自然数

在我们四级下学期学习的第八册《现代小学数学》数学课本上明确阐述：1是最小的自然数。而在我们五年级上学期的《现代小学数学课堂作业》上却说：0是最小的自然数。对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数而不是自然数。自然数是无限的。

对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

1、0不是奇数，是偶数（一个非正非负的特殊偶数）。2、0既不是质数，也不是合数。3、0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。4、0不可作为多位数的最高位。不过有些编号中需要前面用0补全位数。5、0是最小的完全平方数。

包括 教材改了 相信我 我刚学完 老师还专门说过这个问题

01 自然数包括0以及所有的正整数，不包括负数。自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4u2026u2026所表示的数。 自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。 自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，u2026u2026所表示的数。 自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

在数学界，0不属于自然数。自然数是从1开始的。如果0不属于自然数，那么自然也不属于N。希望我的回答对您有所帮助。

0是什么0是整数，是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0的特殊之处0没有倒数; 0的相反数是0; 0的绝对值是0;0的平方根是0; 0的立方根是0; 0乘任何数都等于0;除0之外任何数的0次方等于1; 0不能作为分母出现; 0的所有倍数都是0; 0不能作为除数。0的历史0是极为重要的数字，关于0这个数字概念在其它地区很早就有。公元前3千年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。他们最早用黑点表示零，后来逐渐变成了”0”。在东方国家由于数学是以运算为主(西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字)。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。

包括0不包括小数

现在是了

0是自然数。自然数的范围：0，1，2，3，4，5.。。。。。亲：如果觉得有帮助，请点击右下角的【采纳答案】，谢谢！

自然数是包括0的。自然数概念指用以计量事物的件数或表示事物件数的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集体。

自然数是计量事物的件数或表示事物次序的数；自然数包括0。自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数，主要包括0，1，2，3，4等所有数，是一个无穷的集体。自然数的范围是非负整数，包括所有正整数，从0开始，直到无穷大，常用N来表示。

1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为N={0,1,2,3,…}而将原自然数集称为非零自然数集N+(或N*)={1,2,3,…}.自然数集扩充后,文[1]中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定影响.为此,我们将自然数的基数理论讨论如下.1对自然数的来源的认识由于自然数的概念是建立在基数理论[1]之上的,基数是由集合对等而来.最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指(脚趾)数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零.这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念.也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一.事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数.2自然数的新概念自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1有限集合的基数叫做自然数.根据对等的概念,可以建立N与N+的一一映射关系f:N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}由此可见,N与N+有相同的基数,即|N|=|N+|.3自然数的四则运算自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即定义2设有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分离).若记A∪B=C,集合A,B,C的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作a+b=c.a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.定义3设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是n.又设A=Umi=1Ai,A的基数记作a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即定义4设有有限集合A和B,BA,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作a-b=c.a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.定义5设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作ab=c,或a÷b=c.a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.4自然数的有关性质(1)自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即定义6如果两个有限集合A,B的基数分别为a,b,那么1°当AA′,A′~B时,a>b;2°当B′B,A~B′时,a<b;3°当A~B时,a=b.自然数有反身律:a=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.自然数从小到大的排序为0,1,2,3,….(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了局部性改变,即若a≥b,则1°a+c≥b+c;2°当c>0时,ac≥bc,当c=0时,ac=bc.对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是1°验证n=0时,命题成立;2°假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.

你并不丢脸。这是一个有争议的问题。中国传统的教课书中，自然数不包括 0，自从美国有人把 0 包含中自然数中后，大家就没了主见。 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 表示物体个数的数0、1、2、3、4、5、6、……叫自然数。

你好，很高兴为你解答：0是介于-1和1之间的整数，是偶数，是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方是0，0的平方根是0，0的立方根也是0，0乘任何数都等于0，除0之外任何数的0次幂都等于1。0不能作为分数中的分母或除数出现，0的所有倍数都是0，0除以任何非零实数都等于0。

自然数包括0，自然数是指用来计量事物的件数或者是用来表示事物件数的数，就是用数码0，1，2，3，4……所表示的数，自然数是从0开始。 有不少同学在学习自然数的时候，感到十分的困惑，那就是0究竟是不是自然数？下面让我们一起去了解，0究竟属不属于自然数吧。 详细内容 01 自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。 02 自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论——自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。 03 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 04 “0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。中小学教材中规定0为自然数。 05 自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。

以前的教科书上明确规定自然数是不包括0的,但为了世界统一,从2000年新初一的教科书上已经更改0是自然数,所以如果问家长可能说0不是自然数. 当然0是整数,因为整数包括正整数、负整数和零.

