简单数论问题：证明对于任何自然数a和质数p，(a^p)^(p-1)=a mod p

mod函数是一个求余函数，其格式为： mod(nExp1,nExp2)，即是两个数值表达式作除法运算后的余数。那么：两个同号整数求余与你所知的两个正数求余完全一样(即两个负整数与两个正整数的算法一样)，即两数取余后返回两数相除的余数。

1、费马小定理(Fermats little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 2、皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求，但是这个要求实际上是不必要的。

费马（Pierre de Fermat，公元1601年—公元1665年）是十七世纪最伟大的数学家之一。 他对数学的贡献是多方面的，包括了微分学的概念，解析几何（他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何，不过他是第一位把它应用到三维空间的人）和数论。尤其在数论方面，最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"s Last Theorem），但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"s Little Theorem，加上“小”是用来分别费马大定理的），以及费马二平方数定理（Fermat"s Two Squares Theorem），无限下降法和费马数等等，实在是多不胜数。 费马大定理 ，即：不可能有满足 xn＋yn＝zn ，n ＞2的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丢番图《算术》（ 拉丁文译本，1621）第 2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 费马小定理是数论中的一个定理。定理:(费马小定理) 当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p)。 费马最后定理 当整数 n > 2 时, 方程 x n + y n = z n 无正整数解. 勾股定理及勾股数组 勾股定理 在 ABC 中,若 C 为直角,则 a2 + b2 = c2. 留意:32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5),(5 , 12 , 13) … 等等为方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整数解. 我们称以上的整数解为「勾股数组」.

若p为素数，a与p互素，则ap-1≡1(mod p)

费马小定理：如果p是一个素数，而a是任何不能被p整除的整数，那么p能除a - 1。这个由皮埃尔·德·费马在1640年发现的数字性质，本质上是说，取任意素数p和任意不能被该素数整除的数a，假设p = 7, a = 20。通过费马小定理，我们发现：费马小定理通常用来检验一个数是否是素数，是素数的必要非充分条件。然而满足费马小定理检验的数未必是素数，这种合数叫做卡迈克尔数（Carmichael Number），最小的卡迈克尔数是561【A002997】

费马定理有无数个,我举几个例子： 物理中的费马定理：光总是走时间最短的路径. 数学中的费马小定理：在一个有限群G中,a^{Card(G)}=a.例子：a^n=a模n. 三角形里的费马点：一个三角形里使得到三个顶点距离之和最短的点P.在三角形的角都小于120度时,这个点唯一并且满足角APB=角BPC=角CPA=120度. 费马大定理,又名费马最后定理,又名Fermat-Wiles定理（由Wiles证处故得名）：对于任何的大于等于3的正整数n,任何的正整数a,b,c都有a^n+b^n不等于c^n.

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为:假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1(modp)

费马费马（PierredeFermat,公元1601年—公元1665年）是十七世纪最伟大的数学家之一.他对数学的贡献是多方面的,包括了微分学的概念,解析几何（他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何,不过他是第一位把它应用到三维空间的人）和数论.尤其在数论方面,最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"sLastTheorem）,但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"sLittleTheorem,加上“小”是用来分别费马大定理的）,以及费马二平方数定理（Fermat"sTwoSquaresTheorem）,无限下降法和费马数等等,实在是多不胜数.费马大定理,即：不可能有满足xn＋yn＝zn,n＞2的正整数x、y、z、n存在.这命题他写在丢番图《算术》（拉丁文译本,1621）第2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的.费马小定理是数论中的一个定理.定理:(费马小定理)当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式ap-1≡1(modp).费马最后定理当整数n>2时,方程xn+yn=zn无正整数解.勾股定理及勾股数组勾股定理在ABC中,若C为直角,则a2+b2=c2.留意:32+42=52;52+122=132;82+152=172;72+242=252;……等等即(3,4,5),(5,12,13)…等等为方程x2+y2=z2的正整数解.我们称以上的整数解为「勾股数组」.

