拓扑空间

就是{b}包含它的闭集只有X和{b}

一般空间中元素不一定是开集，全集与空集是开集这是开集公理的定义，仅仅是定义而已

3个：平庸空间、离散空间、介于前两者之间的一个空间

注意Y的无处稠密子集也是X的无处稠密子集A在X中的闭包与内部，在Y中的闭包，内部之间的关系即可。

利用如下两条性质： A的闭包并上B的闭包=（A并B）的闭包 A的内点=A的补集的闭包的补集

英国脱欧失败了

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。在微积分学中，实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质： 　　①任意个开集的并是开集 。 拓扑空间　　②有限个开集的交是开集。 　　③R′及空集是开集。对任一非空集合X，若X的一个子集族J 　　满足： 　　①J中元的任意并在J中。 　　②J中元的有限交在J中。 　　③X、空集在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。 　　注意到如能在X中给出度量则自然在X中给出拓扑（由度量决定的开集）。 　　于是度量空间都是拓扑空间。但不是所有拓扑空间都可定义度量，使得该度量下的开集族与原拓扑空间的开集族一致；详见度量化定理。对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。 拓扑空间　　设X是非空集合，令J0＝｛X，｝，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1＝｛A｜AÌX｝，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J＝｛BÌR1｜"x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）ÌG｝，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。 　　设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。 拓扑空间　　称拓扑空间为Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,简称拓扑,是指J满足下列三个条件： 相关书籍　　①空集和x本身是J的元; 　　②J内任意有限多个元的交仍是J的元； 　　③J内任意多个元的并仍是J的元。 　　集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数，那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。积空间　　任意两个集 A1和 A2的笛卡儿积定义为集。两个拓扑空间x1与x2的笛卡儿积x1×x2上可以引入乘积拓扑如下:其基中的元是形如 A1×A2的集, 这里 Ai是 xi的任意开集,i=1,2。这样得到的拓扑空间称为空间x1与x2的积空间。x1与x2叫因子空间。积空间可以推广到任意多个因子的情况。 任意集族{Aα}α∈I的笛卡儿积可类似地定义为集这里Aα是xα的任意开集，并且这些Aα(α∈I)中除有限多个外都等于xα。这样得到的拓扑空间称为空间族{xα}α∈I的积空间。 拓扑空间商空间　　设x 是拓扑空间，将x 划分为两两不相交的子集, 把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。规定H的子集U是开集当且仅当U的一切元的并是x的开集。这样，H便构成一个拓扑空间，叫x的商空间。例如,让x表平面上的长方形带ABCDEF,并作为数平面R2的子空间。先把带扭转180°,再把FD边与CA边粘合起来，这样得到的图形叫麦比乌斯带。这时点A与D重合，C与F、B与E也重合,等等。如果将x划分为下列两两不相交的子集：｛A,D｝,｛C,F｝,｛B,E｝,…以及所有单点集｛p｝，这里p是x的不在两条竖直边上的点。所得的商空间就是麦比乌斯带。连续映射与同胚　　设ƒ是空间x 到空间Y的映射，即对于x内每一点x,Y内有惟一一点y与它对应。这个y叫x在ƒ下的像,记为ƒ(x)；称ƒ是连续映射是指对Y的每个开集G,其逆像ƒ-1【G】={x∈x｜ƒ(x)∈G}是x的开集。如果x内任意两个不同的点有不同的像，就称ƒ是单射。如果Y内每一点必是x 内某一点的像，就称ƒ是满射。从空间x到Y的每个既单又满映射ƒ必有逆映射g,它是Y到x上的既单又满映射，这里g(y)=x当且仅当ƒ(x)=y。这时如果ƒ和g都连续，便称ƒ为同胚映射。两个拓扑空间称为同胚的,是指它们之间存在一个同胚映射。n维欧几里得空间Rn的任一开球作为子空间与Rn同胚。另一方面，1913年荷兰数学家L.E.J.布劳威尔证明了：当m不等于n时,Rm与Rn不同胚。第一与第二可数空间　　拓扑空间称为第二可数的是指它的拓扑有一个可数基。Rn是第二可数空间，因为半径与球心坐标皆为有理数的一切开球组成Rn上拓扑的可数基。设A是空间x的任一子集。x的子集W 称为子集A的邻域是指存在开集U包含A且包含在W内。点x的邻域即子集{x}的邻域。由点x的一切邻域组成的集族Ux叫点的邻域系。Ux的子族Bx称为x的邻域基或局部基是指对于Ux的每个元U，Bx中相应地有元B,使B吇U。如果空间x 的每一点都有一个可数局部基，便称为第一可数空间。第二可数空间与度量空间都是第一可数空间。 相关书籍紧空间　　拓扑空间x的子集族 U称为x 的覆盖是指x 可表为U的一切元的并。由开集组成的覆盖叫开覆盖。如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖，则x称为紧空间。n维欧几里得空间Rn中的有界闭集，即可以包含于某个球内的闭集，作为Rn的子空间是紧空间。但Rn本身不是紧空间。任意一族紧空间的积空间仍是紧空间。连续映射把紧空间映成紧空间，只要映成的空间是T2的。与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。1924年，苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了：紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。在第二可数或度量空间范围内，一个空间是紧的当且仅当它是列紧的，即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。仿紧空间　　1944年由法国数学家J.迪厄多内提出的仿紧空间是紧空间的一种重要推广。空间内的一个子集族U称为局部有限的是指空间内每一点有一个邻域与U内至多有限多个元相交。设U、V是空间x的任二开覆盖,如果U的每个元是V的某个元的子集，则称U加细V或U是V的一个加细。一个T2空间称为仿紧空间是指对于它的每个开覆盖V，存在一个局部有限的开覆盖U加细V。紧空间和度量空间都是仿紧空间。连通空间　　有一类简单的几何图形只由“一片”所组成，这就是连通空间的直观含义。拓扑空间称为连通空间是指它不能表示为两个不相交的不空开集的并。等价地，从它到由两个点组成的离散空间的每个连续函数是常值的，即每一点的像皆相同。Rn是连通空间。R1内的连通子空间恰好是区间，包括带一个或两个端点的或不带端点的，有限或无限的。每个紧连通空间称为连续统。编辑本段分离公理　　主要有下面几条。T1分离公理　　空间内任何两个不同的点都各有一个领域不含另一点。豪斯多夫分离公理　　（T2分离公理) 空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。正则分离公理　　空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。全正则分离公理　　对于空间x 内每一点x及不含x的任一闭集B，存在连续映射ƒ∶x→【0,1】，使得ƒ(x)=0且对B内每一点y，ƒ(y)=1。正规分离公理　　空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。 　　满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。

欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,简称拓扑,是指J满足下列三个条件：①空集和x本身是J的元;②J内任意有限多个元的交仍是J的元；③J内任意多个元的并仍是J的元。集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数，那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。 空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。满足T1分离公理的空间叫T1空间。满足T2分离公理的空间叫T2空间或豪斯多夫空间。一个T1空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊T2空间崊T1空间。度量空间以及下述的紧空间和仿紧空间都是正规空间。

聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。聚点存在定理a是X的聚点的充要条件是：存在X中的各项不同的数列，使得事实上，只要证明在且的数列中，可以选出各项不同的子数列就可。因为且，这说明该数列不可能只有有限多个不同项组成(否则必有一项的值在中无穷次出现，这样就收敛到该值，而它又不等于a，从而得出矛盾)，取这些不同项，按原来的顺序排列后所得数列就是定理所要求的数列。例 给出以[0，1]上所有实数为聚点的数列。 解利用(0，1)上的有理数集的聚点就是[0，1]这个事实，来构造数列如下：当然上述数列的项有相同的，如果舍去和前面相同的项的话，就得到一个各项不同的数列，它以[0，1]上实数为聚点，而各项又都是有理数。

对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。设X是非空集合，令J0={X，}，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1={A|AÌX}，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J={BÌR1|"x∈G，∈ε>0，使（x－ε，x+ε）ÌG}，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）=r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。称拓扑空间为Hausdorff空间，如果空间中任意两点有不交的邻域。注意有些拓扑空间不是Hausdorff空间，如定义了平凡拓扑的空间，连续函数芽集等。

