傅里叶分析的用途是什么？傅里叶变换是将时域变为频域，频域变为时域，为什么要这样，这样的目的是什么？

傅里叶级数在信号处理中用的比较多，有些信号多多少少或有噪音干扰（比如打电话听筒有噪音），信号中有用信号为低频信号，傅里叶级数可以对信号进行处理，将高频噪音滤除

变压器在线监测的红外定量

傅里叶级数最常见的是正弦，余弦级数展开的应用，这里需要函数的拓延（奇拓延与偶拓延）

在交流电中会用到，交流电是正弦波形式的，但在经过感性负载和容性负载后会使波形发生变化，具体变成什么样不能直观的看出来，可以通过采样电压、电流将其波形显示出来，但采样到的是点，这里就要用到傅里叶变化将点变换成线。

通讯传上来的应该是A/D芯片的采样值，对于50Hz交流信号，它是正负都有的正弦波瞬时值，（负值应该是补码表示的），要得到有效值，可根据一周波内的采样个数和采样值，用离散的傅里叶变换，计算出50Hz频率的实部a1和虚部b1，再求出a1和b1的平方和，然后开方除以1.414就可以了。离散的傅里叶变换公式在不好表示，你搜索一下网上的论文，有很多。另外，离散的傅里叶变换还可以算出高次谐波值。

泰勒级数： 就是用无穷级数去逼近一个光滑函数。当 时，就转变为麦克劳林公式。 拉格朗日余项：n+1阶项；皮亚诺余项： 泰勒公式和拉格朗日中值定理的关系：拉格朗日中值定理是n=0时的泰勒公式（带拉格朗日余项）。 泰勒公式的应用：①可以把复杂函数拆分为多项式的近似函数，便于用计算机求解；②用来推导欧拉公式（把 展开，令 ,比较sinx和cosx的展开式）。 傅里叶级数：任何周期函数都可以用 正弦函数 和 余弦函数 构成的无穷级数来表示。 泰勒级数与傅里叶级数的关系：傅里叶级数以三角函数为基底，基有正交性；泰勒级数以幂函数为基底，没有正交性。（正交性：任意两个不同函数的乘积在[-π,π]上的积分值为0.）

傅里叶是法国数学家.傅里叶发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数.傅里叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始.傅里叶变换用于将复杂信号分解为正弦或余弦三角函数的组合.在电能质量分析及谐波检测中,利用傅里叶变换可以准确的获取信号的频率构造,对复杂信号进行定量分析和进行准确的数学描述.

不会

简单的说：傅立叶级数或者傅立叶变换就是将时间信号和频率信号进行相互转换，达到使计算更简便，理解起来更容易的东西！！！

大学只学过傅里叶函数

若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数用泰勒级数展开；若是周期函数则用傅里叶级数展开。

函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。根据以上讨论，拓广后的函数的傅里叶展开式是正弦或余弦级数，限制x在f（x）原定义区间上即得函数f（x）在[0，π]或[-π，0]上的正弦或余弦级数。在实际应用中，有时还需要把定义在区间[0,π]的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数. 这个问题可按如下方法解决。设函数f(x)定义在区间[0,π]上且满足狄利克雷收敛定理的条件. 我们先要把函数f(x)的定义延拓到区间(-π,0]上，得到定义在(-π,π]上的函数F(x)，根据实际的需要，常采用以下两种延拓方式：1.奇延拓  令F(x)={cf(x),&0<xlepi}\{0,}&{x=0}\{-f(-x),}&{-pi<x<0}\end{array} ight.$< span="">，则F(x)是定义在(-π,π]上的奇函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的正弦级数展开式。2.偶延拓  令F(x)={cf(x),&0≤x≤π&f(-x),&-π<x<0}\end{array} ight.$< span="">，则F(x)是定义在(-π,π]上的偶函数，将F(x)在(-π,π]上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数. 再限制x在(0,π]上，就得到f(x)的余弦级数展开式。

“金属物质与其它物质不同的地方，在于其最外层的电子很松弛地束缚于原子，电子能够很容易地逃离原子。因此，满布于金属的内部，有很多未被束缚的电子，毫无目标地游动，就好像一群无家可归的醉汉。当施加电压于一根金属导线的两端，这些自由电子会朝着电

中文译名Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。概要介绍* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 基本性质线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( x ight )和g left(x ight)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[alpha f+eta g]=alphamathcal[f]+etamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；频移性质若函数f left( x ight )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i omega_ x}]=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt；微分关系若函数f left( x ight )当|x| ightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f"(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal[f"(x)]=-i omega mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(pminfty)=f"(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i omega)^ mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。卷积特性若函数f left( x ight )及g left( x ight )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g] 。卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。Parseval定理若函数f left( x ight )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。f(t) = mathcal^[F(omega)] = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.傅里叶级数主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft[a_ncos(nx)+b_nsin(nx) ight], 其中an和bn是实频率分量的振幅。离散时间傅里叶变换主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。时频分析变换主条目：时频分析变换 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.变换 时间 频率连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

