公理集合论的原理简介

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。康托尔集是个测度为0的集，用简单的解析几何说法就是这函数图像面积为

只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。首先，小数点后第1位是1的都被抹去了，它们的测度是：1/3剩下的是：小数点后第1位是0或2的数，它们的测度是：2/3其中小数点后第2位是1的又被抹去了，这次被抹去的测度是：2/3*1/3再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2，它们的测度是：(2/3)^2在它们之中，小数点后第3位是1的被抹去了，所以又被抹去了测度：(2/3)^2*1/3……这么一直算下去，被抹去的测度是：(1/3)*(1+(2/3)+(2/3)^2+...)=1所以剩下的测度就只是0了。

只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。首先，小数点后第1位是1的都被抹去了，它们的测度是：1/3剩下的是：小数点后第1位是0或2的数，它们的测度是：2/3其中小数点后第2位是1的又被抹去了，这次被抹去的测度是：2/3 * 1/3再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2，它们的测度是：(2/3)^2在它们之中，小数点后第3位是1的被抹去了，所以又被抹去了测度：(2/3)^2 * 1/3……这么一直算下去，被抹去的测度是：(1/3) * (1 + (2/3) + (2/3)^2 + ... ) = 1所以剩下的测度就只是0了。

不是可数集。将0到1之间的实数用三进制表示，可以知道去掉的是数位含有1的三进制数，剩下的位数只有0和2的三进制数就是康托集，和0到1中的实数的二进制数存在一一对应。又因为0到1的实数不可数，所以康托集不可数～豆瓣上的相关讨论：Cantor set为什么是不可数的？来自: [已注销] 2011-09-30 22:15:54从Cantor set的构造来看，由闭区间套定理，他就是孤立点集啊。。。而且是有理数的一个子集。。。所以应该是可数的吧，为什么会是不可数呢？ 我的想法哪里出了问题呢，求指教，谢谢。3人 喜欢 喜欢回应 推荐 喜欢只看楼主阿狄 (晴川历历，芳草萋萋) 2011-09-30 22:21:11怎么有理数了？其实你可以把Cantor Set的数表示成3进制，则小数点后只有“0”“2”没有“1”。“0”“2”和二进制的“0”“1”是可以一一对应的。赞 回应xdotzzzzzzzzzz (El Psy Congroo) 2011-09-30 22:21:21cantor set is perfect，and nonempty perfect set is uncountable...//刚在rudin的书上看到...赞 回应余妙哉 2011-09-30 22:21:40从三元数列的角度考虑赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:24:39三进制那个我也知道，可就是我这样想哪里错了？它的分点都是有理数啊。赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:25:30我也对这个很纠结赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:26:18按照构造的话，感觉就是区间端点，而区间是可数的，所以端点也应该可数呀赞 回应lethe 2011-09-30 22:31:01康托集是有理数的子集？？你怎么看出来的？分点是有理数，但是分点附近还有没被挖走的点啊赞 回应阿狄 (晴川历历，芳草萋萋) 2011-09-30 22:35:31康托尔集并不是只有分点啊比如0.20220222022220...在康托尔集中但不是有理数赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:36:19我知道我又意淫了，仔细思考一下赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:40:08可是cantor集构造的时候留下的都是端点呀，不是吗赞 回应余妙哉 2011-09-30 22:45:39留下的都是端点？你验证1/4是否在康托集中？如果不在，你能说清是哪一步把这个点删去了吗？赞 回应always waiting (always waiting) 2011-09-30 23:05:29额，实变函数完全忘了啊。。。。赞 回应[已注销] 2011-10-01 09:33:05很形象的解释是：每次操作后选取的那些小区间的中点显然在集合中。因此第n次操作导致有[;2^n;]个点被放入集合中，操作是可数次的，也就是aleph 0，因此这些操作导致的点具有基数aleph 1，因此根据这种基数的推导我们知道Cantor set中的元素的基数是aleph 1，因此不可数。赞 回应J.-J. Jiang 2011-10-02 19:12:01沿LZ的思路：根据区间套定理，每个区间套唯一确定了一个点，而区间套的长度全为 aleph_0，故不同的区间套数目为 2^aleph_0，因此 Cantor set 与连续统等势。赞 回应钱塘新泥 (当回忆重来,相信天仍会很晴.) 2011-10-02 19:38:20Cantor集不是孤立点集,恰恰相反,它的每个点都是它的聚点.而且,它的聚点也都在本身中,也就是说,Cantor集=Cantor集的导集等于自身的导集的集合称为完全集.Cantor集就是一个完全集的例子.赞 回应[已注销] 2011-10-09 19:31:46闭区间套定理用的怎么不对了？赞 回应[已注销] 2011-10-09 19:32:502011-10-02 19:12:01 Triple.J沿LZ的思路：根据区间套定理，每个区间套唯一确定了一个点，而区间套的长度全为 aleph_0，故不同的区间套数目为 2^aleph_0，因此 Cantor set 与连续统等势。==这个？赞 回应[已注销] 2011-10-10 00:05:20对，就是Triple.J 那个。赞 回应[已注销] 2011-10-10 21:49:01嗯嗯嗯，明白了，谢谢大家