无限维赋范线性空间上的弱拓扑不可度量。Haim的泛函分析上的原话In infinite-dimensional spaces the weak topology is never metrizable

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近。设X是一个非空集合，是X的一个子集族，如果满足:(1)空集与X属于zhuan，即:Φ∈τ，X∈τ;(2)τ中任shu意两个子集的交属于τ，即:?U∈τ，V∈τ，U∩V∈τ;(3)X的任意多个开集之并仍是X的开集，则是X的拓扑，{X，τ}为拓扑空间。设{X，τ}为给定拓扑空间，如果x∈X，N(x)是τ中的一个开子集，且x∈N(x)，则N(x)是x∈X的邻域。扩展资料：组成集合的各个对象，叫做集合的元素。(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来．写在{ }里面。例1 6的正约数的集合A．可表示为：A={1，2，3，6}(2) 描述法：把集合中的元素的共同特征描述出来，写在{ }里面。例2 全体奇数的集合C，可表示为：C={x|x=2n+1，n是整数}。参考资料来源：百度百科-非空集合

平庸拓扑空间一定是连通空间。庸空间是拓扑空间中的一个特例，其中有且仅有两个元素，空集和其本身。设X是一个非空集合，令τ={X，Φ}，可以验证，τ是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且成拓扑空间（X，τ）为一个平庸空间。

你这个问题要回答的话是很复杂的. 首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义 （因为度量空间的序列定义还不够一般） 设X是一个拓扑空间,每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射 叫做 X的序列 记做{x1,x2,x3 ...} 设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 , 而a 属于 X集合 ,如果对于a的每一个邻域U, 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ,就叫a是序列的极限点, 如果序列至少有一个一个极限点,我们称这个序列收敛. 子序列你应该能够自己定义出来 ,（我就不打了） 这样我们来解答问题吧 还记得R（实直线）上的余有限拓扑 这是一个很好 又很简单 的例子 余有限拓扑定义的闭集只有 空集 R 和 有限个点的集合 这样我们看到在 这个拓扑下 所有R的子集都是 紧集 这一点很明显 希望你自己证明 这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集 仔细看上面的定义 在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点 但是它们很多都不属于这个序列本身 自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集. 至于自列紧集不是紧集 较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间 而且不是lindelof的拓扑空间 （不过一般举例是会出现 不可数序数 的 汗 我想了下没找到简单的例子） 这种空间自身是子列紧的 但他连lindelof空间都不是 自然也不是紧空间 综上所述 这两个概念在一般的空间中是互不包含,一般都会加上好的 分离性公理 或者 可数性公理逼其就范.比如 加上A2公理 T1公理 总之 点集拓扑学有很多反例的 如果还有什么 我们一起讨论交流一下

设X到Y的嵌入映射是f,意思就是f是连续的单射,而且对X的任何开子集U,都存在Y的开子集V,使得f(U)等于f(X)交V.这里V可以随U而变. 只要证明f（限制到A上）也是从A到Y的嵌入映射就行了.它自然也是连续的单射.对于A的任何开子集W,它都可以写成U交A,其中U是X的某个开子集.那么因为f在X上是单射,所以f(W)就是f(U)交f(A)（假如f不是单射,那f(W)可能比f(U)交f(A)要小）,而f(U)是f(X)交上Y的某个开子集V,所以f(W)就是f(A)交f(X)再交上Y,也就是f(A)交Y.这里U随W而变,V又随U而变.

不一定是闭集。反例：X={a,b}T={空集， X}A={a}则 A"={b} 不是闭集。

度量空间是一种特殊的拓扑空间，其上拓扑基定义为开球。不是任何拓扑空间都是可以赋予度量的，要加一定的条件。

同时，你要清楚X是基集这个前提，集合、集合中元素这些概念应该清楚

答：我没学过拓扑学，但是我觉得可以这样理解：例如2 3 5 7 11 对于自然数来说，它们只是星星点点的离散型数字，而2*3*5*7*11=4410也只是星星点点的离散型数字；

