全纯函数

多复变量的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比Cauchy-Riemann方程要强。事实上它可以这样表述:一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足Cauchy-Riemann方程并且局部平方可积。

全纯函数（holomorphicfunction）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。-------在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。------------我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊....恩，要求在每点上皆复可微

全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。-------在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。------------我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊....恩，要求在每点上皆复可微

是的，全纯函数是定义在复平面C的开子集上的，在C中取值的函数，在每点复可微。

全纯函数就是解析函数，两者是完全等价的，就是不同的称呼罢了。

一个单复变函数全纯当且仅当它实可微并且满足 Cauchy-Riemann 方程.

纯量就是标量，不是向量。纯量函数，估计就是函数的值域不是向量，而是标量把

不是保角的，全纯函数只在非零导数点保角。以n=2为例，令?1(s)=s, ?2(s)=is，曲线?1与?2在原点处的夹角是pi/2。在f的作用下， f[?1(s)]=s^2依然为一条水平直线，而f[?2(s)]=-s^2变为一条沿着负x轴的直线，所以它们的夹角是pi，不再相等。

全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的,在复平面C中取值的,在每点上皆复可微的函数.这是比实可微强得多的条件,暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述. ------- 在复分析中,一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数,那些孤立点称为该函数的极点. 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点. ------------ 我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊. 恩,要求在每点上皆复可微

全纯函数 (holomorphic function) 是复理论研究的核心之一，它们是复流形到 C 的处处可微函数。全纯比实可微强很多，它直接推出函数无穷阶可微并可泰勒展开。“(复) 解析函数 (analytic function)” 可和 “全纯函数” 交换使用，但不常用，一般用来指实解析函数。在一点全纯 可推出在该点的某个开邻域可微。类似地，可以定义全纯多复变函数。全纯映射(holomorphic mapping) 是指两个复流形之间的局部全纯函数。

设开子集且 是一个单复变函数，称在 (复) 可微( [complex] differentiable) 或全纯，如果极限 存在。若 在 中处处可微，则称 在上全纯(holomorphic over )。

因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非 的地方全纯。每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域 内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看全纯函数解析。全纯函数满足Cauchy-Riemann方组，该方程组含有两个偏微分方程，也可以用复偏导算子写成一个。在非 导数的点的附近，全纯函数是共形的 (或保角的，实际上就是相似在局部的推广)。因为它保持了图形的局部角度和形状 (但尺寸可能改变)。Cauchy 积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。

所有关于 的复系数的多项式 函数在 上是全纯的.所有关于 的三角函数 和指数函数 也是 (三角函数和指数函数通过欧拉公式联系).对数函数的主支在集合 上全纯. 平方根函数可以定义为所以任何复对数 全纯的地方, 它也全纯. 函数 在 上全纯.不是全纯的函数的典型例子有复共轭 (complex conjugation) 和取实部 .

全纯函数就是解析函数，两者是完全等价的，就是不同的称呼罢了。