光波傅立叶滤波软件原理如下，引入变换的概念，将数学上周期信号的傅里叶级数展开应用于光学， 对应于将复杂的图像分解为一系列单频信息的合成。

一个主要的应用就是电力系统之中谐波分析。传统的谐波分析理论基础是傅里叶分析，随着计算机、微处理器的广泛应用，数字技术在这一领域越来越多地被采用出现了离散采样的傅里叶变换（DFT），电力系统的谐波分析目前大多是通过该方法实现的。电力系统谐波测试：基于傅里叶变换的谐波测量。基于傅里叶变换的谐波测量是当今应用最多也是最广泛的一种方法。使用此方法测量谐波精度较高功能较多使用方便。其缺点是需要一定时间的电流值，且需进行两次变换计算量大计算时间长，从而使得检测时间较长检测结果实时性较差。而且在采样过程中当信号频率和采样频率不一致时使用该方法会产生频谱泄漏效应和栅栏效应使计算出的信号参数即频率、幅值和相位）不准确尤其是相位的误差很大无法满足测量精度的要求因此必须对算法进行改进加快测量数度。扩展资料：基于DFT的谐波分析原理就是把时域信号变换到频域相当于使数据样本通过一个梳状滤波器各滤波器的中心频率恰好是各次谐波的中心点理论上只要满足这一条件就能保证各次谐波的准确测量。电力系统中的电压与电流为周期函数且满足荻里赫利条件，因此可将电压和电流分解为傅里叶级数形式，从而可以求出基波分量以及各次谐波分量。

不止是2π，任何周期函数都可以，高等数学里有，在无穷级数那一章。

傅里叶级数的和函数是分段函数，法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。法国数学家J·-B·-J·傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯·博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

复指数形式的傅里叶级数是指将傅里叶级数中正弦、余弦函数用复指数函数来表示的形式，它的一般形式为：其中，$i$表示虚数单位，$omega$表示角频率，$c_n$为傅里叶系数，可以通过函数$f(x)$的周期性和积分运算来计算。复指数形式的傅里叶级数可以将正弦、余弦函数表示为复指数函数，从而简化傅里叶级数的求解和处理过程，同时方便进行傅里叶级数的运算和推导。需要注意的是，虽然复指数形式的傅里叶级数和三角形式的傅里叶级数表达方式不同，但它们表示的是同一个函数，可以相互转化。同时，复指数形式的傅里叶级数在处理一些具有复杂周期性的信号时，具有一定的优势和应用价值。

是的 。只要可以延拓就行。

可以看成傅里叶级数。1.让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶(1768 - 1830)给我们留下了上面这句意味深长的名言，以此强烈提醒我们要不断地把与自然的联系作为知识的灵感来源。这句话再恰当不过了，因为无论是从字面上的还是象征意义来看，傅里叶本人最大的贡献——傅里叶，都源于他对自然的深入研究。2.自古以来，圆形作为人类所能理解的抽象形状，再简单基础不过。一个圆心和一条固定长度的半径就能确定它--圆周上的每一点都与圆心完全等距。理解傅里叶级数(和由此的傅里叶变换，以及离散傅里叶变换)的关键是我们人类一个古老的欲望，即想用与圆有关的项来表示一切。这篇文章的其余部分围绕着这个妙不可言的联系，傅里叶观察的核心就源于下面这个优雅而又引人入胜的认识：从一个圆简单地旋转中就可以创造出正弦和余弦的三角函数。3.更重要的是，这个级数之所以以他的名字命名，是因为他推导出了一种巧妙的方法，对他的发现结果进行了逆向分析操作：傅里叶级数的建立和所需的傅里叶分析是揭示所有收敛于目标函数的正弦和余弦波所必需的过程。具体来说，这一逆分析包含推导出各独立圆周旋转运动的系数（圆的半径)和频率(“旋转速度”），以及用这些圆形运动叠加来模拟任何一般周期函数。4.傅里叶级数是与泰勒级数等价的圆和波。假设你不熟悉这一点，傅里叶级数只是一个长而令人畏惧的函数，它能将任何周期函数分解成一个个简单的正弦和余弦波。这似乎是一个令人困惑的概念，但几乎任何函数都可以表示为由旋转的圆周运动产生的一系列正弦和余弦波。为了让您了解这种新观念有多普遍，请查看下面的动图示例，仅仅使用一系列叠加的圆周运动，我们就能成功勾勒出一只展翅小鸟的图案：_5.每个旋转的圆都转为正弦或余弦：傅里叶级数的更深含义，在于可以通过傅里叶变换应用于更为一般的非周期函数，长期以来这一直是数学物理、工程和信号处理的主要分析方法之一。傅里叶级数是所有数字信号处理的关键基础 -- 花一点时间就可以意识到其广泛性。傅里叶的工作引发了更宽广的基础和应用研究，一直发展至今。正如我们将在下文看到的，虽然傅里叶级数最初只用于描述自然界存在的各种波运动中的周期函数，例如光波和声波，但它的理论推广到了更广的场景，例如小波分析和局部三角分析的最新理论所依据的时频分析。一、两者的频谱特点1、周期信号的频谱特点：周期信号的频谱是离散的。2、非周期信号的频谱特点：非周期信号的频谱是连续的。二、两者的物理意义1、周期信号表示成傅里叶级数形式，对应的频率分量的系数就是该频率分量的具体幅值。2、非周期信号借鉴了傅里叶级数的推导方式，将周期推广到了无穷大，得到了傅里叶变换，傅里叶变换得到的是频谱密度函数，每个频率点对应的数值并不是信号在该频率上分量的实际幅值；必须要除以信号的周期（即无穷大）才是实际幅值，所以可以说非周期信号在任意频率分量上的幅值都是零。拓展资料：周期信号的信号分割：1、信号可以是模拟的，也可以是数字的。如果它是连续时间和连续值，那么它是一个模拟信号。如果它是离散时间和离散值，那么它就是数字信号。除了这种区别，信号还可以分为周期信号和非周期信号。2、周期信号是在一段时间后重复自己的信号，而非周期信号不重复自己。模拟信号和数字信号可以是周期性的，也可以是非周期性的。3、区分周期信号和非周期信号的方法：(1)周期信号的频谱是离散的，而拟周期信号的频谱是连续的。(2)由于周期信号可以由一组频率的整数倍的三角函数表示，因此它是频域中的一个离散频率点。当一个准周期信号进行傅里叶变换时，n趋于无穷，所以它在频谱上是连续的。