所有点。有限补拓扑为令X-U或者为有限集或者为X的X的子集的族。依据所要证明的问题，我们考虑将开集分为两类。一类其补集包含序列Xn的点，另一类不包含。对于二类，显然满足序列收敛的定义。对于一类，由于其补集为有限集，故至多包含序列的有限个点。不妨设在这有限个点中下标最大为N（由于整数集是良序集），则n>=N+1时，Xn属于该开集。hens，对于任意x属于R，序列Xn=1/n收敛到x

平凡拓扑空间的基本群是空集合，即所有成员都为空的集合。可以这样证明：由于平凡拓扑空间中任何两个点都可以通过一条逆时针或顺时针的曲线连接起来，所以平凡拓扑空间中任何子集都是开的，即可以找到一个属于子集的点周围的点不属于子集。因此，平凡拓扑空间的基本群就是空集合。

1.设∪{γ∈Γ}Aγ的导集B,C=X-B.任意x∈C,有开集x∈V使,[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V=Φ或{x}.2.若[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V=Φ,则V∩B=Φ3.若[∪{γ∈Γ}Aγ]∩V={x},设Γ(x)={γ∈Γ,x∈Aγ}则设Aγ的导集Dγ,Eγ=X-Dγ.ⅰ.显然任意γ∈Γ,x不在Dγ中ⅱ.显然任意γ不在Γ(x)的元素,Dγ∩V=Φ,ⅲ.显然任意γ1,γ2∈Γ(x),Dγ1∩V=Dγ2∩V,即或同时Dγ∩V=Φ,或同时Dγ∩V≠Φ,==>B∩V=Dγ∩V,γ为任意1个Γ(x)的元素==>Eγ∩V为包含x的开集,且[Eγ∩V]∩B=Φ由2.3得:任意x∈C,有包含x的开集为C的子集,所以C为开集,则B闭集.

拓扑空间的开集是不定义的概念,犹如平面几何的点、直线是不定义的概念.因此有所谓“平庸的拓扑”,“离散的拓扑”. 初学者感到抽象,不妨借助于数学分析的开集——为模型,犹如把光线当作直线的模型. 数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点,即它的充分小的邻域仍包含于这个集合. 仅供参考.

对。有限点集的导集是空集，因为没有极限点。就是说导集是空集，包含于有限点集。

你这个问题要回答的话是很复杂的。首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义 （因为度量空间的序列定义还不够一般）设X是一个拓扑空间，每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射 叫做 X的序列 记做{x1,x2,x3 ...}设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 ， 而a 属于 X集合 ，如果对于a的每一个邻域U， 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ，就叫a是序列的极限点， 如果序列至少有一个一个极限点，我们称这个序列收敛。子序列你应该能够自己定义出来 ，（我就不打了）这样我们来解答问题吧 还记得R（实直线）上的余有限拓扑 这是一个很好 又很简单 的例子余有限拓扑定义的闭集只有 空集 R 和 有限个点的集合 这样我们看到在 这个拓扑下 所有R的子集都是 紧集 这一点很明显 希望你自己证明 这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集 仔细看上面的定义 在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点 但是它们很多都不属于这个序列本身 自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集。 至于自列紧集不是紧集 较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间 而且不是lindelof的拓扑空间 （不过一般举例是会出现 不可数序数 的 汗 我想了下没找到简单的例子） 这种空间自身是子列紧的 但他连lindelof空间都不是 自然也不是紧空间 综上所述 这两个概念在一般的空间中是互不包含，一般都会加上好的 分离性公理 或者 可数性公理逼其就范。比如 加上A2公理 T1公理 总之 点集拓扑学有很多反例的 如果还有什么 我们一起讨论交流一下

根据拓扑的开集公理 1,空集 2,空集,X 3,空集,{a} 4,空集,{b} 5,空集,{c} 6,空集,{a},{b},{a,b} 7,空集,{a},{c},{a,c} 8,空集,{c},{b},{c,b} 9,空集,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

设X到Y的嵌入映射是f，意思就是f是连续的单射，而且对X的任何开子集U，都存在Y的开子集V，使得f(U)等于f(X)交V。这里V可以随U而变。只要证明f（限制到A上）也是从A到Y的嵌入映射就行了。它自然也是连续的单射。对于A的任何开子集W，它都可以写成U交A，其中U是X的某个开子集。那么因为f在X上是单射，所以f(W)就是f(U)交f(A)（假如f不是单射，那f(W)可能比f(U)交f(A)要小），而f(U)是f(X)交上Y的某个开子集V，所以f(W)就是f(A)交f(X)再交上Y，也就是f(A)交Y。这里U随W而变，V又随U而变。