原来不包括,后来包括了。

包括的

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自然数的定义包括0，自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4等所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。但自然数相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。自然数是有序的，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3等这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

包括

呵呵嘟嘟嘟茹茹→_→和

0是自然数，因为“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。自然数定义：自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。自然数包括正整数和零。自然数是整数，但整数不全是自然数，例如，－1 -2 -3……是整数，而不是自然数。自然数是无限的。自然数的性质：1、有序性：自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。2、无限性：自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。3、传递性：设n1，n2，n3都是自然数，若n1>n2，n2>n3，那么n1>n3。

大于等于零的整数 所以零也是

0算自然数啊。

0属于自然数。自然数概念：指用以计量事物的件数或表示事物件数的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集体。0是最小自然数。希望能帮到你！

0是数学中十分特殊的数字，很多同学都想知道整数当中有没有0？大家一起来看看吧。 整数有0吗 整数包括0。自然数在高中的定义为非负整数，即包括0和正整数。 实数包括有理数和无理数，即能在数轴上能找到的数，与虚数相对。有理数指有限小数和无限循环小数，即可以写成分数的数；无理数即无限不循环小数。 零简介 零不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。 0不能做除数的原因 1：如果除数（分母、后项）是0，被除数是非零正数时，商不存在，这是由于任何数乘0都不会得出非零正数，所以用0做除数（分母、后项）是没有意义的。但一些领域定义为无穷大（∞），因而∞×0被认为能得到非零正数。 2：如果除数（分母、后项）是0，被除数也等于0，也不行，因为任何数乘0都得0，答案有无穷多个，无法定义。 以上就是一些数字0的相关信息，供大家参考。

1.包括。 2.自然数包括0。 3.自然数概念指用以计量事物的件数或表示事物件数的数，即用数码0，1，2，3，4，所表示的数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷集体。 4.自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。 5.即用数码0，1，2，3，4所表示的数。 6.自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。 7.自然数有有序性，无限性。 8.分为偶数和奇数，合数和质数等。 9.自然数集是全体非负整数组成的集合，常用N来表示。 10.自然数有无穷无尽的个数。

用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。一定是整数。

自然数不都是正数，还包括0自然数只是等于0或比0大的整数（也就是0和正整数），所以自然数有无数个，通常用n表示。　　【英译】naturalnumber　即指：全体非负整数组成的集合常用N来表示

1、0是自然数。自然数由数字0开始依次递填，组成一个数值逐渐增长的无穷集合，被用来表示物体个数。根据《国家标准》中的规定，自然数集是包括0的。 2、自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

高中自然数集合中有0这个自然数。从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB 3100~3102-93)《量和单位》(11-2.9)第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。但是，在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记为N={0,1,2,3,…}而将原自然数集称为非零自然数集N+(或N*)={1,2,3,…}.就是说高中自然数集合中有0这个元素

最小的自然数是0，因为1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》规定自然数包括0。1、从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。中小学教材中规定0为自然数。2、从自然数的概念来看，自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。所以0为自然数。

