集合论

实数和复数好想是两个概念，若非要将实数推广到复数，利用平面直角坐标系、 复数就用实数构成的点来表示。复数z=1+i 就是点（1，1）。求采纳

设集合{(x,y)|x∈R，y∈R}在集合上定义加法:(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)减法:(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)乘法:(x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2-y1*y2,x1*y2+x2*y1)除法:(x1,y1)÷(x2,y2)=((x1*x2+y1*y2)/(x2^2+y2^2),(-x1*y2+x2*y1)/(x2^2+y2^2)) 其中x2和y2满足x2^2+y2^2<>0

基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，两个对等的集合。基数概念由康托尔(Cantor，G.F.P.)首先提出的。他认为集合A的基数是一切与A有等势关系的集都具有的共同特征，是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果，所以用A＝表示(现在较多用|A|表示).弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与罗素(Russell，B.A.W.)分别在1884年与1902年把A＝定义为所有与A等势的集合所成之集，即A＝＝{B|B～A}。扩展资料对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，|A|=a，|B|=β，A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β。在现代公理集合论中普遍采用这一定义，两个集合A与B具有相同基数，当且仅当A～B。所有基数组成的类记为card，每个自然数都是初始序数。所以自然数都是基数，以自然数为基数的集合称为有限集，否则称为无限集，无穷集合的基数用希伯来字母。

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因为一条线上有无数个点，而地球内部也有无数个点，那么一条线上的点和地球内部就是相等的，这就是康托尔 悖论 ，在1874年，康托尔开始研究无穷大的概念，直到1897年第一次国际数学家会议上这一理论才被逐渐接受，和本站一起看看。 康托尔其人 康托尔出生于1845年俄国，后来在10岁的时候跟随家人迁居德国，小时候对数学就有比较浓烈的兴趣，后来在23岁的时候成功的获得了博士的学位，后续一直在不断的进行数学研究，而他创立的集合论也一直被认为是数学的基础。 康托尔悖论 在1874年，康托尔开始研究无穷大的概念。实际上在之前世界十大著名物理学家之一伽利略曾经考虑过无穷大的概念，但是康托尔却是第一个建立起比较完整体系的人，这是相当难得的。他认为在完整的逻辑结构中，有一个超限数的序列，这就是无穷大的级。 他成功的证明了一条直线上的点可以和平面上的点意义对应，甚至也可以和空间中的点一一对应，最终一厘米长的线段中的点和地球内部的点一样多。他通过研究获得了很多比较惊人的结论。 不过在当时康托尔的相当并不能被所有人接受，甚至于康托尔的老师克朗涅克尔一直在强烈的抨击康托尔的想法，甚至还阻挠康托尔的升职。 当时很多人都在阻挠着康托尔的研究，甚至批判他是一个疯子，有人认为他提出的集合就是一种疾病。最终在重重压力之下，康托尔精神出现了比较严重的问题，甚至于最终被送入精神病院。 后来在1897年第一次国际数学家会议上，很多知名数学家哲学家都称赞康托尔想法。但是实际上对他来说吗，没有丝毫的环节作用。最终在1918年1月6日，这位伟大的数学家在一家精神病院中去世了，享年73岁。 康托尔的一生确实是相当让人唏嘘的，不过他的人生也是相当有价值的，他提出的很多思想和理论都为现在的数学发现奠定了基础。

集合论：罗素悖论不可数集二元关系交集佐恩引理偏序关系全序关系全集公理力迫 (数学)可数集基数复合函数多元组子集对称关系对称差对角论证法文氏图无穷映射有序对有限集合朴素集合论次序论皮亚诺公理笛卡尔积等价关系自反关系自然数补集超限归纳法连续统假设选择公理陪域集合 具体你可以找书看看 书名：《公理集合论导引》作者：张锦文 出版社：科学出版社 出版日期：1999-2-1ISBN：703001849 或者集合论基础（英文版）——图灵原版数学·统计学系列 图书作者： （美）恩德滕 著 出版社： 人民邮电出版社 ISBN书号：7115145504 开本装帧：0开/胶版纸/0页/148000字