所有单点集是闭集的拓扑空间不一定是Hausdorff空间所有单点集是闭集的拓扑空间只能证明最多是T1空间比如考虑自然数集N上的余有限拓扑，则N中所有单点集都是闭集但N却不是Hausdorff空间，因为N中任意两个开集必相交

拓扑空间的开集是不定义的概念，犹如平面几何的点、直线是不定义的概念。因此有所谓“平庸的拓扑”，“离散的拓扑”.初学者感到抽象，不妨借助于数学分析的开集——为模型，犹如把光线当作直线的模型。数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点，即它的充分小的邻域仍包含于这个集合.仅供参考。

嗯，当且仅当一个例子的这样子。

只需证明 Y的可列个稠密开集就交集仍是稠密的. 设 U1,U2,.,Un ,...是子空间Y的一列稠密开集. 因为Y是X的开子集.所以 Un,n=1,2,...是X中的开子集.设 A=X - （Y的闭包）,则A为开集. 设 Vn=Un 并A,n=1,2,.Vn 显然是X 的开集. 任给n>0,Vn为X 的稠密开集. 证明：任给X 的开集U, 1.如果U交Y=空集.则U属于A ==》 U交Vn非空. 2.如果U交Y非空,因为Vn 在Y中稠密,而U交Y为Y中非空开集,所以 (U交Y)交Vn非空,即U交Vn非空. 所以 Vn为X 的稠密开集. 于是 根据拓扑空间X是Baire空间,Vn对所有 n=1,2,...的交是X中的稠密集.任给Y中开子集U0, U0 是X的开集,于是 （Vn对所有 n=1,2,...的交）交U0 非空,因 A交U0=空集,所以 （Un对所有 n=1,2,...的交）交U0 非空 所以结论成立.

支持一下楼上的，比如Q在R中的导集就是整个R

楼上的是正确的，存在开邻域的那里是管状引理(tube lemma) 是紧致性的运用

拓扑结构，是在计算机网络中引用拓扑学中研究与大小、形状无关的点、线关系的方法，把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。

　　拓扑空间和线性空间的区别：拓扑空间是一个点的集合；线性空间是向量的集合。　　拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，连通，收敛等概念的最基本的数学空间。其定义为：　　设X是一个集合，O是一些X的子集构成的族，则(X，O)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：　　1. 空集和X属于O，　　2.O中任意多个元素的并仍属于O，　　3.O中有限个元素的交仍属于O。　　这时，X中的元素成为点（point），O中的元素成为开集（open set），则称O是X上的一个拓扑。　　线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间。

设 是一个集合， 是一些 的子集构成的族，则( ， )被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：1. 空集和属于 ，2. 中任意多个元素的并仍属于 ，3. 中有限个元素的交仍属于 。这时， 中的元素成为点（point）， 中的元素成为开集（open set）。我们也称 是 上的一个拓扑。

聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。聚点存在定理a是X的聚点的充要条件是：存在X中的各项不同的数列，使得事实上，只要证明在且的数列中，可以选出各项不同的子数列就可。因为且，这说明该数列不可能只有有限多个不同项组成(否则必有一项的值在中无穷次出现，这样就收敛到该值，而它又不等于a，从而得出矛盾)，取这些不同项，按原来的顺序排列后所得数列就是定理所要求的数列。例 给出以[0，1]上所有实数为聚点的数列。 解利用(0，1)上的有理数集的聚点就是[0，1]这个事实，来构造数列如下：当然上述数列的项有相同的，如果舍去和前面相同的项的话，就得到一个各项不同的数列，它以[0，1]上实数为聚点，而各项又都是有理数。

有。维数为零的拓扑空间：按覆盖维数的概念，一个拓扑空间是零维空间，若空间的任何开覆盖，都有一个加细，使得空间内每一点，都在这个加细的恰好一个，因此是有的。拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：（1）X和空集{}都属于τ；（2）τ中任意多个成员的并集仍在τ中；（3）τ中有限多个成员的交集仍在τ中。则称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）

