我们有理由猜想，时域的相乘也可以映射到频域的卷积。两个信号相乘往往也称为幅度调制，因此上面这个式子也被称为调制性质。 研究下面这个常系数线性微分方程，

理解傅里叶变换的平移和伸缩性质：时域信号拉伸，相当于频率降低，所以频谱要收缩。时域信号“伸缩”后，傅里叶变换要“缩伸”并乘一个系数，是因为频域“缩伸”后能量不守恒。傅里叶变换时在频域对信号进行分析，可以把时域的信号看做是若干正弦波的叠加，傅里叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位，有限的时域信号可以分解为傅里叶级数的形式，傅里叶变换和求傅里叶级数是一回事。有关傅里叶变换的FPGA实现傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。

傅里叶级数和傅里叶变换的关系。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析。傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想理解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。

    级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:     这种由很多项相加的形式就是级数。     对于函数就是如下这个形式：    在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。     所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。     法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。     看一个动图来理解下这句话。     右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。     下面给出傅里叶级数的数学公式。原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。 便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。      代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。    这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。     很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。     还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：    我们只需要求出 就可以得到 。     所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：     对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。    所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。     当然上面是小学生的解法，大家不要当真。     在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入： 其对应的解为：    想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。 什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。 和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0 而在函数上的正交就表现为积分的形式: 其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。 回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。 { } 任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：关于其证明网上有很多，这里就不细说了。 下面看如何利用上面的性质来接 将函数两边同时积分将 移到前面。 其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于于是:下面求解下 将两边乘上 ，然后两边同时积分将 移到前面。同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：在正交性那块我给出了 ，所以:关于 求法是一样得，这里就不细说了。 上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。 如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二) 中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。

F（w）为偶函数已经证明对，继续证明F(w)为实函数：F*(w) = ∫ f*(x)  exp(+jw x) dx= ∫ f(x) exp(+jw x) dx=F(-w)而F(-w)=F(w)故F*(w)=F(w)在傅里叶变换的变换的表达式中x(n)当复序列对待，X(jw)=FT[x(n)]=sum(x(n)*e^(-jwn));FT[x*(n)]=sum(x*(n)*e^(-jwn))=sum(x(n)*e^(jwn))*=X*(-jw)对于实信号，有x(n)=x*(n),对应傅里叶变换X(jw)=X*(-jw)，|X(jw)|=|X*(-jw)|=|X(-jw)|，模为偶函数。对于虚信号，有x(n)=-x*(n),对应傅里叶变换X(jw)=-X*(-jw)，|X(jw)|=|-X*(-jw)|=|-X(-jw)|=|X(-jw)|，模为偶函数。扩展资料：傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

傅里叶变换的卷积特性：就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式；而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1、傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4、著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；5、离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。 下面给出离散傅里叶变换的变换对： 对于N点序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号表示这一变换，即 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：可以记为：实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成。

delta函数不能做傅里叶变换的原因：只有冲激函数和阶跃函数能够用傅里叶公式转换。函数与e的复指数（或者是三角函数）是一对傅立叶变换的共轭函数。利用复数形式的傅里叶变换，其中，因此δ函数的傅里叶积分是根据δ函数的定义，δ函数并不是通常意义下的一般函数，应当看作一种函数列的极限或者泛函，因此δ函数的傅里叶积分也不是通常意义的傅里叶积分而是一种广义的傅里叶积分。理解严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际应用中，δ函数总是伴随着积分一起出现。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用。

离散傅里叶变换常用公式表是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布。论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)。当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

傅里叶变换是由傅里叶级数推导而来的，傅里叶级数的对象是周期信号，但是如果信号为非周期信号的话(也可视为周期信号的周期无穷大)，就推导出了傅里叶变换！

sinwt的傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

意思是矩形信号的傅里叶变换的主瓣宽度吗

变换公式：f(t)=cos(wot) F（ω）=π[ δ（ω-ω0）﹢ δ（ω+ω0）]。f(t)=sin(wot) F（ω）=π/j[ δ（ω-ω0）－δ（ω+ω0) ]。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。需要注意的是：傅里叶定律指在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。励磁涌流的发生，很明显是受励磁电压的影响。如果数据点数不是以2为基数的整数次方，处理方法有两种，一种是在原始数据开头或末尾补零，即将数据补到以2为基数的整数次方，这是“补零”的一个用处；第二种是采用以任意数为基数的FFT算法。频谱就是以2*fs为周期的，分辨率依然是1。若是先把F(w)里的w变量换成 t, 得到F(t)再对F(t)进行傅里叶变换。这时，我们可以将图片第二行的等式两边的 t 换成-w, 原来的w换成 t. 得到结果为2πf(-w)。