应该是不可数集 同心圆为例 圆1的半径范围是（r1属于0~无穷） 圆2的半径是（r2

早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。希腊哲学家亚里士多德（前384－前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1总能得到一个新数。对他来说，无穷集合是不存在的。哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。 公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。其实，他这里是接受了亚里士多德的潜无穷的概念，而否认实无穷的概念，对这种对应关系采用了回避的态度。到了中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。例如，数学家们注意到把两个同心圆上的点用公共半径联结起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。近代科学的开拓者伽利略（1564－1642）注意到：两个不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他说，所有无穷大量都一样，不能比较大小。到了十七世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起，而微分法则是两个无穷小量相除。由于无穷小量运算的引进，无穷大模大样地进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑，他们对无穷仍然心存疑虑，这方面以“数学家之王”高斯（1777—1855）的意见为代表。高斯是一个潜在无穷论者，他在1831年7月12日给他的朋友舒马赫尔的信中说“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。无穷只不过是一种谈话方式，它是指一种极限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些则容许没有限制地增加。”这里极限概念只不过是一种潜在的无穷过程。这里高斯反对那些哪怕是偶尔用一些无穷的概念，甚至是无穷的记号的人，特别是当他们把它当成是普通数一样来考虑时。法国大数学家柯西（1789－1857）也同他的前人一样，不承认无穷集合的存在。他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的事。 1874年，康托尔发表了这个证明，不过论文题目换成另外一个题目“论所有实代数数集体的一个性质，”因为克洛内克（1823－1891）根本就反对这种论文，他认为这种论文根本没有内容，无的放矢。该文提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了如下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别。1874年1月5日，康托尔给戴德金写信，提出下面的问题：是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段），使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？1877年6月20日，他给戴德金写信，这次他告诉他的朋友这个问题答案是肯定的理由，虽然几年以来他都认为答案是否定的。信中说“我看到了它，但我简直不能相信它”。关于这一成果的论文1878年发表后，吸引人们研究度量空间维数的本质，很快出现一批论文。这批论文标志集合拓扑的开始。 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（1865－1963），也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克洛内克的后继者布劳威尔（1881－1966）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

虽然目前还没有非朴素集合一说，却有有关的理论1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。 罗素 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？

1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论,理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论.这些悖论特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动.触发了数学的第三次危机.