　　很多人都以为学数学就不用背书了，其实数学也有一些公式要背熟的，比如说积化和差公式记忆口诀怎么记?的我已经掌握背诵要点，现在就告诉你们怎么背哦。 　　积化和差公式记忆口诀怎么记 　　积化和差口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加;异名函数取正弦，正弦相乘取负号。积化和差最后的结果是和或者差;若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加。 　　若不是，则结果为两项相减;若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项;若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。 　　积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。 　　积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。 　　这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域来判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是[-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。 　　积化和差的应用 　　(1)积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。 　　(2)在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。 　　运算过程：将两个数通过乘、除10的幂方，化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式 化为 的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。 　　(3)在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数，特别是在需要将以2π为周期和以2L为周期的函数展开为傅里叶级数的时候。 　　被展开函数 一般也是三角函数，但其 与傅里叶系数公式中的三角函数不同，这就为最终求解系数带来很大困难，因为求解系数的过程中，要求一个在 周期内的积分，若被积函数是 ，直接积分非常困难，若运用积化和差将乘积的积分化为加减运算的积分，将使问题变得容易解决，使用计算机处理时效率也会更高。 　　积化和差公式记忆口诀怎么记?关于这个记忆口诀，我们的我就先和你们分享到这里了哦，还有什么学习的问题也可以和我们一起探讨哦。

f(x)在x=a处展成Taylor级数：f(x)=f(a)+f "(a) (x-a)+f ""(a) (x-a)^2/2! + f """(a) (x-a)^3/3!+......

傅里叶级数针对的是周期函数,傅里叶变换针对的是非周期函数,本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加,都有相似的特性,因为四种傅里叶表示都利用了复正选信号,这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法.

因为在频谱域中存在负频，如果你应用到电子领域的话，会发现这个很必要的

将级数的内容按上图分类。在 常数项级数 部分，我们需要知道其 敛散性 和 审敛法 。在 函数项级数 部分，书上提到了 幂级数 和 三角级数 。幂级数部分，我们需要知道其 敛散性，审敛法，运算，将函数展开成幂级数以及函数的幂级数展开式的应用 。三角级数部分，主要是 函数展开成三角级数（即傅里叶级数） 。 概念 ：给定一个 数列 那么由这数列构成的表达式 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数，记为 。 概念 ：各项都是正数或是零的级数。 正项级数收敛的充要条件 ：它的部分和数列 有界。（根据单调有界的数列必有极限以及有极限的数列是有界数列的性质可知） 审敛法 ： 概念 ：各项是正负交错的级数。 审敛法 ：（ 莱布尼茨定理 ）如果交错级数 满足条件： （1） ； （2） ， 那么级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 。 （对于不满足条件2的情况，举个例子 ，此时其级数不收敛。） 概念 ：各项为任意实数。 绝对收敛 ：如果级数 各项的绝对值所构成的正项级数 收敛，那么级数 绝对收敛。 条件收敛 ：如果级数 收敛，而级数 发散，那么级数 条件收敛。 绝对收敛和条件收敛的关系 ：如果级数 绝对收敛，那么级数 必定收敛。（其实挺容易理解的，毕竟各项取绝对值求和结果都趋于某个特定值，那不取绝对值的情况下一定会趋于一个更小的值，而不是到正无穷。也到不了负无穷） 审敛法 ：对于一般的级数 ，如果用正项级数的审敛法判定级数 收敛，那么此级数收敛。如果用比值审敛法或根值审敛法判定级数 发散，那么级数 发散（因为可推知 不成立）。

傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。[1]公式给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：（j为虚数单位）（1）其中，可以按下式计算：（2）注意到；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=pm 1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 教材习题1-1全解 第二节 数列的极限 教材习题1-2全解 第三节 函数的极限 教材习题1-3全解 第四节 无穷小与无穷大 教材习题1-4全解 第五节 极限运算法则 教材习题1-5全解 第六节 极限存在准则两个重要极限 教材习题1-6全解 第七节 无穷小的比较 教材习题1-7全解 第八节 函数的连续性与间断点 教材习题1-8全解 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教材习题1-9全解 第十节 闭区间上连续函数的性质 教材习题1-10全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题一全解 自测题及参考答案第二章 导数与微分 第一节 导数概念 教材习题2-1全解 第二节 函数的求导法则 教材习题2-2全解 第三节 高阶导数 教材习题2-3全解 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 教材习题2-4全解 第五节 函数的微分 教材习题2-5全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题二全解 自测题及参考答案第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 教材习题3-1全解 第二节 洛必达法则 教材习题3-2全解 第三节 泰勒公式 教材习题3-3全解 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教材习题3-4全解 第五节 函数的极值与最大值最小值 教材习题3-5全解 第六节 函数图形的描绘 教材习题3-6全解 第七节 曲率 教材习题3-7全解 第八节 方程的近似解 教材习题3-8全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题三解答 自测题及参考答案第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 教材习题4-1全解 第二节 换元积分法 教材习题4-2全解 第三节 分部积分法 教材习题4-3全解 第四节 有理函数的积分 教材习题4-4全解 第五节 积分表的使用 教材习题4-5全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题四解答 自测题及参考答案第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教材习题5-1解答 第二节 微积分基本公式 教材习题5-2解答 第三节 定积分的换元法和分部积分法 教材习题5 3解答 第四节 反常积分 教材习题5-4解答 第五节 反常积分的审敛法 T函数 教材习题5-5解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题五解答 自测题及参考答案第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何上的应用 教材习题6-2解答 第三节 定积分在物理学上的应用 教材习题6-3解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题六解答 自测题及参考答案第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 教材习题7-1解答 第二节 可分离变量的微分方程 教材习题7-2解答 第三节 齐次方程 教材习题7-3解答 第四节 一阶线性微分方程 教材习题7-4解答 第五节 可降阶的高阶微分方程 教材习题7-5解答 第六节 高阶线性微分方程 教材习题7-6解答 第七节 常系数齐次线性微分方程 教材习题7-7解答 第八节 常系数非齐次线性微分方程 教材习题7-8解答 第九节 欧拉方程 教材习题7-9解答 第十节 常系数线性微分方程组解法举例 教材习题7 10解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题七解答 自测题及参考答案第八章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 教材习题8-1解答 第二节 数量积向量积混合积 教材习题8-2解答 第三节 曲面及其方程 教材习题8-3解答 第四节 空间曲线及其方程 教材习题8-4解答 第五节 平面及其方程 教材习题8-5解答 第六节 空间直线及其方程 教材习题8-6解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题八解答 自测题及参考答案第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 教材习题9-1解答 第二节 偏导数 教材习题9-2解答 第三节 全微分 教材习题9 3解答 第四节 多元复合函数的求导法则 教材习题9-4解答 第五节 隐函数的求导公式 教材习题9-5解答 第六节 多元函数微分学的几何应用 教材习题9-6解答 第七节 方向导数与梯度 教材习题9-7解答 第八节 多元函数的极值及其求法 教材习题9-8解答 第九节 二元函数的泰勒公式(略) 教材习题9-9解答 第十节 最小二乘法(略) 教材习题9-10解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题九解答 自测题及参考答案第十章 重积分 第一节 二重积分的概念及计算 教材习题10-1解答 第二节 二重积分的计算法 教材习题10-2解答 第三节 三重积分 教材习题10-3解答 第四节 重积分的应用 教材习题10-4解答 第五节 含参变量的积分 教材习题10-5解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题十解答 自测题及参考答案第十一章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 教材习题11-1解答 第二节 对坐标的曲线积分 教材习题11-2解答 第三节 格林公式及其应用 教材习题11-3解答 第四节 对面积的曲面积分 教材习题11-4解答 第五节 对坐标的曲面积分 教材习题11-5解答 第六节 高斯公式通量与散度 教材习题11-6解答 第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 教材习题11-7解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题十一解答 自测题及参考答案第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 教材习题12-1解答 第二节 常数项级数的审敛法 教材习题12-2解答 第三节 幂级数 教材习题12-3解答 第四节 函数展开成幂级数 教材习题12-4解答 第五节 函数的幂级数展开式的应用 教材习题12-5解答 第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 教材习题12-6解答 第七节 傅里叶级数 教材习题12-7解答 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 教材习题12-8解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题十二解答 自测题及参考答案

