自然数

十的自然数是10。而一到十之间的自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。10，相当于汉字"十"。是位于9与11之间的自然数、正整数。在十进制中，10是最小的两位数，写法是一个1后面加一个0，是一个合数，有4个因数（约数），是一个有理数。10在数学中的更多解释：大写拾。英文ten（十）tenth（第十）。最小的两位数。进位制十进制10。2位数中最小的偶数、最小的合数。第5个合数，正约数有1、2、5和10。前一个为9、下一个为12。第9个亏数，真约数和为8，亏度为2。前一个为9、下一个为11。第6个不寻常数，大于平方根的素因数为5。前一个为7、下一个为11。第4个半素数。前一个为9、下一个为14。第7个无平方数约数的数。前一个为7、下一个为11。第10个十进制的哈沙德数。前一个为9、下一个为12，亦为第一个2位数的哈沙德数。

在一个大于0自然数后面，加上百分比，比原来的数小百分之（1－所加的百分比）。

小数：1.纯小数 2.带小数分数：1.真分数 2.假分数（1）等于1（2）大于1百分数：只表示两个数之间的关系，不能表示一个具体的量

自然数：0和正整数 纯小数：不带整数部分的小数 分数：分子/分母 真分数：分母大于分子的分数百分数：% 假分数：分子大于分母的分数无限小数：循环小数、无限不循环小数有限小数：有尽小数循环小数：有循环节的小数纯循环小数：全部循环的小数混循环小数：带有不循环部分的小数

百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数自然数：用数码0，1，2，3，4。。。。。。所表示的数整数：像。。。-3，-2，-1，0，1，2，3.。。。这样的数统称整数参考资料：这是数学书上的原话【人教版】

可以

有小数点的是小数，整数就是0,1,2,3，-1，-2……，自然数就是非负整数（0,1，2，3……）有a/b这种结构的就是分数，如2/3.有百分号（%）的就是百分数。先算括号里的，再乘除，后加减。

这个数乘100再加一个百分号例如3可以写成300%请采纳

......都是自然数集和素数集，不能称为域，有理数，实数和复数能称为域；这个和近世代数有关。当然等势啦。首先素数是自然数的子集，因此素数的势只有两个可能，一个是啊列夫0，一个是有限集。如果是有限集，也就是素数的个数是有限多个，那么设N是所有素数的乘积。显然N+1不能被任何一个素数整除，因此N+1不是合数，当然也是素数，矛盾。因此素数有无穷多个。显然素数和自然数等势

设A是所有偶自然数构成的集合，B是所有3的倍数的自然数构成的集合，对应2n→3n(其中n是自然数)是从A到B的一一对应，所以命题成立。

黎曼假设就是关于函数的零点分布猜测，一个很高深的问题

欧拉函数是数论中很重要的一个函数， 欧拉函数是指： 对于一个正整数n， 小于n且和n互质的正整数的个数， 记做：φ(n)， 其中φ(1)被定义为1， 但是并没有任何实质的意义 。定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn， 称呼这个集合为n的完全余数集合 φ(100 )= φ(25*4) =φ(25)φ(4)=φ(5^2)φ(2^2)=5φ(5)*2φ(2)=5(5-1)*2(2-1)=40

0

质数有2、3、5、7、11、13、17、19共8个。合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20共11个。

自然数更多。自然数是从1开始的正整数，而质数是指只能被1和本身整除的自然数。因此，所有质数都是自然数，但并非所有自然数都是质数。首先需要明确的是，自然数是无限的，可以一直往上数下去。而质数也是无限的，但质数分布的密度要比自然数低得多。事实上，随着自然数不断增加，质数的数量增长速度会变得越来越慢。根据素数定理，当一个数字n变得非常大时，它的质数数量将接洞逗近于n/ln(n)。其中，ln表示自然对指纯数，即以e为底数的对数。例如，当n=100时，根据素数定理，100以内的质数数量约为25个左右。而当n=1,000,000时，质数数量仅约为78,498个左右。因此，尽管质数是无限的，但它们的数量远远小于自然数的数量。在最初的自然数中，仅有2是质数，其余的自然数都可以分解成较小的因数。而随着数字的增加，质数数量的相对稀缺程度会进一步加大。综上所述，自然数的数量是质数的数量的无限倍。虽然质数是自然数的一个子集，但它们在数量上相差很大。

