集合论创始人康托尔简介

克罗内克最主要的功绩在于努力统一数论、代数学和分析学的研究。克罗内克的数学观对后世有极大影响。他主张分析学应奠基于算术，而算术的基础是整数。他的名言是：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作” ，反映了他对当时的分析学持批判态度。他作为直觉主义的代表人物，还曾极力反对G.康托尔的集合论。

由Kronecker提出的数论符号。（很多符号打不出来）设d=0或1(mod4),d非平方数且m>0,则克罗内克尔符号D=(d/m)定义为，若p整除d，即p|d,则(d/p)=0,若d=1(mod8),则(d/2)=1若d=5(mod8),则(d/2)=-1若p为奇素数且p不整除d，则D转化为勒让德符号。对于一般的整数m可以分解成r个素数（可能有重复的，比如8=2x2x2）的乘积，则D=(d/m)=所有这些素因子的克罗内克尔符号的乘积。例如(d/8)=(d/2)x(d/2)x(d/2)简单的应用（例如量子力学里）就是一个因子D(mn),当m=n时D=1,否则D=0如果和一个方阵相乘的话则除了对角元其他项都为0.中文也可以写作克罗内克符号。

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　　数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。 　　克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法，例如，考虑方程AXB=C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵，这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵，（Horn & Johnson 1991，Lemma 4、3、1），在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量，如果把X的行堆起来，形成列向量x，则AXB也可以写为 （Jain 1989，2、8 block Matrices and Kronecker Products）。

希腊字母和α、β同等

设θ为正无理数，α为实数，则对任给正数ε，都存在两个正整数m,n,使得∣nθ-m+α∣<ε。α=0的特殊情况称为狄利克雷定理。矩阵的Kronecker乘法对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：注意：右图中A为m*n维矩阵由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同， Kronecker乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求，Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B：A= B=则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)C =1 3 2 2 6 42 4 6 4 8 123 9 6 4 12 86 12 18 8 16 24作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)D =1 2 3 6 2 43 4 9 12 6 82 4 4 8 6 126 8 12 16 18 24

我也感觉到克罗内克很垃圾，克罗内克（1823年12月7日－1891年12月29日）在牛顿莱布尼茨的积分学、非欧几何、伽罗瓦阿贝尔抽象代数后面，起码见识过这些理论吧，还能说出不相信无理数的话，还能不接受康托尔的集合论，把康托尔攻击成精神病。积分学不也是无穷的思想吗？非欧几何和抽象代数的都慢慢成为了真理，集合论在当时也不算离谱啊!数学前进的逆流者，他反对的逻辑从哪来都令人百思不解。公报私仇，故意仇恨康托尔的贡献？

数学中两个函数的名称：克罗内克δ函数 （Kronecker delta），狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。Kronecker delta，即克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号）δij是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

克罗内克(Leopold Kronecker,1823-1891)是库默尔的得意门生，他接替了库默尔在柏林大学的教职，继续研究代数数问题，并沿着类似戴德金的路线发展了代数数。他在该课题上的首个工作是其博士论文《论复可逆元素》，尽管写于1845年，但很晚发表。论文讨论在高斯所创立的代数数域中可能存在的所有可逆元素。 克罗内克创造了另一种域论（有理性域），他考虑任意个变量（未定量）的有理函数域，域的概念比戴德金的更为一般，特别地，1881年克罗内克引入了添加于域的未定量的概念，未定量是是一个新的抽象量，用增加未定量推广域的思想是克罗内克代数数理论的基石。他用了刘维尔、康托尔等人建立的关于代数数与超越数差别的知识，注意到如果x是域K上的一个超越数（x是未定量），则由添加x于K得到的域K(x)即包含K与x的最小域，同构于系数在K中的一个变量的有理函数生成的域K[x]，他强调这个未定量仅是一个代数元素，而不是分析意义下的变量。1887年他证明对每个普通素数p，在具有有理系数的多项式环Q(x)中存在一个相应的素多项式p(x)，它在有理域Q中是不可约的。两个多项式若以给定素多项式p(x)为模同余，认为两多项式相等，在Q(x)中一切多项式的环就变成了同余类的域，这个域与由添加p(x)=0的一个根δ于域K产生的代数数域K(δ)具有相同的代数性质。这里他用了柯西之前用过的思想，即用多项式关于模x^2+1同余而引入虚数。同时他说明，代数数理论独立于代数基本定理和完备的实数系理论。 在他的域论中，元素是从域K出发然后添加未定量x1,x2,...,xn而形成的。克罗内克引入模系的概念（相当于戴德金理论的理想），对克罗内克来说，一个模系是n个变量x1,x2,...,xn的多项式的一个集合M，如果P1和P2属于集合M，则P1+P2也属于该集合，如果P属于该集合，而Q是x1,x2,...,xn的任一多项式，则QP也属于这个集合。 模系M的一组基是指M的多项式B1,B2,..的任何一个集合，使M的每个多项式可表示为R1B1+R2B2+...其中R1,R2,...是常数或多项式（不必属于M），在克罗内克的一般域中，可除性理论是依据模系定义的，类似戴德金的理想。 19世纪代数数论发展的顶峰是1897年希尔伯特论代数数的著名报告，记述了19世纪的主要工作，希尔伯特重新整理了这些早期理论，并给出了获得这些结果的新方法，报告也包含了1892年他在代数数论中创立的新概念以及关于伽罗瓦数域的一个新创造。之后希尔伯特等人大大扩展了代数数论，这些发展又刺激了20世纪的工作。 代数数论本来是研究古老数论问题的一种求解方案，但自身又变成了一个研究对象，它在数论和抽象代数之间占据了一席之地。现在数论和近世高等代数也被吸收到代数数论中了。代数数论在普通数论中也产生了新的定理。