傅里叶变换是由傅里叶级数推导而来的，傅里叶级数的对象是周期信号，但是如果信号为非周期信号的话(也可视为周期信号的周期无穷大)，就推导出了傅里叶变换！

傅里叶变换, 就是在用一种特殊的正交基(正交函数)在对原函数做线性变换. 简单地说, 我们有一个n维向量a, 我们总可以找到一组n维正交基e1 e2 e3......, 使得a = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 + ........................cn en我们如果想知道这些系数分别是多少, 就可以分别在等式两边用每个正交基做内积, 因为我们知道<ei, ej> = 0 if i!=j,<ei, ej> = 1 if i==j函数 可以看成一个无穷维的向量, 所以如果想要把一个函数用"正交基"来线性表示, 我们就需要使用正交的函数, 像这样的正交函数有很多, 傅里叶所选用的, 是其中一种

第2章 信号分析 本章提要  信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。  x( 质量－弹簧系统的力学模型 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 §2－2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” #  傅里叶级数的三角函数展开式 （，…） 傅立叶系数： 式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式： 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图  周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶 级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式  欧拉公式 或  傅立叶级数的复指数形式  复数傅里叶系数的表达式 其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 # 即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。  cn的复指数形式 共轭性还可以表示为 即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0 （等于三角 函数模的一半） 相角相等） 用cn画频谱：双边频谱 第一种：幅频谱图:|cn|-图:n- 相频谱， 第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图： Imcn-；也就是an-和-bn-. # §2－3 非周期信号与连续频谱 分两类： a.准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号 几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： 定义x(t)的傅里叶变换X(ω) X(ω)的傅里叶反变换x(t):  傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波 的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函 数。  对应关系： X()描述了x(t)的频率结构 X()的指数形式为  以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 X( f ) 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图： 幅值频谱图 相位频谱图 () 实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω ) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。 二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 （二）对称性 （注意翻转） （三）时移性质 （幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质 （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 （六）微分性质 （七）卷积性质 （1）卷积定义 （2）卷积定理 三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： (t) 0) 定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值： 脉冲强度（面积） （二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质： xx(t0)(tt0) 函数值： 强度： 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t) 在脉冲发生时刻的函数值 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2 (b) 利用结论2 结论：平移 x(t （三）脉冲函数的频谱 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果 （利用时移性 质） （利用对称性 质） （对上式， 再用频移性质） （四）正弦函数和余弦函数的频谱 余弦函数的频谱  (f) 正弦函数的频谱 (f)