若将重磁异常的空间变化视为周期无限大的周期函数，于是可以把重磁异常分解成为各种频率的谐波，这些谐波幅度是随空间变化的。各种频率的谐波又具有各不相同的振幅和初相位，因此可以把重磁异常看成是这种谐波所组成的。这些谐波的振幅和初相位是频率的函数，此种关系分别称为振幅谱和相位谱，它们又统称为频谱。重磁异常的频率是以波数表示的，因此空间频率域又称波数域。用一组空间波来表示磁异常（或重力异常），在数学上称为傅里叶展开。假设在一条长为2L的剖面上测得磁异常（或重力异常，以下同）为T（x），T（x）是以2L为周期的周期函数。最简单的空间波为正弦波（或余弦波），可写为T（x）＝Asin（ωx＋ϕ）式中：A为振幅；ϕ为初相位；ω为角波数（相当于角频率）；ω＝2πf，f为波数（相当于频率)， ，2L为波长（相当于周期）。任何一个复杂的T（x）都可以由不同频率的简单正弦波叠加而成，故T（x）可表示为勘探重力学与地磁学经展开后得勘探重力学与地磁学式中： ；ak＝Aksinϕk；bk＝Akcosϕk； ； ，（k＝0，1，2，…）。如果ak，bk确定，则可确定Ak，ϕk。ak，bk（k＝0，1，2，…）称为傅里叶系数。已知：勘探重力学与地磁学勘探重力学与地磁学已知磁异常T（x）及剖面长2L，便可求出傅里叶系数ak，bk，并算出Ak，ϕk。通常称数列A0，A1，A2，…为T（x）的振幅谱；数列ϕ0，ϕ1，ϕ2，…为T（x）的相位谱。为了求得Ak，ϕk，就要对重磁异常做傅里叶展开。下面讨论磁场的一般傅里叶级数表达式。应用欧拉公式，傅里叶级数可写成复数形式：勘探重力学与地磁学式中： 。若把ak，bk计算公式代入Ck，则得勘探重力学与地磁学由于k仅取整数，故Ck是离散值。因此，Ck称为离散谱，此时有 ，k＝1，2，…由于重磁异常T（x）绝对可积，且在任何一个区间内都是有界的，只有有限个不连续点和有限个极值点，故可表示为傅里叶积分。由傅里叶级数的复数形式出发，考虑到2L➝∞，经变换后，可得到傅里叶积分如下：勘探重力学与地磁学勘探重力学与地磁学称ST（ω）为T（x）的傅里叶变换，称T（x）为ST（ω）的反傅里叶变换。并统称（10-84）式与（10-85）式的积分为傅里叶积分。称ST（ω）为重磁异常T（x）的频谱。考虑到ω＝2πf，则上式还可以写成如下形式：勘探重力学与地磁学勘探重力学与地磁学

傅里叶级数干什么的，这个给你讲起来很复杂。在不同的领域有不同的应用。简单说就是可以从频域去分析一个函数。比如说在通信领域，时域分析一个信号有时候计算非常复杂，相反在频域会很简单。我们把它延拓是为了更方便写出它的傅里叶级数。但是，根据这个写出的傅里叶级数不完全等价于原函数。等价的是延拓的函数。这样有它的意义就是，这个延拓的函数在(0,1）区间内与原来的函数是一样的。其实傅里叶不需要周期函数的界定，非周期的你可以认为它是周期无穷大的.不懂的在追问吧,

可以提出来。傅里叶级数（周期函数）：任何满足狄利克雷收敛条件的周期函数都能用一系列三角函数的和来表示。傅里叶变换（非周期函数）：傅里叶变换从傅里叶级数变换而来，且傅里叶变换的应用不仅限于周期函数，也适用于非周期函数。1. 三角函数系的正交性定义三角函数系为这样一个集合：；三角函数系的正交性是指：从三角函数系中任取两个不同的元素，它们的乘积在上的定积分等于零。证明如下图：2. 周期为“2π”的函数展开为傅里叶级数设是周期为的周期函数，即：。这样的函数，我们可以将它展开成如下形式：可以看出，在取时，对应着展开式的常数项，让我们将它稍微拆分一下，把常数项单独拎出来：又因为：，，所以展开式可以写成：式中，系数，，可以用原函数和三角函数表示出来，让我们逐个计算一下：① 考虑 技巧为：对展开式的等号两边同时在上进行积分，计算如下：由上面介绍过的三角函数系的正交性可以看出，等号右边第二项和第三项其实都等于零，可以消掉，消掉后运算就变得很简单：