康托尔是德国著名的数学家， *** 论的创造者。 *** 论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔凭著探险家的勇气闯入这个新奇世界，发现了非常多令优秀数学家也难以置信的事情。康托尔1845年出生，1884年发表奠基性著作《一般 *** 论基础》，也就在这一年患精神病，以后病情时好时坏，1918年逝世在精神病院。 传记不仅要描述事实，也要解释事实。为什么康托尔会患病呢，为什么一直未能康复呢，是生理的偶然现象还是环境导致的必然结果，人们只能给出一些猜测而无法确证的原因。这些分析可以参见胡作玄写的《哲人科学家—康托尔：引起纷争的金苹果》（胡作玄，引起纷争的金苹果—康托尔，湖南教育出版社，1993）（[美]贝尔，徐源译，数学精英，商务印书馆，1991）、贝尔写的《数学精英》 和解恩泽主编的《科学蒙难集》（解恩泽主编，科学蒙难集，湖南科学技术出版社，2000）。在解释事实的过程中，传记作者也表达了自个的不同的观点。 首先是克罗内克等人的攻击。康托尔的研究成果发表之后，遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击，这些人包括法国数学家彭加勒、德国数学家魏尔和克莱因等，德国数学家克罗内克是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。克罗内克是天生的怀疑者，他的数学基本观点是「上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的」，他的数学成就是在对数学分析大师维尔斯特拉斯的攻击中取得的。有人暗示克罗内克对别人的攻击是因为身高原因，「要是克罗内克再高上六七英寸，也许他就不会觉得非要大吵大闹地过分强调反对分析学不可了。」由于 *** 论的内容同他的主张大相径庭，所以克罗内克简直到了不可以容忍的程度，连续不断地攻击康托尔达10年之久。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金非常微薄，几次想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位，但由于克罗内克的影响未能如愿。康托尔想在另一所著名大学哥廷根大学谋取教授职位，也因为有曾是自个的朋友但后来敌视 *** 论的数学家施瓦茨的反对也未能成功。尽管在职位上屡遭挫折，康托尔在学术上也不乏知音，这些人包括德国数学家胡尔威茨、维尔斯特拉斯、米塔格·列夫勒、埃米尔特、希尔伯特等，应当说，在康托尔发疯前后他的 *** 论已得到了初步的成功。这种解释突出了科学界中的保守者与创新者之间冲突。 其次是他的性格弱点。康托尔天性神经过敏，容易兴奋，带有极强的感 *** 彩，把别人的批评看得过重，因此对于反对意见难以从学术的角度去应付。「克罗内克也许由于康托尔的悲剧受到了过分严厉的指责;他的攻击只是非常多起作用的原因中的一个。没有得到承认，使这个相信他朝着无限的合理理论迈出了第一步—和最后一步—的人产生了怨恨，沮丧使自个患了忧郁症和丧失理性。」任何一种新的思想都大概遭到别人的怀疑和反对，这些怀疑和反对并非都是无理取闹，对澄清新思想那些模糊不清的概念起着重要作用。克罗内尔在学生面前谩骂康托尔是不光彩的行为，但他也有表现起绅士风度和学者的时候，即通过学术文章客观地解决争论。例如，由于康托尔的文章主要在米塔格·列夫勒编的《数学学报》上发表，克罗内克也希望能在此发表一篇短文，来阐述自个对某些数学概念的看法。但康托尔慑于克罗内克的威信，害怕克罗内克的文章会挤占自个的地盘，因此他对米塔格·列夫勒表示，假如发表了克罗内克署名的文章，就撤回自个的文章。虽然最终克罗内克没有发表文章，但康托尔的敏感可见一斑。后来，因为米塔格·列夫勒拒绝了康托尔的一篇带有过多新名词和哲学味道的文章，康托尔和这个最支援他的朋友的关系也疏远了。这种解释突出了个人的性格因素在科学研究过程中的作用。 第三是科学自己的难题。性格的弱点导致了康托尔在科学论战中的失败，「克罗内克在科学论战上是一个最有能力的战士;康托尔却是一个最无能的战士。」，但是「克罗内克对康托尔的强烈敌意，并不完全是个人的，至少部分是出于科学，而且是不存偏见的。」 康托尔强调实在的无穷理论，克罗内克承认自然数及其通过有限步骤建构起来的东西，反对实在无穷和非构造性的证明。这是数学的基础性问题，历来存在着较大的分歧，不同的数学家属于不同的阵营。随着 *** 论在处理实数理论逻辑基础问题的成功，虽然外在的敌对势力在减弱，但康托尔一直为 *** 论中产生的两大问题所困惑，一是 *** 论内在的矛盾，二是 *** 论的连续统假设和良序性定理。康托尔既没有能力解决，也无法去摆脱这些问题。例如，尽管康托尔多次声称或者承诺给出连续统假设成立的精确证明，但从未取得成功，这使得他的 *** 论基础不牢靠，随时有被摧毁的危险，因此他一直为此烦恼不堪。当有数学家宣称连续统假设不成立时，他就气得脸色苍白，浑身发抖。这种解释意味着科学观念的形成是渐进的，开始时冲突的存在是必然的。 最后思维方法的缺陷。康托尔对于来自各方面的反对意见，由于找不到解决学术问题和职位问题的出路，只好求助于神学观点和柏拉图主义信仰。康托尔甚至向大学当局申请把自个的数学教授之为改为哲学教授职位，企图在神学和哲学中为 *** 论争得一席之地。他以为他的 *** 论来自于上帝的启示，相信上帝既能解决连续统假设问题，还能所有实数 *** 的基数的客观性和具体性。他把 *** 论看作是「形而上学的理论」，相信无穷 *** 「既具体又抽象地」实际存在着。当然，康托尔用这样的思维方法去说服那些反对势力是根本不大概的，反而暴露了 *** 论发展中的某些薄弱环节，给了反对者更多进攻的入口。当康托尔依托于宗教与哲学的内心世界也受到了冲击和震撼时，要保持精神正常就更加困难了。这种解释给出了个人的哲学观点和内心世界对科学研究的影响。

克罗内克尔记号；克罗内克符号。Kronecker delta symbol克罗内克函数

假设A为mxn的矩阵，B为pxq的矩阵。，.在进行计算的时候，克罗内克积可表示为，为mpxnq大小的矩阵。在MATLAB中可以使用kron函数。当kronecker积应用到扩展维数时，如下假设单变量的点为[2,3,4]，如果扩展到二维变量，就可以使用克罗内克积进行扩维。结果可以是这里我觉得就与笛卡尔乘积一样。笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积。假如集合{2,3,4}，{2,3,4}笛卡尔乘积为{2,2}，{2,3}，{2,4}

高斯

Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为 。克罗内克积也成为直积或张量积 .以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。计算过程如下例所示：

有多种定义.这里很多符号打不出来..只能将就一下了..总的来说是由尖酸刻薄的Kronecker提出的数论符号。设d=0或1(mod4),d非平方数且m>0,则克罗内克尔符号D=(d/m)定义为，若p整除d，即p|d,则(d/p)=0,若d=1(mod8),则(d/2)=1若d=5(mod8),则(d/2)=-1若p为奇素数且p不整除d，则D转化为勒让德符号。对于一般的整数m可以分解成r个素数（可能有重复的，比如8=2x2x2）的乘积，则D=(d/m)=所有这些素因子的克罗内克尔符号的乘积。例如(d/8)=(d/2)x(d/2)x(d/2)简单的应用（例如量子力学里）就是一个因子D(mn),当m=n时D=1,否则D=0如果和一个方阵相乘的话则除了对角元其他项都为0.中文也可以写作克罗内克符号。

你这句话不全原文是上帝创造了自然数,其它都是人的作品（Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.）是德国科学家克罗内克说的因为人们最早会的就是1,2,3,4,5,6.。。。。。人们认为这是上帝教会人们的，但是在无理数，分数，复数等问题也被人们发现并解决后，人们认为这是人类所创造出来的数；这位科学家应该是感慨人类所作努力和成就之大所以说了这句话实际上所有的数字都是人们为解决实际问题创造的，不存在什么客观存在的数字有理数的由来：古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。有理数包括负有理数，0和正有理数谢谢