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。截至2012年6月底，质数尚未完全找到通项公式。 质数的无穷性的证明 　　质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下： 　　●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 　　●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 　　●如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 　　●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。 　　●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。 　　●所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 　　其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼ζ函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。 对于一定范围内的素数数目的计算 　　尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 编辑本段著名问题哥德巴赫猜想 　　在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 　　从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 　　若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。 黎曼猜想 　　黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 　　在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 　　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 孪生质数猜想 　　1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。 　　猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。 　　100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 费马数2^(2^n)+1 　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5是一个合数。 　　以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。 梅森质数 　　17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。 　　还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 　　现在，数学家找到的最大的梅森质数是2^43112609－1。 编辑本段相关定理素数定理 　　素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。　 　　素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。　素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。 算术基本定理 　　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。　 　　这样的分解称为N 的标准分解式。 　　算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。 　　算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 　　此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。 素数等差数列 　　等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）[1]。 参考资料 1． 格林和陶哲轩的成果-证明存在任意长的素数等差数列

素数分布是数论中最最重要的研究课题，因为每个合数都可以表示为素数的和，当然，最近的理论是陈景润的1+2 也就是说大合数可以表示成两个素数的乘积加上一个素数。黎曼猜想可以说是关于素数的超级无敌没有任何争议的最终猜想，如果它被证明，绝对是前无古人的，哥德巴赫猜想被称为明珠，那黎曼猜想就是太阳。你说的这个式子不太准确，黎曼也是在研究它的时候提出的黎曼猜想。关于不超过x的素数pai(x)，这个问题已经证明了，具体的你可以百度百科 素数定理

五个连续的自然数，第一个是奇数，那么这五个数的和是奇数。

23/4=5+3/423/5=4+3/5以上两个都可以，不过如果要求顺序是分子、分母和整数部分则应该是上面一个。式中+读作“又”。

显然不是.现在自然数的定义为非负整数.因此非负整数一定是自然数.

自然数的计数单位是什么?自然数的计数单位是1.

整数集：全体整数组成的集合叫整数集。在集合上用Z来表示，整数集包括正整数、负整数和零 自然数集：非负整数全体构成的集合，叫做自然数集。 数学上用字母"N"表示自然数集。因为0是整数，不是负整数，所以0属于自然数集。 全体非负整数组成的集合成为自然数集（或非负整数集），记作N。 有理数集：全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。 实数集：通俗地认为，包含所有有理数和无理数的集合就是实数集。 有限集：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在一一对应函数，则称集合A为有限集，并称其基数为n；否则称集合A为无限集。 无限集：存在一一对应函数 f：A�8�1A，使得 f (A) �8�1 A，则称集合A为无限集；否则称集合A为有限集。

自然数集：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R

整数集：全体整数组成的集合叫整数集。在集合上用Z来表示，整数集包括正整数、负整数和零 自然数集：非负整数全体构成的集合，叫做自然数集。 数学上用字母"N"表示自然数集。因为0是整数，不是负整数，所以0属于自然数集。 全体非负整数组成的集合成为自然数集（或非负整数集），记作N。 有理数集：全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。 实数集：通俗地认为，包含所有有理数和无理数的集合就是实数集。 有限集：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在一一对应函数，则称集合A为有限集，并称其基数为n；否则称集合A为无限集。 无限集：存在一一对应函数 f：A�8�1A，使得 f (A) �8�1 A，则称集合A为无限集；否则称集合A为有限集。

整数集：全体整数组成的集合叫整数集。在集合上用Z来表示，整数集包括正整数、负整数和零自然数集：非负整数全体构成的集合，叫做自然数集。 数学上用字母"N"表示自然数集。因为0是整数，不是负整数，所以0属于自然数集。 全体非负整数组成的集合成为自然数集（或非负整数集），记作N。有理数集：全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。实数集：通俗地认为，包含所有有理数和无理数的集合就是实数集。 有限集：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在一一对应函数，则称集合A为有限集，并称其基数为n；否则称集合A为无限集。无限集：存在一一对应函数 f：A�8�1A，使得f (A) �8�1 A，则称集合A为无限集；否则称集合A为有限集。