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的

　　康托尔是德国一名伟大的数学家，康托尔创立了集合论。下面是我带来的关于康托尔的集合论论文的内容，欢迎阅读参考!　　康托尔的集合论论文篇1：《基于集合论思想的人性》 　　摘要：作为人类，我们有必要去了解自己，这样才能更加地进步。人性是从根本上决定并解释着人类行为的那些人类天性。本文利用集合论的思想对此进行了一些讨论。 　　关键词：人性;理性;社会性;自然性;集合论思想 　　一、引言 　　在长期以来的生活中，人类的大脑会在无意识的作用下储存某些事物的信息，由于并没有通过大脑严谨的思考，所以这些信息大部分是外在的，只是事物表面的一些形态特征而已。这些信息并非零散的分布，之间没有联系。而是之间存在着一定的关联，虽然结构不严谨，可能其中会有错误。但是有时候却可以起到一定的作用。但是我们不能仅依靠这样的意识形态，因为我们有自我意识，需要不断完善，不断进步。依靠这样的意识是不可能看到事物的本质的。 　　有时候你问某个人为什么，他可能会答道：“凭直觉”。我并不否认直觉所带来的“便利”，但这种“便利”是给自己不去思考事物本质的借口。直觉也是一种意识形态，但是这种意识是在潜意识之下的，这样意识的形成也是要通过长时间的作用。大脑可以自己不断地调整，不断地完善，但是这个过程相当缓慢。要进步可不能依靠这样的思想。 　　现在我想说的是，我们必须减少对这些意识的依赖。因为这些意识都不是通过严谨的思考之后得到的产物，所以用这样的意识去做出一些反应是很容易出错的。这也会阻碍我们对真实世界的探索。我们应该挖掘出这样的意识，分析其中的思想结构，将不好的思想去掉，并且把有缺陷的思想不断加强和完善。这样一来，我们就会更加理性。人就具有这样的性质——理性。因此人类才能进步，文明才能发展。 　　二、理论分析 　　假设A={a1，a2，…，an}，B={b1，b2，…，bm}。若A?奂B，则说明A中的n个元素均可以在B中找到，且m>n。反之，说明中的个元素均可以在A中找到，且n>m。若A=B，则说明中的所有元素与B中的所有元素相同，且n=m。如果某一个元素可以在集合A中找到，那么记作a∈A。 　　结合以上思想，对人与动物进行分析，动物={青蛙，鱼，狗，猫，人，……}，可以看出人是属于动物的，即人动物。并且将这样的集合叫做普通集合，以区分下面所叙述的性质集合。既然青蛙，鱼，狗，猫，人等都属于动物，那么也就是说它们具有共同的性质，比如：没有细胞壁，必须利用现成的有机物获得能量，无叶绿体，能自由移动等。但是人除了这些共同性质之外，还有其他的性质。也就是说，从性质集合上看，动物的性质集合包含于人的性质集合中的。即动物的所有性质，人类均有。我们将性质集合中的元素命名为“属差”，而将普通集合命名为“种”，普通集合中的元素命名为“属”。 　　如果B的性质集合包含于A的性质集合，那么A和B就具有相同的属差，并且B的所有属差均是A中的属差。属差越多，则性质集合的表述范围就越小，即越受限制。那么B显然比A的表述范围大。说明B可以述说A，即A是B，其中A就是主词，而B就是宾词，则B的所有属差是A的属差。 　　那么按照上面所说，动物可以表述人，即人是动物。“人”的属差比“动物”的要多，也就是限制的条件要多一些。 　　有些存在于主体中的事物，其定义是不能用来表述一个主体的。例如：对于白人来说，“白”就依存于身体这个主体，并被用来表述身体这个主体，也就是说身体可以被说成是白的，但是要注意，“白”的定义却不能被用来表述身体。 　　属和种的属差都可适用于第一实体，种的属差适用于属，所以属和种决定了实体的性质。例如：“人”和“动物”的属差都可适用于个别的人，可以说人是动物，个别的人是人，个别的人是动物。也可以这样想：对“动物”的定义肯定也适用于对“人”的定义，因为“人”是属于“动物”的。所谓的“第一实体”，比如“个别的人”、“个别的老虎”等，是真实存在的个体，并不依存于其他个体。[1] 　　属差的定义也能适用于属和个体，并且还可以用来表述属和个体。例如：“有脚的”、“有手的”的定义也可以适用于“人”和个别的人。并且还可以说“人”和个别的人是“有手的”。既然属差的定义可以适用于个体，那么属差也就可以决定了个体的性质。而且这些性质都可以用属差表述其个体。 　　分析到这里，我们应该感觉到有点思路了。也就是我们现在要找到这样的属差，然后根据这些属差的定义来表述个体。 　　但是还有一个前提，那就是个别的人是不是实体呢?因为刚才我们得到一个结论：属和种决定了实体的性质。也就是这些分析都是以实体作为前提的。所以我们要知道个别的人是不是实体。其实我们从实体最原始，最根本的定义出发，个别的人的确属于实体，因为是真实存在的，并且不依存于其他主体。 　　三、结果分析 　　1.人具有理性：有一篇关于鱼“自杀”的报道。我就在想鱼如何“自杀”的呢?自杀就说明鱼有自我意识，能够自己选择死亡。但科学上表明自然界(这里并不指整个宇宙)中除人类外，其他动物都只有直接意识，而没有自我意识。难道科学不客观?其实并非这样，只不过是媒体的故意渲染而已。鱼只是因为环境的改变而做出本能的反应，这样的本能就是直接意识，鱼并没有思考这样做会不会导致死亡，只是出于本能。那么人与其他动物相比，不同之处就在于人有理性。 　　比如一只老虎饿了，看到食物就会扑上去吃。但是人饿了却不会看到食物就扑上去，而要想想这能不能吃。这就是与其他动物的不同之处。也就是说“理性”是“人”的一个属差。 　　2.人具有社会性：人处在社会之中，与其他个体之间进行沟通，交流信息。进行物质的分享、分割和交换。社会是互动的，不可能是个别的个体所支撑。也就说明我们身处社会，只有聚集起来才能共同完成分享、分割和交换。有人说自己很孤独，其实这并不是真正的孤独，也不可能存在真正的孤独。因为人不可能摆脱社会性而存在。可能有人会对刚才我说的“不会有真正的孤独”有意见，他们会说：“既然没有孤独，那么创造这个词不就没意义吗?”孤独只不过是人们的感受，感受并不能反应事物的真实规律。所以我在之前也说过，我们必须放弃一些错误的思想。这样才不会被感觉和表面现象所蒙蔽。 　　在人类社会这个庞大的群体性活动中，无论是什么简单的活动，都不可避免要与其他个体进行信息传达。这样人类才能发展和繁衍下去。这样说来，动物也应当存在社会性。这显然是肯定的。一些动物也是具有这样的性质的，例如：蚂蚁，蜜蜂等。可见“社会性”也是“人”的一个属差。 　　3.人具有自然性：人类是自然界中的一员，就不可能不具有自然性。人类的组织结构、生理结构和自然界交往过程所产生的一些基本特征都表现出人的自然性。人类不可能脱离自然性而独立存在。而其他生物也一样具有这样的性质。所以“自然性”也是“人”的一个属差。 　　四、结束语 　　我们作为人类，有必要去了解自己，这样才能更加地进步。通过集合论的思想来分析人性，是本文的亮点。除了三个性质外，还存在着其他的性质。在这里由于自己的智慧有限，没有给出更多的性质，但是本文重点是在于提供一个可行的分析 方法 。