康托（Georg Cantor,1845-1918）,德国数学家,19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人. 凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式,建立了处理数学中的无限的基本技巧,极大地推动了分析与逻辑的发展.‘基本信息1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭.1856年全家迁居德国法兰克福.康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学,主要学习哲学、数学和物理.在柏林大学,他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响,对纯粹数学产生了兴趣.1867年,他以求不定方程a*x^2+b*y^2+c*z^2= 0的整数解（其中,a、b、c为任意整数）的博士论文获哲学博士学位.1869年起来到哈勒大学,历任教师、副教授、教授.康托自幼对数学有浓厚兴趣.23岁获博士学位,以后一直从事数学教学与研究.他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础.主要成果1874年康托的有关无穷的概念,震撼了知识界.康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式,建立了处理数学中的无限的基本技巧,从而极大地推动了分析与逻辑的发展.他研究数论和用三角级数唯一地表示函数等问题,发现了惊人的结果：证明有理数是可列的,而全体实数是不可列的.康托29岁（1874年）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文,提出了“无穷集合”这个数学概念,引起了数学界的极大关注,他引进了无穷点集的一些概念,如：基数,势,序数等,试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分,他还构造了实变函数论中著名的“康托集”,“康托序列”.1874年证明了代数数集和有理数集的可数性和实数集的不可数性,建立了实数连续性公理,被称为“康托公理”.1877年证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应,从而证明了直线上,平面上,三维空间乃至高维空间的所有点的集合,都有相同的势.1879-1884年他着重研究无穷数与超越数理论.最重要的著作是《超越数理论基础》（1895-1897）.学术界的争论康托的工作给数学发展带来了一场革命.由于他的理论超越直观,所以曾受到当时一些大数学家的反对,就连被誉为“博大精深,富于创举”的数学家庞加莱也把集合论比作有趣的“病理情形”,甚至他的老师克罗内克还击康托是“神经质”,“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责,康托仍充满信心,他说：“我的理论犹如磐石一般坚固,任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性,不必受传统观念束缚.”这种争辩持续了十年之久.康托由于经常处于精神压抑之中,致使他1884年患了精神分裂症,最后死于精神病院.世界对集合论的认可然而,历史终究公平地评价了他的创造,集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支,成为了分析理论,测度论,拓扑学及数理科学中必不可少的工具.20世纪初世界上最伟大的数学家希尔伯特在德国传播了康托的思想,把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”.英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”.由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度.在1874—1876年期间,不到30岁的康托向神秘的无穷宣战.他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应.这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,后来几年,康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论.康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突,遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂.有人说,康托的集合论是一种“疾病”,康托的概念是“雾中之雾”,甚至说康托是“疯子”.来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院.他在集合论方面许多非常出色的成果,都是在精神病发作的间歇时期获得的.可是,真理是不可战胜的,也有许多卓越的数学家深为康托首创的集合论所起的作用而打动,1897年在苏黎世举行的第一次国际数学家大会上,赫尔维茨与阿达玛两位数学家站出来指出了康托集合论中超限数理论在分析学中的重要应用.希尔伯特也是最支持康托理论的数学家之一,他大声疾呼：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走.”并撰写文章赞誉康托的超限算术为“数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现.”著名哲学家罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作.”用现代的眼光看待集合论现代数学的发展告诉我们,康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里,人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算.并从本质上揭示了无穷的特性,使无穷的概念发生了一次革命性的变化,并渗透到所有的数学分支,从根本上改造了数学的结构,促进了数学许多新的分支的建立和发展,成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础,还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响.真金不怕火炼,康托的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作.”可是这时康托仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦.1918年1月6日,康托在一家精神病院去世.

如果公式写的出来，当然可以求。

康托尔是德国数学家，数学集合论的创始者，1845年3月3日生于圣彼得堡，11岁时移居德国。他很小的时候就表现出了极高的科学天赋，并且选择了数学作为自己的专业。1867年获得了柏林大学的哲学博士学位，1869年通过了哈雷大学讲师资格考试，成为该校的讲师，1879年升任教授。随着科学的进步，数学理论的研究逐渐转向其本身，例如：“整数究竟有多少”、“一个圆周上有多少个点”、“0—1之间的数比一寸长线段上的点还多吗?”当我们在无法回答这些涉及无穷量数学难题的时候，集合论也就应运而生了。康托尔提出了集合的概念，并提出了一一对应的方法，由此而造成了对无穷中的悖论的研究。“悖论”是在科学研究中推出的一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，所以与当时的许多传统观点格格不入，因此许多数学家都采取敬而远之的态度。在康托尔研究的刚开始人们都说他的理论是“雾中之雾”，难以明晓。他的老师还攻击他说“康托尔走进了超穷数的地狱”，年轻的康托尔在这种条件下顶着重压向神秘的无穷宣战了。靠着天才的智慧和辛勤的汗水，康托尔证明了一条直线上的点能够和一个平面上以及空间中的点一一对应。依此理解1米长的线段内的点与印度洋面上的点是“相等的”。他抓住这个结论不放，展开深入的研究并得出了许多惊人的结论。1884年，康托尔发表了题为《关于无穷线性点集》6篇论文，对他前期的研究作了一个总结。论文发表之后，并不像他事前想象的那样会引起数学界的轰动，相反的是遭到了很多人的反对，甚至攻击和谩骂。刚开始他并没有放在心上，可是这种攻击越来越严重，他的集合理论被说成像“雾”一样见不得阳光，德国数学家克罗内克是一个天生的怀疑者，他对康托尔的攻击长达10年之久，是言词最为激烈的一个。迫于数学界的攻击与压力，康托尔被冠以“疯子”的称号。这种精神压力日积月累使他心力交瘁，最终患了精神分裂症，被送进精神病医院，从此他再也没有出来，直到逝世。真理总是能经得住时间的考验的。随着数学研究的发展，许多数学家发现康托尔的理论具有很强的科学性。1897年，他的理论在第一次国际数学家会议上得到了公认。遗憾的是康托尔仍然神志恍惚，无法从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年，康托尔在哈勒大学附属精神病院去世。康托尔的去世为数学的发展带来了很大的损失，他之所以发疯也有着很深的个人原因和社会原因。他天性敏感容易激动，把别人的批评看得过重。因而对于反对意见难以从学术角度去应付，当面对攻击与指责时，他找不到解决问题的出路转而求助于神学观点和柏拉图信仰主义，这样的结局是他个人的悲剧也是社会的悲剧，同时也是科学研究本身的难题所致。

Hilbert提出的23个问题 大卫·希尔伯特 （David Hilbert，1862年1月23日－1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。 他在数学上的领导地位充分体现于： 1900年,在巴黎的国际数学家大会提出的一系列问题（希尔伯特的23个问题）为20世纪的许多数学研究指出方向。 希尔伯特23个问题及其解决情况： 1． 连续统假设 2． 算术公理的相容性 3． 两个等底等高四面体的体积相等问题 4． 两点间以直线为距离最短线问题 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解 6.物理学的公理化 7.某些数的无理性与超越性 8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。 9．在任意数域中证明最一般的互反律 10． 丢番图方程的可解性 11． 系数为任意代数数的二次型 12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 14． 证明某类完备函数系的有限性 15． 舒伯特计数演算的严格基础 16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 17． 半正定形式的平方和表示 18． 用全等多面体构造空间 19． 正则变分问题的解是否一定解析 20． 一般边值问题 。 21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 23． 变分法的进一步发展出

厚度或者间隙

在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想在数域扩张成为一个希尔伯特类域时都会成为一个主理想。这表示存在一个类域中的整环中的元素a，其为一个理想数，即使得a与类域中的整环中元素相乘得到的倍数与原来数域的交集就是原来的非主理想。

你说的应该是新定义的一中算法，具体和题目有关，没有什么特别的意思。说简单点就是一种运算规则。希望能帮到你

数学中两个函数的名称：克罗内克δ函数（Kroneckerdelta），狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。Kroneckerdelta，即克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号）δij是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。扩展资料严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际应用中，δ函数总是伴随着积分一起出现 。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用。一些函数可以认为是狄拉克δ函数的近似，但是要注意，这些函数都是通过极限构造的，因此严格上都不是狄拉克δ函数本身，不过在一些数学计算中可以作为狄拉克δ函数进行计算。参考资料来源：搜狗百科-δ