费马特别爱好数论，他证明或提出许多命题，最有名的是费马大定理，即：不可能有满足xn＋yn＝zn，n＞2的正整数x、y、z、n存在。

费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理)和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（即 ，见于词条“欧拉函数”）。卡迈克尔数如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。更极端的反例是卡迈克尔数：假设a与561互质，则a^560被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数数，561是最小的卡迈克尔数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义，但直到1910年才由卡迈克尔(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡迈克尔数:561。1994年William Alford 、 Andrew Granville 及 Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。

对与p互质的整数a，考虑a,2a,3a...(p-1)a，由p是质数，任何两个的差不被p整除，所以任何两个数模p不同余，即a,2a,3a...(p-1)a是1,2,3..p-1的一个排列。将两组数全相乘，得到a*2a*3a*...*(p-1)a=1*2*3..*(p-1)，整理成(p-1)!*a^(p-1)同余(p-1)!(mod p)。由于(p-1)!和p互质，两遍可以约掉，就有a^(p-1)同余1模p

我想你指的是高中竞赛数论中的费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。设 a 是任意一个整数，考虑以它为底的几何级数即 a 的各次方幂构成的数列：a, a2, a3, a4, a5, a6, a7,  .....费马断言，给定任何一个质数 p ，在上述数列中一定能找到一个数 an，它减去 1 后是 p 的倍数，并且 n 是 p - 1 的因子。

这里用到费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 2730=2*3*5*7*13n^13-n = n(n-1)(n+1)(n^4 + n^2+1)(n^6 + 1) 而n(n-1)(n+1)可以被6整除，故原式可以被2*3整除。 n^13-n = n(n^4 - 1)(n^8 + n^4 + 1) 由费马小定理知，(n^4 - 1)可以被5整除，故原式可以被5整除。 n^13-n = n(n^6 - 1)(n^6 + 1) 由费马小定理知，(n^6 - 1)可以被7整除，故原式可以被7整除。 n^13-n = n(n^12 - 1) 由费马小定理知，(n^12 - 1)可以被13整除，故原式可以被13整除。 所以，原式可以被2*3*5*7*13=2730整除。

我来拯救你吧。我弄2个证明方法给你看看。第一种设一个比质数p小的正整数a，让a依次乘以1 2 3 ...到p-1,得到a,2a,3a...(p-1)a，而由于a与p互质，每次乘积所得到的余数都不一样，设如果ab与ac同余p（a,b,c均小于p），必定b=c，故若b不等于c，ac与ab不同余,则a到(p-1)a的余数恰好有p-1种，与1到p-1完全能一一对应，于是（p-1的阶乘）同余（a的p-1次方乘以p-1的阶乘），约去p-1的阶乘，就有了a的p-1次方除以p余1。第二种（这种方法其实我自己没法做的，是照书打的，比较巧妙）构造二项式（a+1)^p,因为展开这个二项式，每项都是C(r)(p)（组合数，下标p,上标r)*a^r,只有r等于0或者p的那一项才不被p整除，故（a+1)^p与a^p+1同余p，先归纳假设a^p次方除以p余a（这里别把它看成真理），则p整除a^a-a=a(a^(p-1)-1)，而a与p互质，a整除a^(p-1)-1,由反向的数学归纳法证明出来。

皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求，但是这个要求实际上是不必要的。1736年，欧拉出版了一本名为“一些与素数有关的定理的证明”(拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”的论文中第一次提出证明，但从莱布尼茨未发表的手稿中发现他在1683年以前已经得到几乎是相同的证明。有些数学家独立制作相关的假说（有时也被错误地称为中国的假说），当成立时，p是素数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而，这一假说的前设是错的：例如，341 ，而341= 11×31是一个伪素数。所有的伪素数都是此假说的反例。

费马是神，费马大小定理及费马引理都是对的，证明就设个整数甲，比质数忆乙小 然后用乙减一的接乘乘以甲的乙减一次方，若对乙取模，这个的数与乙减一的接乘同余，就可以了

n^13-n=n*(n^12-1)=n(n^6+1)(n^6-1)若n不能被13整除，由费马小定理，n^(13-1)末13与1同余，故(n^12-1)被13整除同理，若N不能被7整除，则(n^6-1)被7整除欧拉定理证明设x（1），x（2），...，x(φ(n))是一个以n为模的简系，则ax（1），ax（2），...，ax（φ(n) ）也是一个以n为模的简系（因为（a，n）=1）。于是有ax（1）ax（2）...ax（φ(n) ）≡x（1）x（2）...x(φ(n))（mod n），所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。证毕。费马小定理证明因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）。证毕。对于该式又有a^p ≡a（mod p），所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p ≡a（mod p）。