常用的就是这四个数集：自然数集,整数集,有理数集,实数集 1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集）”.0、1、2、3、4……　　0和正整数,都是自然数. 　　1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为： 　　　　N={0,1,2,3,…} 2)正整数和负整数的总称叫整数.包括0的一切实数（即不存在虚数部分的数）均为整数....-3 -2 -1 0 1 2 3... 整数集：Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...} 3）有理数：能精确地表示为两个整数之比的数.整数和分数统称为有理数.此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数. 如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0. 全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示. 4)圆周率π=3.141592653……, 又如：0.1010010001…(两个1之间依次多一个零)． 上述这些数都不是有限小数或无限循环小数,即都不是有理数,它们都是无限不循环小数．我们将,无限不循环小数,叫做无理数． 注意：(1)无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环． (2)无理数不都是带根号的数(例如π就是无理数),反之,带根号的数也不一定都是无理数 5）有理数和无理数统称为实数. 实数集：全体实数的集合. 理数集包括 整数和分数 就是除了无限不循环小数 实数包括 有理数与无理数 就是正数,负数和零 常用的大概有六个数集吧 整数集 自然数集 有理数集 无理数集 实数集 虚数集 虚数集,不用说了吧.

这个是集合的概念啊，书上有的 啊自然数集就是说所有自然数组成的集合，包括0和所有正整数以此类推，有理数集就是包含所有有理数的集合整数集就是包含所有整数的集合，即正整数、0、负整数后面两个也是一样啊

自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集分别指自然数、正整数、整数、有理数、实数的全体；例如2，可以说它是自然数，但不能说它是自然数集；也可以说它是正整数，但不能说它是正整数集；……也可以说它是实数，但不能说它是实数集.

自然数是0,1,2,3,...就是正整数加上0有理数是有限小数或则无限循环小数，就是可以写成有理分数形式实数包括有理数和无理数

者。④0不是任何元素的后继者。⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。全体非负整数组成的集合称为非负整数集，即自然数集。在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。基本单位：计数单位：个、十

断句重要，非负整数可以断句成：非／负整数 或 非负／整数

自然数 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。 　非负整数，就是正整数和零。也就是除负整数外的所有整数。 　　此外，这名词在使用初期，也有人以为是“非负”是“真实”(faith)的翻译，以致后来在四川师范大学的一名研究生，在论证此问题时，发明了“非负整数”之概念，至今这范围仍在进行学术探讨中。 正整数 定义　　在集合中可以用"N*或N+"来表示 编辑本段整数分类 　　我们以0为界限，将整数分为三大类 　　1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3，…，n，… 　　2.0 既不是正整数，也不是负整数。 　　3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3，…，-n，… 　　4、0是整数。 整数（Integer）：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、… (n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）． 　有理数（rational number) 　　读音:(yǒu lǐ shù) 　　整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 　　任何一个有理数都可以在数轴上表示。 　　其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 　　这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 　　数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。 　　无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π） 　　有理数和无理数统称为实数。 　　所有有理数的集合表示为Q。 　　有理数包括： 　　(1)自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数. 　　(2)正整数：＋1，＋2，＋3，……叫做正整数。 　　(3）负整数：－1，－2，－3，……叫做负整数。 　　(4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 　　(5）分数：正分数、负分数统称为分数。 　　(6）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。 　　(7）偶数：能被2整除的整数叫做偶数。如-2，0，4，8等。所有的偶数都可用2n表示，n为整数。 　　(8）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。2是最小的质数。 　　(9）合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9，15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。 　　(10）互质数：如果两个正整数，除了1以外没有其他公因数，这两个整数称为互质数，如2和5，7和13等。 　　…… 　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。 　　全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。 　　有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。 　　有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）： 　　①加法的交换律 a+b=b+a； 　　②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； 　　③存在数0，使 0+a=a+0=a； 　　④乘法的交换律 ab=ba； 　　⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； 　　⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。 　　0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。 　　此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。 　　0的绝对值还是0. 　　有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。 　　值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。 实数（一）数学名词。有理数和无理数的总称。

负数不是自然数，

用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。

非自然数是指除了0和正整数以外的其他数字包括负整数 分数 小数。。。

负0.5是小数，负七不是自然数，自然数是在正数范围内，负九分之七是分数，判断是不是小数或分数，实在实数范围内，他是假分数

非负整数集(零和正整数，如：0、5、6、96......)自然数集(零和正整数，如：0、5、6、96......)正整数集(如1、3、6、978......)整数集(正整数、负整数、零，如：7、9、-3、-78、0......)有理数集(整数和分数，如-4，-8分之7，-0.25，0，34，97，7分之3......)无理数集(开方开不尽的数，如√3；无限不循环小数，0.12112111211112.......π类。)实数集(有理数和无理数)