直觉主义、构造主义和构造性数学，这三个名词的涵义不同。严格意义的直觉主义属于哲学流派，是一种否认理性认识的唯心主义观点。构造主义主张自然数及其某些规律和方法，特别是数学归纳法，是数学里直观上可靠的出发点，其他一切数学对象和理论都应该能用不假定实无穷的方法从自然数构造出来。这里的直观并不必带有鲜明的或系统的哲学见解。克罗内克就是构造主义者而不是直觉主义者。彭加勒和勒贝格等都有不同程度的构造倾向，可是他们并不完全否认非构造性数学。至于构造性数学则是数学科学的一部分，和承认实无穷的古典数学相辅相成。布劳维尔持有直觉主义哲学观点。他认为，数学来源于先验的初始直觉，这种直觉产生了有穷数和无终止的无穷序列，并从而构造出各种数学对象。数学是创造性的心灵活动，独立于逻辑和语言。他也是一构造主义者，他不承认客观存在着已完成的无穷体系，认为无穷只是永无休止的潜在过程。他提出，一切以实无穷为前提，非构造性的论证和理论都不能成立。必须具体给出或者有一构造方法，数学对象才算作存在，间接的存在证明是无效的。在他看来，可证者为真，可否证者为假，在可证与可否证之间还有中间可能，因之排中律不能成立。既然如此，古典数学的各分支就要重新经过审核。非构造方法对于康托尔集合论和数学分析有本质的意义，因之戴德金德分割、 上确界定理和波尔察诺-魏尔施特拉斯定理等都失去根据。古典数学的这些部分必须改造或被摈弃。然而，布劳维尔的数学观点和他自己的工作并不一致，他在1918年以前的重要贡献也不属于构造的范围。此后他虽从事于重新建立古典数学的工作，但很多重要定理得不到证明，概念的形成也变得甚为复杂而含混，不能令人满意。30年代，布劳维尔的影响有所扩大，希尔伯特的学生H.魏尔（1885～1955）也声称要参加布劳维尔的行列，这促使希尔伯特积极考虑保卫古典数学。他反对布劳维尔和魏尔走克罗内克的老路。他说，古典数学是我们最有价值的宝藏。悖论出现的原因不在实无穷，而是由于对无穷的错误认识。策尔梅洛的公理集合论已可以排除被发现的悖论，有待解决的只是如何论证古典数学的一致性，并保证不再出现逻辑矛盾。何为直觉主义 强调直觉或直观在认识中的作用的思潮和学说。认为直觉是比抽象的理性更基本、更可靠的认识世界的方式。这种学说或思潮通常带有强烈的反理性主义、反实证主义和反唯物主义倾向。