三角线证明法康托尔集是一个完全集，具有连续基数的点集和不可数的零测度集康托尔集的性质有：非空有界闭集；具有连续基数，其基数为c；完备集，亦即无孤立点的闭集，被挖去的开集G，没有相邻接的构成区间；疏朗集；可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零；P上的任何函数均是可测函数，零测度集上的任何函数均是可测函数。因此，可以通过判断这个集合是否具有以上这些性质，如果有，这个集合属于康托尔集，反之则不是。

康托尔集的导集是一种重要的自相似分形集。做出的直线上的一个性质奇特的点集：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P。

康托尔集的任何子集是可测集。根据查询相关资料，康托尔定理指的是在集合论中，任何集合A的幂集P(A)的势严格大于A的势.康托尔定理对于有限集合成立，对于无限集合也同样成立。

找一个一一对应的映射，从康托尔集到区间[0,1]，因为区间[0,1]的基数为C，所以康托尔集的基数也为C.

康托集是指著名的康托尔完全集，属于高等数学 是这样构成的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1]，如此继续下去直至无穷，那么最终剩下的集合的测度可用下式计算： 1-（1/3+2/9+4/27+……）=1-（1/3）/（1-2/3）=0 康托尔由此得出，剩下的集合是测度为0的连续基数集，这就是康托尔完全集。有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

将闭区间[0,1]，去掉中间的1/3，留下[0,1/3]和[2/3,1]，再分别去掉这两段中间的1/3，变成等长的4段……重复这个过程无穷多步，就得到了康托尔三分集。康托尔集有无穷多个点，占据[0,1]区间长度却为0，是一个分形，具有非整数维数、自相似性等分形的特点。

我是来看评论的

类康托尔集可测的。测试方法如下：先定义一下记号C_0=[0,1]，C_i是在C_{i-1}的每个区间段里取左右各1/3再并起来得到的集合。C=∩C_i是康托尔集，要证明m(C)=m(∩C_i)=0，设从C_{i-1}抠掉而得到C_i的部分的测度是x_i，那么x_{i+1}=2x_i*1/3=2/3*x_i且x_1=1/3。所以x_i=1/3*(2/3)^(i-1)，所以m(C)=1-∑x_i=0。

每从一个线段取掉中间的三分之一，还剩下该线段的三分之二。也就是总体也剩三分之二。因此第八阶段后，剩下的所有的线段长是三分之二的八次方：(2/3)^8

将闭区间[0,1]，去掉中间的1/3，留下[0,1/3]和[2/3,1]，再分别去掉这两段中间的1/3，变成等长的4段……重复这个过程无穷多步，就得到了康托尔三分集。康托尔集有无穷多个点，占据[0,1]区间长度却为0，是一个分形，具有非整数维数、自相似性等分形的特点。

