向量丛

S³对应四元数体H中的单位四元数,在乘法和取逆下封闭, 因此四元数乘法给出S³上的一个群结构. 又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的,故S³是一个Lie群. Lie群的切丛总是平凡的,因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场. 所以四元数的存在导致S³的切丛平凡. 但是反过来的推理不能简单进行,因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系. 不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的. 注:其实S³作为Lie群同构于SU(2).

给定两个向量丛π：E→M，和π‘：E"→M， 我们可以构造出新的向量丛:(1)E的对偶丛E∨(2)直和丛E⊕E"(3)张量丛E☉E"(4)对称积S^r(E)(5)外积∧^r(E)等等此外，流形M上自带了切丛和余切丛。这是微分几何中最重要的两个向量丛。线丛也是一种特殊的向量丛，它和自身的对偶张量一下变成了平凡丛。全体线丛在张量下构成一个群， 称为Picard群。线丛也称为可逆丛。

S³对应四元数体H中的单位四元数, 在乘法和取逆下封闭,因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的, 故S³是一个Lie群.Lie群的切丛总是平凡的, 因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.但是反过来的推理不能简单进行, 因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.注: 其实S³作为Lie群同构于SU(2).