    上一篇文章中讲了一个时域处理的算法wsola，接下来会学习频域处理算法，在这之前必须得对频域有所了解，这就不得不提傅里叶变换了，本文的目的是让大家学会用傅里叶变换公式和傅里叶逆变换公式进行计算。数学公式是人们对世界中的现象的描述，我们学习数学公式也不该只停留在使用公式来解决问题的层次，得明白公式到底在描述什么现象，从这些天才数学家的角度来看世界。懂的地方可跳过。项目地址在文章末尾给出。    我直接说结论，傅里叶级数公式包含了傅里叶变换和傅里叶逆变换（不严谨的说就是这么回事）。     先简单说下具体关系，法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种表示方式就是傅里叶级数。假如有个波形比较复杂的周期函数，那么找出能用来构成这个周期函数的正弦函数和余弦函数的频率的方法就叫做傅里叶变换，用这些频率的正弦函数和余弦函数叠加起来表示这个周期函数的方法就叫做傅里叶逆变换。     再从公式中看下他们的关系，首先介绍傅里叶级数到底是什么，首先级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。这么说可能大家还不理解，举个例子：e^x=1+x/1!+x^2/2!+...x^n/n!....，等号左边是指数函数，等号右边就是级数。傅里叶级数公式如下：     我们主要看这个指数形式的傅里叶级数公式，把求和符号去掉，展开一下就是f(t)=Fa*e^jaω0t+Fb*e^jbω0t+Fc*e^jcω0t+Fd*e^jdω0.....。现在看下面的周期函数叠加效果图，图中显示的是3个周期函数分别在坐标轴（横轴时间，纵轴幅度）的图像，写成傅里叶级数形式就是f(t)=fa(t)+fb(t)+0+0....，这就是傅里叶级数公式要描述的现象。其中Fa*e^jaω0t=fa(t),Fb*e^jbω0t=fb(t),Fc*e^jcω0t=0....。    看下图的傅里叶变换和逆变换公式，你会发现傅里叶逆变换公式和傅里叶级数公式极其相似，而傅里叶级数系数公式Fn又和傅里叶变换公式极其相似。所以对一个周期函数进行傅里叶级数展开的过程可以认为是先做傅里叶变换再做傅里叶逆变换的过程。     上图就是傅里叶变换公式也叫连续傅里叶变换公式，有个很重要的事情，就是傅里叶变换公式和逆变换公式一定要一起给出，不然就会让人误解，你们在网上会看到各种各样的写法，但这些写法都是对的，常见的如下图所示。    为了方便后面的讲解我把角频率ω换成2πf，如上图所示，ω是希腊字母读作Omega，大写是Ω，小写是ω，以后这两个字母会经常看到，都是等于2πf。不要和电学中的电阻单位搞混了，要明白字母只不过是一个符号而已，在不同学科领域都是混着用的，只要不和自己公式中其他字母冲突就行，例如上图傅里叶变换公式中的j其实就是虚数单位i，一般时候我们会把虚数单位写成i，但因为傅立叶变换经常用于电学解决一些问题，为了不和电流符号i混淆，所以公式就把i写成j 。     要想了解傅里叶变换公式，首先要了解欧拉公式e^ix=cosx+isinx在图像中的含义。以实部的值cosx作为横坐标值，虚部sinx的值作为纵坐标值，x的取值从负无穷到正无穷，画出所有的e^ix点后，你会发现这些点会形成一个周期为2π的圆。如下图1所示（如果不理解，建议看3Blue1Brown的视频，视频连接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）     所以欧拉公式e^ix其实就是随着x的增大而在坐标系上逆时针画圆的过程，那么e^-ix就表示顺时针画圆，e^-i2πx就表示画圆的速度提高2π倍，也就是说x从0到1的过程就是顺时针画出一个完整圆的过程（当然x从1到2或者2到3等等，都能画出一个完整的圆），把x换成t后，e^-i2πt表示每秒都会顺时针画出一个圆。e^-i2πft表示每秒都会顺时针画出f个圆。f(t)表示t时刻的振幅，f(t)函数画出来就是时域波形图。f(t)*e^-i2πft表示每经过1秒会顺时针画出f个圆，并在画圆的同时，t时刻的圆半径要乘上t时刻的振幅，其实就是以每秒的音频振幅数据绕f圈的速度进行旋转缠绕（为了方便理解，没有用复杂的音频数据，用的是一个频率为3的正弦波音频做的实验，请看下图2，图的上半部分是时域波形图，图的左下角是f等于0.4的时候，用公式f(t)*e^-i2πft在实部和虚部构成的坐标系画的图，图的右下角是频谱图，频谱图的横坐标是频率，纵坐标是振幅，振幅的值就是左下角图中数据形成的图案的质心（图中的红点）到坐标系原点的距离的2倍）。当改变f的值，你会发现数据大多数时候是和我们想的一样，以坐标系原点为圆心环绕着，也就是振幅一直都是0，但是当f的值，也就每秒的圈数等于该音频数据的频率时，你会发现一个神奇的现象，那就是所有的数据会在实部或虚部坐标轴的一侧形成一个圆（如下图3所示，如此一来就知道这段音频数据包含了一个频率为3振幅为0.5的正弦波）。所以将多个正弦波叠加的音频数据用傅里叶公式，f从负无穷到正无穷遍历一遍，就可以把这个音频数据里包含的正弦波都一一找出来。（如果不理解，建议看3Blue1Brown的视频，视频连接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）     平时我们说的对音频进行傅里叶变换处理，其实说的是短时离散傅里叶变换。短时离散傅里叶变换的公式（也可以直接叫做离散傅里叶变换公式）如下。    下面将教大家如何理解这个公式。上面说的连续傅里叶变换公式中有两个原因导致我们无法使用，第一点要求是音频数据的时间从负无穷到正无穷，第二点要求是任意时间t都要有幅度值x(t)才能代入公式进行计算。所以为了解决这两个问题，把公式变为短时且离散的傅里叶变换公式，这个公式可以把一段时间（时间假设为Ts秒）的离散音频数据（有N个采样数据）进行傅里叶变换。你可以把离散傅里叶变换公式理解成连续傅里叶变换的变形，最重要的一点是连续傅里叶变换公式的f和离散傅里叶变换公式的k不是一个意思，他们的关系是k=f*Ts。所以离散傅里叶变换公式也可以写成F(f)=1/n*∑f(t)*e^-j2πf*Ts*n/N，其中的Ts*n/N对应的就是连续傅里叶变换公式的t，只不过这个t没办法取任意时间了，t的取值也就随着n的取值成为了离散的时间点，所以前面的系数由1/2π变为1/N。这样这两个公式就对应起来了。下面将进一步详细介绍这个公式。     上一段说了k=f*Ts，这段我来解释下为什么，其实离散傅里叶变换公式中k表示的是这段Ts秒的音频数据环绕坐标系原点的圈数，所以k并不是连续傅里叶变换公式里的频率f，而频率f指的是1秒钟震荡的次数，在这个公式中频率f也对应着1秒的音频数据环绕的圈数，所以真正的频率f=k/Ts。     有人可能会好奇，那为什么不把离散傅里叶变换公式的自变量k换成f呢，这样不是更好理解吗？是会更好理解，但是没有必要，用f的话还要做一次无用的换算。因为采样点只有N个的原因，k的取值范围就被限制住了，k的取值范围只能是0~N-1的整数，这也是为什么用k来做自变量而不是用f的原因。     还有人可能会好奇，傅里叶逆变换到底是怎么把频域的信息还原回时域的，其实公式计算出来的F(k)是一个复数，这个复数包含了这个频率的周期函数的振幅和相位的信息，假设F(k)=a+ib，，F(k)的模|F(k)|=(a^2+b^2)^1/2，频率f=k/Ts时的振幅为|F(k)|*2（因为求出来的值相当于圆心，但实际上振幅是圆离圆心最远点到坐标原点的距离，所以要乘2），频率f=k/Ts时的相位为arctan(b/a)。所以如果你知道一个周期函数包含了哪些频率的周期函数，并且你这到这些周期函数的振幅和相位，你就可以像下图一样把fa(t)和fb(t)叠加在一起还原回f(t)。傅里叶逆变换的做法略有不同，但意思就是这么个意思，理解了离散傅里叶变换公式的计算，逆变换其实也是差不多代入数值计算就是了。（如果不理解怎么用离散傅里叶变换公式计算，建议看视频，视频里有离散傅里叶变换完整的计算过程，视频连接：https://www.zhihu.com/zvideo/1276595628009377792） 快速傅里叶变换推荐看下面两个视频 https://www.bilibili.com/video/BV1za411F76U https://www.bilibili.com/video/BV1Jh411d7CN 下面是我用java实现的离散傅里叶变换及逆变换和快速傅里叶变换及逆变换，从他们的运行时间就可以看出来快速傅里叶变换快得多。（学完快速傅里叶变换再想想频谱为何Y轴对称？为何N/2对称？）