定理：若G是R中的开集，则G是至多可数个两两不相交的开区间的并（教材上有证明）设G是所有挖掉的开区间的并，显然，G是其每一点的邻域，所以G是开集且根据挖掉这些开区间的方法，这些开区间是两两不相交的综上所述，这些组成G的所有开区间的个数是至多可数个又因为已知这些开区间是可以无限挖下去的，所以是无限的所以挖掉的个数是可数个

第一次操作后余下的线段之和为1-13，第二次操作后余下的线段之和为（1-13）2，…第六次操作后余下的线段之和为（1-13）6=64729，故答案为：64729．

不可以如果用子集的符号来表示，隐含了a可能等于b，这于假设a是b的真子集不符，所以只能用真子集的符号。

找一个一一对应的映射，从康托尔集到自然数集，因为自然数集的基数为C，所以康托尔集的基数也为C

我运行下来没错，你把错误提示信息发来看看。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。没有康托尔，现代数学的发展将完全难以发展。

康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。” 19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。以后，他又在《数学年鉴》和《数学杂志》两刊上发表了许多文章。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。1874年他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的，后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。至于实数集合是否可列的问题，1873年康托尔给戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的一封信中提出过，但不久他自己得到回答：实数集合是不可列的。由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数“大大多于”代数数。同年又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。他还巧妙地将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n维空间进行点的一一对应。从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。康托尔的信条是：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。……数学的本质就在于它的自由。” 《一般集合论基础》（以下简称《基础》）在数学上的主要成果是引进超穷数，在具体展开这一理论的过程中，康托尔应用了以下几条原则：第一生成原则：从任一给点的数出发，通过相继加1（个单位）可得到它的后继数。第二生成原则：任给一个其中无最大数的序列，可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数。第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限，从而形成更大数类。反复应用三个原则，得到超穷数的序列ω，ω1，ω2，…利用先前引入的集合的势的概念，康托尔指出，第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势。在《基础》的第十三章，康托尔第一次指出，数类（Ⅱ）的势是紧跟在数类（Ⅰ）的势之后的势。在《基础》中，康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。《对超穷数论基础的献文》是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础。《献文》分两部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在《数学年鉴》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年鉴》上发表，是关于“良序集的研究”。《献文》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。

不对，Cantor集就是一个反例，详细百度Cantor集

测度为0的集.在实变函数论中,特指勒贝格测度为0的集,为了明确,有时称为勒贝格意义下的零......零集（例如康托尔集）.零集的任意子集，以及零集的可数并也都是零集，勒贝格可测集的定义可以通过先直接定义零集，然后将一般可测集定义成波莱尔集 ...

程序员爱情观：爱情就是死循环，一旦执行就陷进去了；爱上一个人，就是内存泄漏--你永远释放不了；真正爱上一个人的时候，那就是常量限定，永远不会改变；女朋友就是私有变量，只有我这个类才能调用；情人就是指针用的时候一定要注意，要不然就带来巨大的灾难。‍