接收信号的功率会因为三种效应而发生变化: 平均传播 (路径) 损耗、宏观 (大型或 "缓慢") 衰落和微观 (小型或 "快速") 衰落，如图所示。 平均传播损耗与距离有关，由水、植物的吸收以及地面的反射效应产生。 宏观衰落是由于建筑物和自然地物的阴影效应所产生的。 微观衰落是由于多径的相长、相消组合所产生，由于微观衰落的幅度波动快于宏观衰落的幅度波动，所以也将其称为快衰落。 平均传播损耗 信号强度的总平均损耗是距离的函数，它遵循 1/d n 律，其中 d 是发射机和接收机之间的距离，n 是取值范围为 2 至 6 的斜度指标，其具体取值与环境有关。 例如，在自由空间， n = 2，斜度为 20 dB/10 倍程。在陆地环境中，典型值为 n = 4，导致 40 dB/10 倍程信号衰落，它是距离的函数。在这一陆地设置中，将距离从 100 英尺更改为 1000 英尺 (一个 10 倍程) 将导致信号功率平均衰减 40 dB。 现在已经针对不同传播环境开发了几种基于经验的路径损耗模型，例如 COST-231 (1. COST 231 TD (973) 119-REV 2 (WG2)。900 和 1800 MHz 频段中移动无线的城市传输损耗模型, 1991 年 9 月。) 和 lTU-RM.1225 中的模型。 宏观 (慢) 衰落 宏观衰落 (慢衰落) 是由于建筑物和自然地物的阴影效应所导致，接收信号在大约 20 倍波长距离内的局部平均值可以确定此衰落值。宏观衰落分布受天线高度、工作频率和特定类型环境的影响。慢衰落偏离平均传播损耗值的偏差值被看作一个随机变量，如果以分贝 (dB) 表示，其接近正态分布，可以认为它是一种对数正态分布，其概率密度函数(PDF) 如下所示。 多径传播会导致信号随着时间的推移而扩展，这些时间时延或 "时延扩展" 导致频率选择性衰落。在上式中，x (单位为 dB) 是一个随机变量，表示信号功率电平的大幅波动。变量 µ 和 σ 分别是 x 的均值和标准差。µ 和 σ 均用 dB 表示。均值 µ 等于前节中所讨论的平均传播损耗。对于城市环境，标准差 σ 的取值可高达 8 dB。 微观 (快) 衰落 微观衰落 (快衰落) 是因为从周围环境接收的大量多径信号相长、相消干扰而造成的。当距离变化大约二分之一波长时，接收信号的强度可能会发生快速变化，所以将这一特性命名为 "快" 衰落。如果要在大约 20 波长的较短距离上研究接收功率的衰落特性，则可以将叠加信号的同相 (I) 分量和正交 (Q) 分量模型设定为独立的零均值高斯过程。这一模型假定散射分量的数目很大，而且相互独立。因此，接收信号的电压振幅包络为瑞利分布，其 PDF 给出如下 其中，x 是一个随机变量，这里取作接收电压的振幅，σ 是标准差。对于静态用户，由于该用户邻近区域中的散射体存在相对运动，所以也存在类似的响应，它是时间的函数。峰值与零陷之间的功率电平相对变化通常为 15-20 dB，但在某些信道条件下可能高达 50 dB。 如果发射机和接收机之间存在直接路径，那么信号包络不再是瑞利分布，信号幅度的统计特性将服从莱斯分布。莱斯衰落由瑞利分布信号与直接或者视线 (LOS) 信号之和形成。莱斯衰落环境具有一条很强的直接路径，它到达接收机的时间时延与来自本地散射体的多径到达时延大致相同。莱斯分布的电压幅度包络具有如下 PDF 其中，x 是一个随机变量，这里取作所接收的电压幅度，σ 是标准差。I 0 ( ) 项是第一类零阶修正贝塞尔函数。由于 I 0 ( ) = 1，所以当 K = 0 时，莱斯分布简化为瑞利分布。莱斯分布由这个 K 因子定义，对于无线环境来说，K 因子定义为 LOS 分量与散射分量的功率比。 多径的特征由信道脉冲响应来描述，使用抽头时延线实现方式为多径建模。抽头变化的特征用多普勒频谱来描述。 除了时延扩展和多普勒展宽之外，角度扩展是无线信道的另一个重要特性。 接收机端的角度扩展是指在接收天线阵列处多径组件到达角的展宽。 与此类似，发射机端的角度扩展是指这些最终到达接收机的多径信号离开角的扩展。 角度扩展会导致空间选择性衰落，这意味着信号幅度会依赖于发射天线与接收天线的空间位置。当无线通信系统中使用多根天线时，由于角度扩展、天线辐射方向图和周围环境所导致的空间效应，各个发射-接收天线对之间可能具有不同的信道脉冲响应。 由于 MIMO 系统需要信道之间具有低相关度，所以理解这些空间特性可能如何影响系统性能是非常重要的。在此应用指南的后续部分中，将会对所有无线信道中都存在的基本特性进行回顾，例如时延扩展和多普勒扩展。 在无线通信中，被传送给接收机的信号可能是经由许多不同路径，穿过无线电信道才到达接收机的。在通过无线信道进行传输的过程中，信号可能是通过直接视线 (LOS) 路径，也可能是经过了平面反射，然后才到达接收天线。由于原始传输信号的多个副本传播的距离不同，所以它们到达接收机的时间不同，并且具有不同的平均功率电平。 人们利用无线信道的脉冲响应来描述发射机与接收机之间主要路径的特征。使用抽头时延线对脉冲响应建模是一种传统的衰落信道仿真技术。在这些模型中，每个 "抽头" 表示在相同时间到达的众多多径信号之和。由于较晚到达的信号具有更大的路径损耗，并且可能多次经过周围环境的反射，所以抽头幅度通常随着时间的推移而减小。在接收机端，如果存在 LOS 路径，则每个抽头的幅度统计特性服从莱斯分布，如果没有 LOS 路径，则服从瑞利分布。 如图中所述，可将发射机和接收机看作一个椭圆的两个焦点，由同一椭圆反射的所有路径都将具有相同的相对时延。在一个特定的时延，所有信号合并形成信道脉冲响应中的一个抽头。每个抽头的平均功率和时延显示为信道脉冲响应，也称为 "功率时延分布图 (PDP)"。图 7 给出一个信道的功率时延分布图 PDP，它拥有三个抽头 (信号路径)。 对这三条路径进行组合，一同构成发射天线与接收天线之间的无线信道。因为信道仿真器可以配有时间时延和相关的幅度分布图，所以这种功率时延分布图 PDP 模型可以用作信道仿真的基础。 时变衰落是由于散射或者发射机与接收机的相对运动而发生的，这种衰落会导致频域响应中的扩展，通常将其称为多普勒频谱。 发射机与接收机之间的相对运动会导致在有限频谱带宽上发生纯频率单音扩展，此时会导致多普勒频谱。最大多普勒频率 fd,max 与相对速度的关系由下式表示。 其中，v 是移动速度，fc 是载波频率 (Hz)，而 c 是光速常数。纯单音的频谱扩展所覆盖的范围为 fc ± fd,max。通过对信道脉冲响应与正弦射频载波之间的自相关求傅立叶变换，可以测量或者计算多普勒频谱。假设移动终端周围的散射体均匀分布，那么，以任意到达角 (变化范围为 0-360°) 接收多径信号的概率相等。在此情形下，理论上的瑞利多普勒功率谱将呈现为如图 9 所示的典型 "U 形"。 莱斯衰落是由瑞利分布信号与 LOS 信号之和构成的。因此，莱斯多普勒频谱是瑞利多普勒频谱与 LOS 多普勒频谱的叠加。如果发射机与接收机之间存在相对运动，则 LOS 信号将会发生与相对速率相关的静态频移。LOS 信号的这种多普勒频移可根据下式确定。 改变 LOS 到达角会使多普勒频率相对于中心频率发生漂移，最大漂移频率为 fd,max。莱斯衰落的 K 因子影响直接路径相对于多径的功率电平。图 10 给出莱斯衰落的理论多普勒频谱，它是通过对瑞利多普勒频谱和具有正静态频移的 LOS 求和所得到的。 传统的无线信道建模方法 (例如功率时延分布图和多普勒频谱) 可以精确地表示 SISO 系统的多路效应。这些传统模型的缺点在于他们通常没有包括多径环境下由天线位置和极化引起的空间效应。他们也没有包括天线方向图对系统性能的影响。 例如，在如图 14 所示的简单 MIMO 情形中，Tx0 发射天线具有两条到达 Rx0 接收天线的信号路径，即 LOS 和一条多径。LOS 路径以离去角 (AoD) θd 1 离开 Tx0，这一角度是相对于阵列视轴测量得到的。阵列视轴定义为天线阵列线的法线 (垂直) 方向，主要用作描述角度方向的参考方向。由于发射机与接收机的阵列视轴方向可能没有相互指向对方，所以接收信号的到达角度可能有所不同，这一到达角度被定义为到达角 (AoA)。 在图中，LOS 路径从发射天线 Tx0 到达接收天线 Rx0 的 AoA 为 θa 1。如图所示，Tx0 与 Rx0 之间多径的 AoD 和 AoA 分别为 θd 2 和 θa 2。 对于连接 Tx1 发射天线和 Rx0 的信号路径，其 AoD 和 AoA 可能不同于从 Tx0 到 Rx0 的 AoD 和 AoA，具体取决于 Tx0 和 Tx1 天线的空间分离度。如果两根发射天线彼此非常靠近，则 AoA 与 AoD 非常相似，天线对 (Tx0/Rx0 和 Tx1/Rx0) 之间的衰落可能高度相关。正如前文的讨论，发射 — 接收天线对之间的高度相关性会降低 MIMO 和 STC 系统的性能。因此，对于任何 MIMO 信道仿真器而言，包括空间效应以及天线对之间信道相关性的模型是非常重要的。 也可以不在信道仿真器中对每个 AoD 和 AoA 建模，而是通过包括 AoD 和 AoA 扩展 (称为 "角度扩展") 来获得一个改进模型，用于对丰富多径环境的特性进行仿真。由于接收信号的幅度取决于天线的空间位置，所以角度扩展会导致空间选择性衰落。 当发射机或/和接收机端利用多个天线时，由于天线分离、天线辐射方向以及周围环境的原因，不同的发射接收天线对可能拥有不同的衰落特性。 在图所示的示例中，由于大多数散射体距离基站天线的位置非常远，所以典型基站 (BS) 的角度扩展非常窄。与此形成对比的是，移动站 (MS) 在其周围包括大量本地散射体，因此会导致非常宽的角度扩展。如果基站天线在物理位置上非常靠近，很窄的角度扩展会导致信道之间的高度相关。幸运的是，基站通常拥有足够的空间使其天线之间的位置足够远，从而降低信道相关度。 在移动手持设备中，需要在小型包装内放置多个天线，对于这种情景，紧凑的天线间隔是理想选择。图 15 还给出基站周围空间角的紧密分组，将其称之为 "群集" (cluster)。可以使用一个在周围环绕着角度扩展的平均角度来建立群集模型。这一表示允许将统计 PDF 模型应用于作为角度函数的接收功率。 角度扩展的特性用角度功率谱 (PAS) 来描述。用 θ 来表示 AoA 或者 AoD，信号的 PAS ― s(t,θ) ― 将平均功率表示为角度的函数。定义 图 16 给出三个广泛使用的 PAS 分布模型: 拉普拉斯、高斯和均匀分布模型，。PAS 分布通常是根据所需传播环境进行选择的，例如，拉普拉斯模型适用于城市和农村区域的户外传播。为每个群集分配了一个 PAS 分布，这个 PAS 分布能够最好地估计无线信道 PAS 的测量值或者建模值。角度 θ0,k 是第 k 个群集的平均到达/离开角。如图所示，将拉普拉斯和高斯分布截短以平均角 θ0,k 为中心的 2∆θk 值。表 3 给出有关 PAS 的均匀模型、高斯模型和拉普拉斯模型的多模态分布函数。 "角度功率谱" 只是一种空间特性，它可能引入各个 MIMO 信道之间的相关性。这些由空间引起的信道相关性还可能受到天线方向图、天线距离和极化的影响。本应用指南的后续部分将对这些主题进行讨论，还将讨论他们与 MIMO 系统中信道相关性的关系。 天线增益与天线方向图 天线间隔 当天线间隔减小时，信道之间的相关性将会增大。在极端情形下，如果两个发射天线的放置方式使它们具有相同极化，则可以预期它们到达单一接收天线的信道特征可能是相同的。因此，为了使 MIMO 系统能够很好地工作，很重要的一点是对天线位置进行优化，以降低信道之间的相关性。例如，图 21 给出两个垂直放置的偶极子天线，其间隔距离为 d。通常，在传统的相控阵应用中，天线间隔大约为 λ/2，利用这一间隔来提高复合阵列的增益。在 MIMO 应用中，对于天线间隔的要求不是为了获得高阵列增益，而是为了获得低信道之间的相关性。在此情形下，天线间隔可能远大于 λ/2，唯一的限制就是为了分隔各个单元所需要的区域空间。例如，由于手持设备中的空间有限，移动设备可能选择 λ/2 间隔，而基站中采用的天线间隔可能等于或大于 4λ。由于 MIMO 系统需要在多径丰富的环境中才能有效工作，多个发射天线的空间位置 (彼此之间的相对位置和在周围环境中的位置)，可能在不同 MIMO 信道之间产生很高的衰落相关性。对于接收机端的天线位置，同样存在这种情况。本节将表明: 天线间隔不足时会导致空间相关。两个天线阵元之间的空间相关系数 ρ12 是阵元间隔、PAS 以及各阵元增益方向图的函数。假定天线阵元的增益方向图相同。此相关系数可以使用如下公式计算。 在图 1 中，针对几种天线与方向角扩展 (AS) 实例，给出了其相关系数的绝对值随天线间隔变化的曲线。天线类型分别采用 "全向" 天线和使用 "三扇区" 的定向天线。每条曲线表示 AS 涵盖 2、5、10 和 35 度的不同值。这些曲线假定单模态拉普拉斯功率方位角频谱的平均到达角为 200°，∆ θ 为 180°。与我们预期的一样，在增大归一化间隔和增加 AS 时，相关系数会减小。还有一点值得注意: 对于一种给定的天线间隔，当 AS 很大 (等于 10 或 35) 时，定向天线的相关性会稍大于全向天线的相关性。 使用公式 29 可以计算整个系统的空间相关矩阵，并在基站和移动站形成各个空间相关矩阵。例如，给定一个 2x2 MIMO 系统，假设因数 α 和 β 分别表示利用公式 29 为基站和移动站天线对计算的相关系数。基站和移动站的相关矩阵表示为 下行信道的系统空间相关矩阵可以使用克罗内克 (Kronecker) 内积计算 上一节已经说明: 那些角度扩展范围较窄的系统，可能需要在物理上使天线保持较大间隔，使其空间相关性较低。遗憾的是，一些无线设备的物理体积变得越来越小，从而将天线间隔限制为不超过一个波长，而波长取决于工作频率。 在某些情形下，需要一种替代解决方案，来实现 MIMO 操作所需要的低信道衰落相关性。有一种技术可以降低两根天线之间的空间相关性，那就是对天线进行 "交叉" 极化。换句话说，就是将两根天线的极化设置为相互正交或接近正交。如图 2 所示，两个近距离垂直极化 (0/0) 偶极子天线之间的空间相关性很高，而正交极化 (0/90) 天线 (一个垂直和一个水平) 之间的相关系数要低得多。

