连分数

设指数函数为y=a^x 两边取以a为底的对数，变为：log(a)y=x同底时，指数函数与对数函数互为反函数 (1+n)^7=101+n=10^(1/7)n=10^(1/7)-1这是指数函数的运算

想报矿物专业，高中阶段着重学地理，数学，历史，物理与化学，其实就把基础知识学好，扎实基本功，把高考考好，否则连分数线都达不上，大学基本都是空谈。

狭义的连分数指各级子分式分子均为1，分母为一个整数与下一级分式之和，且下一级分式 也满足这一限制。 连分数经常被用于无理数的逼近，例如：. sqrt{2} = 1 + frac{1}{2 + 由此得到 sqrt{2} 的渐近分数 frac{1}{1} 、 frac{3}{2} 、 frac{7}{5} ... 连分数其实是特殊的繁分数。很明显，一个有限的连分数代表着一个有理数；反过来，一个有理数也一定能通过辗转相除，化为有限连分数。因而无理数只能表示为无限连分数的形式。 公元1761年，德国数学家兰伯特（Lambert，1728～1777）证明了π是个无理数。 ...

左侧图上实际已经给出证明了啊2.5.1是在复数域把tanz展开，得到一个这个式子这里没讲，你的教科书前面是不是有关于sinz/cosz的展开证明？然后把z=ix带入是不是就得到了？

连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。给定一有理数，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完全商，规定αN>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。 渐近分数和完全商 　在连分数【α0，α1,…,αn,…】中取而写,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【αn,αn+1,…】为连分数【α0，α1,…,αn,…】的第n个完全商。 渐近分数有如下简单关系： ① ② ③(pn,qn)=1和qn≥n (n≥2) ④ 由此可得存在；⑤设α =【α0,α1,…,αn,…】,n≥1，01。 循环连分数 　设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期，记为 。例如 等。运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然。 当D>0且不是平方数,则，其中函数【x】表示不超过x的最大整数。此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则的周期k满足。 应用举例 　连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个适合。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数。式中是最佳的,即设，则必有一无理数α，使不能有无穷多个解，如就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,之连分数展开式中αń可表为，此处Pn及Qn皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Qn=1,则x=pn-1,y=qn-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。 均指简单连分数。

e约是2.718

连分数（continued fraction）是特殊繁分数。如果a0，a1，a2，…an，…都是整数，则将分别称为无限连分数和有限连分数。可简记为a0 ，a1，a2，…，an，…和a0，a1，a2，…，an。一般一个有限连分数表示一个有理数，一个无限连分数表示一个无理数。如果a0，a1，a2，…，an，…都是实

奇怪的连分数连分数一般可写作[a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,,a9......]格式，用它可以无理数逆推逼近求值。而奇怪的是连分数为[0,1,1,1,1,1 ,1,1,1,1.....]时,它变成小数等于0.618， 为(sqr(5)-1)/2；即是常见实用的优选法。连分数为[0,2,2,2,2,2,2,2,2,2.....]时，即是常用的sqr(2)-1；连分数为[0,3,3,3,3,3,3,3,3,3.....]等于sq6r(1298)-3；注意： sqr(n)=n开二次方；另有sq6r（n）=n开六次方,其他相同。连分数为[0,4,4,4,4,4,4,4,4,4.....]时，即是常用的sqr(5)-2；连分数为[0,5,5,5,5,5,5,5,5,5.....]时，即sq16r(9113930589)-4；连分数为[0,6,6,6,6,6,6,6,6,6.....]时，即是常用的sqr(10)-3；连分数为[0,7,7,7,7,7,7,7,7,7.....]时，即sq9r(357318)-4；连分数 [0,8,8,8,8,8,8,8,8,8.....]时，即是常用的sqr(17)-4；连分数为[0,9,9,9,9,9,9,9,9,9.....]时，即sq9r(334472)-4； 既然，优选法非常有用，其他的，是否还有别的，或许更重要作用。大家都来研究探讨吧！南山仙翁聂汉成首发2017.2.于三门峡