费马一心想要找出一个求质数的公式，结果未能成功.人们发现，倒是他无意提出的另一个猜想，对寻找质数很有用处.费马猜测说；如果 是一个质数，那么，对任何自然数n,（）一定能被 整除.这一回费马猜对了，这个猜想被人称作费马小定理.例如：11是质数，2是自然数，所以（）一定能被11整除.利用费马定理，这是目前最有效的鉴定质数的方法.要判断一个数n是不是质数，首先看它能不能整除（），如果不能整除，它一定是合数；如果能整除，它就极可能是质数.现在，在电子计算机上运用这种新方法，要鉴定一个上百位的数是不是质数，一般只要15秒钟就够了.质数公式表f(x) 公式在100以下令f(x）成合成数的x值总数x2-79+160180,81,84,89,965x2+x+4140,41,44,49,56,65,76,81,82,84,87,89,91,96142x2+2929,30,32,35,39,44,50,57,58,61,63,65,2572,74,76,84,87,88,89,91,92,94,95,97,996x2+6x+3129,30,31,34,36,41,44,51,55,59,61,62,2564,66,69,76,80,84,86. 87,88,92,93,97,993x2+3x+2322,23,27,30,38,43,44,45,46,49,51,55,56,59,2862,66,68,69,70,78,85,87,88,89,91,92,95,96像质数公式 x2+x+41，我们能找到连续 40 个（由 0 到 39）的质数，有没有一条质数公式 f=x2+x+b，能使 (b-1） 个连续 x 值使 f(x) 都是质数呢 有人曾用电算机去找，结果查出如果有，则 b 值一定要超过 1,250,000,000，而且最多只有一个.看来这个问题大概解不了.当代的数学家们在质数这个领域里，有两个重要的研究方向：一个是利用各种更有效率的筛法，不断地往更大的数里面去搜寻质数；另外就是寻找新的‘梅森尼质数".到西元1996年为止，数学家已经藉由电脑运算，知道1020以内有多少质数了；另一方面，在西元1999年六月，数学家也发现了第三十八个‘梅森尼质数"： 26972593-1，这同时也是到目前为止发现的最大质数！它是一个2098960位数.

看柯召所著《数论讲义》上册，34页，或潘承洞所著《〈初等数论〉》第二版143页。用欧拉定理证明费马小定理，楼上的所说甚是正确。

（1）费马小定理费马小定理的前提条件就是模为质数，且与底数互素。模是质数，再互素，实际上就是不整除了。至于小于，恕我孤陋寡闻，我没见过。下面的问题同样成立：9^1≡1（mod 2），此时9>2啊？（2）绝对伪素数你看看不互素会出现什么情况。不妨使用现今找到的任一伪素数，是不是绝对伪素数都行，10585吧。按理说，存在某个x，使得x^10584≡1（mod 10585）如果不互素，那么对于任意m∈Z都有：10585^m一定是10585的倍数，只能10585^m≡0（mod 10585）那就热闹了……这定义也不要算了……

费马小定理可以看做是Euler定理的一个推论,Euler定理中的n不要求是素数,而x的指数是φ(n).费马定理中n换成了素数p,而φ(p)=p-1,所以,就这样了. 不是素数当然不行.随便举个例子试试呗.

费马大 当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解费马小 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

费马小定理：如果p是一个素数，a是一个不能被p整除的正整数。则，a^(p-1) 带余数除法 除以p 的余数是1用数论的同余符号表示就是 a^(p-1) = 1(mod p) [这里的等号一般是用三条横线]

费马小定理是数论中的一个定理.其内容为假如a是一个整数,p是一个质数的话,且a、p互素则a^p≡1(modp)注意是a的p次方,不是a*p

定义： , ,若 ,则称a与b模m同余,记作 ,否则称a与b模m不同余,记作 利用同余,可在整数集合Z上诱导出一个关系 ,称为模m同余关系 定理： ,则模m同余关系是等价关系,即 (1) ,有 (2) (3) 注： 1.模m同余关系的商集记作 2.任一整数a所在的同余类记作 ,也称为同余类或剩余类 3.任一整数a用m除所得的余数只能为 中的一个, 为模m的完全剩余类,其中 为那些除m所得的余数为i的所有整数构成的集合 定理： , ,则 1.若 ,则2. 3. 4.若 ,d为a,b,m的任一公因数,则5.若 ,则6. 7. 证明： 3. 定义： , ,若其中任意两个数均不在模m的同一个剩余类中,则称 为模m的一个完全剩余系 若 中有某个数与m互素,则 中所有的数与m均互素,此时称 为与模m互素的一个剩余类,因而有 个与模m互素的剩余类,在与模m互素的每个剩余类中取一个数,得到 个与模m互素的数,它们组成的集合称为模m的一个缩系 定理：若 ,则 为模m的一个缩系 且 ,有 定理：若 ,且 ,则当x与y分别跑遍模m的一个完全剩余系时, 恰好跑遍模mn的一个完全剩余系 证明：定理：若 且 ,则当 分别跑遍模m,n的一个缩系时, 恰好跑遍模mn的一个缩系, 证明：推论：设 ,则定理：设 , ,则 证明：在实际应用中经常要计算 模m的值,利用欧拉定理,先计算 ,其中 ,即 ,即 ,从而简化运算 推论：若p为素数, ,则 证明：