问题一：0是不是自然数 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版）的陆续使用，我们接到一些小学数学教师、家长和学生的来信、来电，询问0是否是自然数的问题。现予以解答如下： 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有钉种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。 目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 但是，在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。 希望各位老师和网友互相转告！谢谢！ 问题二：自然数包括0吗 包括的。自然数，表示物体个数的数0、1、2、3、4、5、6、……叫自然偿，简单说就是大于等于零的整数。整数包括负数，但是自然数是没有负数的。 问题三：0到底是不是自然数 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版）的陆续使用，我们接到一些小学数学教师、家长和学生的来信、来电，询问0是否是自然数的问题。现予以解答如下： 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。 川前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 但是，在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。 希望各位老师和网友互相转告！谢谢！ 问题四：自然数到底包括0不？ 从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。但是，在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1。 问题五：自然数当中包括零吗? 随着义务教材（试用修订版）的使用，现在许多教师和同学询问关于0是不是自然数的问题。现予以解答如下： 从历史上看，国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数，另一种规定0不是自然数。建国以来，我们国家的中小学教材一直规定自然数 *** 不包括0。 现在，国外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。因此，在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理，原来的自然数 *** 现在称为正整数集。同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。 从使用上看，规定自然数 *** 是否包括0并无太大影响。作为序数，从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，现在只要说n是正整数就可以了。 可参考国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准――量和单位》（GB3100-3102-93，1993/12/27发布，1994/07/01实施） 问题六：现在自然数包括0吗? 现在最新的数学界认证，0属于自然数 问题七：自然数包不包括0 1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。 1993年之前(大约70后,80后上小学的时候)自然数是从1开始的. 1993年之后,自然数就从0开始了. 供3年之前的自然数称为:非零自然数集

包括.表示物体个数的数叫自然数,物体个数也能为0,对不?还可以这样记:自然数集=非负整数集望采纳！

包括。把0作为自然数，自然数原有的基数、序数和运算功能都没有受到任何影响。 -US>1-1，在原来的自然数范围内是不能实施的，而把0作为自然数后，就可以实施了。显然，自然数的运算功能得到了加强。0是最小的自然数，还是最小的偶数 ，0也是整数 。国际标准《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》，选择了从集合论的角度规定：自然数集包括正整数和0。从国际上说，世界发达国家，都已把0定义为自然数，因此，把0定义为自然数，还有利于与世界数学教材接轨。为了和国际接轨，从1993年起《中华人民共和国国家标准》就把0归到了自然数的范畴，最小的自然数由1变成了0，我们使用的中小学教材也陆续做了更改。扩展资料：0的性质：0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0（即X>0）时，称为正数；反之，当X小于0（即X<0）时，称为负数；而这个数X等于0时，这个数就是0。0是偶数，0是最小的完全平方数，0乘任何实数都等于0，除以任何非零实数都等于0,任何实数加上0等于其本身。0没有倒数和负倒数，一个非0的数除以0在实数范围内无意义，0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没有倒数，除0外，任何数的的0次方等于1。任何数乘0都得0，0是最小的自然数，分式中分母为0无意义，定积分中，积分上限和下限相等时，积分值始终为0。参考资料来源：百度百科-自然数

自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。自然数包括0吗自然数包括0 。自然数概念指用以计量事物的件数或表示事物件数的数，即用数码0，1，2，3，4，所表示的数，自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集体。最小的自然数是0还是1我国现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，明确指出0也是自然数集的一个元素，因此最小的自然数是0。

包括，0也是自然数。

自然数包括0。自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始。 自然数定义 自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。 自然数包括正整数和零。自然数是整数，但整数不全是自然数，例如，-1 -2 -3……是整数，而不是自然数。自然数是无限的。

自然数包括零和所有的正整数，因此自然数包括零

自然数即非负整数，包括0。自然数是用数码0，1，2，3，4，5，??所表示的数，也就是除负整数外的所有整数。x0dx0a0是自然数。自然数，顾名思义，就是计量、体现自然界中物体天然状态的数。0是自然界中物体存在的一种状态，等同于“不存在”。x0dx0a自然数的起源：自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如:表示捕获了3只羊，就伸出3个手指;用5个小石子表示捕捞了5条鱼;一些人外出捕猎，出去1天，家里的人就在绳子上打1个结，用绳结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来。

自然数包括0。自然数集是全体非负整数（在过去的教科书中，0一般被认为不是自然数，但21世纪的规定表明，0确实为自然数，而更正原因是为了方便简洁）组成的集合，常用N来表示。自然数有无穷多个。 自然数的分类 一、按奇偶性分：可分为奇数和偶数。 1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。 2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数。 注：0是偶数。 二、按因数个数分：可分为质数、合数、1和0。 1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。 2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。 3、1只有1个因数。它既不是质数也不是合数。 4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。 备注：这里是因数不是约数。