奇怪的连分数连分数一般可写作[a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,,a9......]格式，用它可以无理数逆推逼近求值。而奇怪的是连分数为[0,1,1,1,1,1 ,1,1,1,1.....]时,它变成小数等于0.618， 为(sqr(5)-1)/2；即是常见实用的优选法。连分数为[0,2,2,2,2,2,2,2,2,2.....]时，即是常用的sqr(2)-1；连分数为[0,3,3,3,3,3,3,3,3,3.....]等于sq6r(1298)-3；注意： sqr(n)=n开二次方；另有sq6r（n）=n开六次方,其他相同。连分数为[0,4,4,4,4,4,4,4,4,4.....]时，即是常用的sqr(5)-2；连分数为[0,5,5,5,5,5,5,5,5,5.....]时，即sq16r(9113930589)-4；连分数为[0,6,6,6,6,6,6,6,6,6.....]时，即是常用的sqr(10)-3；连分数为[0,7,7,7,7,7,7,7,7,7.....]时，即sq9r(357318)-4；连分数 [0,8,8,8,8,8,8,8,8,8.....]时，即是常用的sqr(17)-4；连分数为[0,9,9,9,9,9,9,9,9,9.....]时，即sq9r(334472)-4； 既然，优选法非常有用，其他的，是否还有别的，或许更重要作用。大家都来研究探讨吧！南山仙翁聂汉成首发2017.2.于三门峡

分数化为连分数的方法是用分子除以分母，所得的商做带分数的整数部分、余数做分子、分母不变。带分数是假分数的一种形式。非零整数与真分数相加(负整数时与真分数相减)所成的分数(或真分数与假分数相加减化简后的数)，一般读作几又几分之几，假分数的倒数一定不大于一。

是7/16，可以写成分数形式为7/16，十进制形式为0.4375，二进制形式为0.0111，八进制形式为0.07，十六进制形式为0.0F。连分数是一种可以表示复杂分数的数学计算方法，它可以将一个复杂的分数通过一系列的连续的分数来表示，比如3/4，它可以表示为1/2+1/4，或者1/4+1/8+1/16，又或者7/16+1/32，而表示方式就是7/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024+1/2048+1/4096+1/8192+1/16384+1/32768+1/65536+1/131072+1/262144+1/524288+1/1048576+1/2097152+1/4194304。

有理数总可以用有限连分数，无理数可以用无限连分数表示，在中国古代，连分数是重要的一种分数形式，可以用来进行近似计算，祖冲之圆周率的密率355/113和疏率22/7就是连分数的求法如下（以e为例）：e=2.718281828...=2+0.718281828...（整数，小数分离）；=2+1/1.392211191（小数部分倒数）；下面，对分母的1.392211191重复上面的过程；=2+1/（1+0.392211191）（整数、小数分离）；=2+1/（1+1/2.549646778）（小数部分取倒数）；继续重复上面的过程，下面不在讲解。=2+1/（1+1/（2+0.549646778））=2+1/（1+1/（2+1/1.819350244））=2+1/（1+1/（2+1/（1+0.819350244）））=2+1/（1+1/（2+1/（1+1/1.220479286）））=2+1/（1+1/（2+1/（1+1/（1+0..220479286））））=2+1/（1+1/（2+1/（1+1/（1+1/4.535573476））））=2+1/（1+1/（2+1/（1+1/（1+1/（4+0.535573476）））））=2+1/（1+1/（2+1/（1+1/（1+1/（4+1/1.867157439）））））......上面是连分数的标准形式。题目的形式，也是可以做出来的，就是要在倒数后再将分数的分子分母，同时乘以一个数。e=2.718281828...=2+0.718281828...（整数，小数分离）；=2+1/1.392211191（小数部分倒数）；下面，对分母的1.392211191重复上面的过程；=2+1/（1+0.392211191）（整数、小数分离）；=2+1/（1+1/2.549646778）（小数部分取倒数）；继续重复上面的过程，下面不在讲解。=2+1/（1+1/（2+0.549646778））=2+1/（1+1/（2+1/1.819350244））=2+1/（1+1/（2+2/3.638700487））（最后分数分子分母同时乘以2）=2+1/（1+1/（2+2/（3+0.638700487）））（整零分离）=2+1/（1+1/（2+2/（3+1/1.565679094）））（小数倒数）=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/4.697037281）））（最后分数分子分母同乘以3）=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+0.697037281））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+1/1.434643493））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/5.738573971））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+0.738573971）））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+1/1.353960522）））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/6.769802612）））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+0.769802612））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+1/1.299034304））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+6/7.794205826））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+6/（7+0.794205826）））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+6/（7+7/8.813836126）））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+6/（7+7/（8+8/9.8299888））））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+6/（7+7/（8+8/（9+9/10.84351981）））））））））=2+1/（1+1/（2+2/（3+3/（4+4/（5+5/（6+6/（7+7/（8+8/（9+9/（10+10/11.85508611））））））））））......这个连分数很有规律。连分数，将每一步最后的分数舍弃，得到一系列分数，交错在真值两边跳跃，无限接近于真值。这些分数中，有些比较简单，但是能与真值非常接近。连分数，可以写成一行，省略括号如上面的第一个：e=2+1/（1+）1/（2+）1/（1+）1/（1+）1/（4+）......第二个：e=2+1/（1+）1/（2+）2/（3+）3/（4+）4/（5+）.....第一个的近似值：22+1/1=32+1/（1+）1/（2）=2+1/（3/2）=2+2/3=8/3=2.66666....2+1/（1+）1/（2+）（1/1）=2+1/（1+）1/3=2+1/（4/3）=2+3/4=11/4=2.752+1/（1+）1/（2+）（1/1+）（1/1）=2+1/（1+）1/（2+）（1/2）=2+1/（1+）1/（5/2）=2+1/（1+）（2/5）=2+1/（7/5）=2+5/7=19/7=2.714285....2+1/（1+）1/（2+）（1/1+）（1/1+）（1/4）=2+1/（1+）1/（2+）（1/1+）（1/（5/4））=2+1/（1+）1/（2+）（1/1+）（4/5）=2+1/（1+）1/（2+）（1/（9/5））=2+1/（1+）1/（2+）（5/9）=2+1/（1+）1/（23/9）=2+1/（1+）9/23=2+1/（32/23）=2+23/32=87/32=2.71875，...........