在上一篇中 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一) 中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？ 我们先看在周期为 的函数傅里叶级数表达: 其对应的解为：如何将其变为任意周期的函数呢？ 其实这里只需要简单的换元操作即可。 举个栗子: 其周期为 , 。我们令 ,则 ,整理下: 所以在对于t来说就变换成了周期为 的函数。 so对于周期为 （方便计算）的函数f(t) 只需令 带入原周期为 的函数即可： 同样的可以得到：最后我们得到:过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。 我们在写一下傅里叶级数的公式： 其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。 关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。 我们先看下公式：可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 ，到虚轴的投影是 ，其中 便是向量与实轴的夹角。而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动 随着 变化， 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。 而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到: 我们令 中的n为-n 则得到： 所以可以看到n的范围变成了 到 ，并且每一项都有 ，于是我们可以得到一个漂亮的形式：其中 分为3中情况：我们将傅里叶级数之前的解带入上边这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成: 但其中的每一项是什么意思呢？ 还记得之前说的 的本质吗？在圆上做圆周运动，那么 也是在做周期运动了。那 又是什么呢？ 我们知道 ，所以我们可以把 看成是以 为单位的频率(正常来讲频率是 )。而系数 是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了 ，但其最小公共周期是一样的。 1倍基频那么系数 怎么理解呢？前面说过 的系数a是代表 运动的圆半径，这里 是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。 看个图，只管的理解下把上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数 ,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数 的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。 这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的 ,而每个 都有自己的幅长 ,当把这些所有的 相加，就得到时域中的图像。 更加生动有趣的介绍可以参见 傅里叶分析之掐死教程 ，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。 目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成 的时候傅里叶级数。随则T的变大 也就不断的减小，当T趋近于 的时候， 也由 变成了 ，那么很自然就需要对 做积分。 我们先看下当T趋近于 的时候 我们可以得到： 将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于 ，就得到: 其中画红圈的地方就是傅里叶变换而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：以上就是傅里叶变换的全部内容，如果你喜欢的话就点个赞。有时间的话，我会写些傅里叶变换的应用。