多元输入法(多元汉字与图形符号输入法)可以打出图中字符【δ1.2】。δ 是希腊文第四个小写字母，有多种同途。这里表示的是材料的厚度为1.2㎜。δ的有如下几种用途：① 共价键中的δ键（delta bond）。② 表示带电：δ-表示带负电，δ+表示带正电。③ 数学中两个函数的名称：克罗内克δ函数 （Kronecker delta）；狄拉克δ函数。④ 校对中，删除的记号。⑤ 随机模型（米勒—奥尔模型） 回归线的确定。⑥ 表示公司每日现金流变动的标准差。⑦ 在家具制图中，用来表示剖面厚度。

其实没有明确的定义,连数学本身都无法定义,每个人对数学的理解不同,克罗内克就不承认康托的集合论是数学,原因是他不承认非构造性证明,（其实只是一个哲学问题,无法判断对错）自然也不承认他是数学家,罗素却一致拥护并发展了集合论,但克罗内克与罗素都做出过伟大的发现,而且集合论被大部分人认为是现代数学的基础,希尔伯特一个关于nother环的证明还被gordan称为神学,其实一般人理解的数学家就是像电影或书里描述的一样那样,无外乎对数字很敏感的怪胎,其实大部分数学家都不擅长算数,伟大如牛顿在担任造币厂长时也要配一个会计,因为他不擅长算账,艾尔米特在数学考试中几乎没及过格,拉马努金无法理解证明的概念,但在解析数论与hardy作出了漂亮的工作,你也可以不承认他们是数学家（但大部分人都会承认,因为有好几个以他们名字命名的定理,）,这也说明了你无法定义数学家

#include#include#include//A*Bint** kron(int **a, int m, int n, int **b, int p, int q) {int **martix;martix = (int**) malloc(sizeof(int*) * m * p);for (int i = 0; i < m * p; i++) {martix[i] = (int*) malloc(sizeof(int) * n * q);for (int j = 0; j < n * q; j++) {martix[i][j] = a[i / p][j / q] * b[i % p][j % q];}}return martix;}//Anint** kronPow(int **a, int m, int n, int x) {if (x == 1)return a;elsereturn kron(a, m, n, kronPow(a, m, n, x - 1), m * (x - 1), n * (x - 1));}//打印矩阵void printMartix(int**a, int m, int n) {for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n ; j++) {printf("%3d",a[i][j]);}printf(" ");}printf(" ");}int main() {int **martix;martix = (int**) malloc(sizeof(int*) * 2);martix[0] = (int*) malloc(sizeof(int) * 2);martix[1] = (int*) malloc(sizeof(int) * 2);martix[0][0] = 1;martix[0][1] = 0;martix[1][0] = 1;martix[1][1] = 1;printMartix(martix,2,2);//FprintMartix(kronPow(martix, 2, 2, 2),4,4);//F*FprintMartix(kronPow(martix, 2, 2, 3),8,8);//F*F*F}

库默尔首先在1844年发表了分圆域中唯一分解定理不成立的性质。1847年，文章在约瑟夫·刘维尔的杂志上发表。在接下来的1846年和1847年里，库默尔发表了他的主要定理：理想素数的唯一分解定理。库默尔的理想数概念在其后的四十年间被克罗内克和戴德金独立地发展。戴德金在试图直接推广理想数概念时遇到了巨大的困难，最终导致他发展出了模理论和理想论。克罗内克则深化了型理论（二次型的推广）和因子理论来解决。戴德金的理论发展成了后来的环论和抽象代数，而克罗内克的理论则成为了代数几何中的有力工具。