自然数非负整数，也就是包含0和正整数的组合，叫做自然数。所以，自然数包括0。自然数是由0开始，（0是最小的自然数），一个接一个，组成了自然数集。这是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。

自然数的概念包括0。自然数即非负整数，包括0。自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。

0属于自然数。因为自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数其中包括0。拓展资料奇数：不能被2整除的数叫奇数。偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数。按因数个数分,可分为质数、合数、1和0。质 数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。只有1个因数。它既不是质数也不是合数。参考资料百度百科 自然数

自然数包括0。自然数集是全体非负整数组成的集合，常用N来表示。自然数有无穷无尽的个数。0是介于-1和1之间的整数。是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方根是0,0的立方根是0，0乘任何数都等于0，除0之外任何数的0次方等于1。0不能作为分母出现，0的所有倍数都是0。扩展资料一、0的争议对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。二、0在科学中在计算机科学中，0经常用于表现布林（布尔）值“假”。计算机的数据基础由二进制构成，即0和1。电路传送数据时，0和1分别代表低电位和高电位。开关的通断表示0和1。编程语言中，一个数组的个数是4的话，它实际的成员是0到3，而不是1到4。在c语言中，0放在整型常量前表示八进制数，而整型十六进制数前常用0x开头。在航天控制台中，只有“0”号控制台，没有“1”号控制台。在化学中，0价表示单质，0族表示稀有气体。三、自然数的应用1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式第1条射线和其它射线组成（n-1）个角，第2条射线跟余下的其它射线组成（n-2）个角，依此类推得到式子1+2+3+4+??+n-1=n（n-1）/2。3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式第1个点和其它点组成（n-1）条线段，第2个点跟余下的其它点组成（n-2）条线段，依此类推同样可以得到式子1+2+3+4+??+n-1=n（n-1）/2任何一自然数，可代入下公式，等式始终成立：参考资料来源：百度百科—自然数

自然数包括0。自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数，自然数由0开始， 一个接一个，组成一个无穷的集体。0是介于- 1和1之间的整数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。任何数与0相加或相减，它的值都不变，相同的两个数相减等于0，任何非零实数与0相乘都等于0; 0除以任何非零实数都等于0，但0不能作为除数。扩展资料：“0”数字的特性（1） 0 和正整数，称为自然数。0 是最小自然数。（2） 在不表示物体的个数时，0 就不再表示“没有”，而是表示特定意义。例如，今天的气温是 0 摄氏度。（3） 在测量工具上，0 刻度线是计量的起点。例如，量尺。（4） 除 0 以外的自然数都叫正整数。例如，1、2、3、4、5。（5） 0 和正整数以及负整数，统称整数。例如，-2、-1、0、1、2、3。（6） 任何数加 0 或减 0，都等于原来数。0 减任何数，都等于原来数的相反数。（7） 0 是正、负数的分界点。也称为中性数，是唯一的一个中性数。（8） 大于 0 的数叫作正数。（9） 小于 0 的数叫作负数。例如，-2、-1。（10） 0 也是偶数。

在有理数中，最小的自然数是1，最大的负整数是-1 .

没有最大的正整数，正整数是无限的；有最大的负整数，是—1，数轴左边越靠近0的数越大，而1就是最靠近0的正整数；最小的正整数为：1；没有最小的负整数，负整数的个数是无线的；没有最大的自然数，自然数的个数是无线的，0也是自然数；0既不是正有理数，也不是负有理数，而是正有理数和负有理数的分界；有最大的负数，如：—0.1，—0.01，—0.001……

必须是自然数！因为当字母的次数是负数的时候，就变成分式了（单项式是属于整式）。而当字母的次数是分数的时候就变成根式了（属于无理式，整式是属于有理式）。综上所述，单项式的次数只能是自然数（包括0和正整数，当字母的次数是0的时候就代表的是一个数）