图片中是没有时间概念的，但是有空间概念，不同的空间位置可以理解为 不同的时间差。 x(k),这里的k表示的是 灰度的差值，至于有没正负，你还是回去看书吧，忘记了。 频谱图和 原来的图像表示的是同一个信号，只是 表示的方法不一样了。u=1,v=1表示横纵灰度变化为1，f(u,v)表示 横纵灰度变化为u，v 的（也可以理解为二维 频率为u，v）三角波的幅值。

在数学和物理中，或者更准确一点，数学物理方法中，把一个任意函数进行fourier变换的意义等价于把一个函数进行以平面波为基的展开。这和3维下把一个矢量按照x,y,z基展开是一样的，这一点陈先生已经说明了。不但可以按平面波展开，还可以按照球面波展开。只要保证你选取的基是完全且正交的即可（应该属于泛函分析的范畴，要考虑你函数空间的性质，定义norm等）至于为什么取负，因为沿着时间向前传播的平面波，在物理和数学上写作-i omega t 。在工程上写jomega t。这是习惯；如果你取i omega t ，相当于你做了t->-t的时间反演变换，某些量子系统具有时间反演不变性，会得到一些能谱的性质（比如简并程度最大为2之类）。

首先讲一下傅里叶变换的由来和作用: 信号是有很多不同频率的波叠加在一起的，信号越简单叠加的波的频率就越少。如果要使用那些信号关键就是怎么对这些信号进行处理。在时域中看到有些信号波形非常复杂，根本无从下手。这时候有高人发现如果从频域入手分析，就发现这些无规律的信号就变成很有规律了，原来这些复杂的信号都是由很多很多不同的频率的正弦波组成的。 既然如此，时域很复杂无法处理，而在频域很有规律，就更好处理，那就到频域来处理。所以就有这些变换，傅氏变换、拉氏变换、Z变换，只是针对的对象不一样而已，目的都是把信号从时域转到频域。 转到频域后，处理的时候只要设置一些窗口函数(起分离出有用函数的作用)和待处理的频域函数相乘，就把需要的频率分离出来了。但如果先从时域转到频域，与窗口函数相乘(做需要的信号处理)，再把得出结果从频域转到时域，那样就会非常麻烦。这时候又有高人弄出一个叫卷积的东西，时域相乘频域卷积，频域相乘时域卷积。

sinwt的傅里叶变换公式是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅里叶变换就是把信号表示成正弦波的叠加。经过傅里叶变换，信号f(t)变为F(w)，F(w)的大小表征了频率为w的正弦波的强度。你的问题是要解释一下为什么这样变换就可以做到这件事。数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw"t)积分后是delta函数，w"=w时为无穷大，否则为0。试 类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1, x.y=0。傅里叶变换的相关公式：e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]有了以上公式，就可将傅里叶级数、傅里叶变换/反变换等相关公式，改写成“指数形式（e的指数形式）”。它同时展示了一点：e^(jwt) 在复平面中，可以作为一个“基”，因为它已经包含了实轴（实数单位“1”）上和虚轴（虚数单位“j”）上两个正交的“基”。这也从另一个方面解释了，为什么总是可以用之前傅里叶的方法，来“分解”很多函数。

矩形波的傅里叶变换图形是sinc函数，也就是数学中的Sinx/x函数模型。该函数在x=0时，sinc函数值等于1。傅里叶变换(1807年傅里叶提出概念)：傅里叶变换，表示能够将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