从前有座山，山里有座庙，庙里有两个和尚，一个大和尚，一个小和尚，大和尚给小和尚讲故事。大和尚说：从前有座山，山里有座庙，庙里有两个和尚，一个大和尚，一个小和尚，大和尚给小和尚讲故事，大和尚说：…… 有没有一些童年的记忆，甚至有些愤怒的搞笑，这个三天三夜也讲不完的故事，就是我小时候，哥哥常常忽悠我的故事。 你知道吗？这个无聊的故事背后，包含一个伟大的思维模型： 什么是分形理论？ 简单讲，就是局部与整体的自相似性。 讲复杂点吧，是这样的： 分形，源自拉丁语：frāctus，有“零碎”、“破裂”之意，又称碎形、残形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。 1982 年曼德博提出了更正式的定义： 后来他认为这种定义过于严格，于是简化并扩展了这个定义： 又过了一段时间，曼德博决定使用以下方式来描述分形： 为什么要讲复杂点呢？ 因为分形其实比你想象中更复杂，更难。 先看看生活中，有哪些例子： 如果你有有散步习惯，看看小区的树，是否有分形相似。我自己随处拍了几张典型的分形特征 自然界里一定程度上类似分形的事物还有云、山脉、闪电、海岸线、雪片、植物根、多种蔬菜（如花椰菜和西兰花）和动物的毛皮的图案等等。除了真实自然界外，在数学领域，用递归法，利用计算机技术，可以做出很多分形图形。 下面我们看非常出名的 龙之图形： 首先，我们先选取一条线段作为最初的图形P(0)。然后我们把这个图形做两个形变：第一，沿着中线对折，成为直角折线，第二，将这个直角折线拉伸，使其两个端点距离与最初线段长度相等。经过这两个形变之后，它成为第二个图形P(1)。然后我们对P(2)中的每一条直线段也做同样的形变，并不断重复。 我们来看看这种对一个线段进行简单的拉伸和弯折两个动作的变换最终会形成什么样的图形，第五张照片是这样的：第8张图片第11张图片 第13张图片经过多次迭代变形，最终图形这个图形数学家把它叫做Dragon"s Curve （龙之曲线），据说是因为它外形像一只龙。不管你信不信，反正我信了。类似的分形非常之多，并且其中不乏绚丽多彩的。 比如曼德博的上帝的指纹是不是很神奇，局部与整体自相似性 科赫雪花除此之外，还有很多，如：康托尔集，皮亚诺曲线等等。 分形图形，生活中和数学上有很多，大体可分为三类。 这是最强的一种自相似，分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。这是一种较松的自相似，分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似，但不会是精确自相似。 这是最弱的一种自相似，这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）。随机分形是统计自相似，但非精确及半自相似的分形的一个例子。 概括起来，分形图形有如下特点 ①在任意小的尺度上都能有精细的结构；②太不规则，以至无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何的语言来描述； ③具有（至少是近似的或统计的）自相似形式； ④一般地，其“分形维数”（通常为豪斯多夫维数）会大于拓扑维数； ⑤在多数情况下有着简单的递归定义。 分形理论，严格来说，属于数学学科研究范畴，但在生活中也有很多类似案例，具备半相似性和统计相似性，因此可以指导我们思考问题和认识世界。 如果研究股票k线图，仔细观察月k线，周k线，日k线，小时k线，分钟k线，你会发现其具有分形相似，如果能把握好，可以指导炒股票。 我们上学的时候都学过，我国的海岸线全长约1.8万公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1 厘米长的标尺,则测得海岸线长度为381.2万公里,这是地理书上给出长度的212倍。如果我们再细分，估计会得到更长海岸线。正如1967年Mandelbrot就提出“英国的海岸线有多长?”的问题一样，按照分形理论和无限细分法，海岸线是无限长的。 看分形理论时，我突然想到，每个人的一生是否可以分形到每年每月每日，答案是肯定的。 从七八岁开始，如果你的性格确定，你的大致行为方式确定，你的一生过得非常相似，一天一年是你一生的局部缩影，具有自相似性。 反过来，你希望一生有收获，一年有进步，你需要做的就是每一天把时间充分利用好。你每一天的生活工作学习状态，其实就是一年的分形状态。 生活很多变，人生很复杂，但一切的复杂都源于简单。利用分形理论，化繁为简，你只需要过好你每一天，过好每一天的标准很简单，就是这一天的时间，你是否做了最科学最合理最充实的安排。回到文章开端，从前有座山，山里有个庙…… 其实，这个故事，就是人生分形的缩影，看起来无聊，却真切的反映出人生的分形和无穷无尽，描述了无数大众人生的轮回转换，最简单的故事中，蕴含着最真切的道理。