通过数学的逻辑，会使得分析变得更加严谨和系统化。这是本文做出的大胆尝试。 　　参考文献： 　　[1]亚里士多德.亚里士多德全集(第一卷)[M].苗力田，译.北京：中国人民大学出版社，1990. 　　康托尔的集合论论文篇2：《集合论与第三次数学危机》 　　数学的产生和发展，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中，任何一个新概念的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景，只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识，充分发挥和利用数学史的 教育 价值，使学生通过了解数学史，而更加全面更加深刻地理解数学、感悟数学。 　　一、集合论的诞生 　　一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔(G.Gsntor，1845-1918)在给戴德金(Julius　Wilhelm　Richard　Dedekind，1831—1916)的信中提问“正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后，康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果，“实数是不可数集”，并将这一结果以标题为《关于全体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”，在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等，康托尔的这篇 文章 标志着集合论的诞生。 　　二、集合论成为现代数学大厦的基础 　　康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他自然学科，为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说，没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。 　　集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最终获得了世界的承认，到了20世纪初，集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了，简言之，借助集合论的概念，便可以建立起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱(Jules　Henri　Poincaré，1854-1912)也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有漏洞的!如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊! 　　三、罗素(Bertrand　Russell，1872-1970)悖论导致第三次数学危机 　　1903年，英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论，很清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，导致了数学危机的产生，史称“第三次数学危机”。 　　罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R，现在问R是否属于R?如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论(也称理发师悖论)。 　　罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。 　　四、消除悖论，化解危机 　　罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有毛病的，由于20世纪的数学是建立在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。 　　在20世纪初，大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(Zermelo，Ernst　Friedrich　Ferdinand，1871～1953)提出的公理化集合论，把原来直观的集合概念建立在严格的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而避免悖论的出现，这就是集合论发展的第二阶段：公理化集合。 　　解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个方法加以简化，提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔(A.A.Fraenkel)和斯科伦(T.Skolem)的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”，这样，数学又回到严谨和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——《基础数学》迅速发展。 　　五、危机的启示 　　从康托尔集合论的提出至今，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决，我们可以看到，数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的，期间要经历无数的挫折和失败，但是只要坚持，终会走向成功。 　　矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因(FelixChristianKlein1849-1925)在《数学——确定性丧失》中说：“与未来的数学相关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现不应该被认为是‘危机"，而应该感到，下一个突破的机会来到了。” 　　参考文献： 　　1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用，人民教育出版社 　　2.胡作玄，《第三次数学危机》 　　康托尔的集合论论文篇3：《模糊集合论视角下的隐喻》 　　【摘 要】本文从模糊集合论的角度出发，研究隐喻解读过程中的逻辑真值问题，揭示出隐喻的模糊性是固有的，客观的，对人类认识世界以及进行文学创作具有重要作用。 　　