度量空间是拓扑空间的一种特例。

1、拓扑学是一门重要的数学基础学科，它和代数学一起构成数学的两大支柱。如果说代数学研究的是离散运算的一般理论，那么拓扑学则是研究连续映射的一般理论。 和其他数学分支相比，拓扑学是一门年轻的学科，它在20世纪初才从十九世纪的若干发展结晶成几何的一个分支。拓扑学所研究的是几何图形的那些经过任意变形后，保持不变的性质。这些变形可以是压缩、拉伸或任意的弯曲等等，但是，在变形过程中不允许产生新点，也不允许两点粘合在一起。这就是说，图形相邻近的点，变形后仍然是相邻近的，这种性质称为连续性；此外，图形和变形的点之间存在一个一一对应。因此，要求这个变形是连续的，并且逆变换也是连续的，这种变换称为拓扑等价或同胚。拓扑学有一个形象的外号--橡皮几何学，因为如果图形是用橡皮做成的，就能把许多图形变成同胚的图形。 拓扑学有很多不同的起源，这就使它分立成几个分支，主要是点集拓扑和代数拓扑 点集拓扑，又称一般拓扑，是在Cantor 集合论的强烈影响下形成的，它肇使于Frechet 1906年关于一般度量空间理论的论文和Hausdorff 1912年“集论基础”一书的出现。Hilbert 空间，Banach空间的引进，泛函分析的兴起，展现了把抽象点集引进适当结构而作为空间来研究的重要性。拓扑空间是这样的集合，它上面赋于某种结构，利用这种结构，我们可以谈点或子集之间的邻近性，从而可以谈映射的连续性。 在古典分析以泛函分析中，序列的极限居重要地位，因而使得分析中起作用的那些性质都是拓扑性质。泛函分析中的算子就是从一个空间到另一个空间的映射。因此，拓扑学自然地成为研究泛函分析的工具。 代数拓扑的起源和点集拓扑的起源是不同的，它的历史可以追溯到更为久远，在关于多面体的Euler 定理中已见代数拓扑的端倪。Euler 对于这个定理感兴趣是因为要用它来作多面体的分类。但他没有注意到连续变换下的不变性。 曲面的分类和Riemann的复变函数论方面的工作是推动拓扑学。他引进了基本群和同调群。促使他研究拓扑学是一些经典的几何问题和积分理论。 拓扑学的方法和许多概念已经渗透到数学的几乎所有领域，并在诸如物理学、化学和生物学等学科中得到了应用，今后这些应用定会更加广泛。 《拓扑学》（原书第2版)/华章数学译丛作者:(美)芒克里斯 译者:熊金城 吕杰 谭枫2、欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。 欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质。拓朴学是现代数学的一个重要分支，主要是研究奇异形变的规律。通俗点说，拓朴是橡皮上的数学：在一个弹性较好地橡皮上画上较为规矩的图形（比如长方条格）后，用手任意扭曲它，画在它上面的图形将会发生各种奇异的变化，你会发现你从来没有看到过的美妙图形；或者你用手随意捏弄一个气不太足的气球，使之此鼓彼突，你会看到印在它上面的图案会发生不可思议的各种变化。而拓朴学正是用来研究这种图形变化妙处之所在的规律的

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。

拓扑空间的开集要满足定义条件，你看看书

度量空间具有许多良好性质，例如，它满足第一可数公理，它是豪斯多夫空间，正规空间，还是仿紧空间。此外对度量空间而言，紧致性等价于下列三条中的任一条：①任何可数开覆盖都有有限子覆盖；②每一无限子集都在空间中有聚点：③每一点列都有收敛子列。一个拓扑空间的拓扑结构在什么条件下能作为一个度量空间的拓扑？这是点集拓扑理论中的一个重要问题，称作度量化问题。对于度量化问题的两个最主要的结果一个是Urysohn度量化定理，即每一个第二可数的正规Hausdorff空间可度量化（通常会在点集拓扑的课程中介绍），另一个则是Bing-Nagata-Smirnov度量化定理，即一个拓扑空间可度量化当且仅当它是正则Hausdorff空间并且具有一个可数的局部有限基。