首先是剑桥大学的课程有点不可思议群论、微分方程这样的课程通常都不能在大一开的因为需要高等代数和微积分作为基础课程莫非有预科班已经完成了.现代科学各分支已经出现许多交叉关联而不是人为的互相渗透数学作为自然科学的经络这种景观已经很明确所以作为尖顶大学的数学大一课程就应有足够的宽度才能容下未来数学的生长点一旦宽度大了又必须提高精度（效率）否则就没有可行性.从这个角度着眼所列的几所大学就没有横向比较的统一尺度了利弊、扎实、合理……都是相对自己的学校而言还要相对于学校发展方向而言我们在不了解这个学校情况、不知道发展战略的情况下得出利弊的结论纯属主观臆断、几近于闲聊八卦没有什么实际意义了倒是经过比较各校的课程可以了解到各自的发展方向和态势以及现代数学的地域走向.其实数学发展也不能是孤立的科学行为人都是不能离开社会生活的当年的陈景润在官方宣传之前没有人不认为他是疯子现在的中国不会再出现这样的疯子了没有社会的需求或者认可的东西必然长不了相反有社会需求的，哪怕不好也长盛不衰持续半多个世纪的假典型、假新闻、假业绩、假案、假货……就是证例。谈教育不谈社会就像驴拉磨兜圈子，永远出不来这才是国人的盲点

因为“一切集合”是无穷尽的，所以“一切集合的集合”也是无穷尽的，这与“一切集合的集合”的子集之间的大小关系是相悖的，所以无法成立，故不存在。这个观点是俄国的数学家康托尔提出的，即著名的康托尔悖论。悖论观点：大全集不存在，即包含一切集合的集合是否存在有1个元素的集合其子集有2个,有2个元素的集合其子集共有4个,一般地,有n个元素的集合其子集有2^n个,n个元素的集合其基数为n,而其所有子集组成的集合的基数为2^n ,显然2^n>n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。据康托尔集合理论,任何性质都可以决定一个集合,这样所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”（大全集）。显然,此集合应该是最大的集合了,因此其基数也应是最大的。然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的,那么,“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”,这就是“康托尔悖论”。扩展资料：对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础。康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。参考资料来源：百度百科——康托尔悖论

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集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。然而，在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”。与此同时，还发现了其他集合论悖论，最著名的是1901年的“罗素悖论”： 把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，（例如，自然数集N本身不是一个自然数，因此N是正常集。）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，因此F是异常集。）每个集合或者为正常集或者为异常集。设V为全体正常集所组成的集合，即V={x：x?埸x}，那么V是不是正常集？ 如果V是正常集，由正常集的定义知V?埸V，又因V是全体正常集的集合，所以正常集V∈V，但这说明V不是正常集，是异常集；反之，如果V不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知V∈V，这说明V是全体正常集组成的集合V的元素，因而V又应该是正常集。 罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的，如果把数学建立在集合论的基础之上，将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕，这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆。一石激起千层浪，一场关于数学基础问题的论战爆发了。

罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel）的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