【关键词】模糊集合论;隐喻;文学创作 　　模糊性是自然语言的本质特征之一，客观事物自身范畴的模糊性、人类认知的局限性以及不同的话语语境均会导致模糊语言的形成。模糊集合论从诞生伊始，便开始了与诸多学科的交叉研究，与语言学的结合使得我们在语义研究方面有了新的视角。隐喻作为一种特殊的语义现象，其解读过程显现出模糊语言的特点。隐喻的模糊性反映出人类的潜逻辑规律，是客观的，隐性的，它不仅是人类心理范畴化的结果，也是人类模糊思维的产物，所以模糊集合论为我们研究解析隐喻开辟了新的窗口[1]。 　　1965年，美国控制论专家札德受语言模糊性的启发在《信息与控制》杂志上发表了论文《模糊集合》，最早提出了“模糊集合论”的概念。传统的集合论强调，任何一个集合的成员要么属于它(隶属度为1)，要么不属于它(隶属度为0)，只有两种真值情况[2]。但是如果对自然界中的诸多对象进行分类，我们经常会找不到能够精确判定其身份的依据。所以， 札德在论文《模糊集合》中对模糊集的定义为： 设X是由点构成的一个区间， 区间内的类属性元素用x表示， 即X ={x}。在区间X中，模糊集A由具有构成该集合元素属性的隶属函数fA(x)表示。该函数与区间[ 0， 1 ]内的任一实数相关联，此对应值表示x所具有的构成A的资格程度。如果区间内设置两个临界点， 即0 <β <α < 1， 那么我们就会获得一种三值逻辑： 如果fA(x) ≥α， 则x属于A;如果fA(x) ≤β， 则x不属于A; 如果隶属函数fA(x) 所表示的值位于α和β之间，则x具有一种相对于A的中间状态。模糊集合论之所以适用于语言研究，是因为语言范畴实际上就是某一个论域中的模糊集合。某一范畴中所有成员共有的典型属性构成此范畴的核心部分，它相当于集合的定义，这部分是明确的，清晰的;相比较而言，范畴的边缘却是模糊的，很难对其进行明确地界定，此部分相当于集合的外延，也就是构成该集合的所有元素。传统集合论实际上是二值逻辑，一个命题，即一个表达明确意义的陈述句，其真值只能是真(记作“1”)，或者是假(记作“0”)，没有第三种可能性。例如“汤姆是名学生”这个命题，只允许取值“1”或“0”。但是，如果我们将这个 句子 中的“学生”加个修饰词，变成“好学生”，问题就出现了。因为“好”是个模糊概念，其内涵容易辨认，外延却不明确。对于这样的命题，如果用传统的集合论就很难判断其真值。基于二值逻辑的缺陷，札德提出了“隶属度”的概念。即对于像“好”、“坏”这样的模糊概念的集合，规定其成员对该集合的隶属程度，可以取闭区间[0，1]内的任何实数值。模糊逻辑本质上是一种多值逻辑，这使得模糊集合论在研究隐喻时具有特别重要的价值。 　　模糊集合论为隐喻真值的合法性提供了依据。隐喻的理解有赖于对两组不同范畴的特征的识别，如果我们要把“A is B”视为隐喻，而非字面意思，那我们就需要确定A和B的所指。句法，语义以及语境都可以帮助我们确定其含义，但是最终还是意义的解读决定对相似属性和不同属性筛选的结果 [3]。要想理解隐喻所指双方语义属性的比较过程，我们可以求助于模糊集合论的概念。通过模糊不同集合的界限，隐喻所指某一集合的属性可以部分的与其他集合的属性相结合，进而克服精确定义所带来的阻碍。从语言的表层结构来看， 隐喻的本体集合与喻体集合是不相容的。如果我们运用模糊逻辑的开放性原理， 就可以对这两个不同集合中的属性进行对比区分， 找到相互类似的属性以及不具有可比性的属性。 　　以莎士比亚名句“Juliet is the sun.”(朱丽叶是太阳)为例： “太阳”是无生命语义标记的子集， “朱丽叶”是有生命语义标记的子集。由于这个隐喻指出了太阳对于人类的重要性与朱丽叶对于罗密欧的重要性之间的相似性，相关元素属性的隶属函数是一个小于1的值，使得此隐喻带有较强的启示力和暗示性。一般来讲，根据逻辑真值，可以把隐喻分为epiphor(表征性隐喻)与diaphor(暗示性隐喻)。威尔赖特( P. Wheelwright)在1962年出版的《隐喻和现实》(Metaphor and reality)中指出epiphor 的基本功能在于表达(express)， 而diaphor的主要作用是暗示(suggest) [4]。隐喻所指的并置会引起语义集合的矛盾，所以有些学者把隐喻视为不合语法逻辑的实体。但是如果我们通过模糊集合论中三值逻辑来解读隐喻，我们就可以证明它的用法是正当的，合法的。根据扎德的标准， 0 <β <α < 1， 一种三值逻辑的可能性是成立的。如果我们再加入一个中间值γ，区间将变为0 <β <γ<α < 1， 这样三值逻辑就可以扩充为四值逻辑， 其真值分别为： Truth( fA (x) ≥α) 、Falsity( fA (x) ≤β) 、Diaphor (β < fA (x) <γ) 以及Epiphor (γ≤fA (x) <α) 。如果α的值趋近于1而β的值趋近于0， 并且中间区间的集合不包含任何 其它 元素， 那么这就是一个传统的二值逻辑。如果隶属函数值介于β到γ的区间，就会产生暗示性隐喻;如果隶属函数值介于γ到α的区间，就会产生表征性隐喻。隶属函数会发生变化，因为很多隐喻由于不断的重复使用，固定了所指之间的关系，暗示性隐喻也就会变成表征性隐喻，如果太过普遍，则会变成死隐喻。由此可见，模糊集合论很好的解释了隐喻解读过程中本体集合与喻体集合的冲突，使得双方在合理的范围内找到交集，而这个交集内的元素属性很可能不是唯一的，这就造成了隐喻解读的多样性与模糊性[5]。 　　隐喻的本质是模糊了本体集合和喻体集合之间的界限，从而来寻找两个集合的契合点。由于模糊集合论设定了三个区间边界α、β和γ， 并且0 <β <γ <α < 1，这种四值逻辑不仅有助于消除隐喻所指不同集合之间所存在的矛盾，而且揭示出隐喻的模糊性实际是固有的，客观存在的。隐喻的模糊性主要是指其解读对语境的依赖性。无论从隐喻的编码，还是解码过程来看，不同的人，不同的时期，不同的场合，同一隐喻可以被赋予不同的含义。正是隐喻的这种模糊性开启了人类的想象空间，文学作品中好的隐喻总是余音绕梁，让人回味无穷。我们的生活离不开隐喻，而在隐喻所创造的模糊世界里，我们非但没有因为模糊而影响生活，反而借用隐喻的模糊性我们能够更好地认识世界，改造世界。 　　【参考文献】 　　[1]Earl R. MacCORMAC， METAPHORS AND FUZZY SET[J].Fuzzy sets and systems. 1982(7). 　　[2]L.A.Zadeh.Fuzzy Set. Information and Control.1965(8). 　　[3]安军.隐喻的逻辑特征[J].哲学研究，2007(2). 　　[4]苏联波.隐喻的模糊化认知机制研究[J].成都大学学报(社科版)，2011(5). 　　[5]束定芳.论隐喻的基本类型及句法和语义特征[J].外国语，2000(1). 猜你喜欢： 1. 高中数学论文题目大全 2. 关于数学文化的论文范文 3. 数学与哲学的论文 4. 人工智能逻辑推理论文 5. 数学学术论文范文大全 6. 数学论文离散数学