亲，16分之7的连分数可以表示为：7/16 = 0 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))))换句话说，它可以写成以下形式：[0; 2, 1, 2, 1, 2]其中，分号之前的数字是这个连分数的整数部分，分号之后的数字序列是这个连分数的无限循环部分。

π和e

从最底一级（单纯的分数）开始逐渐计算即可。

分类: 教育/科学 >> 升学入学 >> 高考 解析: 狭义的连分数指各级子分式分子均为1，分母为一个整数与下一级分式之和，且下一级分式 也满足这一限制。 连分数经常被用于无理数的逼近，例如：. sqrt{2} = 1 + frac{1}{2 + 由此得到 sqrt{2} 的渐近分数 frac{1}{1} 、 frac{3}{2} 、 frac{7}{5} ... 连分数其实是特殊的繁分数。很明显，一个有限的连分数代表着一个有理数；反过来，一个有理数也一定能通过辗转相除，化为有限连分数。因而无理数只能表示为无限连分数的形式。公元1761年，德国数学家兰伯特（Lambert，1728～1777）证明了π是个无理数。 ...

应该是带分数吧

        连分数是一个有趣的数论问题，不仅在纯数学领域有很多值得探讨的东西，还有着广泛的应用。在此，对连分数的几何意义进行一些讨论，不仅比抽象的算术方法更直观、简明，还能引发一些有趣的思考。        连分数的几何表示，只需举一个无理数 ω=（√5+1）/2的例子说明。下图是ω=（√5+1）/2的连分数展开式：        如果我们在第零、一、二、三、四、五……个偏分母之后停止展开，就会得到一系列有理分数1、2、3/2、5/3、8/5、13/8……这些有理分数称作收敛子，最一般的表示记作pn/qn。         为了用几何图形把连分数展开表示出来，我们不妨在xy平面第一象限内画出“网格”，“网格”的那些交点就是一切有整坐标的点。同时，把收敛子pn/qn换一种表示方法，分子作为横坐标，分母作为纵坐标，即（pn,qn），这样，任意有理数都和网格的交点一一对应。很容易把以上收敛子在“网格”上标出，如下图所示：        然后，我们把ω=（√5+1）/2表示为一条无理射线ω=x/y，所谓无理射线，除了原点o之外，射线上没有一个横纵坐标同为整数的整点。从图中可以看到，（p0,q0）、（p2,q2）、（p4、q4）…从射线左侧越来越趋近于射线ω=x/y；（p1,q1）、（p3,q3）、（p5、q5）…从右侧趋近ω=x/y。这就是几何化的连分数定义，十分简明直观，其中也有许多值得讨论的东西：         首先，我们在图中画出的是无理射线，所以收敛子不可能落在该射线上，趋近过程会左右交替无限进行下去。反之，如果画出的是有理射线，当一个收敛子落在射线上时，这个过程也就在有限步之后终止，对应的算术过程就是反复相除得到的余数为零。关于分别趋近有理数和无理数，可以举两个经典的例子：         一个是关于历法。众所周知，平日里用的阳历每隔四年一个闰年，即增加一天，一个回归年是365天5小时48分46秒，对其进行连分数展开如下：          进行连分数运算后，可知分数部分的收敛子分别是1/4、7/29、8/33、31/128、163/673、10463/43200。这说明每4年加1天是最方便的逼近，而每29年加7天则更精密些，每33年加8天精密程度更高……依次进行，可以不断把历法制定得更精确。