傅里叶变换的性质

ft=$(w+3)+$(w-3)

1线性性 2对称性 3相似性 4平移性 5像函数的平移性(频移性) 6微分性 7像函数的微分性 8积分性 9卷积与卷积定理 10乘积定理 11能量积分

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DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。下面对这些性质进行简单阐述及必要证明。通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。周期性；k为整数线性性DTFT为线性变换，因此有　　时间反转因此有：共轭对称性因此有：卷积特性即：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。 相乘特性　　 对偶性对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要内在联系,提供了重要的理论根据。

对于tf(2t),应先利用尺度变换性质求f(2t)的频谱为F(w/2)/2,然后再利用线性加权性质（或频域微分性质）求,对上一个结果以w为变量进行微分,再乘以虚数因子j,结果为jF`(w/2)/4.对于第二个则先利用时域微分性质求出df(t)/dt的变换为jwF(w),然后再利用线性加权性质求,对jwF(w)以w为变量进行微分,再乘以虚数因子j,结果为-F(w)-wF`(w)

齐次性： 如果 x[ ] 和 X[ ] 是傅里叶变换对，那么k[ ] 和 kX[ ] 也是傅里叶变换对               如果在直角坐标系下描述频域，kX[ ] 表示实部和虚部都要乘以k               若果是在极坐标系下描述频域，kX[ ] 表示幅值乘以k, 相位不发生变化可加性 ：傅里叶变换不具备位移对称性，时域位移不能相应地引起频域位移。显然，时域信号位移，正弦函数们也发生相应的位移，正弦函数位移则是相位的改变。 if x[ n ] <-> Mag X[ f ]  & Phase X[ f ]，那么时域位移结果是x [n+s] <-> Mag X[f] & Phase X[f] + 2 sf 如果一个信号是左右对称的，且关于零点对称，那么是零相位，如果不关于零点对称，则为线性相位，即相位曲线是一条直线。如果一个信号不是左右对称的，则为非线性相位。 时域波形向右移动，相位倾斜减少，向左位移，向上倾斜逐渐增大。位移对应着坡度改变 在一个域内的信号压缩会导致另一个域内的扩展，反之亦然。 如果X(f)是x(t)的傅里叶变换，那么 就是x(kt)的傅里叶变换。如果一个时域信号被压缩得非常厉害以致于变成脉冲，则相应地频谱会被一直延展成一个常量。同样的，如果频域一直扩展成常量，频域就会变成一个脉冲。

傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数 和 的傅里叶变换 和 都存在， 和 为任意常系数，则有 若函数 的傅里叶变换为 ，则对任意的非零实数 ，函数 的傅里叶变换 存在，且等于 对于 的情形，上式表明，若将 的图像沿横轴方向压缩 倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽 倍，同时高度变为原来的 。对于 的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。 若函数 的傅里叶变换为 ，则存在 若函数 的傅里叶变换为 ，则对任意实数 ，函数 也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换 等于 也就是说， 可由 向右平移 得到。 若函数 的傅里叶变换为 ，且其导函数 的傅里叶变换存在，则有 即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则 即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。 若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数 的傅里叶变换存在，且 若 的傅里叶变换为 ， 的傅里叶变换为 ，则有 若函数 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则有 上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数 ，有 上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间 上的一个运算符（若不考虑因子 ）。

总的来说，傅里叶变换有这样几个性质：线性性质（Linearity）平移性质（Shift）对称性质（Symmetry）卷积性质（Convolution）线性性质：两个函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和，反之亦然。平移性质：在时域上对信号进行平移，那么等价于在频域的复平面上旋转一个角度，相反的，频域的复平面上旋转一个角度，等价于时域上的平移，可以证明平移只对DFT的相位有影响，并不会改变DFT的幅度。详解请看原文链接：https://blog.csdn.net/weiwei9363/article/details/84431146

傅里叶变换性质有线性、位移、微分、积分。1、线性性质：函数线性组合的傅里叶变换=各函数傅里叶变换的线性组合。2、位移性质（shift信号偏移，时移性）。3、微分性质：一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换乘以因子iw。4、积分性质：一个函数积分后的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换除以因子iw。利用傅氏变换的这四条性质，可以将线性常系数微分方程转化成为代数方程，通过求解代数方程和求傅氏逆变换，可得到微 分方程的解。位移性质：f（t-t0）表示时间函数f（t）沿t轴向右平移t0，其傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（-iwt0），类似f（t+t0）的傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（iwt0）而F（w-w0）的表示频谱函数沿w轴向右平移w0，其傅里叶逆变换=F（w）的傅里叶逆变换乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）