19世纪70年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。如果加上选择公理就构成ZFC系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。通过元语言，也可公理系统中各公理之间的相容性和独立性，例如Cohen于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究也持续发展。

集合论的诞生先驱 数学分析严格化的先驱波尔查诺（1781－1848）也是一位探索实无穷的先驱，他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他知道，无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体，他认为这个事实必须接受。例如0到5之间的实数通过公式y=12x/5可与0到12之间的实数构成一一对应，虽然后面的集合包含前面的集合。为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。不过，后来康托尔指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。另外，他还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。因此，他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义。应该说，他是康托尔集合论的先驱。问题出现 黎曼（1826－1866）是在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”的。大意是：如果函数f（x）在某个区间内除间断点外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的？但他没有给予回答。1870年海涅（1821－1881）证明：当f（x）连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立？康托尔就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。奠定基础 早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把海涅的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。集合论诞生 1873年11月29日康托尔在给戴德金（1831－1916）的一封信中，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这个时期应该看成是集合论的诞生日。集合拓扑开始 1874年，康托尔发表了这个证明，不过论文题目换成另外一个题目“论所有实代数数集体的一个性质，”因为克洛内克（1823－1891）根本就反对这种论文，他认为这种论文根本没有内容，无的放矢。该文提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了如下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别。 1874年1月5日，康托尔给戴德金写信，提出下面的问题： 是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段），使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？ 1877年6月20日，他给戴德金写信，这次他告诉他的朋友这个问题答案是肯定的理由，虽然几年以来他都认为答案是否定的。信中说“我看到了它，但我简直不能相信它”。关于这一成果的论文1878年发表后，吸引人们研究度量空间维数的本质，很快出现一批论文。这批论文标志集合拓扑的开始。点集论体系建立 从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都同现代的朴素集合论基本一致，所以该书标志着点集论体系的建立。遭遇挫折 1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。康托尔的贡献 《对超穷集合论基础的贡献》是康托尔最后一部重要的数学著作。《贡献》分两部分，第一部分是全序集合的研究，于1895年5月在《数学年刊》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年刊》上发表。《贡献》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。出现悖论导致怀疑 不过，康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。得到肯定 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（1865－1963），也报告康托尔对他的工作的重要作用。 随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克洛内克的后继者布劳威尔（1881－1966）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。编辑本段集合论的发展成为系统的学科 1899年第一篇点集论的论文在《德国数学家联合会年报》上发表，这篇论文是德国数学家舍恩弗利斯（1853－1928）写的。他本人在其后还为德国《数学科学百科全书》中撰写有关条目。20世纪初他继续研究康托尔留下的问题，特别是维数不变性问题。大约同时，德国数学家豪斯道夫（1868－1942）对集合论进行一系列研究，特别是序型及序集理论。1914年出版《集合论大纲》更是集合论及点集拓扑学的经典著作，他的体系是后来研究的基础及出发点。从此集合论成为系统的学科 。确立地位 从非欧几何的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论，集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐步确立起来。