题主是否想询问“费马大定理什么时候学”？八年级下学期。根据查询相关课本内容显示，费马大定理八年级下学期学。1994年10月，美国普林斯顿大学数学教授安德鲁·怀尔斯，终于圆了童年的梦想，证明了费马大定理。

矩阵幂满足费马小定理: 思路如下： (ab)p[n]= ab * ((ab)p[n-1])c * ((ab)p[n-2]);递推式子可以这样写;合并后变为(ab)p[n]=(ab)(c*p[n-1]+p[n-2]+1);可以得到p[n]=c*p[n-1]+p[n-2]+1;这样的递推式可以用矩阵乘法得到第n项;这是矩阵乘法的一个应用,给matrix67大神的博客地址可以学习,点这里构造矩阵乘法:p[n]　　　　c    1    1　　　　p[n-1]p[n-1]   =  1   0    0   *  　p[n-2]1　　　　　  0   0    1　　　　　　1然后这中间还有一个问题,就是取模的问题;ab*p[n]%mod=ab*p[n]%(mod-1)%mod;这是根据费马小定理得到的;a(p-1)Ξ1%p;ab*p[n]%mod=ab*p[n]/(mod-1)*(mod-1)+b*p[n]%(mod-1)%mod;令x=b*p[n]/(mod-1)则ab*p[n]%mod=ax*(mod-1)+b*p[n]%(mod-1)%mod=ab*p[n]%(mod-1)%mod;

1、费马小定理由费马小定理ap-1≡1，变形得 a*ap-2≡1(mod p)，答案已经很明显了：若a,p互质,因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p)，则x=ap-2(mod p)，用快速幂可快速求之

你说的应该不是那个费马大定理或者费马小定理吧应该是高等数学或者数学分析里的那个费马定理吧如果是这个，你只需要考虑极值点的函数值特点，分别求极值点处的左导数、右导数就可以了，一个不大于0，一个不小于0，因为两者要相等，因而只能是0了

3^9mod10=27^3mod10=7^3mod10=3mod10 而由费马小定理3^10mod11=1mod11那么3^(3^9)mod11=3^(10k+3)mod11=5mod11

2^5432675=(2^12)^452722*(2^11) 由费马小定理知2^12 mod 13为1,则(2^12)^452722 mod 13为1 2^12 和14 mod 13 同余,则2^11和7 mod 13 同余,说明2^11 mod 13为7 则2^5432675 mod 13为1*7=7. 前面那朋友的作法也对,不过好像不是用的费马小定理.

Fermat-欧拉定理a^f(n)=1 (modn)n=15=3*5 (没有必要15是素数, 3和5是素数 )f(15)=15(1-1/3)(1-1/5) =81025=127*8 93^1025=3^(8*127 9)=((3^8)^127 )*3^9 3^1025 mod15=((3^8)^127 )*3^9 mod15=1^127 *3^9 mod15=3^9 mod15=19683 mod15=33^1025 mod15=3

洪殊明的费马小定理具体如下：费马小定理(Fermat"s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求，但是这个要求实际上是不必要的。当成立时，p是素数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而，这一假说的前设是错的：例如，341，而341= 11×31是一个伪素数。所有的伪素数都是此假说的反例。如上所述，中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。设m是一个整数且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系，则b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也构成模m的一个完全剩余系。

费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。1637年，法国业余大数学家费尔马（PierredeFremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：ab=c是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。

费马小定理，若p是素数且a是整数则a^p≡a(mod p)，特别的若a不能被p整除，则a^(p-1)≡1(mod p)。这可以用数学归纳法证明。a=1显然成立。假设对a成立，就是a^p≡a(mod p)，则对a+1，(a+1)^p,由二项式定理，除了第一项a^p和1以外，其他各项系数都能被p整除，所以(a+1)^p≡a^p+1(mod p)，而a^p≡a(mod p)，所以(a+1)^p≡a+1(mod p)。所以费马小定理得证。