傅里叶变换的导数定理可以被证明是成立的。1、傅里叶变换与傅里叶级数展开傅里叶变换和傅里叶级数展开都可以用于描述信号在频域的特性。其中，傅里叶级数展开适用于周期信号，而傅里叶变换适用于双边无限长的非周期信号。傅里叶变换和傅里叶级数展开之间的关系是傅里叶变换可以看作是傅里叶级数展开的极限情况。2、傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义是一个积分式，将时域信号转化为复数的频域表示。傅里叶变换的复数结果中，实部表示信号的幅度，虚部表示信号的相位。傅里叶变换可以将一个信号从时域域转换到频域域。3、导数定理的定义傅里叶变换的导数定理是说，在时域中求一个函数的导数，等价于在频域中对函数进行傅里叶变换并对其进行一些操作。导数定理被用来计算信号在频域中的斜率，这个对于滤波器的设计等很重要。4、导数定理的证明为了证明导数定理成立，我们需要对傅里叶变换的定义式进行求导，然后用分部积分对结果进行简化。最终的结果将展示出在时域利用函数的导数等价于在频域中进行傅里叶变换的结论。详细的证明过程可以参考相关信号与系统的教材。5、总结傅里叶变换是一个非常重要的工具，在信号处理中起着至关重要的作用。导数定理则是傅里叶变换理论中的一个基本定理，适用于计算信号的斜率。了解这些知识有助于我们更好地理解信号与系统，也有助于我们进行更精细的信号处理与控制。6、应用导数定理在信号处理中的应用非常广泛，比如在信号滤波、进一步的微分和积分以及信号估算中都有应用。例如，我们可以根据导数定理来计算信号的斜率，得到更好的信号特性描述，并利用滤波器进行信号去噪。7、注意事项在使用导数定理进行信号处理时需要注意，由于计算导数会引入高频项，会产生一些奇异情况，因此如果不适当处理，可能会导致误差和失真。此外，在实际应用中，需要根据具体问题选择最合适的方法和工具，避免误解和错误。8、拓展知识除了导数定理之外，傅里叶变换还有其他类似的基本定理，比如积分定理和平移定理。这些定理有助于进一步理解和应用傅里叶变换，在信号处理、通信、控制系统等领域都有很广泛的应用。此外，了解快速傅里叶变换(FFT)技术对提高信号处理效率也会有帮助。

法国数学家傅立叶在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。1822年，傅立叶出版了专著《热的解析理论》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅立叶的名字命名。傅立叶应用三角级数求解热传导方程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅立叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅立叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。傅立叶1822年成为科学院终身秘书。根据傅立叶级数的原理，周期函数都可以展开为常数与一组具有共同周期的正弦函数和余弦函数之和。满足Dirichlet条件的、以T为周期的时间的周期函数f(t)，在连续点处，可用下述的三角函数的线性组合（傅里叶级数）来表示：上式称为f(t)的傅里叶级数，其中，ω=2π/T。n为整数，n>=0。n为整数，n>=1。在间断点处，下式成立：a0/2为信号f(t)的直流分量。令c1为基波幅值，cn为n次谐波的幅值。c1有时也称一次谐波的幅值。a0/2有时也称0次谐波的幅值。谐波的频率必然也等于基波的频率的整数倍，基波频率3倍的波称之为三次谐波，基波频率5倍的波称之为五次谐波，以此类推。不管几次谐波，他们都是正弦波。

δ(t)是单位冲激响应，当a趋于0时，F(jw)在w=0时为无穷大，在w≠0时为0，但不是单位冲激响应。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：F(ω)=∫(∞,-∞) f(t)e^(-iωt)dtf(t) = (1/2π) ∫(∞,-∞) F(ω)e^(iωt)dω令： f(t)=δ(t)，那么： ∫(∞,-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1而上式的反变换：(1/2π) ∫(∞,-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) //：Dirac δ(t) 函数；从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)扩展资料；f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。参考资料来源：百度百科-傅立叶变换