集合论的创始人康托尔(Georg Cantor，1845—1918)作为现代数学的奠基者是当之无愧的。1． 勤奋好学，全面发展 康托尔于1845年出生在俄国圣彼得堡。11岁的时候，就在威斯巴登文科中学读书。他特别喜爱数学，但他并不偏科，他的文学、音乐、绘画等门门课都优秀，这得益于良好的家庭教育。15岁那年，父亲在写给他的一封信中鼓励他要“掌握多方面的基础科学及实际知识……”，希望他“成为科学地平线上闪闪发光的新星”，他把这封信长期保存在身边，作为对自己的鞭策。 1863年，康托尔进入柏林大学师从三位世界级的数学大师：魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、库默尔(Kummer)和克罗内克(Kronecker)，4年后获得了博士学位。他深受魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的影响，被认为魏尔斯特拉斯学派的成员。康托尔在大学读书期间就表现出良好的社会活动才能和组织才能。他参加柏林的大学生组织——“数学协会”，在大学二年级时担任了这个协会的主席，这为他以后创立德国数学家联盟和参与组织国际数学家大会打下基础。2．善于提问，锐意创造 1869年春，康托尔成为哈雷大学的讲师。刚到哈雷大学，康托尔接受爱德华�6�1海涅（E.Heine）教授的建议去研究三角级数。这项工作导致他研究实数集、无穷点集……为日后创立集合论打下基础。康托尔善于提出深刻而有价值的问题，正如他在博士论文中所说：“在数学领域中，设问的艺术要比解题的艺术更重要”。 1873年11月29日，康托尔在给知遇戴德金(Dedekind)的信中提问：正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?这是真正导致集合论产生的大问题。几天后康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果：“实数集是不可数集”，并将这结果置于标题为《关于全体实代数数的一个性质》的论文中，于1874年发表在德国《数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”。在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合的运算……建立了系统的集合论。 康托尔的另一个著名问题是：直线上有多少个点?他将集合中元素的“个数”的概念推广为“基数”或“势”的概念。例如，通过对应关系：n→ 2n，可以将正整数集N＊一一对应到N＊的偶数子集M，因此N＊和M的元素的个数相等，也就是说：集合｛1，2，3，4，5，6．．．．．｝和它的部分{2，4，6，8，．．．．．． }含有同样多个数。能和自己的真子集建立一一对应关系是无限集的一个特征。这些观点在当时太出人意料了。连数学大权威克罗内克以及庞加莱(Poincare)都出来反对，他们反对把无穷集合当成已经完成的整体来加以研究。但康托尔闪光的思想横扫谬误，他勇闯禁区，把实无穷请回到人间，他向人们表明无穷是可以研究的。 从1878 年到1884年。康托尔发表了一系列文章研究无穷基数，创立了超限数理论。他大胆地推论，既然实数集R不能与正整数集N＊建立一一对应，则实数集R的基数 c与自然数集的基数c。不相等,而 N＊是R的部分，所以得出著名的基数不等式：c。<c 对此，康托尔想：在c。和c 之间是否还有别的基数呢?他找到一个基数 c1证明了c1≤c 康托尔进一步提问：是否c1＝c ?这就是著名的连续统假设，它是集合论的中心问题之一，他费尽心力想解决它，终未能成功。几十年后，这个问题由数学家哥德尔(G6del)的工作(1938年)与数学家科恩(Cohen)的工作(1963年)合并以后以另一种方式获得解决。 3．不顾疾病缠身，为传播真理而努力 康托尔的工作解决了不少经久未解决的问题，并且颠倒了许多前人的想法，自然就很难被当时的人们接受。当然，康托尔在性格上有着过激的弱点，他总是把对自己著作的批评看得过重，往往作出感情色彩极强的反应，再加上长期不能解决连续统假设带来的烦扰，他终于在1884年精神崩溃——患上了忧郁症，以后这病时好时坏，令他成为精神病院的常客。他一方面为捍卫自己的理论而斗争，另一方面与残酷的病魔搏斗着。 他凭借自己出众的组织才能担当起建立德国数学家联合会的历史重任，他广泛联系数学家，最终于1890年正式成立德国数学家联合会，会上选举康托尔任联合会的主席。联合会摆脱了柏林数学权威的偏见和控制，康托尔的思想在这里得到了自由传播。当时的德国是世界数学的中心，康托尔着手工作，积极推动，使得国际数学家大会于1897年在瑞士苏黎世顺利召开。集合论在大会上获得公开承认和称赞。一代数学领袖希尔伯特称赞康托尔，说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去。” 1918年1月6日康托尔因心脏病发作在精神病院去世。他给人类留下了辉煌的遗产——集合论和超限数理论，他还创造了不少精巧绝伦的研究方法和概念。例如他创造出“康托尔对角线法”，他构造出的神奇的“康托尔集合”，该集合具有奇妙的性质，被应用到现代新兴学科分形理论中，产生了康托尔尘埃、康托尔函数等重要概念。康托尔不愧为伟大的数学家，他以对人类文明作出了非凡贡献而含笑九泉。

康托尔 康托尔，G．F．L．Ph（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp）1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷。他的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域。这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一。1874年，29岁的康托尔就在《克雷儿数学杂志》上发表了关于超穷集合论的第一篇革命性文章，引入了震撼知识界的无穷的概念。这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数的一个性质”。1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》，其中前四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果。随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论。他在第三篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题。这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》简称《集合论基础》为题作专著单独出版。康托尔最著名的著作是1895－1897年出版的《超无穷数理论基础》。