例如，每33年加8天，每99年就是加24天，所以虽然每四年一闰，到了第一百年却要少闰一天。         我国传统的历法所谓“阴历”、“农历”，其实是以回归年范导月相周期的阴阳混合历。为了解决前者非后者整数倍的问题，先民们想出了巧妙的“置闰”。月亮绕地球一周的时间是29.5306天，用连分数展开闰月的问题一目了然：        如图，计算可得收敛子依次为1/2、1/3、3/8、7/19、10/27。由于是左右交替逼近，也就是说，设置闰月，两年一闰太多，三年一闰太少，八年三闰太多，十九年七闰太少……。         对于图中无理射线的情况，最有名的例子当属圆周率的连分数展开：        收敛子22/7、355/113分别就是祖冲之用来近似表达圆周率的约率和密率。         除前述例子之外，涉及几个不同的周期相遇或者说重迭的问题，比如天体的相冲、合璧、联珠，各种波动的叠加甚至齿轮的嵌合等等，连分数都可能作为一个有用的工具。从这些例子中，我们可以抽象出一个称为丢番图逼近的逼近论问题，表述如下：         给定一正实数r，再给定一个自然数N，求一个分母不大于N的有理数p/q，使r-p/q的绝对值最小。         需要特别指出的是，每个收敛子都比任何一个分母不比它大的有理数更接近实数r，这是连分数有重大应用价值的前提。用代数或者算术的方法详细探讨丢番图逼近，过程十分繁琐且不易理解，有兴趣的话可以参考相关的数论教科书。反之，如果用刚才讨论过的几何表示，则十分直观易懂。        如图，我们可以假想在所有整点上都钉上钉子，用两根细线从射线ω=x/y出发分别向左和向右拉紧，则形成一系列围绕左右两个整点集的凸多边形的顶点。在拉紧的过程中，细线最先碰到的钉子就是对无理数ω的最近似的逼近，依次变得粗疏。而且容易直观到，对于凸多边形的这些顶点，纵坐标（即分母）相同或者更小的所有钉子，都不可能比顶点更接近射线ω=x/y。         我们可以从更高的数学观点来看待丢番图逼近的问题。该逼近论的深刻之处在于指出，任何一个实数（当然包括无理数）可以表为一个有理数序列的极限，换个角度讲，有理数域对于极限运算不是自封的。从数域扩张的角度看，这也给了我们把有理数域扩张到实数域的理由。而以实数为元素的序列就不可能通过取极限而得出实数以外的新数来，也就是说一旦扩张到实数域，对极限运算就是自封的了。数的连续统是极限概念的基础，也相互成就，从17世纪以来就成了解析几何和分析学的基础，不过当时并不是在经过严格的审查和分析之后才被接受的。         在连分数几何表示的图中，一直没有被我们注意到的是，射线ω=x/y上除了o之外没有一个整点，这其实足以让人惊讶。我们知道，把无理数定义为有理数的一个分割的所谓戴德金分割，是数学史上具有里程碑意义的一个经典定义。在这个几何表示中，射线ω=x/y就是整点即有理数对场上的一个分割，左右两侧的点集向着该分割收敛。一维的戴德金分割十分抽象，一旦扩展到如此的二维情形，就豁然开朗很多，甚至可以直观到其中的过程。这和许多模糊而模棱两可的数学问题——例如，泰勒展开中，为何在函数完全解析的地方幂级数却突然不再收敛——一旦拓展到复平面就豁然开朗异曲同工。         最后需要指出，数论大家高斯和狄利克莱都是通过几何图形研究数论的高手，可后来越来越依靠抽象的算术方法。很多问题如果从数学史的自然发展顺序来理解，不仅顺理成章、水到渠成，而且还更容易挖掘出背后的数学甚至哲学思想，纵横发散，融会贯通，连分数就是一个经典的例子。