由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。除了克罗尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家庞加莱（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家外尔（Weyl，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。克莱因（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（Hadamard Jacques，1865.12.8－1963.10.17），也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

符号：Delta（大写Δ，小写δ），是第四个希腊字母。大写Δ用于：在数学和科学，表示变数的变化粒子物理学的任何Delta粒子小写δ：在数学和科学，表示变数的变化数学中两个函数的名称：克罗内克δ函数狄拉克δ函数校对中，删除的记号Delta 是三角洲的英文，源自三角洲的形状像三角形，如同大写的delta。西里尔字母的 Д 和拉丁字母的 D 都是从 Delta 变来。代数学中，Δ用作表示方程根的判别式。一元二次方程判别式：Δ=b²-4ac①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。③当Δ<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

康托尔 康托尔，G．F．L．Ph（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp）1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷。他的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域。这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一。1874年，29岁的康托尔就在《克雷儿数学杂志》上发表了关于超穷集合论的第一篇革命性文章，引入了震撼知识界的无穷的概念。这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数的一个性质”。1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》，其中前四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果。随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论。他在第三篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题。这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》简称《集合论基础》为题作专著单独出版。康托尔最著名的著作是1895－1897年出版的《超无穷数理论基础》。

世界著名的数学家 Weierstrass 魏尔斯特拉斯（古典分析学集大成者，德国人）Cantor 康托尔 （Weiestrass的学生，集合论的鼻祖）Bernoulli 伯努力 （这是一个17世纪的家族，专门产数学家物理学家）Fatou 法都（实变函数中有一个Fatou引理，为北大实变必考的要点）Green 格林(有很多姓绿的人，反正都很牛）S.Lie 李 (创造了著名的Lie群，是近代数学物理中最重要的一个概念)Euler 欧拉（后来双目失明了，但是其伟大很少有人能与之相比）Gauss 高斯（有些人不需要说明，Gauss就是一个）Sturm 斯图谟（那个Liouvel-Sturm定理的人，项武义先生很推崇他)Riemann 黎曼(不知道这个名字，就是说不知道世界上存在着数学家）Neumann 诺伊曼（造了第一台电脑，人类历史上最后一个数学物理的全才）Caratheodory 卡拉西奥多礼（外测度的创立者，曾经是贵族）Newton 牛顿（名字带牛，实在是牛）Jordan 约当（Jordan标准型，Poincare前的法国数学界精神领袖）Laplace 拉普拉斯（这人的东西太多了，到处都有）Wiener 维纳（集天才变态于一身的大家，后来在MIT做教授）Thales 泰勒斯（古希腊著名哲学家，有一个他囤积居奇发财的轶事）Maxwell 麦克斯韦（电磁学中的Maxwell方程组）Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，当年匈牙利数学竞赛第一）Fourier 傅立叶(巨烦无比的Fourier变换，他当年黑过Galois)Noether 诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母）Kepler 开普勒（研究行星怎么绕着太阳转的人)Kolmogorov 柯尔莫戈洛夫(苏联的超级牛人烂人，一生桀骜不驯）Borel 波莱尔（学过数学分析和实分析都知道此人）Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空间，改变了现代PDE的写法）Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老师，伟大如他者廖若星辰）Lebesgue 勒贝格（实分析的开山之人，他的名字经常用来修饰测度这个名词）Leibniz 莱不尼兹（和Newton争谁发明微积分，他的记号使微积分容易掌握）Abel 阿贝尔（天才，有形容词形式的名字不多，Abelian就是一个）Lagrange 拉格朗日（法国姓L的伟人有三个，他，Laplace，Legendre)Ramanujan 拉曼奴阳（天资异禀，死于思乡病）Ljapunov 李雅普诺夫（爱微分方程和动力系统，但更爱他的妻子）Holder 赫尔得（Holder不等式，L-p空间里的那个）Poisson 泊松（概率中的Poisson过程，也是纯数学家）Nikodym 发音很难的说（有著名的Ladon-Nikodym定理）H.Hopf 霍普夫（微分几何大师，陈省身先生的好朋友）Pythagoras 毕达哥拉斯(就是勾股定理在西方的发现者）Baire 贝尔(著名的Baire纲)Haar 哈尔（有个Haar测度,一度哥廷根的大红人）Fermat 费马（Fermat大定理，最牛的业余数学家，吹牛很牛的）Kronecker 克罗内克（牛人，迫害Cantor至疯人院）E.Laudau 朗道（巨富的数学家，解析数论超牛）Markov 马尔可夫(Markov过程)Wronski 朗斯基（微分方程中有个Wronski行列式，用来解线性方程组的）Zermelo 策梅罗（集合论的专家，有以他的名字命名的公理体系）Rouche 儒契（在复变中有Rouche定理Rouche函数）Taylor 泰勒（Taylor有很多，最熟的一个恐怕是Taylor展开的那个）Urysohn 乌里松(在拓扑中有著名的Urysohn定理)Frechet 发音巨难的说，泛函中的Frechet空间Picard 皮卡（大小Picard定理，心高气敖，很没有人缘）Schauder 肖德尔（泛函中有Schauder基Schauder不动点定理）Lipschiz 李普西茨（Lipshciz条件，研究函数光滑性的）Liouville 刘维尔（用Liouville定理证明代数基本定理应该是最快的方法）Lindelof 林德洛夫（证明了圆周率是超越数，讲课奇差）de Moivre 棣莫佛（复数的乘法又一个他的定理，很简单的那个）Klein 克莱因（著名的爱尔兰根纲领，哥廷根的精神领袖）Bessel 贝塞尔（Hilbert空间一个东西的范数用基表示有一个Bessel定理）Euclid 欧几里德（我们的平面几何学的都是2000前他的书）Kummer 库默尔（数论中最有影响的几个人之一）Ascoli 阿斯克里（有Ascoli－Arzela定理，要一致有界等度连续的那个）Chebyschev 切比雪夫(他证明了n和2n之间有一个素数）Banach 巴拿赫（波兰的牛人，泛函分析之父）Hilbert 希尔伯特（这个也没有介绍的必要）Minkowski 闵可夫斯基 （Hilbert的挚友，Einstein的“恩师”）Hamilton 哈密尔顿（第一个发现了4元数，在一座桥上）Poincare 彭加莱(数学界的莎士比亚）Peano 皮亚诺（有Peano公理，和数学归纳法有关系）Zorn 佐恩(Zorn引理，看起来显然的东西都用这个证明)

几个未解的题。 1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地： 当k为奇数时 求 (1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=? 背景： 欧拉求出： (1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6 并且当k为偶数时的表达式。 2、e+π的超越性 背景 此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题。 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 背景： 此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。 美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。 希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。 引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 背景： 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）。 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。 1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。 但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。 所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 背景： 这角古猜想（1930）。 人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果 是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质 量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。 P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已 知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个 算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。 由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚。 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。 经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之 后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真 正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。 = 一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了，这次是真的！」[14]。 数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关。 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他 们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 上同调类的有理组合。」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》

错误

克罗内克符号是勒让德符号以及雅可比符号的推广，将底数由正奇数推广至一切整数。对于二次克罗内克符号，定义首先从二次雅可比符号开始：（1）去掉定理：上方同余值相同。（2）当下方为－1时，取值由上方正负决定：当上方非负，取值为1；当上方为负，取值为－1；当下方为2时，取值等同于上下方互换，即对应上方为2的情形；之后根据完全积性的性质，就可以将下方的定义域推广至一切整数。克罗内克函数的值一般简写为δij。克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为δi。