　　格奥尔格·康托尔(Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6)德国 数学 家，集合论的创始人。下面是我为大家整理的集合论创始人康托尔简介，希望大家喜欢!　　康托尔生平简介 　　康托尔是世界上著名的数学家，他出生于1845年，在1918去世。他是集合论和超穷数理论的创始人，他的成就改变了世界上人们对于数学研究的趋势，解决了长期以来数学家都难以解决的问题。下面来看康托尔简介： 　　康托尔是德国数学家，但是他的出生地并不在德国，因为他生于在俄国列宁格勒，也就是现在俄罗斯的圣彼得堡。他是犹太人，他的父亲是一名除恶色的犹太血统的丹麦商人，而母亲也出身高贵，她出身于艺术世家。 　　康托尔学习成绩优异，所以才会进入著名的德国柏林大学攻读数学和神学。他的导师是库默尔、维尔斯特拉斯和克罗内克，这几个人都是当时非常著名的人物，在学术上有很高的成就。 　　从康托尔简介中了解，康托尔在早期数学方面的 兴趣 并不是他最大的成就，而是数论。后来康托尔受到了魏尔斯特拉斯的直接影响，所以他的研究方向开始转变，从数论转向严格的分析理论的研究，由于他才能出众， 思维方式 独特，所以不久就崭露头角。 　　在后来的研究中康托尔更进一步，将自己的研究进行总结，最终形成了自己的数学理论。这是当时最伟大的数学成就，因为他总结出了集合论和超穷数理论，这在当时的数学界和神学界引起了极为巨大的反响。 　　但是康托尔的数学理论当时受到了人们的反对和打击，这一度导致他精神失常，虽然后来经过治疗好转，但是一直被病魔缠身，最终病逝。 　　康托尔的成就 　　康托尔是德国著名的数学家，他对数学的贡献是无以伦比的，康托尔的成就是集合论和超穷数理论。这两项理论成为当时世界上最为重要的数学理论，为当时的很多数学家提供了指导，促进了整个数学的发展。 　　康托尔的成就之一就是集合论，康托尔在寻找 函数 展开为三角级数表示的唯一性判别准则的研究中发现了不一样，经过他长期的研究终于认识到无穷集合的重要性，于是他就开始了对无穷集合的理论研究。 　　康托尔为了将有穷集合的元素个数概念推广到无穷集合，他开始使用一一对应的原则，最终提出了超前的集合等价概念。这是他集合论的原始版本，后来经过他多年的潜心研究，再加上新的理论丰富，他形成了自己的集合论。 　　康托尔的成就另一项就是超穷数理论。这是一个复杂的概念，他有几条原则，一共是三条生成原则，而反复应用三个原则，得到超穷数的序列，最终就能推导出超穷数理论。这两项就是康托尔的数学成就，但是因为他的这两项成就过于前卫，于是得到了当时数学家的一致反对。 　　康托尔的这两项理论在当时的数学界和神学界都产生了极大的震撼，人们不愿意相信他的研究，再加上他的研究有一定的漏洞，所以她一直被攻击，甚至患上了 精神病 。但是现在看来他的研究极为了不起，他是改变数学界的举人。 　　康托尔悖论 　　康托尔是世界著名数学家，二十世纪出的数学革命几乎就是由他一个人来完成的。科学研究的进行总是会遇到阻挠，康托尔悖论的提出是对世界数学界产生的巨大贡献，但是这个理论在当时也是遇到了人们的极大阻碍。 　　康托尔的理论主要有两点，其一是集合论，其二是超穷数理论;这两点在当今的数学界也是赫赫有名。康托尔的研究中，一一对应的方法研究造成了无穷中的悖论，这就是康托尔悖论，因为这与传统观念格格不入，所以在一开始提出的时候就遭到了严重的敌对，甚至有人认为康托尔是个疯子。 　　到现在我们看到的康托尔悖论是正确的，是对数学的贡献，但是在他当时提出的时候遇到的阻碍难以想象。对他理论的打击最大的就是他曾经的老师克朗涅克尔，这个人曾经是康托尔的老师，但是学生的研究超越了他，所以他就对康托尔进行无情的打击，这是出于嫉恨。 　　同时克朗涅克尔还竭力阻挠康托尔的提升，他已经是一位很有地位的教授，于是他为了阻止康托尔的发展，剥夺了他在柏林大学获得一个职位的机会。 　　康托尔悖论形成以后，康托尔就陷入了长期的争论漩涡之中，由于长期的劳累和和激烈的争吵论战，让康托尔不堪重负，于是他在1884年的时候精神崩溃。后来经过治疗好转，在几年后他的理论得到了很多人的支持，从此康托尔理论得到了发扬光大。 猜你喜欢： 1. 爱因斯坦的智商是多少 2. 最新世界三大数学家个人简介 3. 数学家励志名言名句 4. 关于著名数学家的故事有哪些 5. 数学史最伟大数学家都有谁

On虽为一真类，但<On,<>；具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数β，若每一比β小的序数α都具有性质φ则β亦具有性质φ，那么对所有的序数都具有性质φ。在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(α）。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1,2,3，…，0，-1,-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。事实上，任一良序集〈ω，<；〉，都有惟一的序数α使得〈w，<；〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数β+0=β,β+s(α)=s(β+α),β+γ(β+α），即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β.α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。　可以证明：替换公理是独立于其他公理的。

“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On,α<α∈β。这样，就用∈定义了序数间的< 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。每一自然数都是序数，全体自然数{0,1,2，…}也是序数。对任一集合x，令s(x)=x∪{x}。则当x是序数时，s(x）亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=s(β）。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0,ω均为

解释： 一个传递集(α，＜)定义一个序数α，任何一个良序集A，有且仅有一个序数α(传递集)与它序同构：A～α，α即为集合A的序数．每一良序集都有唯一的序数．

狭义的数理逻辑是指一阶谓词逻辑. 广义的数理逻辑包括一阶谓词逻辑、集合论、递归函数论和证明论. 可以把数理逻辑作为集合论的基础,也可以把数理逻辑作为集合论的一个子集.

狭义的数理逻辑是指一阶谓词逻辑。广义的数理逻辑包括一阶谓词逻辑、集合论、递归函数论和证明论。可以把数理逻辑作为集合论的基础，也可以把数理逻辑作为集合论的一个子集。