我觉得傅里叶变换是拉普拉斯的子集,前者是0+bj内变换,后者是在整个复域a+bj内变换.单纯数学公式与定义来理解这个变换比较抽象.能进行傅里叶变换的函数f(t)都可以有无限个连续频率n的正（负）弦函数A(n)cos(nwt)叠加而成。傅里叶在线性系统里面有对应的物理现象的，就是时域（t）到频域（nw）的关系。cos(nwt)经欧拉公式转化成(jnwt)的形式.（当n是离散是就是离散傅里叶了）而拉普拉只是jnw扩展到整个复域a+jnw内。我说的可能有错了，很久没有学啦，错了你补充！

连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数 表示成复指数函数的积分形式：上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数 的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数 表示为时间域的函数 的积分形式。一般可称函数 为原函数，而称函数 为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。当 为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。傅里叶级数主条目：傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数（Fourier series）表示被定义为： 其中 为函数的周期， 为傅里叶展开系数，它们等于对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： 其中 和 是实频率分量的振幅。离散时间傅里叶变换主条目：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform, DTFT）针对的是定义域为Z的数列。设 为某一数列，则其DTFT被定义为 相应的逆变换为DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列 的离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）为 其逆变换为 直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为 ，而快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）可以将复杂度改进为 。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。 变换 时间域 频率域 连续傅里叶变换 连续， 非周期性 连续， 非周期性 傅里叶级数 连续， 周期性 离散， 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散， 非周期性 连续， 周期性 离散傅里叶变换 离散， 周期性 离散， 周期性

在复习傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换和卷积等知识时，我发现网上有非常非常多的大牛。他们用通俗易懂的语言来讲解这些复杂的知识，使人豁然开朗。 如果现在还无法理解，为什么要对信号进行傅里叶变换，请看这篇博客，保证秒懂： 傅里叶分析之掐死教程 这篇文章可以帮助回忆周期信号的傅里叶级数及其性质： 傅里叶级数及其性质 这篇文章可以帮助回忆非周期信号的傅里叶变换及其性质（非周期信号也可理解为周期无穷大的周期信号） ： 傅里叶变换及其性质 这篇博客记录了常用信号的傅里叶变换对，文章不仅描写了傅里叶变换的数学表达式，还画出了对应的图形，非常方便理解： 常用傅里叶变换对 这篇文章将常用的傅里叶变换对列成表，方便查询： 常用傅里叶变换对表 这边文章可以帮助回忆离散时间傅里叶变换： 离散时间傅里叶变换 这篇知乎文章可以帮助理解离散傅里叶变换： 如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ DFT的推导（记录与疑惑） 这边文章可以帮助我们更深入的理解DFT。 一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系 这篇文章以采样为例子，详细地介绍DFT、DTFT和DFS之间的关系，非常容易理解。 拉普拉斯变换 这篇文章详细介绍了拉普拉斯变换的定义、性质以及和连续时间傅里叶变换的关系。 Z变换 这篇文章详细介绍了Z变换的定义、性质以及和离散时间傅里叶变换的关系。 如果没有理解，为什么可以使用卷积运算来表示线性时不变系统的输出，这边博客将会让人恍然大悟，使人产生相见很晚之感： 如何通俗易懂地解释卷积？ 参考文献： [1]. （一看就懂）傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、卷积的经典文章汇总 [2]. 一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系 [3]. 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

傅立叶级数和傅里叶变换关系如下：傅里叶级数仅适用于周期信号，傅里叶变换可以视作傅里叶级数的延伸，可以用于分析非周期信号的频谱特性。事实上，引入冲击函数后，周期信号也可以进行傅里叶变换。傅里叶级数：所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。傅里叶变换：非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的谐波分量组成。傅里叶级数和傅里叶变换都源自于傅里叶原理得出；傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。傅里叶变换是完全的频域分析，而傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它是不同的频率的波形的叠加。傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。

h(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2),x(n)=δ(n)+δ(n-1)；根据公式 f（n）*δ(n-n1)＝f（n－n1） 卷积的性质；所以h（n）*x(n)＝h（n）*（δ(n)+δ(n-1)）＝h（n）＋h（n－1）；即：h（n）*x(n)＝［δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)］＋［δ(n－1)+2δ(n-2)+3δ(n-3)］；＝δ(n)+3δ(n-1)+5δ(n-2)＋3δ(n-3)。扩展资料f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间；则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。

matlab不是就有傅里叶转化的直接方法吗，理解这个你最好好好看看数字信号处理吧，这个也没有办法跟你讲清楚。你就记住也就是高频率对应着图像变化快的地方，低频率对应着图像变化慢的地方就行了。