全体实数吧

是的，这个说法是正确的

在100以内的质数和合数相比合数多。在自然数中，也是合数占的比例大！

根据质数，合数，及偶数的定义可知， 在自然数列中，除了2以外，所有的偶数都是合数的说法是正确的． 故答案为：正确．

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9……

在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数 : 对除2以外，所有的偶数 = 2m ; m 是大于1 的正整数 2m 可以被2 整除， 所以是合数

自然数是正整数（1,2,3,4,5,6......）质数是除了1和它本身之外没有任何因数的自然数（2,3,5,7,11,13......）合数和质数的性质正好相反（4,6,8,9,10,12......）等差数列中相邻的两个数的差（大的减小的）相等（如：2,4,6,8,10,12......）等比数列中相邻的两个数的比例一样（如：1,2,4,8,16,32......）

记1×2×3×…×n·(n＋1)＝(n＋1)! 则(n＋1)!＋2＝2[1×3×…×n·(n＋1)＋1]能被2整除,是合数； (n＋1)!＋3＝3[1×2×4×…×n·(n＋1)＋1]能被3整除,是合数； … (n＋1)!＋n＝n[1×2×3×…×(n＋1)＋1]能被n整除,是合数； (n＋1)!＋(n＋1)＝(n＋1)[1×2×3×…×n＋1]能被n＋1整除,是合数 即：从(n＋1)!＋2、(n＋1)!＋3、(n＋1)!＋4、…、(n＋1)!＋(n＋1)这n个自然数都是合数

自然数列 即0和正整数，如：0 1 2 3质数列 即质数 2 3 5 7 11合数列 即和数 4 6 8 9 10等差数列 即前后两项差为定值 如1 3 5 7等比数列 即前后两项差为定值 如1 2 4 8 16 32

自然数，是非负整数（0, 1, 2, 3, 4……）。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是非常不自然的。自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。

是的，10是自然数。

自然数包括0。自然数概念指用以计量事物的件数或表示事物件数的数 。 即用数旁和梁码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集体。中国的中小学教材原先规定自然数集不包括0。但中国之外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。因此，在我们新出版的教材中，按照《国家运运标准》进行了这样的处理，自然数集合先现代称为正整数集。同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。把0归为自然数。扩展资料：0是极为重要的数字，关于0这个数字概念在其它地区很早就有。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。自然数的应用：1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所棚祥有的数列中，各项的序号都组成自然数列。2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式。3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应该了自然数列的前n项和公式。0的故事：罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zā）刑，使他再也不能握笔写字。大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”这个数字的。这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号。他发现，有了“0”，进行数学运算非常方便。他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。这件事不久就被罗马教皇知道了。当时，教会的势力非常大，而且远远超过皇帝。教皇非常愤怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在罗马上帝创造的数里没有“0”这个怪物(这种说法毫无证据)。如今谁要使用它，谁就是亵渎罗马上帝！于是，他下令，把那位学者抓了起来，并对他施加了酷刑。就这样，“0”被那个教皇命令禁止了。最后，“0”在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。中国古代的筹算数码中没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“┴　╥ ”。数字中没有“零”，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与“零”的出现有关。

　　0是自然数。从数字0开始，有序地一个接着一个，到无穷无尽的非负数整数，均为自然数。 　　0是自然数吗 　　0是最小的自然数，自然数具有有序性和无限性，而且必须是非负数的整数。即像-1、-2、-3...或者是0.1、0.2、0.3...等负数或非整数的数都不在自然数范畴。 　　自然数可分为偶数和奇数，质数和合数等等。但前提是必须是整数和非负数。所谓的整数是0和正负整数的合集。

0是自然数。自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。由自然数的定义可以得到0是一个自然数。扩展资料：数字0的一些特性：（1）0没有倒数（2）0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。（3）在所有实数的绝对值中，0的绝对值是最小的。（4）0乘任何实数都等于0，0除以任何非零实数都等于0；任何实数加上或减去0等于其本身。数列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n，称为自然数列。自然数列的通项公式an=n。自然数列的前n项和Sn=n（n+1）/2。 Sn=na1+n（n-1）/2自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1，公差d=1。0的发现始于印度。公元前2000年左右，古印度婆罗门教最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度婆罗门教表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。在我国古代文字中，中文的“零”字出现很早。不过那时它不表示“空无所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零头”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。但中国古代并没有0这个字体，只有中文的字体零来表示。参考资料来源：百度百科-自然数

