公理集合论

19世纪70年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。如果加上选择公理就构成ZFC系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。通过元语言，也可公理系统中各公理之间的相容性和独立性，例如Cohen于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究也持续发展。

On虽为一真类，但<On,<>；具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数β，若每一比β小的序数α都具有性质φ则β亦具有性质φ，那么对所有的序数都具有性质φ。在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(α）。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1,2,3，…，0，-1,-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。事实上，任一良序集〈ω，<；〉，都有惟一的序数α使得〈w，<；〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数β+0=β,β+s(α)=s(β+α),β+γ(β+α），即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β.α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。　可以证明：替换公理是独立于其他公理的。

“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On,α<α∈β。这样，就用∈定义了序数间的< 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。每一自然数都是序数，全体自然数{0,1,2，…}也是序数。对任一集合x，令s(x)=x∪{x}。则当x是序数时，s(x）亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=s(β）。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0,ω均为