自然数：1、2、3、4、5、.一直到无穷大 非负整数：非负,即不是负数,因此包括0.所以非负整数是指0加上自然数1、2、3、4、5、6. 正整数：非负整数减去0,即自然数 整数：包括正整数、负整数和0 实数：所有的数,包括正整数、负整数、0以及小数

不可数，无限

参考书籍所谓幂集， 就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。可数集是最小的无限集； 它的幂集和实数集一一对应（也称同势），是不可数集。 不是所有不可数集都和实数集等势，集合的势可以无限的大。如实数集的幂集也是不可数集，但它的势比实数集大。 设X是一个有限集，|X| = k，则X的幂集为2的k次方。

是的，类似有理数的排列方式。自然数乘以自然数相当于自然数对。(0，0)，(0，1)，(1，0)，(2，0)，(1，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)……然后按以上的规律一个接一个，就能数完了。要可数多个自然数相乘才是不可数集。

证 若集合A可数,则自然数N的全部子集也为可数,则自然数N也为可数的,则可设最大的自然数为x,则x+1也为自然数,x+1＞x与所设x为最大自然数矛盾,所以 自然数N为不可数,所以自然数N的全部子集为不可数,所以集合A不可数。

不知道你什么意思，y＝kx，k为正整数，貌似都符合题意，这样的函数有无穷多个，当然也只是集合的一部分

可数集（countable set），是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。

一般性的公式是有 但比较难算 实际上令an=n^m 求前n项和sn的话可以发现 an满足m阶等差数列（参见 百科-高阶等差数列-基本知识-4.性质- (2)） 而根据百科-高阶等差数列-基本知识-5 可知 一般性的公式是用差分方程来求解 不过还是给你一些低阶的公式吧一次和 n(n+1)/2平方和 n(n+1)(2n+1)/6立方和 n^2(n+1)^2/4 4次和 n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 5次和 n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12参考http://baike.baidu.com/view/441800.html

自然数和整数的区别：指代不同、特点不同一、指代不同1、自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数码0，1，2，3，4所表示的数。2、整数：正整数，即大于0的整数如，1，2，3直到n。 负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3直到-n。（n为正整数）二、特点不同1、自然数：表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。2、整数：当n是整数时，偶数可表示为2n(n 为整数)；奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。在十进制里，看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。扩展资料性质：1、若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。2、若一个数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。3、 若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。4、若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。5、若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。6、若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。7、若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；一个整数的平方根若是整数，则两者具有相同的奇偶性。

整数是数字里没有小数部分的数，自然数是包括所有的正整数和0。

1.自然数：是非负整数（0,1,2,3,4……）。 2.整数：就是像-3,-2,-1,0,1,2,10等这样的数。 3.整数包括：正整数、负整数和零。

no……

你这句话不全原文是 上帝创造了自然数,其它都是人的作品（Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht,alles andere ist Menschenwerk.）是德国科学家克罗内克说的 因为人们最早会的就是1,2,3,4,5,6.人们认为这是上帝教会人们的,但是在无理数,分数,复数等问题也被人们发现并解决后,人们认为这是人类所创造出来的数； 这位科学家应该是感慨人类所作努力和成就之大所以说了这句话 实际上所有的数字都是人们为解决实际问题创造的,不存在什么客观存在的数字 有理数的由来： 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数,中国《九童算术》中也载有分数的各种运算.分数的使用是由于除法运算的需要.除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0）,如果p,q是整数,则方程不一定有整数解.为了使它恒有解,就必须把整数系扩大成为有理系. 关于有理数系的严格理论,可用如下方法建立.在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1,p2 Z,q1,q2 Z - {0},如果p1q2=p2q1.则称（p1,q2）～（p2,q1）.Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类,称为有理数.（p,q）所在的有理数,记为 .一切有理数所成之集记为Q.令整数p对应一于 ,即（p,1）所在的等价类,就把整数集嵌入到有理数的集中.因此,有理数系可说是由整数系扩大后的数系. 有理数包括负有理数,0和正有理数

你这句话不全原文是上帝创造了自然数,其它都是人的作品（Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.）是德国科学家克罗内克说的因为人们最早会的就是1,2,3,4,5,6.。。。。。人们认为这是上帝教会人们的，但是在无理数，分数，复数等问题也被人们发现并解决后，人们认为这是人类所创造出来的数；这位科学家应该是感慨人类所作努力和成就之大所以说了这句话实际上所有的数字都是人们为解决实际问题创造的，不存在什么客观存在的数字有理数的由来：古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。有理数包括负有理数，0和正有理数谢谢

负整数不属于自然数。用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、……叫自然数。负数不能表示物体个数，因此，负数不是自然数。

正 数： 大于零的数 X > 0负 数： 小于零的数 X < 0自然数： 表示物体个数的数，如：0，1，2，3，4，5，....... 整 数： 负整数、0、正整数，都称为整数，如：....,-3、-2、-1、0、1、2、3、......