0是最小的自然数。从历史上看，各国对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数，另一种规定0不是自然数。中国的中小学教材原先规定自然数集不包括0。但中国之外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。因此，在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理，自然数集合先现代称为正整数集。同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。从使用上看，规定自然数集合是否包括0并无太大影响。作为序数，从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，只要说n是正整数（n∈N*）就可以了。扩展资料：0的数学性质1、0不是奇数，是偶数（一个非正非负的特殊偶数）。2、0既不是质数，也不是合数。3、0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。4、0不可作为多位数的最高位。不过有些编号中需要前面用0补全位数。5、0是最小的完全平方数。

0是最小的自然数。自然数是非负整数（正整数）由于|0|=0，则这个数是正数。因为取任意一个非0的自然数，这个自然数都大于0。所以0是最小的自然数。

0是自然数。1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。把“0作为自然数”这个概念传递给中小学生，和计算机发展有很大的关系。使用计算机编程时，需要用计算机语言写代码，计算机语言“二进制码”就是由两个基本字符“0”、“1”组成的代码，“0”在计算机中的重要性不言而喻。计算机科学家通常将“0”放在数字的第一位，方便编码及运算。“很多孩子从小学阶段开始学习计算编程，0作为自然数的概念变得更重要。”扩展资料：0的争议对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书（试验修订本）都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。参考资料：百度百科——自然数

　　在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，…，n…”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，…，n…”为自然数集。显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。 　　1?自然数的功能 　　自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数;二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质;第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。 　　2?为什么要把“0”作为自然数 　　我们从自然数的功能上回答这个问题。 　　第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“Φ”表示。例如方程x2+1=0的实根集合就是一个空集。有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。首先，对任意集合A，我们定义A+=A∪{A}为集合A的后继。其次，定义：0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一 一对应。所以用集合论的观点，我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一 一对应，则称A为有限集(否则称为无限集，即A不能与任一自然数n建立一 一对应时，称A为无限集)，且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。把空集划分为有限集是很自然的。但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。 　　第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”。 　　首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“≤、≥、<、>、=、≠”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。 　　在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。例如，所有负整数是整数集的子集，但它无最小数。又如区间 (0，1)作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间 (0，1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。 　　很明显，不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：n→n+1，从代数学的观点来看它们是“同构”的。这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”。 　　3?结论 　　既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。

对的自然数【概念】：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。总之一句话自然数就是大于等于0的整数

自然数，是非负整数（0, 1, 2, 3, 4……）。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是非常不自然的。自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。

自然数就是 “非负整数”的集合，包括正整数 和 0。所以，0 是自然数。

　　在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，…，n…”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，…，n…”为自然数集。显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。 　　1?自然数的功能 　　自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数;二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质;第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。 　　2?为什么要把“0”作为自然数 　　我们从自然数的功能上回答这个问题。 　　第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“Φ”表示。例如方程x2+1=0的实根集合就是一个空集。有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。首先，对任意集合A，我们定义A+=A∪{A}为集合A的后继。其次，定义：0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一 一对应。所以用集合论的观点，我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一 一对应，则称A为有限集(否则称为无限集，即A不能与任一自然数n建立一 一对应时，称A为无限集)，且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。把空集划分为有限集是很自然的。但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。 　　第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”。 　　首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“≤、≥、<、>、=、≠”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。 　　在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。例如，所有负整数是整数集的子集，但它无最小数。又如区间 (0，1)作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间 (0，1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。 　　很明显，不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：n→n+1，从代数学的观点来看它们是“同构”的。这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”。 　　3?结论 　　既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。

