黎曼和

我不知道什么浪漫是什么意思，但是我感觉就是人与人之间就是多和善呀，徒弟当然想一些，这些是比较好一些吧，而且这是我自己的观点，我也不是太了解他人的成就是吗？这是我自己的想法，

黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。 此函数在微积分中有着重要应用。编辑本段定义R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数； R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。编辑本段性质定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。 证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。 推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。 推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。） 证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。编辑本段图像函数图像根据定义可知，黎曼函数的函数图象应该是一系列松散的点，而非连续曲线，这是因为它一方面处处极限为0，另一方面在任意的小区间中，都包含着无数个值不为0的点。通常来说，黎曼函数的图像是由它在函数值最大的有限个有理点的值组成的散点图来逼近的。 从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都变得越来越密集。 根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。编辑本段变体R(x)=0，如果x为任意无理数； R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为任意有理数。 这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。 此函数在微积分中有着重要应用。编辑本段定义R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数； R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。编辑本段性质定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。 证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。 推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。 推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。） 证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。编辑本段图像函数图像根据定义可知，黎曼函数的函数图象应该是一系列松散的点，而非连续曲线，这是因为它一方面处处极限为0，另一方面在任意的小区间中，都包含着无数个值不为0的点。通常来说，黎曼函数的图像是由它在函数值最大的有限个有理点的值组成的散点图来逼近的。 从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都变得越来越密集。 根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。编辑本段变体R(x)=0，如果x为任意无理数； R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为任意有理数。 这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。差不多的东西其实就是我讲出来的，你仔细看下哈。正确的

定积分最初是一个记号，也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些），当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量，但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后，理解和应用来了个180度转弯，一般不再用积分和（定义）去求积分，而是用N-L公式，而且积分表达式用的远远多于极限式。定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分，而在于N-L公式

积分的保号性：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个Z上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。如果黎曼可积的非负函数f在Z上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f=0。如果勒贝格可积的非负函数f在Z上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果 中元素A的测度等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。扩展资料：定积分的性质：1、当a=b时，2、当a<b时，3、常数可以提到积分号前。4、代数和的积分等于积分的代数和。5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。

线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果和在区间上黎曼可积，和是常数，则：由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。正定性：如果函数在区间上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在上的积分也大于等于零。如果在区间上几乎处处大于等于0，并且它在上的积分等于0，那么几乎处处为0。可加性：如果函数在区间和上都可积，那么在区间上也可积，并且有无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。如果是上的一个一致收敛序列，其极限为，那么：如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。

求黎曼和的原理就是将函数与x轴围成的面积做划分，然后求和，然后将划分无限细化，求极限的过程

定积分最初是一个记号，也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些），当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量，但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后，理解和应用来了个180度转弯，一般不再用积分和（定义）去求积分，而是用N-L公式，而且积分表达式用的远远多于极限式。定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分，而在于N-L公式