第八章 多元函数微分法及其应用8-1 多元函数的基本概念8-2 偏导数8-3 全微分8-4 多元复合函数的求导法则8-5 隐函数的求导公式8-6 多元函数微分学的几何应用8-7 方向导数与梯度8-8 多元函数的极值及其求法8-9 二元函数的泰勒公式8-10 最小二乘法　第九章 重积分9-1 二重积分的概念与性质9-2 二重积分的计算法9-3 三重积分9-4 重积分的应用9-5 含参变量的积分　　第十章 曲线积分与曲面积分　 10-1 对弧长的曲线积分10-2 对坐标的曲线积分10-3 格林公式及其应用10-4 对面积的曲面积分10-5 对坐标的曲面积分10-6 高斯公式 通?与散度10-7 斯托克斯公式 环流量与旋度　　第十一章 无穷级数11-1 常数项级数的概念和性质11-2 常数项级数的审敛法11-3 幂级数11-4 函数展开幂级数11-5 函数的幂级数展开式的应用11-6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质11-7 傅里叶级数11-8 一般周期函数的傅里叶级数　　第十二章 微分方程12-1 微分方程的基本概念12-2 可分离变量的微分方程 12-3 齐次方程12-4 一阶线性微分方程12-5 全微分方程12-6 可降阶的高阶微分方程12-7 高阶线性微分方程12-8 常系数齐次线性微分方程12-9 常系数非齐次线性微分方程12-10 欧拉方程12-11 微分方程的幂级数解法12-12 常系数线性微分方程组解法举例

傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 为什么偏偏选择三角函数而不用其他函数进行分解？我们从物理系统的特征信号角度来解释。我们知道：大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究，无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。线性时不变系统可以这样理解：输入输出信号满足线性关系，而且系统参数不随时间变换。对于大自然界的很多系统，一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量！当然，指数信号也是系统的特征向量，表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的，或者既有波动又有指数衰减（复指数 形式），因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是，如果输入是方波、三角波或者其他什么波形，那输出就不一定是什么样子了。所以，除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是线性系统的特征信号。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于：正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理，这时是离散系统的“特征向量”。这里没有区分特征函数和特征向量的概念，主要想表达二者的思想是相同的，只不过一个是有限维向量，一个是无限维函数。傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式；为什么方波或者三角波如此“简单”，我们非要展开的如此“麻烦”；为什么对于一个没有什么规律的“非周期”信号，我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(或复指数)是特征向量。 什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。什么是频域？频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。 时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一，就是传说中的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)。 根据原信号的不同类型，我们可以把傅里叶变换分为四种类别：1非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅里叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅里叶变换(real DFT)，再去理解复数傅里叶就更容易了，所以我们先把复数的傅里叶放到一边去，先来理解实数傅里叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。如 上图所示，实信号四种变换在时域和频域的表现形式。还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。图像傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅里叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。另外说明以下几点：1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。 将其发展延伸，构造出了其他形式的积分变换: 从数学的角度理解积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数。也可以理解成是算内积，然后就变成一个函数向另一个函数的投影：K（s，t）积分变换的核(Kernel)。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。学术一点的说法是：向核空间投影，将原问题转化到核空间。所谓核空间，就是这个空间里面装的是核函数。下表列出常见的变换及其核函数： 当然，选取什么样的核主要看你面对的问题有什么特征。不同问题的特征不同，就会对应特定的核函数。把核函数作为基函数。将现在的坐标投影到核空间里面去，问题就会得到简化。之所以叫核，是因为这是最核心的地方。为什么其他变换你都没怎么听说过而只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换呢？因为复指数信号才是描述这个世界的特征函数！

同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的伯努利方程外，其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第八章空间解析几何与向量代数;第九章第五节不考方程组的情形;到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了。