自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。包括0的。

我也学了一课呀！

0跟1都是自然数自然数就是非负整数，是正整数和零。正整数例如：1，2，3，4．．．．．像这样的数就是正整数。非负整数不仅只有正整数，还有零。

　　在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，u2026，nu2026”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，u2026，nu2026”为自然数集。显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。 　　1?自然数的功能 　　自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数;二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质;第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。 　　2?为什么要把“0”作为自然数 　　我们从自然数的功能上回答这个问题。 　　第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“u03a6”表示。例如方程x2+1=0的实根集合就是一个空集。有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。首先，对任意集合A，我们定义A+=Au222a{A}为集合A的后继。其次，定义：0=u03a6;1=0+=u03a6u222a{u03a6}={u03a6};2=1+={u03a6}u222a{{u03a6}}={u03a6,{u03a6}};3=2+={u03a6,{u03a6}}u222a{{u03a6,{u03a6}}}={u03a6,{u03a6},{u03a6,{u03a6}}};u2026u2026从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一 一对应。所以用集合论的观点，我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一 一对应，则称A为有限集(否则称为无限集，即A不能与任一自然数n建立一 一对应时，称A为无限集)，且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。把空集划分为有限集是很自然的。但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。 　　第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”。 　　首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“u2264、u2265、<、>、=、u2260”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。 　　在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。例如，所有负整数是整数集的子集，但它无最小数。又如区间 (0，1)作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间 (0，1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。 　　很明显，不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：nu2192n+1，从代数学的观点来看它们是“同构”的。这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”。 　　3?结论 　　既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。

0是自然数。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。0是介于－1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方是0，0的平方根是0，0的立方根也是0，0乘任何数都等于0，除0之外任何数的0次幂都等于1。0不能作为分母或除数出现，0的所有倍数都是0，0除以任何非零实数都等于0。相关故事大约1千5百年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”这个数字的。这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号。他发现，有了“0”，进行数学运算非常方便。他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。这件事不久就被罗马教皇知道了。当时，教会的势力非常大，而且远远超过皇帝。教皇非常愤怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在罗马上帝创造的数里没有“0”这个怪物（这种说法毫无证据）。如今谁要使用它，谁就是亵渎罗马上帝，于是，他下令，把那位学者抓了起来，并对他施加了酷刑。就这样，“0”被那个教皇命令禁止了。最后，“0”在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。

　　在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，u2026，nu2026”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，u2026，nu2026”为自然数集。显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。 　　1?自然数的功能 　　自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数;二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质;第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。 　　2?为什么要把“0”作为自然数 　　我们从自然数的功能上回答这个问题。 　　第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“u03a6”表示。例如方程x2+1=0的实根集合就是一个空集。有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。首先，对任意集合A，我们定义A+=Au222a{A}为集合A的后继。其次，定义：0=u03a6;1=0+=u03a6u222a{u03a6}={u03a6};2=1+={u03a6}u222a{{u03a6}}={u03a6,{u03a6}};3=2+={u03a6,{u03a6}}u222a{{u03a6,{u03a6}}}={u03a6,{u03a6},{u03a6,{u03a6}}};u2026u2026从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一 一对应。所以用集合论的观点，我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一 一对应，则称A为有限集(否则称为无限集，即A不能与任一自然数n建立一 一对应时，称A为无限集)，且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。把空集划分为有限集是很自然的。但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。 　　第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”。 　　首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“u2264、u2265、<、>、=、u2260”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。 　　在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。例如，所有负整数是整数集的子集，但它无最小数。又如区间 (0，1)作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间 (0，1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。 　　很明显，不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：nu2192n+1，从代数学的观点来看它们是“同构”的。这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”。 　　3?结论 　　既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。

这是专家的发言：《0是自然数 最小的一位数是1》随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……”综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。思考之五：0是不是合数？过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0是不是合数？前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0的约数有无数个，根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为合数范围，但仔细一想0是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1是1的约数，2也是2的约数……，而0这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把0划归为“既不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0是不是合数的情况下，还是以回避为好。思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对吗？0没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在0也是自然数，我们只要研究“0和1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于互质数的定义：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”笔者认为，0的约数有无数个，而1的约数只有一个，那就是它本身。综上所述，0和1的公约数只有“1”，因此，0和1是互质数。自然，“任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是正确的。