1、负数不属于自然数也不属于整数。 2、自然数是大于等于0的整数。 3、整数（integer）就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。 4、整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

比0大的数是正数，比0小且有负号的数叫负数

负整数不是自然数，自然数就是指大于等于0的整数。当然，负数、小数、分数等就不算在其内了。负整数是在自然数前面加上负号(一)所得的数。 负整数的性质 负整数是小于0的整数； 负整数与负整数的和仍为负整数； 负整数与负整数的积为正整数； 负整数存在最大值-1，不存在最小值； 负整数在实数范围内不能开平方，不能开偶数次方，但是可以开奇数次方； 负整数在虚数范围内可以进行开方运算，i*i=-1。

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4、5、……，叫做 自然数，也叫做正整数。整数分为正整数，0和负整数。负数表示与正数意义相反或相对的数，在正数前面加上""-""号的数叫做负数.(小于零的数)负数的意义在数学上是表示一切小于0的数;

负整数不是自然数。负数都比零小，则负数都比正数小。零既不是正数，也不是负数。则-a<0<(+)a负数中没有最小的数，也没有最大的数。去除负数前的负号等于这个负数的绝对值。自然数不包括负整数。因为自然数是计量物体数量的数字，是没有负数的。实际上，自然数就是大于等于零的整数。

负数是自然数！

正数：比0大的数叫正数，0本身不算正数。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。负数：负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。自然数：自然数是非负整数（0,1,2,3,4……）。

其实就是对于任意一个黎曼群，如果它的顶点不在黎曼空间里，那么在任何很小的正整数范围之内，这个函数就等于零。

额,被你打的东西误导了....(1).由Fermat小定理:a^p=a mod p.于是:a^(p^(p-1))=(a^p)^(p^(p-2))=a^(p^(p-2)) mod p。这个地方看见了吧.细节自己补充,如此一直下去便有a^(p^(p-1))=a mod p(2).提示呀.你试着去算一下C(p.a)/p mod p得多少?(3).计算问题...试着放大指数最下面的数,或应用Fermat小定理..不难.(4).求和,然后还是Fermat小定理.

欧拉定理及推理对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)参考baike.baidu.com/view/48903.htm则① N^13 ≡ N (MOD 13)，N^13 - N ≡ 0 (MOD 13)② (N^14 - N^2)/N同法，(N^2)^7 - (N^2) ≡ 0 (MOD 7)③ (N^15 - N^3)/N^2同法，(N^3)^5 - (N^3) ≡ 0 (MOD 5)④ (N^18 - N^6)/N^5同法，(N^6)^3 - (N^6) ≡ 0 (MOD 3)或用因式分解⑤因式分解或奇偶分析，得n^13-n ≡ 0 (MOD 2)2*3*5*7*13=2730综上，n^13 - n ≡ 0 (MOD 2730)

0

这是错误的。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。孪生质数也有相同的分布规律。以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数19对。S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。质数有无数个，是列不出来的。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。否则称为合数。质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。质数在现实中的应用：质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)对任一大于5的合数(威尔逊定理):

是的，零是标准自然数。

以前不是。现在是了。

“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On,α<α∈β。这样，就用∈定义了序数间的< 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。每一自然数都是序数，全体自然数{0,1,2，…}也是序数。对任一集合x，令s(x)=x∪{x}。则当x是序数时，s(x）亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=s(β）。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0,ω均为