集合论的创始人康托尔(Georg Cantor，1845—1918)作为现代数学的奠基者是当之无愧的。1． 勤奋好学，全面发展 康托尔于1845年出生在俄国圣彼得堡。11岁的时候，就在威斯巴登文科中学读书。他特别喜爱数学，但他并不偏科，他的文学、音乐、绘画等门门课都优秀，这得益于良好的家庭教育。15岁那年，父亲在写给他的一封信中鼓励他要“掌握多方面的基础科学及实际知识……”，希望他“成为科学地平线上闪闪发光的新星”，他把这封信长期保存在身边，作为对自己的鞭策。 1863年，康托尔进入柏林大学师从三位世界级的数学大师：魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、库默尔(Kummer)和克罗内克(Kronecker)，4年后获得了博士学位。他深受魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的影响，被认为魏尔斯特拉斯学派的成员。康托尔在大学读书期间就表现出良好的社会活动才能和组织才能。他参加柏林的大学生组织——“数学协会”，在大学二年级时担任了这个协会的主席，这为他以后创立德国数学家联盟和参与组织国际数学家大会打下基础。2．善于提问，锐意创造 1869年春，康托尔成为哈雷大学的讲师。刚到哈雷大学，康托尔接受爱德华�6�1海涅（E.Heine）教授的建议去研究三角级数。这项工作导致他研究实数集、无穷点集……为日后创立集合论打下基础。康托尔善于提出深刻而有价值的问题，正如他在博士论文中所说：“在数学领域中，设问的艺术要比解题的艺术更重要”。 1873年11月29日，康托尔在给知遇戴德金(Dedekind)的信中提问：正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?这是真正导致集合论产生的大问题。几天后康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果：“实数集是不可数集”，并将这结果置于标题为《关于全体实代数数的一个性质》的论文中，于1874年发表在德国《数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”。在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合的运算……建立了系统的集合论。 康托尔的另一个著名问题是：直线上有多少个点?他将集合中元素的“个数”的概念推广为“基数”或“势”的概念。例如，通过对应关系：n→ 2n，可以将正整数集N＊一一对应到N＊的偶数子集M，因此N＊和M的元素的个数相等，也就是说：集合｛1，2，3，4，5，6．．．．．｝和它的部分{2，4，6，8，．．．．．． }含有同样多个数。能和自己的真子集建立一一对应关系是无限集的一个特征。这些观点在当时太出人意料了。连数学大权威克罗内克以及庞加莱(Poincare)都出来反对，他们反对把无穷集合当成已经完成的整体来加以研究。但康托尔闪光的思想横扫谬误，他勇闯禁区，把实无穷请回到人间，他向人们表明无穷是可以研究的。 从1878 年到1884年。康托尔发表了一系列文章研究无穷基数，创立了超限数理论。他大胆地推论，既然实数集R不能与正整数集N＊建立一一对应，则实数集R的基数 c与自然数集的基数c。不相等,而 N＊是R的部分，所以得出著名的基数不等式：c。<c 对此，康托尔想：在c。和c 之间是否还有别的基数呢?他找到一个基数 c1证明了c1≤c 康托尔进一步提问：是否c1＝c ?这就是著名的连续统假设，它是集合论的中心问题之一，他费尽心力想解决它，终未能成功。几十年后，这个问题由数学家哥德尔(G6del)的工作(1938年)与数学家科恩(Cohen)的工作(1963年)合并以后以另一种方式获得解决。 3．不顾疾病缠身，为传播真理而努力 康托尔的工作解决了不少经久未解决的问题，并且颠倒了许多前人的想法，自然就很难被当时的人们接受。当然，康托尔在性格上有着过激的弱点，他总是把对自己著作的批评看得过重，往往作出感情色彩极强的反应，再加上长期不能解决连续统假设带来的烦扰，他终于在1884年精神崩溃——患上了忧郁症，以后这病时好时坏，令他成为精神病院的常客。他一方面为捍卫自己的理论而斗争，另一方面与残酷的病魔搏斗着。 他凭借自己出众的组织才能担当起建立德国数学家联合会的历史重任，他广泛联系数学家，最终于1890年正式成立德国数学家联合会，会上选举康托尔任联合会的主席。联合会摆脱了柏林数学权威的偏见和控制，康托尔的思想在这里得到了自由传播。当时的德国是世界数学的中心，康托尔着手工作，积极推动，使得国际数学家大会于1897年在瑞士苏黎世顺利召开。集合论在大会上获得公开承认和称赞。一代数学领袖希尔伯特称赞康托尔，说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去。” 1918年1月6日康托尔因心脏病发作在精神病院去世。他给人类留下了辉煌的遗产——集合论和超限数理论，他还创造了不少精巧绝伦的研究方法和概念。例如他创造出“康托尔对角线法”，他构造出的神奇的“康托尔集合”，该集合具有奇妙的性质，被应用到现代新兴学科分形理论中，产生了康托尔尘埃、康托尔函数等重要概念。康托尔不愧为伟大的数学家，他以对人类文明作出了非凡贡献而含笑九泉。