离散信号对应的“拉普拉斯变换”我们成为z变换1.e(kT)=1-e^(-akT)对应连续信号e(t)=1-e^(-at) 1对应z变换为z/z-1 e^(-at)对应z变换为z/z-e^-(aT) 则：e(kT)=1-e^(-akT)对应z变换为z/z-1 -z/z-e^-(aT)2.e(kT)=e^(-akT)*cos(bkT)对应连续信号e(t)=e^(-at)*cos(bt)这个怎么变换我也不会，其实考试不会考这样的，一般来说你只要把常规z变换记住就行了，不需要会推导

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。中文名离散傅里叶变换外文名discreteFourier transform时域信号离散时间傅里叶变换计 算快速傅里叶变换应用学科通信特 点傅里叶、离散

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和z变换都是常用的信号处理技术，它们之间的关系可以用以下图表示：DFT 变换：f(k)=∑n=0∞f"(n)*ⅇ{{frac{1}{2}}k^2f(n-1)}{{frac{1}{2}}(n-1)^2}f"(n) = sum_{n=0}^{∞}{frac{1}{2}}*k^2f(n-1)}其中，f(k) 是输入信号，f"(n) 是 k 的傅里叶级数展开的第 n 项，ⅇ 是指数运算，f(n) 是 k 的频域表示。z变换：f(k)=∑n=0∞z"(n)*ⅇ{{frac{1}{2}}k^2f(n-1)}{{frac{1}{2}}(n-1)^2}z"(n) = sum_{n=0}^{∞}{frac{1}{2}}*k^2f(n-1)}其中，f(k) 是输入信号，z"(n) 是 k 的z变换的频域表示。可以看出，DFT 是 z 变换的离散版本，它们都可以用于信号的频域分析和变换。在实际应用中，常常结合使用这两种变换，以获得更全面和准确的信号分析结果。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)即是该序列的傅里叶(FT)变换在区间[0,2π]上的N点等间隔抽样.

1》x(n) 做DTFT(离散时间信号的傅里叶变换)得X（ejω），它是连续周期的。2》对X（ejω）采样，造成x(n)周期沿拓。即DFS变换对：X1(k)→x1(n)。X1(k)是X（ejω）采样后的序列，也是周期的。x1(n)是x(n)周期延拓后的序列。3》对DFS变换对 各取一个周期就得到DFT变换对。正因为此DFT隐含有周期性。序列的傅立叶变换(DTFT)与离散傅立叶变换(DFT)是两个不同的定义（他们的关系从上可知），计算公式不一样。两者变换后一般是复数，纵轴可以代表幅度，也可带变相位，即有幅度谱和相位谱。当然也能按实部，虚部分。

乘与一个1/T,非周期函数的傅里叶变换振幅不是一个有限值，只有乘与1/T才存在极限，得到的就是对应频率的振幅值

针对图像检索存在性能的不稳定性、相对平移、旋转和尺度变换等问题,提出了基于区域内形状特征的不变矩和轮廓力矩法和傅里叶描述符结合的方法。其中的不变矩和轮廓力矩法具有良好的平移、旋转、尺度缩放不变性及抗干扰性,傅里叶算法不仅对噪音具有很好的鲁棒性,而且对几何变换具有不变性,更加适合图像检索的需要。通过实验可知,该算法对于图像的扭曲形变具有不变性,在具有一定形变干扰的情况下,仍得出较好的图像检索结果;且检索结果排列的顺序与人的主观视觉判断大致相同,检索精度好。

令 表示一幅大小为 像素的数字图像，其中 。 其二维离散傅里叶变换（DFT）为 离散傅里叶反变换（IDFT）为 令 和 分别表示 的实部和虚部， 则傅里叶谱定义为 变换的相角定义为 极坐标下表示复函数 为 功率谱定义为幅度的平方 如果 是实函数， 则其傅里叶变换关于远点共轭对称 其傅里叶谱也关于原点对称 DTF 和 IDTF 的周期性变换居中使用傅里叶变换滤波时，需要对输入数据进行零填充。语法为 P , Q 为函数结果大小。