非负整数集也就是包含所有正整数以及0 的数集。自然数就是非负整数，这两个现在是相同的概念。欢迎追问。

任何自然数都有两重意义，一是表示数量意义，即被数的物体有“多少个”。这种用来表示事物数量的自然数，称为基数。二是表示次序意义，即最后被数到的物体是“第几个”。用来表示事物次序的自然数，称为序数。正是因为自然数有这样两个方面的意义，所以自然数的理论，最常用的有两种，一种是基数理论，一种是序数理论。 利用基数理论，给自然数下了这样一个定义：自然数是一切等价集合的共同特征的标记。因为一切等价集合有一个重要的共同特征就是它们的元素的个数相同。对于所有空集，它们都是等价集合，因而所有空集的共同特征也应该用一个自然数来给予“标记”。可是，空集中什么元素也没有，用什么来表示这类集合的共同特征呢？1、2、3……显然不行,只能另觅。于是，数学中由此而引进一个新的数“0”，这个“0”就是一切空集的共同特征的标记。 序数理论则是将自然数的一些基本性质抽象为公理，用公理化形式来给自然数下定义即皮亚诺公理。而在皮亚诺公理中，不论以0开始还是以1开始，实际上都无伤数学本质。自然数的皮亚诺公理：1.0是一个自然数；2.每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；3.不存在后继为0的自然数；4.不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b)；5.如果一个命题对自然数0成立，并且假定它对自然数n成立时，能推出它对n的后继仍成立，则原命题对所有自然数都成立。[公理的严谨数学表述附于其后资料中]附： 是否把0看作自然数，不同的数学家有不同的考虑。当然，在自然数有了公理化的形式定义之前，这个问题不可能有好的回答。在比较现代的书中，包括新版的中小学课本中，0被认为是自然数，这是现代数学的主流；而也不可否认，长期以来，尤其是自然数没有公理化的定义前，人们大多还是把0排除在自然数外的。 自然数的公理化定义是由Peano（皮亚诺）的一组公理给出的： 定义：设N是一个非空集合，而且： 1)在N内存在一个特定元素，记作0； 2)存在N到自身的一个映射，记作n |→ n+，称为后继映射，使下面三条公理满足： (a)对任意n ∈ N，n+ ≠ 0； (b)n |→ n+是一个单射； (c)（归纳公理）N的一个子集T如具备如下条件： i)0 ∈ T； ii)若n ∈ T，则n+ ∈ T，那么，必定有T = N. 此时，称N是一个自然数系，N内的元素称为自然数. 我们看自然数的定义可以知道，定义的1)决定了自然数是从0开始还是从1开始。事实上，Peano的这组公理，在初版本中1）是从1而不是从0开始的，但后来Peano听从了Russell（罗素）的建议（如果我没记错的话），改成了以0开始。 不论以0开始还是以1开始，实际上都无伤数学本质。所以定义中第1）条的选择，不同的人就有不同的看法。仅从数学上来说： 一、如果用0开始，则在用集合论构建自然数集的时候，可以“顺理成章”地把空集定义为数0，再构造一个后继映射n |→ {n, {n}}，就可以完整地把Peano公理和集合论联系起来。 事实上，现代的大部分数学书都是这样做的，因为集合论是现代数学的基础，这样做有诸多方便之处。可以说，这种写法是现代的主流， 国际上的书刊一般也以0作为自然数的开始。而我国的大学代数教材也基本上一直用这种规定。而在中小学，出于直观考虑（比如人数数一般从1开始），则早先一直以1作为自然数开端，直到近几年为了“与国际接轨”，又通通换了以0开始。 二、如果用1开始，如上所说，有直观的方便。我国著名的数学家潘承洞、潘承彪写的《初等数论》中，就认为把0作为自然数“一点儿也不自然”。数论中把0作为自然数并没有集合论体系下的方便之处，反而在整除理论中有诸多不便（如0不能做除数），所以潘承洞、潘承彪先生把1做为自然数的开始也是合理的。

0是自然数。以前不是，以前数学课本里面把1以上的整数称为自然数

随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。思考之一：为什么要把0划归自然数 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。 因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？ 《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……” 综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？ 大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？ 《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。思考之五：0是不是合数？ 过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0是不是合数？ 前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0的约数有无数个，根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为合数范围，但仔细一想0是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1是1的约数，2也是2的约数……，而0这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把0划归为“既不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0是不是合数的情况下，还是以回避为好。思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对吗？ 0没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在0也是自然数，我们只要研究“0和1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于互质数的定义：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”笔者认为，0的约数有无数个，而1的约数只有一个，那就是它本身。综上所述，0和1的公约数只有“1”，因此，0和1是互质数。自然，“任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是正确的。

这个啊，自然数，就是自然中存在的，没有，就为零。

有理数 = m/n define f(x) = m+n 1->1 bijective mapping => 有理数和自然数一样多

有限小数不是自然数小数是由整数部分、小数部分和小数点组成的；而自然数都是整数。因此小数不是自然数，所以有限小数不是自然数。

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数列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n，称为自然数列。自然数列的通项公式an=n。自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1，公差d=1。

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