在日常生活中，我们遇到的概念不外乎只有两类：一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。如人、自然数、正方形等概念，要么是人，要么不是人；非此即彼。另一类概念，对象从属的界限是模糊的，判断随人的思维而定。如美不美、早不早、便不便宜等概念。西施是我国古代公认的美女，但有道是“情人眼里出西施”，即便是相貌平平，可是在情人的眼里相貌可以与西施媲美。可见“美”与“不美”，是没有精确界限的。第二类概念，就是模糊数学研究的范畴。

是“数学悖论”吧？悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。比如：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

康托尔三分集是一个不含任何区间的闭集，测度等于零，是不可列的完全集，势为阿列夫

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

把数轴上的一条线段[0,1]，去掉中间1/3，得到两条线段然后再把那两条线段去掉1/3，得到四条线段，不断重复这个步骤让线段数量一直加倍下去如果有个数对应的数轴上的点，不管你去掉1/3这个过程重复多少次，都不会被去掉的话，那这个数就是康托集的元素

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的 *** ，具有非常多明显和深刻的性质。康托尔集是个测度为0的集，用简单的解析几何说法就是这函式影象面积为0。 通过考虑这个 *** ，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自个用一种一般、抽象的方法定义了这个 *** ，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自个只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法--一个无处稠密的完备集的例子。 实际上斯梅尔的马蹄对映就会形成康托尔集。 康托三分集 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后 边长r=（1/3）^n， 边数N（r）=2^n， 根据公式D=lnN（r）/ln（1/r） ， D=ln2/ln3=0.631。 所以康托尔点集分数维是0.631。 性质特点 康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其区域性与整体是相似的，所以是一个分形系统。 康托三分集具有 （1）自相似性; （2）精细结构; （3）无穷操作或迭代过程; （4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其区域性也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。 （5）长度为零; （6）简单与复杂的统一。 康托尔集P具有三条性质: 1、P是完备集。 2、P没有内点。 3、P的基数为c。 康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一。康托尔集P具有三条性质：1、P是完备集。2、P没有内点。3、P的基数为c。康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

找一个一一对应的映射，从康托尔集到区间[0,1]，因为区间[0,1]的基数为C，所以康托尔集的基数也为C.