证明一、准备知识： 引理1．剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m) 证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m) 引理2．剩余系定理5 若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。 证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。令(1)：a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m)(顺序可以不同),因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}对m构成完全剩余系。 引理3．剩余系定理7 设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。 证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。 引理4．同余定理6 如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m) 证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m) 二、证明过程： 构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）[编辑本段]费马小定理在数论中的地位 费马小定理是数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理(数论中的欧拉定理，即欧拉函数)，中国剩余定理和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（见于词条“欧拉函数”）。

a和p的最大公约数是1

费马小定理的证明 一、准备知识： 引理1．剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m) 证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m) 引理2．剩余系定理5 若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。 证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。令(1)：a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m)(顺序可以不同),因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}对m构成完全剩余系。 引理3．剩余系定理7 设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。 证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。 引理4．同余定理6 如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m) 证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m) 二、证明过程： 构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

费马小定理： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。费马大定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

一、准备知识：　　引理1．剩余系定理2　　若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且（m,c)=1，则当ac≡bc(mod m）时，有a≡b(mod m)　　证明：ac≡bc(mod m）可得ac–bc≡0(mod m）可得（a-b)c≡0(mod m）因为（m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m）可得a≡b(mod m)　　引理2．剩余系定理5　　若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4]，…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。　　证明：构造m的完全剩余系（0,1,2，…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3，…r[i]=i-1,1<i<=m。令（1）：a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m）（顺序可以不同），因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4，…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式（1）自然得到集合{a1,a2,a3,a4，…am}对m构成完全剩余系。　　引理3．剩余系定理7　　设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且（m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4，…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4]，…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。　　证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m），根据引理1则有a≡a[j](mod m）。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4]，…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。　　引理4．同余定理6　　如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m），则有ac≡bd(mod m)　　证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m），由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m)　　二、证明过程：　　构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…（p-1)}，因为（a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a，…（p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1），显然W≡W(mod p）。令Y=a*2a*3a*4a*…（p-1)a，因为{a,2a,3a,4a，…（p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…（p-1)a≡1*2*3*…（p-1)(mod p）即W*a^(p-1）≡W(modp）。易知（W,p)=1，由引理1可知a^(p-1）≡1(modp）

引理1．　　若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)　　证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理3．　　设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.　　证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理1则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在2个整数ba和ba[j]同余.所以ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.构造素数的既约剩余系 因为，由引理3可得 也是p的一个既约剩余系。由既约剩余系的性质， 即易知，同余式两边可约去，得到这样就证明了费马小定理。

费马 费马Pierre de Fermat是十七世纪最伟大的数学家之一,1601年8月20日生於法国南部土鲁士Toulous附近的一个小镇.

n^13-n=n(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+1)(n^2+n+1)(n^4-n^2+1)

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费马定理很多，比较有名的有费马小定理，费马最后定理，费马平方和定理，费马最小原理如果费马小定理的证明还是比较简单的，由于1,2,~p-1构成p的完全剩余系，那么a,2a,3a,....(p-1)a也构成一个p的完全剩余系，所以它们的乘积模p相等所以1*2*3*...(p-1) = a*2a*3a*...(p-1)a (mod p)约掉1*2*3*...(p-1)得a^(p-1) = 1 (mod p)费马平方和定理的证明比较困难，不过百科里面有证明。费马原理是涉及到变分方面的知识。而费马最后定理的证明超级困难，网上有外尔斯的全部证明电子版，有130多页，涉及到的东西都非常高深，基本上很少有人能完全看懂的。

欧拉定理及推理对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)参考baike.baidu.com/view/48903.htm则① N^13 ≡ N (MOD 13)，N^13 - N ≡ 0 (MOD 13)② (N^14 - N^2)/N同法，(N^2)^7 - (N^2) ≡ 0 (MOD 7)③ (N^15 - N^3)/N^2同法，(N^3)^5 - (N^3) ≡ 0 (MOD 5)④ (N^18 - N^6)/N^5同法，(N^6)^3 - (N^6) ≡ 0 (MOD 3)或用因式分解⑤因式分解或奇偶分析，得n^13-n ≡ 0 (MOD 2)2*3*5*7*13=2730综上，n^13 - n ≡ 0 (MOD 2730)