洛必达法则

洛必达(L"Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。洛必达法则（定理）　　设函数f(x)和F(x)满足下列条件：　　（1）x→a时，limf(x)=0,limF(x)=0;　　（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0;　　（3）x→a时，lim(f"(x)/F"(x))存在或为无穷大则x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f"(x)/F"(x))扩展资料：洛必达(Marquis de l"Hôpital,1661-1704)，)又音译为罗必塔(L"Hôpital)法国的数学家，伟大的数学思想传播者。主要贡献：洛必达的著作尚盛行于18世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》(1696)，这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。在书中第九章记载著约翰‧伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：「洛必达法则」，就是求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故「洛必达法则」之名沿用至今。洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去世，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。参考资料来源：百度百科——洛必达法则参考资料来源：百度百科——洛必达

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。这种方法主要是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值．在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导；如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。应用属于0/0或者 无穷/无穷 的未定式分子分母可导分子分母求导后的商的极限存在limf/g=limf"/g主要贡献洛必达的著作尚盛行于18世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》（1696），这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。在书中第九章记载著约翰‧伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：「洛必达法则」，就是求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故「洛必达法则」之名沿用至今。洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去世，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。

在求取函数的极限时,洛必达法则是一个强有力的工具；但洛必达法则只适用于0/0和∞/∞两种情况，具体如下：①0/0型：例：x➔0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型,因为x➔0时,分子(tanx-x)➔0,分母x-sinx➔0】=x➔0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x➔0lim(sec²x-1)/(1-cosx)=x➔0limtan²x/(1-cosx)【还是0/0型,继续用洛必达】=x➔0lim[(2tanxsec²x)/sinx]=x➔0lim(2sec³x)=2②∞/∞型例：x➔(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x➔(π/2)时tanx➔+∞,tan3x➔-∞,故是∞/∞型】=x➔(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x➔(π/2)lim[(sec²x)/(3sec²3x)]=x➔(π/2)lim[(cos²3x)/3cos²x]【0/0型】=x➔(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】=x➔(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3③0▪∞型,这种情况不能直接用洛必达,要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用.例：x➔0+lim(xlnx)【x➔0+时,lnx➔-∞,故是0▪∞型】=x➔0+lim[(lnx)/(1/x)]【x➔0+时(1/x)➔+∞,故变成了∞/∞型】=x➔0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0+lim(-x)=0④1^∞型,1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞▪ln1)=e^(∞▪0)例：x➔0lim(1+mx)^(1/x)=x➔0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型,可在指数上用洛必达】=x➔0lime^[m/(1+mx)]=e^m⑤∞°型,∞°=e^(ln∞°)=e^(0▪ln∞)例：x➔∞limm[x^(1/x)]=x➔∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型,可在指数上用洛必达】=x➔∞lime^[(1/x)/1]=x➔∞lime^(1/x)°=e°=1⑥0°型,0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0▪∞)例：x➔0lim(x^x)=x➔0lime^(xlnx)=e⑦∞－∞型,∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]例：x➔1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x➔1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这就成了0/0型】=x➔1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x➔1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】=x➔1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2

洛必达法则(L"Hospital)法则,是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值得方法. 设 (1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内,f"(x)及F"(x)都存在且F"(x)≠0； (3)当x→a时lim f"(x)/F"(x)存在(或为无穷大),那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f"(x)/F"(x). 又设 (1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f"(x)及F"(x)都存在,且F"(x)≠0； (3)当x→∞时lim f"(x)/F"(x)存在(或为无穷大),那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f"(x)/F"(x). 利用罗彼塔法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意： ①在着手求极限以前,首先要检查是否满足 或 型,否则滥用罗彼塔法则会出错.当不存在时（不包括∞情形）,就不能用罗彼塔法则,这时称罗彼塔法则失效,应从另外途径求极限 . ②罗彼塔法则可连续多次使用,直到求出极限为止. ③罗彼塔法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用罗彼塔法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.

洛必达法则三个条件是①无穷小/无穷小或无穷大比无穷大的未定式②在a点的某去心邻域内，导数存在且分母的导数不等于0（这里不要求在改点可导，只要求在该点的去心邻域内可导，所以不包括这点的导数是否存在。其次这里只要求导数存在，没有要求导数连续）③导函数比值的极值存在或为无穷满足这三个条件才能用洛必达法则求解推出原极限的值

1-cosx=

不确定对不对

一般就是对分式上下求导

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。扩展资料应用条件：在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案。如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理作为替代。参考资料来源：百度百科——洛必达法则

洛必达法则7种类型是：零比类型、无穷比无穷型和5种不定式类型。1、零比类型。2、无穷比无穷型。3、其他不定式，0 · ∞ 型。4、其他不定式，∞ -∞ 型。5、1的∞次方型。6、0的0次方型。7、∞ 的0次方型。洛必达法则洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。以上内容参考 百度百科：洛必达法则

洛必达(L "Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 洛必达法则（定理） 　　设函数f(x)和F(x)满足下列条件： 　　（1）x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0; 　　（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0; 　　（3）x→a时，lim(f"(x)/F"(x))存在或为无穷大 则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f"(x)/F"(x))