切向量

S³对应四元数体H中的单位四元数,在乘法和取逆下封闭, 因此四元数乘法给出S³上的一个群结构. 又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的,故S³是一个Lie群. Lie群的切丛总是平凡的,因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场. 所以四元数的存在导致S³的切丛平凡. 但是反过来的推理不能简单进行,因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系. 不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的. 注:其实S³作为Lie群同构于SU(2).

S³对应四元数体H中的单位四元数, 在乘法和取逆下封闭,因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的, 故S³是一个Lie群.Lie群的切丛总是平凡的, 因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.但是反过来的推理不能简单进行, 因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.注: 其实S³作为Lie群同构于SU(2).

如果知道曲线的参数方程，那么坐标分量对参数求导得到的向量即为该点处切向量。

这称为Riemann度量.给出一个Riemann度量,就是给出了所有切向量的长度（和内积,当然,只有两个同一点处的切向量才有内积）；给出这种长度,有不同的给法,这就是不同的Riemann度量.能不能看成欧氏空间中的长度,要看怎么想,至于“转化”,我需要知道你想象中的转化具体是一个什么意思. 一点处的一个切向量,它所在的空间是这一点的切空间. 假如这个流形本身被放到了一个欧氏空间里,那么就可以直观的把这点处的切空间看成是这点的切平面（当然,不一定非得是个2维的面,取决于流形是多少维的）,这时候可以按照欧氏度量来定义这个切平面里向量的长度.这样就定义了一个Riemann度量.在定义这个度量的时候,我们其实用到了“把这个流形放到欧氏空间”里的这种放法,也就是用到了映射 i:M -> R^n,其中M是这个流形,i是个嵌入映射.刚才所给出的欧氏的这种度量,实际来源于R^n中向量的长度,这种度量称为由映射i诱导的度量. 一般情形是,我们往往不容易想象怎么把一个流形M放到一个欧氏空间里（尽管能放）,或者干脆不想（有时候维数比较大,即便知道怎么放到欧氏空间里,可能也并不直观）.这时候,一个切平面就是一个单独的欧氏空间,而没法把它看成某个大的欧氏空间里的一个平面或者什么的.