集合中没有时间因素所以导致理发师悖论。

集合论的诞生先驱 数学分析严格化的先驱波尔查诺（1781－1848）也是一位探索实无穷的先驱，他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他知道，无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体，他认为这个事实必须接受。例如0到5之间的实数通过公式y=12x/5可与0到12之间的实数构成一一对应，虽然后面的集合包含前面的集合。为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。不过，后来康托尔指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。另外，他还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。因此，他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义。应该说，他是康托尔集合论的先驱。问题出现 黎曼（1826－1866）是在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”的。大意是：如果函数f（x）在某个区间内除间断点外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的？但他没有给予回答。1870年海涅（1821－1881）证明：当f（x）连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立？康托尔就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。奠定基础 早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把海涅的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。集合论诞生 1873年11月29日康托尔在给戴德金（1831－1916）的一封信中，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这个时期应该看成是集合论的诞生日。集合拓扑开始 1874年，康托尔发表了这个证明，不过论文题目换成另外一个题目“论所有实代数数集体的一个性质，”因为克洛内克（1823－1891）根本就反对这种论文，他认为这种论文根本没有内容，无的放矢。该文提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了如下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别。 1874年1月5日，康托尔给戴德金写信，提出下面的问题： 是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段），使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？ 1877年6月20日，他给戴德金写信，这次他告诉他的朋友这个问题答案是肯定的理由，虽然几年以来他都认为答案是否定的。信中说“我看到了它，但我简直不能相信它”。关于这一成果的论文1878年发表后，吸引人们研究度量空间维数的本质，很快出现一批论文。这批论文标志集合拓扑的开始。点集论体系建立 从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都同现代的朴素集合论基本一致，所以该书标志着点集论体系的建立。遭遇挫折 1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。康托尔的贡献 《对超穷集合论基础的贡献》是康托尔最后一部重要的数学著作。《贡献》分两部分，第一部分是全序集合的研究，于1895年5月在《数学年刊》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年刊》上发表。《贡献》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。出现悖论导致怀疑 不过，康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。得到肯定 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（1865－1963），也报告康托尔对他的工作的重要作用。 随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克洛内克的后继者布劳威尔（1881－1966）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。编辑本段集合论的发展成为系统的学科 1899年第一篇点集论的论文在《德国数学家联合会年报》上发表，这篇论文是德国数学家舍恩弗利斯（1853－1928）写的。他本人在其后还为德国《数学科学百科全书》中撰写有关条目。20世纪初他继续研究康托尔留下的问题，特别是维数不变性问题。大约同时，德国数学家豪斯道夫（1868－1942）对集合论进行一系列研究，特别是序型及序集理论。1914年出版《集合论大纲》更是集合论及点集拓扑学的经典著作，他的体系是后来研究的基础及出发点。从此集合论成为系统的学科 。确立地位 从非欧几何的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论，集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐步确立起来。

有1个元素的集合其子集有2个,有2个元素的集合其子集共有4个,一般地,有n个元素的集合其子集有2^n个,n个元素的集合其基数为n,而其所有子集组成的集合的基数为2^n ,显然2^n>n.因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数.据康托尔集合理论,任何性质都可以决定一个集合,这样所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”（大全集）.显然,此集合应该是最大的集合了,因此其基数也应是最大的,然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的,那么,“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”,这就是“康托尔悖论”.

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 罗素悖论与第三次数学危机 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 康托尔 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。 罗素 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。答案我已经告诉你了~如何剪裁要拷你自己了~因为我不知道你要的是那部分~OK？

存在即被感知”是近代英国经验论者巴克莱（又译贝克莱）的哲学命题，属于唯心主义，不过这个命题不完整，应该是“存在即被感知和感知”。巴克莱的论证过程是这样的：1、观念的存在即被感知。这没错：观念性的东西当然存在于我们的心灵之中。2、我们所认识的事物其实都是观念而不是所谓的物质。因为心灵是心灵，物质是物质，两者完全不同，没有同一性。只有观念性的东西我们才能认识。3、因此，存在即被感知。巴克莱这一哲学命题的关键是：事物＝可感事物＝观念。但这还没有完，如果说到这就结束，就会误将巴克莱的哲学理解为主观唯心主义和唯我论，其实他不是，因为巴克莱要证明上帝存在，这可不是主观唯心主义和唯我论了。证明：虽然存在即被感知，但我所能感知的事物＝观念，并不是我的心灵的创造出来的，我睁开眼睛并不能决定想看什么就看什么，感知有被动性。只有一种可能性，那就是在在我们的心灵之外，有一个无限的心灵，创造了观念性的事物的存在，使我们可以感知这些东西。这个创造者就是上帝。在某种意义上说，在哲学史，并没有主观唯心主义。因为所谓唯心唯物关涉的是世界的存在，没有哪位哲学家会以为世界不过是我个人的思想，那也太弱智了。

从数学的角度上来讲，应该是不存在的

悖论的产生---第三次数学危机数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。