1、克罗内克符号是勒让德符号以及雅可比符号的推广，将底数由正奇数推广至一切整数。2、对于二次克罗内克符号，定义首先从二次雅可比符号开始：（1）去掉定理：上方同余值相同。（2）当下方为-1时，取值由上方正负决定：当上方非负，取值为1；当上方为负，取值为-1；当下方为2时，取值等同于上下方互换，即对应上方为2的情形；之后根据完全积性的性质，就可以将下方的定义域推广至一切整数。扩展资料：克罗内克函数有筛选性：对任意 ：如果将整数看作一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的。实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定为连续的情况 ，而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下。参考资料来源：百度百科-克罗内克符号

克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。

由Kronecker提出的数论符号。（很多符号打不出来）设d=0或1(mod4),d非平方数且m>0,则克罗内克尔符号D=(d/m)定义为，若p整除d，即p|d,则(d/p)=0,若d=1(mod8),则(d/2)=1若d=5(mod8),则(d/2)=-1若p为奇素数且p不整除d，则D转化为勒让德符号。对于一般的整数m可以分解成r个素数（可能有重复的，比如8=2x2x2）的乘积，则D=(d/m)=所有这些素因子的克罗内克尔符号的乘积。例如(d/8)=(d/2)x(d/2)x(d/2)简单的应用（例如量子力学里）就是一个因子D(mn),当m=n时D=1,否则D=0如果和一个方阵相乘的话则除了对角元其他项都为0.中文也可以写作克罗内克符号。

看不懂

大写Δ，小写δ都读作 delta [ˈdeltə] 德尔塔希腊字母， 其大写为Δ，小写为δ。在数学或者物理中大写的Δ用来表示增量符号。而小写通常在高等数学中用于表示变量或者符号。ξ读音 克西。大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母。Kronecker delta，即克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号）δij是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。扩展资料严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际应用中，δ函数总是伴随着积分一起出现  。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用。

Given an (m imes n) matrix A and a (p imes q) matrix B, their Kronecker product C=(Aotimes B) is an (mp imes nq) matrix with elements defined byC_{st}=A_{ij} B_{kl},where s=p(i-1)+k, t=q(j-1)+l.For example, ifA= A_{11} A_{12} A_{21} A_{22}B= B_{11} B_{12} B_{21} B_{22}then C=(Aotimes B)=A_{11}B A_{12}B A_{21}B A_{22}B

个数不多的话你可以用循环嵌套，A1#A2#A3#A4=kron（A1，（kron（A2，kron（A3，A4））））

设函数 φ (x)连续且满足 φ (x)=e^x+ ∫(x,0)(t-x) φ(t)dt,求φ(x) 解： φ (x)=e^x+ ∫[0→x] (t-x) φ(t)dt =e^x+ ∫[0→x] tφ(t)dt-x∫[0→x] φ(t)dt 两边对x求导得： φ"(x)=e^x+ xφ(x)-∫[0→x] φ(t)dt-xφ(x) =e^x-∫[0→x] φ(t)dt (1) 两边再对导： φ""(x)...

康托尔的超限算术受到攻击。

插入，公式。然后慢慢找慢慢拼。

线性代数中，涉及的符号，一般有矩阵相似a~ba≃b矩阵的合同a≅b矩阵的等价a*伴随矩阵符号*a⊗b矩阵的直积（克罗内克积）a⊕b克罗内克和

康托尔是德国数学家，数学集合论的创始者，1845年3月3日生于圣彼得堡，11岁时移居德国。他很小的时候就表现出了极高的科学天赋，并且选择了数学作为自己的专业。1867年获得了柏林大学的哲学博士学位，1869年通过了哈雷大学讲师资格考试，成为该校的讲师，1879年升任教授。随着科学的进步，数学理论的研究逐渐转向其本身，例如：“整数究竟有多少”、“一个圆周上有多少个点”、“0—1之间的数比一寸长线段上的点还多吗?”当我们在无法回答这些涉及无穷量数学难题的时候，集合论也就应运而生了。康托尔提出了集合的概念，并提出了一一对应的方法，由此而造成了对无穷中的悖论的研究。“悖论”是在科学研究中推出的一些合乎逻辑的但又荒谬的结果，所以与当时的许多传统观点格格不入，因此许多数学家都采取敬而远之的态度。在康托尔研究的刚开始人们都说他的理论是“雾中之雾”，难以明晓。他的老师还攻击他说“康托尔走进了超穷数的地狱”，年轻的康托尔在这种条件下顶着重压向神秘的无穷宣战了。靠着天才的智慧和辛勤的汗水，康托尔证明了一条直线上的点能够和一个平面上以及空间中的点一一对应。依此理解1米长的线段内的点与印度洋面上的点是“相等的”。他抓住这个结论不放，展开深入的研究并得出了许多惊人的结论。1884年，康托尔发表了题为《关于无穷线性点集》6篇论文，对他前期的研究作了一个总结。论文发表之后，并不像他事前想象的那样会引起数学界的轰动，相反的是遭到了很多人的反对，甚至攻击和谩骂。刚开始他并没有放在心上，可是这种攻击越来越严重，他的集合理论被说成像“雾”一样见不得阳光，德国数学家克罗内克是一个天生的怀疑者，他对康托尔的攻击长达10年之久，是言词最为激烈的一个。迫于数学界的攻击与压力，康托尔被冠以“疯子”的称号。这种精神压力日积月累使他心力交瘁，最终患了精神分裂症，被送进精神病医院，从此他再也没有出来，直到逝世。真理总是能经得住时间的考验的。随着数学研究的发展，许多数学家发现康托尔的理论具有很强的科学性。1897年，他的理论在第一次国际数学家会议上得到了公认。遗憾的是康托尔仍然神志恍惚，无法从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年，康托尔在哈勒大学附属精神病院去世。康托尔的去世为数学的发展带来了很大的损失，他之所以发疯也有着很深的个人原因和社会原因。他天性敏感容易激动，把别人的批评看得过重。因而对于反对意见难以从学术角度去应付，当面对攻击与指责时，他找不到解决问题的出路转而求助于神学观点和柏拉图信仰主义，这样的结局是他个人的悲剧也是社会的悲剧，同时也是科学研究本身的难题所致。

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。 　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。 　　（1）康托的连续统基数问题。 　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 　　（2）算术公理系统的无矛盾性。 　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。 　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 　　问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。 　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。 　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。 　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。 　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。 　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。 　　（7）某些数的超越性的证明。 　　需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。 　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。 　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。 　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。 　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。 　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ 　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。 　　（11）一般代数数域内的二次型论。 　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。 　　（12）类域的构成问题。 　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。 　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。 　　（14）某些完备函数系的有限的证明。 　　即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。 　　（15）建立代数几何学的基础。 　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。 　　注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。 　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。 　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。 　　（17）半正定形式的平方和表示。 　　实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。 　　（18）用全等多面体构造空间。 　　德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。 　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？ 　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。 　　（20）研究一般边值问题。 　　此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。 　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。 　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。 　　（22）用自守函数将解析函数单值化。 　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。 　　（23）发展变分学方法的研究。 　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。