离散信号傅里叶变换的公式如下所示： 离散傅里叶变换的原理是将原本非周期的信号复制扩展为周期信号，在实际的数字电路处理中，处理的信号是有限长的，取长度为N，即N为信号 的周期，对于有限长周期信号，其离散傅里叶变换有如下性质： 其中 为周期信号的傅里叶级数，而 表示当且仅当 时有 ，因此可以将傅里叶变换转为离散表达，如下所示： 考虑 以N为周期，因此仅需要计算k从0到N-1即可，取 此公式写成矩阵乘法模式如下所示： W为一个 的方阵，该计算的复杂度为 对于系数矩阵中的元素 ，其公式如下所示： 考虑 ，推导公式如下所示： 再考虑 和 的情况： 再考虑 和 的情况： 最后考虑 且 或 的情况： 根据上述推导，可以得出系数W具有以下四条性质，这三条性质会在后续推导中用到： 基n快速傅里叶变换用于一个长度N为 的序列，例如基2快速傅里叶作用在 的序列上，基4快速傅里叶作用在 的序列上。现在考虑基2FFT的推导（硬件实现一般使用基4或基8FFT实现），首先写出有限长离散序列的傅里叶变换，记一个信号 的FFT变换为 ： 快速傅里叶变换的核心思想为 分而治之 ，即 分治法 ，该思想的核心是将一个长度为N的问题，分级为两个长度为 的问题，应用在这里即是需要将一个序列长度为N的FFT变换问题分解为两个序列长度为 的FFT变换。首先进行如下变换： 矩阵的形式如下所示： 根据W的性质 ，代入后有： 矩阵形式的表达如下所示，现在的矩阵为两个个高度为N，长度为N/2的矩阵。 代入 ，根据W的性质 有： 矩阵表达如下所示： 代入 ，根据W的性质 有： 矩阵表达如下所示： 根据上述推导，一个长度为N点的离散傅里叶变换被变为一个长度为 的离散傅里叶变换，取 公式如下所示： 根据频域抽取基2FFT的算法，除了按前后分类外，还可以直接按奇偶进行分类，公式如下所示： 对应的矩阵表示为： 取序列 ， 代入上述表达式，取 再代入W的变换性质可得： 其对应的矩阵为： 即将对F[k]的上半部分结果分解为两个FFT结果的和，即： 现在考虑F[k]的下半部分，公式如下所示： 取 ，代入有： 代入W的性质 和 ，有： 将变量i更换为k，其矩阵形式为： 最终可以将结果汇总为： 蝶形运算的公式如下，蝶形运算输入为 和 ，输出为 和 ，系数为 ： 其转换为矩阵表达为： 蝶形公式对应着2点FFT的计算，2点FFT的计算如下所示： 转换为矩阵表达为： 对应到蝶形运算有： 首先列出基2频域抽取FFT的分治公式： 以一个8点FFT为例，输入序列为： 进行第一次分治，分为两个4点FFT，序列为： 示意图如下所示，偶数标号的结果由第一个FFT生成，奇数标号的结果由第二个FFT生成： 随后进行第二次分治，将每个4点FFT分解为两个2点FFT，每个序列为： 示意图如下所示： 最终通过2点FFT计算出结果，但如上图所示，计算出的结果位置与标号并不对应，例如计算输出的标号为2的数据（Y10[1]）应当位于输出序列（X）的标号4（X[4]）。其变换规律为计算输出的标号为n的数据（第n+1个数据）对应到输出序列标号为m的数据，n为m的二进制反序。以计算输出标号为6（第七个数据）的数据Y13[0]为例，6的二进制为110，反序为011，对应十进制数为3，即有 。 首先列出时域抽取FFT的分治公式：

傅里叶变换（法语：Transformation de Fourier、英语：Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。应用傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中，傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

这个就相当于一个展开问题，从一个域转化成为另一个域，而人看待问题时总喜欢在有限的范围内看到规律，于是就出现各种变换，例如在空域中我们不容易观察出图像的整体结构，那么将其转化到频域后可以看到轮廓和细节所占的比重

冲激函数的傅里叶变换就是个常数，根据不同的傅里叶变换的定义可能是不同的常数(1或者1/2pi之类）

关于傅里叶变换和冲击函数δ(t) 1）根据定义可求得 e^(-αt)ε(t)→1/(α jω) 但是由于 ε(t)→πδ(ω) +1/(jω) 根据频移特性就有 e^(-αt)ε(t)→πδ(ω-αj) +1/(j(ω-αj))=πδ(ω-αj) +1/(α+ jω) 为什么会多出一项呢？ 2） δ(t)的偶次导数是偶函数，奇次导数是奇函数，那么似乎就该有 δ"(t)=-δ"(-t)，于是δ"(0)=0。显然是不对的。有人说奇异函数其实不能算作函数但是我实在弄不明白什么时候它是函数，什么时候又不是。比如δ"(t)，它在t=0处的值是多少呢？还是根本就没有意义？如果它的值没有意义那么为什么这个函数是有用的...

先说一下三个变换的定义，写一下公式（包括逆变换）然后说关系：傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πfZ变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ，单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.*****************************************************考试题目看分数多少，压轴大题的话，就多写点，自己再展开细化一下，我上面也只是点到为止，但内容基本上就是这些。

x就是x 没有很复杂的我们通常都是吧 指数 对数化成x的幂次方

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t)[0,∞]或0≤t≤∞单边函数其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt其中积分下标取0-而不是0或0+，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。希尔伯特变换一物理可实现系统其传递函数为一解析函数，而其冲激响应必为因果函数(即时，冲击响应为0)。也就是说时域的因果性与频域得解析性是等效的。

因为需要收敛。法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数（法文：sériedeFourier，或译为傅里叶级数）一种特殊的三角级数。

就是这一区间里，函数至多有有限个第一类间断点，这个函数至多有有限个导数不存在的点，除了这些导数不存在的点，其他小区间内导函数连续。而这些点的导数的左右极限存在

F(x)的Fourier级数在x0收敛于F(x0)，若F(x)在x0连续的话。本题中收敛于F(4pi)=F(2pi)=4pi^2。

根据是【收敛定理】也称【狄里克雷收敛定理】定理结论是【在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x)；在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0)）/2，即f(x)在间断点处的左右极限的平均值。

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